# ▷ Exos > Page d'accueil de la compétence: [[Équations Différentielles Appliquées]] >[!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Équations Différentielles Appliquées]] Bonjour à toutes et à tous, chers étudiants en école d'ingénieurs, Je suis votre professeur de Mathématiques et je vous propose aujourd'hui une série d'exercices corrigés sur les **Équations Différentielles Appliquées**. Ces exercices sont conçus pour renforcer votre compréhension et votre maîtrise des applications concrètes des équations différentielles d'ordre 1 et 2, des outils fondamentaux pour l'ingénieur. --- # Exercices et Corrigés : Équations Différentielles Appliquées > [!note] Objectifs d'apprentissage > À l'issue de cette séance d'exercices, vous devriez être capable de : > - **Modéliser** des phénomènes physiques simples à l'aide d'équations différentielles d'ordre 1 ou 2. > - **Résoudre** ces équations en utilisant les méthodes vues en cours (variables séparables, linéaire d'ordre 1, homogène/particulière pour l'ordre 2). > - **Interpréter** les solutions dans le contexte physique du problème. > - **Analyser** le comportement à long terme des systèmes modélisés. # 1. Exercices ## Exercice 1 : Refroidissement d'un corps (EDO d'ordre 1) Un corps est retiré d'un four à une température de $120^\circ C$ et placé dans une pièce où la température ambiante est maintenue à $20^\circ C$. Après 10 minutes, la température du corps est de $80^\circ C$. > [!theorem] Loi de Newton sur le refroidissement > La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre sa propre température et celle du milieu ambiant. 1. **Établir l'équation différentielle** modélisant la température $T(t)$ du corps en fonction du temps $t$ (en minutes). 2. **Déterminer l'expression de $T(t)$**. 3. **Calculer la température du corps** après 20 minutes. 4. **Déterminer le temps nécessaire** pour que la température du corps atteigne $30^\circ C$. ## Exercice 2 : Problème de mélange (EDO d'ordre 1) Un réservoir contient initialement $V_0 = 100$ litres d'eau pure. À l'instant $t=0$, une solution saline contenant $0.5$ kg de sel par litre est versée dans le réservoir à un débit de $r_{in} = 5$ L/min. Le mélange, maintenu homogène par agitation, est simultanément évacué du réservoir au même débit de $r_{out} = 5$ L/min. 1. **Établir l'équation différentielle** modélisant la quantité de sel $Q(t)$ (en kg) dans le réservoir à l'instant $t$ (en minutes). 2. **Résoudre cette équation différentielle** pour trouver $Q(t)$. 3. **Déterminer la quantité de sel** dans le réservoir après 30 minutes. 4. **Quelle est la quantité de sel** dans le réservoir lorsque $t \to \infty$ ? Interpréter ce résultat. ## Exercice 3 : Croissance de population avec immigration (EDO d'ordre 1) Une population de bactéries croît à un taux proportionnel à sa taille actuelle. Le taux de croissance intrinsèque est de $0.02$ par heure. De plus, $100$ bactéries sont introduites dans la colonie chaque heure. Initialement, la population est de $P_0 = 1000$ bactéries. 1. **Formuler l'équation différentielle** décrivant l'évolution de la population $P(t)$ en fonction du temps $t$ (en heures). 2. **Résoudre cette équation différentielle** pour obtenir $P(t)$. 