# ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Équations Différentielles Appliquées]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours # ❶ Équations Différentielles d'Ordre 1 Appliquées ## Introduction aux Modèles Dynamiques Bienvenue dans ce premier chapitre dédié aux applications des équations différentielles (ED) d'ordre 1. Après avoir acquis les outils mathématiques pour résoudre ces équations dans des cours précédents, nous allons maintenant explorer leur puissance en tant qu'outil de modélisation de phénomènes physiques, biologiques, économiques et d'ingénierie. Les équations différentielles sont le langage naturel pour décrire des systèmes dont l'état évolue au cours du temps. Elles traduisent des lois de conservation, des principes fondamentaux ou des relations empiriques en termes de taux de variation. Dans ce chapitre, nous nous concentrerons sur les systèmes décrits par des ED d'ordre 1, c'est-à-dire où l'évolution d'une grandeur ne dépend que de sa valeur actuelle et du temps. > [!note] Contexte du cours > Ce chapitre est le premier d'une série de deux. Il se concentre sur les applications des équations différentielles d'ordre 1. Le chapitre suivant, "Équations différentielles d'ordre 2 appliquées", explorera des systèmes plus complexes, souvent liés à des phénomènes oscillatoires ou à des forces inertielles. ### Prérequis Pour aborder ce chapitre dans les meilleures conditions, une maîtrise des concepts suivants est essentielle : - Résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 (avec ou sans second membre). - Résolution des équations différentielles à variables séparables. - Compréhension des conditions initiales et de leur rôle dans la détermination d'une solution unique. ## I. Rappels sur les Équations Différentielles d'Ordre 1 Une équation différentielle d'ordre 1 est une relation qui lie une fonction inconnue $y(t)$ à sa dérivée première $y'(t)$ et éventuellement à la variable $t$. > [!definition] Forme Générale > Une équation différentielle d'ordre 1 s'écrit généralement sous la forme : > $ F(t, y(t), y'(t)) = 0 $ > Ou, si elle peut être explicitée par rapport à $y'(t)$ : > $ y'(t) = f(t, y(t)) $ Les types les plus couramment rencontrés en ingénierie sont : ### 1. Équations à Variables Séparables > [!definition] Équation à Variables Séparables > Une ED d'ordre 1 est dite à variables séparables si elle peut s'écrire sous la forme : > $ y'(t) = g(t)h(y(t)) $ > La résolution consiste à séparer les variables et à intégrer : > $ \frac{dy}{h(y)} = g(t) dt \implies \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(t) dt $ ### 2. Équations Linéaires d'Ordre 1 > [!definition] Équation Linéaire d'Ordre 1 > Une ED linéaire d'ordre 1 a la forme générale : > $ y'(t) + a(t)y(t) = b(t) $ > où $a(t)$ et $b(t)$ sont des fonctions continues de $t$. > > La solution générale est la somme de la solution homogène ($y_h(t)$) et d'une solution particulière ($y_p(t)$). > 1. **Solution homogène :** $y'(t) + a(t)y(t) = 0 \implies y_h(t) = C e^{-\int a(t) dt}$ > 2. **Solution particulière :** Obtenue par la méthode de variation de la constante. On cherche $y_p(t) = C(t) e^{-\int a(t) dt}$. > > La solution générale est alors $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$. > [!note] Conditions Initiales > Pour qu'une solution soit unique, il est nécessaire d'imposer une condition initiale, par exemple $y(t_0) = y_0$. Cette condition permet de déterminer la constante d'intégration $C$. ## II. Modèles de Croissance et Décroissance Exponentielle Ces modèles sont parmi les plus simples et les plus fondamentaux, décrivant des phénomènes où le taux de variation d'une quantité est directement proportionnel à la quantité elle-même. ### 1. Croissance/Décroissance Libre (Malthus) > [!theorem] Loi de Malthus > La