# ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Équations Différentielles Appliquées]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours # ❶ Équations Différentielles d'Ordre 2 Appliquées ## Introduction Chers étudiants, Dans le chapitre précédent, nous avons exploré la puissance des équations différentielles d'ordre 1 pour modéliser des phénomènes variés tels que la croissance des populations, la décroissance radioactive ou encore les circuits RC. Ces modèles, bien que fondamentaux, décrivent souvent des systèmes dont l'évolution dépend directement de leur état actuel. Cependant, de nombreux systèmes physiques et d'ingénierie impliquent des interactions plus complexes, où l'accélération (la dérivée seconde de la position), la force inertielle ou des effets de rétroaction importants jouent un rôle prépondérant. C'est là que les **équations différentielles d'ordre 2** deviennent indispensables. Elles nous permettent de décrire des phénomènes dynamiques tels que les oscillations mécaniques, les courants alternatifs dans les circuits électriques, la propagation de la chaleur, et bien d'autres. Ce chapitre se propose de vous guider à travers les applications les plus classiques des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants, en mettant l'accent sur la modélisation, la résolution et l'interprétation physique des solutions. Vous verrez comment les concepts mathématiques abstraits prennent vie pour décrire le monde qui nous entoure. > [!note] Objectifs du chapitre > À la fin de ce chapitre, vous serez capable de : > - Reconnaître les situations physiques ou d'ingénierie menant à une équation différentielle d'ordre 2. > - Modéliser des systèmes mécaniques (masse-ressort, pendule amorti) et électriques (circuits RLC) à l'aide d'EDO d'ordre 2. > - Résoudre ces équations et interpréter physiquement les solutions obtenues (oscillations, amortissement, résonance). > - Appliquer une méthodologie rigoureuse pour aborder les problèmes appliqués impliquant des EDO d'ordre 2. ## 1. Rappels Essentiels sur les Équations Différentielles Linéaires d'Ordre 2 Avant de plonger dans les applications, faisons un bref rappel des concepts clés concernant les EDO linéaires d'ordre 2 à coefficients constants, que vous avez étudiés en détail. > [!definition] Forme Générale > Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants est de la forme : > $ a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = f(t) $ > où $a, b, c$ sont des constantes réelles avec $a \neq 0$, $y(t)$ est la fonction inconnue (souvent une position, une charge, une température, etc.), $y'(t)$ et $y''(t)$ sont ses dérivées première et seconde par rapport à la variable $t$ (souvent le temps), et $f(t)$ est une fonction donnée, appelée **terme source** ou **second membre**. La résolution d'une telle équation se décompose en deux étapes : 1. Recherche de la solution générale de l'équation homogène ($f(t) = 0$). 2. Recherche d'une solution particulière de l'équation complète. ### 1.1. Solution de l'Équation Homogène ($y_h(t)$) L'équation homogène associée est : $ a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = 0 $ Sa solution est déterminée par l'équation caractéristique : $ a r^2 + b r + c = 0 $ Les racines $r_1, r_2$ de cette équation dictent la forme de $y_h(t)$. > [!theorem] Cas de l'Équation Caractéristique > 1. **Deux racines réelles distinctes** ($r_1 \neq r_2$) : $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ > $y_h(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$ > 2. **Une racine réelle double** ($r_1 = r_2 = r$) : $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ > $y_h(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t}$ > 3. **Deux racines complexes conjuguées** ($r_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta$) : $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ > $y_h(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))$ > où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes déterminées par les conditions initiales. ### 1.2. Solution Particulière ($y_p(t)$) La solution particulière $y_p(t)$ dépend de la forme du second membre $f(t)$. Les méthodes courantes incluent : * La **méthode des coefficients indéterminés** (pour $f(t)$ de type polynomial, exponentiel, trigonométrique ou leurs combinaisons). * La **méthode de variation des constantes** (plus générale, mais souvent plus lourde). > [!tip] Méthode des Coefficients Indéterminés > Si $f(t)$ est une fonction "simple", on peut deviner la forme de $y_p(t)$ et déterminer ses coefficients par substitution dans l'équation complète. > - Si $f(t) = P_n(t)$ (polynôme de degré $n$), on essaie $y_p(t) = Q_n(t)$ (polynôme de même degré). > - Si $f(t) = K e^{kt}$, on essaie $y_p(t) = A e^{kt}$. > - Si $f(t) = K \cos(\omega t)$ ou $K \sin(\omega t)$, on essaie $y_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$. > (Des ajustements sont nécessaires si la forme de $f(t)$ est déjà une solution de l'équation homogène.) ### 1.3. Solution Générale et Conditions Initiales La solution générale de l'EDO complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 y_1(t) + C_2 y_2(t) + y_p(t) $ Pour déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$, il faut deux **conditions initiales** (ou aux limites). Typiquement, pour les problèmes dynamiques, ce sont la valeur de la fonction et de sa dérivée au temps initial $t_0$ : $ y(t_0) = y_0 \quad \text{et} \quad y'(t_0) = v_0 $ ## 2. Modélisation et Applications Classiques Les EDO d'ordre 2 sont omniprésentes en ingénierie. Explorons quelques-unes des applications les plus fondamentales. ### 2.1. Systèmes Mécaniques Oscillants Les systèmes masse-ressort sont les archétypes des oscillateurs en physique et en ingénierie. Ils servent de base à la compréhension de nombreux phénomènes vibratoires. #### 2.1.1. L'Oscillateur Harmonique Simple (Masse-Ressort non Amorti) Considérons une masse $m$ attachée à un ressort de constante de raideur $k$, glissant sans frottement sur un plan horizontal. La masse est déplacée de sa position d'équilibre et relâchée. > [!definition] Loi de Hooke et Seconde Loi de Newton > - **Loi de Hooke** : La force de rappel exercée par le ressort est $F_R = -kx$, où $x$ est le déplacement par rapport à l'équilibre et $k$ est la constante de raideur du ressort. > - **Seconde Loi de Newton** : La somme des forces agissant sur la masse est égale à $m a = m \frac{d^2x}{dt^2}$. En appliquant la seconde loi de Newton, nous obtenons l'équation du mouvement : $ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx $ Réarrangeons-la sous la forme d'une EDO homogène : $ m x''(t) + k x(t) = 0 $ $ x''(t) + \frac{k}{m} x(t) = 0 $ Posons $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$. $\omega_0$ est la **pulsation propre** du système. $ x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0 $ > [!example] Résolution de l'Oscillateur Harmonique Simple > L'équation caractéristique est $r^2 + \omega_0^2 = 0$, dont les racines sont $r = \pm i\omega_0$. > C'est le cas des racines complexes conjuguées avec $\alpha = 0$ et $\beta = \omega_0$. > La solution générale est donc : > $ x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t) $ > On peut aussi l'écrire sous la forme : > $ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) $ > où $A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}$ est l'amplitude de l'oscillation et $\phi = \arctan\left(-\frac{C_2}{C_1}\right)$ est la phase initiale. > > Les constantes $C_1$ et $C_2$ (ou $A$ et $\phi$) sont déterminées par les conditions initiales, par exemple $x(0) = x_0$ (position initiale) et $x'(0) = v_0$ (vitesse initiale). > > Pour $x(0) = x_0$ et $x'(0) = 0$ (lâché sans vitesse initiale depuis $x_0$), on trouve $C_1 = x_0$ et $C_2 = 0$, donc $x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t)$. > [!note] Interprétation Physique > La solution $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$ décrit un mouvement oscillatoire sinusoïdal, de période $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. Ce système oscille indéfiniment sans perte d'énergie. #### 2.1.2. L'Oscillateur Amorti Dans la réalité, les frottements (de l'air, internes au ressort, etc.) dissipent l'énergie du système. On modélise souvent cette force d'amortissement comme proportionnelle à la vitesse : $F_{amort} = -c \frac{dx}{dt}$, où $c > 0$ est le coefficient d'amortissement. L'équation du mouvement devient : $ m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = 0 $ L'équation caractéristique est $m r^2 + c r + k = 0$. Les racines sont $r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$. Le comportement du système dépend du discriminant $\Delta = c^2 - 4mk$. > [!theorem] Types d'Amortissement > Posons $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (pulsation propre non amortie) et $\xi = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$ (facteur d'amortissement). L'équation caractéristique devient $r^2 + 2\xi\omega_0 r + \omega_0^2 = 0$. > > 1. **Sous-amorti** ($\Delta < 0 \iff c^2 < 4mk \iff \xi < 1$) : > Les racines sont complexes conjuguées : $r = -\xi\omega_0 \pm i\omega_0\sqrt{1-\xi^2}$. > La solution est $x(t) = e^{-\xi\omega_0 t} (C_1 \cos(\omega_d t) + C_2 \sin(\omega_d t))$, où $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}$ est la pulsation amortie. > **Interprétation** : Oscillations amorties dont l'amplitude diminue exponentiellement. C'est le cas le plus courant pour les systèmes réels. > > 2. **Amortissement critique** ($\Delta = 0 \iff c^2 = 4mk \iff \xi = 1$) : > Une racine réelle double : $r = -\frac{c}{2m} = -\omega_0$. > La solution est $x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\omega_0 t}$. > **Interprétation** : Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. C'est souvent souhaité dans des applications comme les amortisseurs de porte ou de voiture. > > 3. **Sur-amorti** ($\Delta > 0 \iff c^2 > 4mk \iff \xi > 1$) : > Deux racines réelles distinctes et négatives : $r_1, r_2 = -\xi\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\xi^2-1}$. > La solution est $x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$. > **Interprétation** : Le système revient à l'équilibre sans osciller, mais plus lentement que dans le cas critique. > [!note] Le rôle de l'amortissement > L'amortissement est crucial pour la stabilité des systèmes. Sans amortissement, les oscillations peuvent persister indéfiniment. Un amortissement bien choisi permet de ramener un système à l'équilibre de manière contrôlée. Le cas critique représente la limite entre le comportement oscillatoire et non oscillatoire. #### 2.1.3. L'Oscillateur Forcé Si une force extérieure $F(t)$ agit sur le système masse-ressort amorti, l'équation devient non homogène : $ m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = F(t) $ Supposons une force sinusoïdale $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$, où $F_0$ est l'amplitude et $\omega$ est la pulsation de la force excitatrice. $ m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = F_0 \cos(\omega t) $ La solution générale est $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$. * $x_h(t)$ est la solution de l'oscillateur amorti (régime transitoire), qui s'éteint avec le temps si $c > 0$. * $x_p(t)$ est la solution particulière (régime permanent) et décrit la réponse du système à la force excitatrice. On cherche $x_p(t)$ sous la forme $A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ ou $A_p \cos(\omega t + \phi_p)$. > [!theorem] Résonance > Si le système est peu amorti et que la pulsation de la force excitatrice $\omega$ est proche de la pulsation propre non amortie $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, l'amplitude des oscillations en régime permanent peut devenir très grande. Ce phénomène est appelé **résonance**. > > L'amplitude maximale se produit généralement lorsque $\omega = \omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2\xi^2}$ (pour $\xi < 1/\sqrt{2}$). > > En l'absence totale d'amortissement ($c=0$), si $\omega = \omega_0$, l'amplitude théorique devient infinie. Dans ce cas, la solution particulière doit être recherchée sous la forme $t(A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t))$. > [!warning] Dangers de la Résonance > La résonance peut être destructive en ingénierie. Des ponts s'effondrent, des structures vibrent excessivement, des machines s'autodétruisent si leurs fréquences propres sont excitées par des forces externes (vents, séismes, déséquilibres mécaniques). La conception doit toujours prendre en compte l'amortissement et éviter les fréquences de résonance. ### 2.2. Circuits Électriques RLC Les circuits RLC série sont les analogues électriques des systèmes masse-ressort. Ils sont composés d'une résistance $R$, d'une inductance $L$ et d'un condensateur $C$. > [!definition] Lois de Kirchhoff et Composants > - **Loi des mailles de Kirchhoff** : La somme des tensions aux bornes des composants dans une maille fermée est nulle. > - **Tension aux bornes des composants** : > - Résistance $R$: $V_R = R i(t)$ > - Inductance $L$: $V_L = L \frac{di}{dt}$ > - Condensateur $C$: $V_C = \frac{1}{C} q(t)$ (où $q(t)$ est la charge et $i(t) = \frac{dq}{dt}$ est le courant) Considérons un circuit RLC série alimenté par une source de tension $E(t)$. La loi des mailles donne : $ V_R + V_L + V_C = E(t) $ En remplaçant les tensions par leurs expressions et en utilisant $i(t) = \frac{dq}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$ : $ R \frac{dq}{dt} + L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C} q(t) = E(t) $ En réarrangeant, nous obtenons une EDO d'ordre 2 pour la charge $q(t)$ : $ L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q(t) = E(t) $ > [!tip] Analogie Mécanique-Électrique > Cette équation est structurellement identique à celle de l'oscillateur masse-ressort amorti forcé. Cette analogie est très utile pour transférer les connaissances d'un domaine à l'autre. > > | Grandeur Mécanique | Grandeur Électrique | > | :---------------- | :------------------ | > | Masse $m$ | Inductance $L$ | > | Amortissement $c$ | Résistance $R$ | > | Raideur $k$ | Inverse de capacité $1/C$ | > | Position $x(t)$ | Charge $q(t)$ | > | Vitesse $x'(t)$ | Courant $i(t)$ | > | Force $F(t)$ | Tension $E(t)$ | #### 2.2.1. Régime Libre (Oscillations Naturelles) Si $E(t) = 0$ (circuit non alimenté, par exemple après la décharge d'un condensateur), l'équation est homogène : $ L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = 0 $ L'équation caractéristique est $L r^2 + R r + \frac{1}{C} = 0$. Comme pour l'oscillateur mécanique, le comportement dépend du discriminant $R^2 - 4L/C$. * **Sous-amorti** ($R^2 < 4L/C$) : Oscillations électriques amorties (courant alternatif amorti). * **Amortissement critique** ($R^2 = 4L/C$) : Retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation. * **Sur-amorti** ($R^2 > 4L/C$) : Retour lent à l'équilibre sans oscillation. #### 2.2.2. Régime Forcé (Alimentation par une Tension Alternative) Si $E(t) = E_0 \cos(\omega t)$ (source de tension alternative), l'équation est : $ L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = E_0 \cos(\omega t) $ La solution $q(t)$ (et donc $i(t) = q'(t)$) sera la somme d'un régime transitoire (qui s'éteint) et d'un régime permanent oscillatoire à la fréquence de la source. Le phénomène de **résonance** existe aussi en électricité : si la fréquence de la source est proche de la fréquence propre du circuit ($\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$), l'amplitude du courant ou de la tension aux bornes des composants peut devenir très grande. C'est le principe des tuners radio, qui utilisent la résonance pour sélectionner une fréquence spécifique. ### 2.3. Transfert de Chaleur (Thermodynamique) Les EDO d'ordre 2 peuvent également décrire des phénomènes de transfert de chaleur en régime stationnaire dans des géométries simples. > [!example] Distribution de Température dans une Ailette > Une ailette est une extension de surface conçue pour augmenter le transfert de chaleur par convection. Considérons une ailette de section constante $A$ et de périmètre $P$, en contact avec un fluide à température $T_\infty$. La base de l'ailette est à température $T_b$. > > En supposant un transfert de chaleur unidimensionnel le long de l'ailette (axe $x$) et une convection avec un coefficient $h$, l'équation de conservation de l'énergie pour un élément différentiel de l'ailette conduit à : > $ k A \frac{d^2T}{dx^2} - h P (T - T_\infty) = 0 $ > où $k$ est la conductivité thermique du matériau de l'ailette. > > Posons $\theta(x) = T(x) - T_\infty$. Alors $\frac{d\theta}{dx} = \frac{dT}{dx}$ et $\frac{d^2\theta}{dx^2} = \frac{d^2T}{dx^2}$. > L'équation devient : > $ k A \frac{d^2\theta}{dx^2} - h P \theta(x) = 0 $ > $ \frac{d^2\theta}{dx^2} - \frac{h P}{k A} \theta(x) = 0 $ > Posons $m^2 = \frac{h P}{k A}$. L'EDO homogène est : > $ \theta''(x) - m^2 \theta(x) = 0 $ > L'équation caractéristique est $r^2 - m^2 = 0$, avec les racines $r = \pm m$. > La solution générale est : > $ \theta(x) = C_1 e^{mx} + C_2 e^{-mx} $ > ou, de manière équivalente, en termes de fonctions hyperboliques : > $ \theta(x) = C_1' \cosh(mx) + C_2' \sinh(mx) $ > > Les constantes $C_1, C_2$ (ou $C_1', C_2'$) sont déterminées par les conditions aux limites. Par exemple : > 1. À la base de l'ailette ($x=0$) : $T(0) = T_b \implies \theta(0) = T_b - T_\infty$. > 2. À l'extrémité de l'ailette ($x=L$) : différentes conditions sont possibles (extrémité isolée, convection à l'extrémité, ailette infiniment longue). > - Pour une ailette infiniment longue, $T(x) \to T_\infty$ quand $x \to \infty$, donc $\theta(x) \to 0$. Cela implique $C_1 = 0$ car $e^{mx}$ tend vers l'infini. > - La solution est alors $\theta(x) = C_2 e^{-mx}$. Avec $\theta(0) = T_b - T_\infty$, on a $C_2 = T_b - T_\infty$. > - D'où $T(x) = T_\infty + (T_b - T_\infty) e^{-mx}$. Cette solution montre une décroissance exponentielle de la température le long de l'ailette. > [!note] Croissance et Décroissance Exponentielle > Bien que les EDO d'ordre 2 soient