3. **Calculer la taille de la population** après 5 heures. 4. **Analyser le comportement à long terme** de la population. ## Exercice 4 : Système Masse-Ressort (EDO d'ordre 2) Un système masse-ressort est constitué d'une masse $m=1$ kg attachée à un ressort de constante de raideur $k=9$ N/m. Le système est déplacé de $x_0=0.1$ m par rapport à sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale. 1. **Cas non amorti :** a. **Établir l'équation différentielle** du mouvement $x(t)$ (en mètres). b. **Résoudre cette équation** et déterminer $x(t)$. c. **Calculer la fréquence propre** du système. 2. **Cas amorti :** On ajoute un amortisseur qui exerce une force proportionnelle à la vitesse, avec un coefficient d'amortissement $c=2$ N.s/m. a. **Établir la nouvelle équation différentielle** du mouvement. b. **Déterminer la nature de l'amortissement** (sous-amorti, critique, sur-amorti). c. **Résoudre cette équation** et déterminer $x(t)$. d. **Analyser le comportement à long terme** du système. ## Exercice 5 : Circuit RLC Série (EDO d'ordre 2) Considérons un circuit RLC série composé d'une résistance $R=100 \, \Omega$, une inductance $L=0.1 \, H$ et un condensateur $C=100 \, \mu F$. Le circuit est alimenté par une source de tension $E(t)$. Initialement, le condensateur est déchargé et le courant est nul. > [!theorem] Loi des mailles de Kirchhoff > La somme algébrique des tensions dans une maille fermée est nulle. 1. **Cas d'alimentation continue :** $E(t) = 12 \, V$ pour $t \ge 0$. a. **Établir l'équation différentielle** régissant la charge $q(t)$ du condensateur. b. **Résoudre cette équation** pour trouver $q(t)$. c. **Déterminer le courant $i(t)$** dans le circuit. d. **Quelle est la charge et le courant** en régime permanent ($t \to \infty$) ? 2. **Cas d'alimentation sinusoïdale :** $E(t) = 10 \cos(100t) \, V$ pour $t \ge 0$. a. **Établir l'équation différentielle** régissant la charge $q(t)$ du condensateur. b. **Déterminer la charge $q_{sp}(t)$ et le courant $i_{sp}(t)$** en régime sinusoïdal permanent (solution particulière). --- # 2. Corrigés Détaillés ## Correction de l'Exercice 1 : Refroidissement d'un corps 1. **Établir l'équation différentielle** > [!definition] Variables et Constantes > - $T(t)$ : Température du corps à l'instant $t$ (en $^\circ C$). > - $T_a = 20^\circ C$ : Température ambiante. > - $k$ : Constante de proportionnalité positive (taux de refroidissement). > - $t$ : Temps (en minutes). > [!theorem] Application de la Loi de Newton > La vitesse de refroidissement est la dérivée de la température par rapport au temps, $dT/dt$. La loi de Newton stipule que cette vitesse est proportionnelle à la différence de température $(T - T_a)$. Comme il s'agit d'un refroidissement, la constante de proportionnalité $k$ doit être négative si on écrit $dT/dt = k(T - T_a)$, ou positive si on écrit $dT/dt = -k(T - T_a)$. Nous choisissons la seconde forme pour avoir $k > 0$. $ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_a) $ Avec $T_a = 20^\circ C$, l'équation devient : $ \frac{dT}{dt} = -k(T - 20) $ > [!note] Conditions initiales > - À $t=0$, $T(0) = 120^\circ C$. > - À $t=10$, $T(10) = 80^\circ C$. 