loi de Malthus décrit une croissance ou décroissance où le taux de variation d'une population (ou d'une quantité) est proportionnel à la population (ou quantité) présente. > L'équation différentielle est : > $ \frac{dN}{dt} = kN $ > où $N(t)$ est la quantité à l'instant $t$ et $k$ est une constante de proportionnalité. > > La solution de cette ED est : > $ N(t) = N_0 e^{kt} $ > où $N_0 = N(0)$ est la quantité initiale. > - Si $k > 0$, on a une **croissance exponentielle**. > - Si $k < 0$, on a une **décroissance exponentielle**. > [!example] 1.1. Croissance d'une population bactérienne > Une colonie de bactéries croît à un taux proportionnel à sa taille. Si la population double toutes les 30 minutes et qu'il y a $10^5$ bactéries au début ($t=0$), quelle sera la population après 2 heures ? > > 1. **Modélisation :** $\frac{dN}{dt} = kN$, avec $N(0) = 10^5$. > 2. **Solution générale :** $N(t) = N_0 e^{kt} = 10^5 e^{kt}$. > 3. **Détermination de $k$ :** La population double en 30 minutes (0.5 heure). Donc $N(0.5) = 2 N_0$. > $2 N_0 = N_0 e^{k \cdot 0.5} \implies 2 = e^{0.5k} \implies \ln(2) = 0.5k \implies k = 2 \ln(2) \approx 1.386 \text{ h}^{-1}$. > 4. **Prédiction :** Après 2 heures ($t=2$ h) : > $N(2) = 10^5 e^{(2 \ln(2)) \cdot 2} = 10^5 e^{4 \ln(2)} = 10^5 e^{\ln(2^4)} = 10^5 \cdot 2^4 = 10^5 \cdot 16 = 1.6 \times 10^6$. > La population sera de $1.6 \times 10^6$ bactéries. > [!example] 1.2. Désintégration radioactive > La désintégration d'une substance radioactive suit une loi exponentielle. Le taux de désintégration est proportionnel à la quantité de substance restante. Le Carbone 14 a une demi-vie d'environ 5730 ans. Si un échantillon contient 100g de Carbone 14, quelle quantité restera-t-il après 2000 ans ? > > 1. **Modélisation :** $\frac{dA}{dt} = kA$, avec $A(0) = 100$ g. > 2. **Solution générale :** $A(t) = A_0 e^{kt} = 100 e^{kt}$. > 3. **Détermination de $k$ :** La demi-vie $T_{1/2}$ est le temps pour que la quantité soit divisée par deux. $A(T_{1/2}) = A_0/2$. > $A_0/2 = A_0 e^{k T_{1/2}} \implies 1/2 = e^{k T_{1/2}} \implies \ln(1/2) = k T_{1/2} \implies k = \frac{-\ln(2)}{T_{1/2}}$. > Pour le Carbone 14, $k = \frac{-\ln(2)}{5730} \approx -1.209 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$. > 4. **Prédiction :** Après 2000 ans ($t=2000$ ans) : > $A(2000) = 100 e^{(- \frac{\ln(2)}{5730}) \cdot 2000} = 100 \cdot (e^{\ln(2)})^{-2000/5730} = 100 \cdot 2^{-2000/5730} \approx 100 \cdot 0.781 = 78.1$ g. > Il restera environ 78.1 g de Carbone 14. ## III. Transfert Thermique : Loi de Refroidissement de Newton La loi de refroidissement de Newton décrit comment la température d'un corps change lorsqu'il est exposé à un environnement à une température différente. > [!theorem] Loi de Refroidissement de Newton > Le taux de variation de la température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et son environnement. > L'équation différentielle est : > $ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_e) $ > où : > - $T(t)$ est la température du corps à l'instant $t$. > - $T_e$ est la température constante de l'environnement. > - $k$ est une constante positive de proportionnalité ($k > 0$). > > La solution de cette ED est : > $ T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt} $ > où $T_0 = T(0)$ est la température initiale du corps. > [!note] Interprétation de la solution > - Lorsque $t \to \infty$, $e^{-kt} \to 0$, donc $T(t) \to T_e$. Le corps atteint la température de l'environnement. > - Si $T_0 > T_e$, le corps se refroidit. > - Si $T_0 < T_e$, le corps se réchauffe. > [!example] 3.1. Refroidissement d'une tasse de café > Une tasse de café à 90°C est placée dans une pièce à 20°C. Après 5 minutes, le café a refroidi à 70°C. Quelle sera la température du café après 10 minutes ? > > 1. **Modélisation :** $\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$, avec $T_e = 20^\circ C$ et $T_0 = T(0) = 90^\circ C$. > 2. **Solution générale :** $T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt} = 20 + (90 - 20)e^{-kt} = 20 + 70e^{-kt}$. > 3. **Détermination de $k$ :** On sait que $T(5) = 70^\circ C$. > $70 = 20 + 70e^{-5k} \implies 50 = 70e^{-5k} \implies \frac{5}{7} = e^{-5k} \implies \ln(\frac{5}{7}) = -5k \implies k = -\frac{1}{5} \ln(\frac{5}{7}) \approx 0.0673 \text{ min}^{-1}$. > 4. **Prédiction :** Après 10 minutes ($t=10$ min) : > $T(10) = 20 + 70e^{-k \cdot 10} = 20 + 70e^{-0.0673 \cdot 10} \approx 20 + 70e^{-0.673} \approx 20 + 70 \cdot 0.510 \approx 20 + 35.7 = 55.7^\circ C$. > La température du café après 10 minutes sera d'environ 55.7°C. ## IV. Circuits Électriques : Le Circuit RC Série Les circuits électriques sont une source classique d'équations différentielles. Le circuit RC série, composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C), est un exemple typique d'application des ED d'ordre 1. > [!definition] Circuit RC Série > Considérons un circuit RC série alimenté par une source de tension $E(t)$. > - La loi des mailles donne : $U_R(t) + U_C(t) = E(t)$. > - Tension aux bornes de la résistance : $U_R(t) = R I(t)$. > - Courant traversant le condensateur : $I(t) = C \frac{dU_C}{dt}$. > > En substituant, on obtient l'équation différentielle pour la tension aux bornes du condensateur $U_C(t)$ : > $ RC \frac{dU_C}{dt} + U_C(t) = E(t) $ > C'est une ED linéaire d'ordre 1. > [!note] Constante de temps $\tau$ > La quantité $\tau = RC$ est appelée la **constante de temps** du circuit. Elle caractérise la vitesse à laquelle le circuit répond à un changement de tension. Plus $\tau$ est petit, plus le circuit est rapide. > [!example] 4.1. Charge d'un condensateur > Un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé ($U_C(0) = 0$) est connecté en série avec une résistance $R$ à une source de tension constante $E$. Déterminer la tension aux bornes du condensateur au cours du temps. > > 1. **Modélisation :** $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = E$, avec $U_C(0) = 0$. > 2. **Solution de l'équation homogène :** $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = 0 \implies \frac{dU_C}{dt} = -\frac{1}{RC} U_C$. > $U_{C,h}(t) = K e^{-t/(RC)}$. > 3. **Solution particulière :** Puisque le second membre est une constante $E$, on cherche une solution particulière constante $U_{C,p}(t) = A$. > $RC \cdot 0 + A = E \implies A = E$. > Donc $U_{C,p}(t) = E$. > 4. **Solution générale :** $U_C(t) = U_{C,h}(t) + U_{C,p}(t) = K e^{-t/(RC)} + E$. > 5. **Détermination de $K$ (condition initiale) :** $U_C(0) = 0$. > $0 = K e^0 + E \implies 0 = K + E \implies K = -E$. > 6. **Solution finale :** > $ U_C(t) = E(1 - e^{-t/(RC)}) $ > > Cette formule montre que la tension $U_C(t)$ augmente exponentiellement de 0 vers $E$. Après un temps $t \approx 5RC$, le condensateur est considéré comme pratiquement chargé. > [!example] 4.2. Décharge d'un condensateur > Un condensateur chargé à une tension $U_0$ est déconnecté de sa source et déchargé à travers une résistance $R$. Déterminer la tension aux bornes du condensateur au cours du temps. > > 1. **Modélisation :** $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = 0$ (car $E(t) = 0$ pour la décharge), avec $U_C(0) = U_0$. > 2. **Solution :** C'est l'équation homogène du cas précédent. > $U_C(t) = K e^{-t/(RC)}$. > 3. **Détermination de $K$ (condition initiale) :** $U_C(0) = U_0$. > $U_0 = K e^0 \implies K = U_0$. > 4. **Solution finale :** > $ U_C(t) = U_0 e^{-t/(RC)} $ > > La tension $U_C(t)$ décroît exponentiellement de $U_0$ vers 0. ## V. Mécanique : Chute Libre avec Frottement Visqueux Lorsqu'un objet tombe dans un fluide (air, eau), il est soumis à des