souvent associées aux oscillations, elles peuvent aussi décrire des croissances ou décroissances exponentielles (comme dans l'exemple de l'ailette) lorsque les racines de l'équation caractéristique sont réelles. Cela rappelle les phénomènes de croissance/décroissance vus avec les EDO d'ordre 1, mais ici la "vitesse de croissance" elle-même est soumise à une dynamique. ### 2.4. Autres Domaines Les EDO d'ordre 2 apparaissent également dans d'autres domaines : * **Mécanique des fluides** : Des modèles simplifiés de mouvement de fluides visqueux ou de vagues peuvent conduire à des EDO d'ordre 2, notamment en considérant des amortissements. * **Biologie et Écologie** : Bien que de nombreux modèles soient des systèmes d'EDO d'ordre 1 (comme Lotka-Volterra), des modèles de population avec des effets de retard ou des rétroactions complexes peuvent parfois être simplifiés ou approchés par des EDO d'ordre 2 pour décrire des oscillations de population. ## 3. Méthodologie de Résolution des Problèmes Appliqués Pour aborder efficacement un problème d'ingénierie impliquant des EDO d'ordre 2, une approche structurée est essentielle. > [!note] Étapes Clés de la Résolution > 1. **Comprendre le Système Physique** : > * Identifier les grandeurs physiques en jeu (masse, raideur, résistance, inductance, température, etc.). > * Déterminer les forces ou les tensions agissant sur le système. > * Préciser les conditions initiales ou aux limites. > 2. **Modélisation Mathématique (Formulation de l'EDO)** : > * Appliquer les lois physiques pertinentes (Seconde Loi de Newton, Lois de Kirchhoff, conservation de l'énergie, etc.). > * Définir la variable dépendante (par exemple, position $x(t)$, charge $q(t)$, température $T(x)$) et la variable indépendante (temps $t$, position $x$). > * Écrire l'équation différentielle d'ordre 2 qui décrit le comportement du système. > 3. **Résolution Mathématique de l'EDO** : > * Résoudre l'équation homogène associée pour obtenir $y_h$. > * Déterminer une solution particulière $y_p$ si l'équation est non homogène. > * Former la solution générale $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$. > 4. **Application des Conditions Initiales/Aux Limites** : > * Utiliser les conditions données pour trouver les constantes arbitraires ($C_1, C_2$). > 5. **Interprétation Physique de la Solution** : > * Analyser la forme de la solution (oscillations, amortissement, croissance/décroissance, régime transitoire, régime permanent). > * Vérifier si la solution a un sens physique et si elle répond aux questions posées par le problème. > * Discuter des implications des paramètres du système (par exemple, l'impact de l'amortissement sur la stabilité). ## Conclusion Ce chapitre a mis en lumière la richesse et la polyvalence des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants dans la modélisation de phénomènes fondamentaux en physique et en ingénierie. Des oscillations mécaniques aux circuits électriques, en passant par le transfert de chaleur, ces outils mathématiques sont essentiels pour comprendre, analyser et concevoir des systèmes dynamiques. Vous avez vu que la forme de la solution, qu'elle soit oscillatoire, exponentielle ou amortie, est directement liée aux propriétés physiques du système (masse, raideur, résistance, etc.) et aux forces ou sources d'énergie qui lui sont appliquées. La capacité à interpréter ces solutions est tout aussi importante que la capacité à les calculer. Les concepts abordés ici sont la pierre angulaire de domaines plus avancés tels que l'analyse vibratoire, le contrôle des systèmes, l'électronique de puissance et la thermique avancée. Ils vous serviront de base solide pour aborder des problèmes plus complexes, impliquant des systèmes d'équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles, qui seront explorés dans des cours ultérieurs. Il est maintenant temps de consolider ces connaissances par la pratique. Les exercices qui suivent vous permettront d'appliquer cette méthodologie et de développer votre intuition physique et mathématique. N'hésitez pas à revenir sur les rappels théoriques et les exemples pour affiner votre compréhension. Bon courage ! # ➡️ C'est la fin Conclusion... --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Équations Différentielles Appliquées]] - Prochain cours: [[Exercices - Équations Différentielles Appliquées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Équations Différentielles Appliquées]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `08-Semptembre-2025`