2. **Déterminer l'expression de $T(t)$** Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à variables séparables. $ \frac{dT}{T - 20} = -k \, dt $ > [!tip] Intégration > On intègre les deux côtés de l'équation : $ \int \frac{dT}{T - 20} = \int -k \, dt $ $ \ln|T - 20| = -kt + C_1 $ Où $C_1$ est une constante d'intégration. Exponentions les deux côtés : $ |T - 20| = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt} $ Soit $T - 20 = A e^{-kt}$, où $A = \pm e^{C_1}$ est une nouvelle constante. $ T(t) = 20 + A e^{-kt} $ > [!example] Utilisation des conditions initiales > - **Condition initiale $T(0) = 120^\circ C$ :** > $120 = 20 + A e^{-k \cdot 0} \implies 120 = 20 + A \implies A = 100$. > L'expression devient : > $ T(t) = 20 + 100 e^{-kt} $ > - **Condition $T(10) = 80^\circ C$ :** > $80 = 20 + 100 e^{-k \cdot 10}$ > $60 = 100 e^{-10k}$ > $0.6 = e^{-10k}$ > $\ln(0.6) = -10k$ > $k = -\frac{\ln(0.6)}{10} \approx 0.051$ min$^{-1}$. L'expression finale de la température est : $ T(t) = 20 + 100 e^{-0.051t} $ 3. **Calculer la température du corps après 20 minutes** On substitue $t=20$ dans l'expression de $T(t)$ : $ T(20) = 20 + 100 e^{-0.051 \cdot 20} $ $ T(20) = 20 + 100 e^{-1.02} $ $ T(20) \approx 20 + 100 \cdot 0.3606 \approx 20 + 36.06 \approx 56.06^\circ C $ Après 20 minutes, la température du corps est d'environ $56.06^\circ C$. 4. **Déterminer le temps nécessaire pour que la température du corps atteigne $30^\circ C$** On cherche $t$ tel que $T(t) = 30^\circ C$ : $ 30 = 20 + 100 e^{-0.051t} $ $ 10 = 100 e^{-0.051t} $ $ 0.1 = e^{-0.051t} $ $ \ln(0.1) = -0.051t $ $ t = \frac{\ln(0.1)}{-0.051} = \frac{-2.3025}{-0.051} \approx 45.15 \text{ minutes} $ Il faut environ 45.15 minutes pour que la température du corps atteigne $30^\circ C$. > [!note] Comportement asymptotique > Lorsque $t \to \infty$, $e^{-0.051t} \to 0$, donc $T(t) \to 20^\circ C$. C'est logique, le corps atteint la température ambiante. ## Correction de l'Exercice 2 : Problème de mélange 1. **Établir l'équation différentielle** > [!definition] Variables et Débits > - $Q(t)$ : Quantité de sel (en kg) dans le réservoir à l'instant $t$. > - $V_0 = 100$ L : Volume constant du réservoir (car $r_{in} = r_{out}$). > - $r_{in} = 5$ L/min : Débit d'entrée. > - $C_{in} = 0.5$ kg/L : Concentration de sel dans la solution entrante. > - $r_{out} = 5$ L/min : Débit de sortie. > - $C_{out}(t) = Q(t)/V_0$ : Concentration de sel dans la solution sortante. Le taux de variation de la quantité de sel dans le réservoir est donné par : $ \frac{dQ}{dt} = \text{Taux d'entrée de sel} - \text{Taux de sortie de sel} $ Le taux d'entrée de sel est $C_{in} \cdot r_{in} = 0.5 \text{ kg/L} \cdot 5 \text{ L/min} = 2.5 \text{ kg/min}$. Le taux de sortie de sel est $C_{out}(t) \cdot r_{out} = \frac{Q(t)}{V_0} \cdot r_{out} = \frac{Q(t)}{100} \cdot 5 = \frac{Q(t)}{20} \text{ kg/min}$. L'équation différentielle est donc : $ \frac{dQ}{dt} = 2.5 - \frac{Q(t)}{20} $ > [!note] Condition initiale > Le réservoir contient initialement de l'eau pure, donc $Q(0) = 0$ kg. 2. **Résoudre cette équation différentielle** Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $Q'(t) + a Q(t) = b$. $ \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{20} Q(t) = 2.5 $ > [!tip] Méthode de résolution > On peut la résoudre par la méthode du facteur