forces de frottement qui s'opposent à son mouvement. Pour des vitesses faibles à modérées, cette force de frottement est souvent modélisée comme étant proportionnelle à la vitesse. > [!theorem] Chute libre avec frottement linéaire > Un objet de masse $m$ est lâché sans vitesse initiale. Il est soumis à la gravité $g$ et à une force de frottement $F_f = -kv$, où $k$ est le coefficient de frottement visqueux et $v$ est la vitesse de l'objet. > > La deuxième loi de Newton ($F = ma$) donne : > $ m \frac{dv}{dt} = mg - kv $ > (On choisit l'axe positif vers le bas.) > C'est une ED linéaire d'ordre 1 pour la vitesse $v(t)$. > [!definition] Vitesse Limite > La **vitesse limite** $v_L$ est la vitesse constante que l'objet atteint lorsque la force de frottement équilibre la force de gravité, c'est-à-dire quand l'accélération est nulle ($\frac{dv}{dt} = 0$). > De l'ED : $mg - kv_L = 0 \implies v_L = \frac{mg}{k}$. > [!example] 5.1. Calcul de la vitesse d'un parachutiste > Un parachutiste de masse $m$ tombe dans l'air. La force de frottement est donnée par $F_f = -kv$. On suppose qu'il part d'une vitesse nulle ($v(0) = 0$). > > 1. **Modélisation :** $m \frac{dv}{dt} = mg - kv \implies \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g$. > 2. **Solution de l'équation homogène :** $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = 0 \implies v_h(t) = C e^{-\frac{k}{m}t}$. > 3. **Solution particulière :** On cherche une solution particulière constante $v_p(t) = A$. > $0 + \frac{k}{m} A = g \implies A = \frac{mg}{k}$. > Donc $v_p(t) = \frac{mg}{k} = v_L$. > 4. **Solution générale :** $v(t) = C e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}$. > 5. **Détermination de $C$ (condition initiale) :** $v(0) = 0$. > $0 = C e^0 + \frac{mg}{k} \implies C = -\frac{mg}{k}$. > 6. **Solution finale :** > $ v(t) = \frac{mg}{k} (1 - e^{-\frac{k}{m}t}) = v_L (1 - e^{-t/\tau}) $ > où $\tau = m/k$ est la constante de temps du système. > > Cette solution montre que la vitesse augmente exponentiellement depuis 0 pour tendre asymptotiquement vers la vitesse limite $v_L$. > [!tip] Compréhension physique > La constante de temps $\tau = m/k$ indique à quelle vitesse l'objet atteint sa vitesse limite. Un petit $\tau$ signifie que la vitesse limite est atteinte rapidement (objet léger ou frottement important). ## VI. Modèles en Chimie et Biologie Les équations différentielles d'ordre 1 sont également omniprésentes en chimie (cinétique des réactions) et en biologie (pharmacocinétique, modèles de populations). ### 1. Cinétique des Réactions Chimiques d'Ordre 1 > [!definition] Réaction d'Ordre 1 > Une réaction chimique $A \to P$ est d'ordre 1 par rapport au réactif A si sa vitesse est proportionnelle à la concentration de A. > Si $[A](t)$ est la concentration du réactif A à l'instant $t$, l'équation de vitesse est : > $ \frac{d[A]}{dt} = -k[A] $ > où $k$ est la constante de vitesse. > > La solution de cette ED est : > $ [A](t) = [A]_0 e^{-kt} $ > où $[A]_0 = [A](0)$ est la concentration initiale. > [!note] Analogie > Ce modèle est identique à celui de la désintégration radioactive. La décroissance de la concentration de A est exponentielle. ### 2. Pharmacocinétique : Élimination d'un Médicament > [!definition] Élimination d'Ordre 1 > De nombreux médicaments sont éliminés du corps à un taux proportionnel à leur concentration sanguine. > Si $C(t)$ est la concentration du médicament dans le sang à l'instant $t$, l'équation est : > $ \frac{dC}{dt} = -k_e C $ > où $k_e$ est la constante d'élimination. > > La solution est : > $ C(t) = C_0 e^{-k_e t} $ > où $C_0$ est la concentration initiale. > [!example] 6.1. Concentration d'un antibiotique > Un patient reçoit une dose d'antibiotique. Sa concentration sanguine suit un modèle d'élimination d'ordre 1 avec une