intégrant ou en cherchant une solution homogène et une solution particulière. > **1. Solution homogène ($Q_h(t)$) :** > $ \frac{dQ_h}{dt} + \frac{1}{20} Q_h = 0 \implies \frac{dQ_h}{Q_h} = -\frac{1}{20} dt $ > $ \ln|Q_h| = -\frac{1}{20} t + C_1 \implies Q_h(t) = A e^{-t/20} $ > **2. Solution particulière ($Q_p(t)$) :** > Puisque le second membre est une constante ($2.5$), on cherche une solution particulière constante $Q_p(t) = C$. > $0 + \frac{1}{20} C = 2.5 \implies C = 2.5 \cdot 20 = 50$. > Donc $Q_p(t) = 50$. > **3. Solution générale :** > $Q(t) = Q_h(t) + Q_p(t) = A e^{-t/20} + 50$. > **4. Utilisation de la condition initiale $Q(0)=0$ :** > $0 = A e^0 + 50 \implies A = -50$. L'expression de la quantité de sel est : $ Q(t) = 50 - 50 e^{-t/20} $ 3. **Déterminer la quantité de sel après 30 minutes** On substitue $t=30$ dans l'expression de $Q(t)$ : $ Q(30) = 50 - 50 e^{-30/20} = 50 - 50 e^{-1.5} $ $ Q(30) \approx 50 - 50 \cdot 0.2231 \approx 50 - 11.155 \approx 38.845 \text{ kg} $ Après 30 minutes, il y a environ $38.845$ kg de sel dans le réservoir. 4. **Quantité de sel lorsque $t \to \infty$** Lorsque $t \to \infty$, le terme $e^{-t/20} \to 0$. $ \lim_{t \to \infty} Q(t) = \lim_{t \to \infty} (50 - 50 e^{-t/20}) = 50 - 0 = 50 \text{ kg} $ > [!note] Interprétation physique > En régime permanent, la quantité de sel dans le réservoir atteint $50$ kg. Cela correspond à une concentration de $50 \text{ kg} / 100 \text{ L} = 0.5 \text{ kg/L}$, qui est exactement la concentration de la solution entrante. Le système atteint un équilibre où le sel entre et sort à la même vitesse. ## Correction de l'Exercice 3 : Croissance de population avec immigration 1. **Formuler l'équation différentielle** > [!definition] Variables et Paramètres > - $P(t)$ : Taille de la population à l'instant $t$. > - $r = 0.02$ h$^{-1}$ : Taux de croissance intrinsèque. > - $I = 100$ bactéries/h : Taux d'immigration constant. > - $P_0 = 1000$ bactéries : Population initiale. Le taux de variation de la population est la somme de la croissance proportionnelle et de l'immigration : $ \frac{dP}{dt} = rP + I $ Avec les valeurs données : $ \frac{dP}{dt} = 0.02 P + 100 $ > [!note] Condition initiale > $P(0) = 1000$. 2. **Résoudre cette équation différentielle** C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre, $P'(t) - r P(t) = I$. > [!tip] Résolution > **1. Solution homogène ($P_h(t)$) :** > $ \frac{dP_h}{dt} = 0.02 P_h \implies \frac{dP_h}{P_h} = 0.02 dt $ > $ \ln|P_h| = 0.02t + C_1 \implies P_h(t) = A e^{0.02t} $ > **2. Solution particulière ($P_p(t)$) :** > On cherche une solution particulière constante $P_p(t) = C$. > $0 = 0.02 C + 100 \implies 0.02 C = -100 \implies C = -100 / 0.02 = -5000$. > Donc $P_p(t) = -5000$. > **3. Solution générale :** > $P(t) = P_h(t) + P_p(t) = A e^{0.02t} - 5000$. > **4. Utilisation de la condition initiale $P(0)=1000$ :** > $1000 = A e^0 - 5000 \implies 1000 = A - 5000 \implies A = 6000$. L'expression de la population est : $ P(t) = 6000 e^{0.02t} - 5000 $ 3. **Calculer la taille de la population après 5 heures** On substitue $t=5$ dans l'expression de $P(t)$ : $ P(5) = 6000 e^{0.02 \cdot 5} - 5000 $ $ P(5) = 6000 e^{0.1} - 5000 $ $ P(5) \approx 6000 \cdot 1.10517 - 5000 \approx 6631.02 - 5000 \approx 1631.02 $ Après 5 heures, la population est d'environ $1631$ bactéries. 4. **Analyser le comportement à long terme** Lorsque $t \to \infty$, le terme $e^{0.02t}$ tend vers l'infini. $ \lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} (6000 e^{0.02t} - 5000) = \infty $ > [!warning] Interprétation > Dans ce modèle, la population croît de manière exponentielle et illimitée à long terme. C'est un modèle de Malthus modifié par une immigration constante. En réalité, des facteurs limitants (ressources, espace) finiraient par freiner cette croissance. Ce modèle est donc valide sur des périodes de temps limitées ou pour des populations très petites par rapport à leur environnement. ## Correction de l'Exercice 4 : Système Masse-Ressort 1. **Cas non amorti :** a. **Établir l'équation différentielle** > [!definition] Forces en jeu > - Force de rappel du ressort (Loi de Hooke) : $F_r = -kx$. > - Force d'inertie (2ème Loi de Newton) : $F_i = m \frac{d^2x}{dt^2} = mx''$. En l'absence d'amortissement et de force extérieure, la somme des forces est nulle : $ m x'' + k x = 0 $ Avec $m=1$ kg et $k=9$ N/m : $ x'' + 9x = 0 $ > [!note] Conditions initiales > - Position initiale : $x(0) = 0.1$ m. > - Vitesse initiale : $x'(0) = 0$ m/s (lâché sans vitesse initiale). b. **Résoudre cette équation et déterminer $x(t)$** L'équation caractéristique est $r^2 + 9 = 0$, qui a pour racines $r = \pm 3i$. > [!theorem] Solution générale pour racines complexes > Pour une équation caractéristique $r^2 + \omega_0^2 = 0$ avec racines $\pm i\omega_0$, la solution générale est $x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$. Ici, $\omega_0 = 3$. Donc la solution générale est : $ x(t) = C_1 \cos(3t) + C_2 \sin(3t) $ Calculons la dérivée pour utiliser la condition sur la vitesse : $ x'(t) = -3C_1 \sin(3t) + 3C_2 \cos(3t) $ > [!example] Utilisation des conditions initiales > - **$x(0) = 0.1$ :** > $0.1 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \implies 0.1 = C_1$. > - **$x'(0) = 0$ :** > $0 = -3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0) \implies 0 = 3C_2 \implies C_2 = 0$. La solution particulière est : $ x(t) = 0.1 \cos(3t) $ c. **Calculer la fréquence propre** La pulsation propre non amortie est $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{9/1} = 3$ rad/s. La fréquence propre $f_0$ est liée à la pulsation par $\omega_0 = 2\pi f_0$. $ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{3}{2\pi} \approx 0.477 \text{ Hz} $ 2. **Cas amorti :** a. **Établir la nouvelle équation différentielle** > [!definition] Force d'amortissement > La force d'amortissement est $F_a = -c x'$, où $c$ est le coefficient d'amortissement. En ajoutant la force d'amortissement, la 2ème Loi de Newton devient : $ m x'' + c x' + k x = 0 $ Avec $m=1$, $c=2$, $k=9$ : $ x'' + 2x' + 9x = 0 $ > [!note] Conditions initiales (inchangées) > - $x(0) = 0.1$ m. > - $x'(0) = 0$ m/s. b. **Déterminer la nature de l'amortissement** L'équation caractéristique est $r^2 + 2r + 9 = 0$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$. > [!theorem] Nature de l'amortissement > - Si $\Delta > 0$ : Amortissement sur-critique (deux racines réelles distinctes). > - Si $\Delta = 0$ : Amortissement