constante $k_e = 0.15 \text{ h}^{-1}$. Si la concentration initiale est de $20 \mu g/mL$, combien de temps faut-il pour que la concentration tombe à $5 \mu g/mL$ ? > > 1. **Modélisation :** $C(t) = C_0 e^{-k_e t} = 20 e^{-0.15 t}$. > 2. **Résolution :** On cherche $t$ tel que $C(t) = 5$. > $5 = 20 e^{-0.15 t} \implies \frac{5}{20} = e^{-0.15 t} \implies 0.25 = e^{-0.15 t}$. > $\ln(0.25) = -0.15 t \implies t = \frac{\ln(0.25)}{-0.15} = \frac{-\ln(4)}{-0.15} = \frac{\ln(4)}{0.15} \approx \frac{1.386}{0.15} \approx 9.24$ heures. > Il faut environ 9.24 heures pour que la concentration tombe à $5 \mu g/mL$. ## VII. Méthodologie de Résolution d'un Problème Appliqué Face à un problème d'ingénierie ou scientifique, la démarche pour utiliser les équations différentielles est structurée : 1. **Comprendre le Phénomène :** Identifier les grandeurs qui évoluent et les facteurs qui influencent cette évolution. 2. **Poser les Hypothèses Simplificatrices :** La réalité est complexe. Il est souvent nécessaire de faire des hypothèses pour obtenir un modèle traitable (ex: température ambiante constante, frottement linéaire, etc.). Préciser les limites de validité de ces hypothèses. 3. **Établir l'Équation Différentielle :** Traduire les lois physiques (conservation d'énergie, de masse, lois de Newton, lois de Kirchhoff, etc.) ou les principes empiriques en termes mathématiques, reliant la fonction inconnue à ses dérivées. * Identifier la variable dépendante (la grandeur qui évolue, ex: $T$, $N$, $U_C$, $v$). * Identifier la variable indépendante (souvent le temps $t$). * Exprimer les taux de variation. 4. **Définir les Conditions Initiales (et aux Limites si applicable) :** Pour obtenir une solution unique, il faut connaître l'état initial du système. 5. **Résoudre l'Équation Différentielle :** Utiliser les méthodes mathématiques appropriées (variables séparables, linéaire, etc.) pour trouver la solution générale, puis appliquer les conditions initiales pour trouver la solution particulière. 6. **Interpréter la Solution Physiquement :** * Vérifier la cohérence des unités et des ordres de grandeur. * Analyser le comportement asymptotique (que se passe-t-il à long terme ?). * Discuter de l'influence des paramètres du modèle. * Comparer avec des données expérimentales si disponibles. > [!warning] Attention aux unités ! > Toujours veiller à la cohérence des unités dans les équations et les calculs. Une erreur d'unité est une source fréquente d'erreurs en physique et en ingénierie. ## Conclusion Ce chapitre vous a introduit à la richesse des applications des équations différentielles d'ordre 1. Nous avons vu comment des phénomènes variés, de la croissance de populations à la décharge d'un condensateur, peuvent être décrits par une même structure mathématique. La capacité à modéliser ces systèmes est une compétence fondamentale pour tout ingénieur. Vous avez pu constater que la démarche de modélisation implique non seulement la résolution mathématique, mais aussi une compréhension approfondie des principes physiques sous-jacents et une capacité à interpréter les résultats. Dans le prochain chapitre, nous monterons en complexité en explorant les **équations différentielles d'ordre 2 appliquées**. Celles-ci sont essentielles pour modéliser des systèmes où l'accélération (dérivée seconde) joue un rôle crucial, comme les oscillations mécaniques (ressort-masse) ou électriques (circuit RLC). Les fondations posées ici vous seront précieuses pour aborder ces systèmes plus dynamiques. # ➡️ C'est la fin Conclusion... --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Équations Différentielles Appliquées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Équations Différentielles Appliquées]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `08-Semptembre-2025`