critique (une racine réelle double). > - Si $\Delta < 0$ : Amortissement sous-critique (deux racines complexes conjuguées). Puisque $\Delta = -32 < 0$, le système est **sous-amorti**. Cela signifie qu'il y aura des oscillations amorties. c. **Résoudre cette équation et déterminer $x(t)$** Les racines de l'équation caractéristique sont : $ r = \frac{-2 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{-2 \pm i\sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm i 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i 2\sqrt{2} $ Soit $r = \alpha \pm i\beta$, avec $\alpha = -1$ et $\beta = 2\sqrt{2}$. > [!theorem] Solution générale pour racines complexes (cas amorti) > La solution générale est $x(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))$. $ x(t) = e^{-t} (C_1 \cos(2\sqrt{2}t) + C_2 \sin(2\sqrt{2}t)) $ Calculons la dérivée : $ x'(t) = -e^{-t} (C_1 \cos(2\sqrt{2}t) + C_2 \sin(2\sqrt{2}t)) + e^{-t} (-2\sqrt{2}C_1 \sin(2\sqrt{2}t) + 2\sqrt{2}C_2 \cos(2\sqrt{2}t)) $ > [!example] Utilisation des conditions initiales > - **$x(0) = 0.1$ :** > $0.1 = e^0 (C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) \implies 0.1 = C_1$. > - **$x'(0) = 0$ :** > $0 = -e^0 (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) + e^0 (-2\sqrt{2}C_1 \cdot 0 + 2\sqrt{2}C_2 \cdot 1)$ > $0 = -C_1 + 2\sqrt{2}C_2$. > Avec $C_1 = 0.1$ : $0 = -0.1 + 2\sqrt{2}C_2 \implies C_2 = \frac{0.1}{2\sqrt{2}} = \frac{0.1\sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{40}$. La solution particulière est : $ x(t) = e^{-t} \left( 0.1 \cos(2\sqrt{2}t) + \frac{\sqrt{2}}{40} \sin(2\sqrt{2}t) \right) $ d. **Analyser le comportement à long terme** Lorsque $t \to \infty$, le terme $e^{-t}$ tend vers $0$. $ \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} e^{-t} \left( 0.1 \cos(2\sqrt{2}t) + \frac{\sqrt{2}}{40} \sin(2\sqrt{2}t) \right) = 0 $ > [!note] Interprétation physique > Le système sous-amorti oscille avec une amplitude qui diminue exponentiellement au cours du temps. Finalement, la masse revient à sa position d'équilibre ($x=0$). C'est le comportement typique d'un oscillateur amorti. ## Correction de l'Exercice 5 : Circuit RLC Série 1. **Cas d'alimentation continue :** $E(t) = 12 \, V$. a. **Établir l'équation différentielle** > [!definition] Lois des composants > - Tension aux bornes de la résistance : $U_R = R i(t) = R \frac{dq}{dt}$. > - Tension aux bornes de l'inductance : $U_L = L \frac{di}{dt} = L \frac{d^2q}{dt^2}$. > - Tension aux bornes du condensateur : $U_C = \frac{1}{C} q(t)$. En appliquant la loi des mailles de Kirchhoff : $ U_R + U_L + U_C = E(t) $ $ L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q(t) = E(t) $ Avec $L=0.1 \, H$, $R=100 \, \Omega$, $C=100 \, \mu F = 100 \cdot 10^{-6} \, F = 10^{-4} \, F$, et $E(t) = 12 \, V$ : $ 0.1 q'' + 100 q' + \frac{1}{10^{-4}} q = 12 $ $ 0.1 q'' + 100 q' + 10000 q = 12 $ Pour simplifier, on peut diviser par $0.1$ : $ q'' + 1000 q' + 100000 q = 120 $ > [!note] Conditions initiales > - Condensateur déchargé : $q(0) = 0$. > - Courant nul : $i(0) = q'(0) = 0$. b. **Résoudre cette équation pour trouver $q(t)$** L'équation caractéristique de l'équation homogène ($q'' + 1000 q' + 100000 q = 0$) est $r^2 + 1000r + 100000 = 0$. Calculons le discriminant : $\Delta = 1000^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100000 = 1000000 - 400000 = 600000$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes (système sur-amorti ou amortissement critique si c'était un cas limite). $ r = \frac{-1000 \pm \sqrt{600000}}{2} = \frac{-1000 \pm 100\sqrt{60}}{2} = -500 \pm 50\sqrt{60} = -500 \pm 50 \cdot 2\sqrt{15} = -500 \pm 100\sqrt{15} $ $ r_1 \approx -500 - 100 \cdot 3.87 = -500 - 387 = -887 $ $ r_2 \approx -500 + 387 = -113 $ La solution homogène est $q_h(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$. Pour la solution particulière $q_p(t)$, puisque le second membre est une constante ($120$), on cherche une solution constante $q_p(t) = K$. $0 + 0 + 100000 K = 120 \implies K = \frac{120}{100000} = 0.0012$. La solution générale est $q(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} + 0.0012$. > [!example] Utilisation des conditions initiales > - **$q(0) = 0$ :** > $0 = C_1 + C_2 + 0.0012 \implies C_1 + C_2 = -0.0012$. (Éq. 1) > - **$q'(0) = 0$ :** > $q'(t) = r_1 C_1 e^{r_1 t} + r_2 C_2 e^{r_2 t}$. > $0 = r_1 C_1 + r_2 C_2$. (Éq. 2) > Résolvons le système : > De (Éq. 2), $C_1 = -\frac{r_2}{r_1} C_2$. > Substituons dans (Éq. 1) : $-\frac{r_2}{r_1} C_2 + C_2 = -0.0012 \implies C_2 \left(1 - \frac{r_2}{r_1}\right) = -0.0012$. > $C_2 \left(\frac{r_1 - r_2}{r_1}\right) = -0.0012 \implies C_2 = -0.0012 \frac{r_1}{r_1 - r_2}$. > $r_1 - r_2 = (-500 - 100\sqrt{15}) - (-500 + 100\sqrt{15}) = -200\sqrt{15}$. > $C_2 = -0.0012 \frac{-500 - 100\sqrt{15}}{-200\sqrt{15}} = 0.0012 \frac{5 + \sqrt{15}}{2\sqrt{15}} \approx 0.0012 \frac{5 + 3.873}{2 \cdot 3.873} \approx 0.00137$. > $C_1 = -0.0012 - C_2 \approx -0.0012 - 0.00137 = -0.00257$. $ q(t) \approx -0.00257 e^{-887t} + 0.00137 e^{-113t} + 0.0012 $ c. **Déterminer le courant $i(t)$** Le courant est la dérivée de la charge par rapport au temps : $i(t) = q'(t)$. $ i(t) = r_1 C_1 e^{r_1 t} + r_2 C_2 e^{r_2 t} $ $ i(t) \approx (-887)(-0.00257)e^{-887t} + (-113)(0.00137)e^{-113t} $ $ i(t) \approx 2.28 e^{-887t} - 0.155 e^{-113t} $ d. **Charge et courant en régime permanent ($t \to \infty$)** Lorsque $t \to \infty$, les termes exponentiels $e^{r_1 t}$ et $e^{r_2 t}$ tendent vers $0$ (car $r_1, r_2 < 0$). $ \lim_{t \to \infty} q(t) = 0.0012 \text{ C} $ $ \lim_{t \to \infty} i(t) = 0 \text{ A} $ > [!note] Interprétation physique > En régime permanent avec une source de tension continue, le condensateur agit comme un circuit ouvert (une fois chargé, il ne laisse plus passer le courant). Le courant devient nul, et le condensateur se charge à la tension de la source. > La charge finale est $Q_{fin} = C \cdot E = 10^{-4} F \cdot 12 V = 1.2 \cdot 10^{-3} C = 0.0012$ C. Ce résultat est cohérent avec la solution particulière. 2. **Cas d'alimentation sinusoïdale :** $E(t) = 10 \cos(100t) \, V$. a. **Établir l'équation différentielle** L'équation homogène reste la même que précédemment. Seul le second membre change. $ q'' + 1000 q' + 100000 q = \frac{10}{0.1} \cos(100t) = 100 \cos(100t) $ b. **Déterminer la charge $q_{sp}(t)$ et le courant $i_{sp}(t)$ en régime sinusoïdal permanent** > [!tip] Méthode des nombres complexes > Pour le régime sinusoïdal permanent, il est souvent plus efficace d'utiliser la méthode des nombres complexes. On remplace $E(t) = 10 \cos(100t)$ par $\tilde{E}(t) = 10 e^{j100t}$ et on cherche une solution particulière complexe $\tilde{q}_{sp}(t) = \tilde{Q} e^{j100t}$. La charge réelle sera $\text{Re}(\tilde{q}_{sp}(t))$. On remplace $q''$ par $(j\omega)^2 \tilde{Q}$, $q'$ par $j\omega \tilde{Q}$, et $q$ par $\tilde{Q}$, où $\omega = 100$ rad/s. $ (j\omega)^2 \tilde{Q} + 1000 (j\omega) \tilde{Q} + 100000 \tilde{Q} = 100 $ $ (-\omega^2 + j1000\omega + 100000) \tilde{Q} = 100 $ $ (-(100)^2 + j1000(100) + 100000) \tilde{Q} = 100 $ $ (-10000 + j100000 + 100000) \tilde{Q} = 100 $ $ (90000 + j100000) \tilde{Q} = 100 $ $ \tilde{Q} = \frac{100}{90000 + j100000} = \frac{1}{900 + j1000} $ Calculons le module et l'argument du dénominateur : $|900 + j1000| = \sqrt{900^2 + 1000^2} = \sqrt{810000 + 1000000} = \sqrt{1810000} \approx 1345.36$. $\arg(900 + j1000) = \arctan(1000/900) = \arctan(10/9) \approx 0.837$ rad (ou $48.01^\circ$). $ \tilde{Q} = \frac{1}{1345.36 e^{j0.837}} = \frac{1}{1345.36} e^{-j0.837} $ $ \tilde{q}_{sp}(t) = \frac{1}{1345.36} e^{-j0.837} e^{j100t} = \frac{1}{1345.36} e^{j(100t - 0.837)} $ La charge réelle en régime permanent est la partie réelle de $\tilde{q}_{sp}(t)$ : $ q_{sp}(t) = \text{Re} \left( \frac{1}{1345.36} (\cos(100t - 0.837) + j\sin(100t - 0.837)) \right) $ $ q_{sp}(t) \approx 7.43 \cdot 10^{-4} \cos(100t - 0.837) \text{ C} $ Le courant en régime permanent $i_{sp}(t)$ est la dérivée de $q_{sp}(t)$ : $ i_{sp}(t) = \frac{dq_{sp}}{dt} = -100 \cdot 7.43 \cdot 10^{-4} \sin(100t - 0.837) $ $ i_{sp}(t) \approx -0.0743 \sin(100t - 0.837) \text{ A} $ Ou en utilisant $\cos(x + \pi/2) = -\sin(x)$ : $ i_{sp}(t) \approx 0.0743 \cos(100t - 0.837 + \pi/2) \text{ A} $ $ i_{sp}(t) \approx 0.0743 \cos(100t - 0.837 + 1.5708) \approx 0.0743 \cos(100t + 0.7338) \text{ A} $ > [!warning] Régime transitoire vs. permanent > La solution complète $q(t)$ serait la somme de la solution homogène $q_h(t)$ (qui décrit le régime transitoire et s'amortit rapidement) et de la solution particulière $q_{sp}(t)$ (qui décrit le régime permanent). Pour un ingénieur, le régime permanent est souvent le plus intéressant après que les effets transitoires se soient dissipés. > [!note] Analogie Masse-Ressort > On peut noter la forte analogie entre le circuit RLC et le système masse-ressort amorti. > - Inductance $L \leftrightarrow$ Masse $m$ (inertie) > - Résistance $R \leftrightarrow$ Coefficient d'amortissement $c$ (dissipation d'énergie) > - Inverse de la Capacité $1/C \leftrightarrow$ Constante de raideur $k$ (force de rappel) > - Tension $E(t) \leftrightarrow$ Force extérieure $F(t)$ > - Charge $q(t) \leftrightarrow$ Position $x(t)$ > - Courant $i(t) \leftrightarrow$ Vitesse $v(t)$ > Cette analogie est très puissante pour comprendre le comportement de systèmes physiques différents. --- J'espère que ces exercices et leurs corrigés détaillés vous seront d'une grande aide pour maîtriser les équations différentielles appliquées. N'hésitez pas à refaire ces exercices et à chercher d'autres problèmes pour solidifier vos connaissances. La pratique est la clé en mathématiques pour l'ingénieur ! # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]