%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 2 - Équations et Inéquations\|Cours 2 - Équations et Inéquations →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Équations et Inéquations : Les fondamentaux > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Équations et Inéquations]] >[!tip] Tags > #Équations #Algèbre #PremierDegré #Résolution #Solution >[!example] Contenu de ce cours > - Identités remarquables > - Qu'est-ce qu'une équation ? > - Résolution d'une équation de premier ou de second degré > - Qu'est-ce qu'une inéquation ? > - Résolution d'une inéquation de premier ou de second degré # I- Les identités remarquables La maîtrise de quelques identités algébriques est essentielle pour simplifier les expressions, factoriser et résoudre efficacement de nombreuses équations et inéquations. > [!definition] Définition : Identités Remarquables > Les **identités remarquables** sont des égalités algébriques qui sont toujours vraies, quelles que soient les valeurs des variables. Elles sont particulièrement utiles pour développer des produits et factoriser des sommes. Voici les trois identités remarquables les plus courantes et leurs applications : ## Carré d'une somme $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ > [!example] Application : Développement > Développons $(x+3)^2$. > En utilisant l'identité avec $a=x$ et $b=3$: > $(x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$. > [!example] Application : Factorisation > Factorisons $4x^2 + 12x + 9$. > On remarque que $4x^2 = (2x)^2$ et $9 = 3^2$. De plus, $12x = 2(2x)(3)$. > On a donc la forme $a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$. > Ainsi, $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2$. ## Carré d'une différence $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ > [!example] Application : Développement > Développons $(2y-5)^2$. > En utilisant l'identité avec $a=2y$ et $b=5$: > $(2y-5)^2 = (2y)^2 - 2(2y)(5) + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25$. > [!example] Application : Factorisation > Factorisons $9x^2 - 30x + 25$. > On reconnaît $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$. Le terme du milieu est $-30x = -2(3x)(5)$. > On a donc la forme $a^2 - 2ab + b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$. > Ainsi, $9x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2$. ## Produit de la somme par la différence $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ Cette identité est extrêmement utile pour la factorisation et la simplification, surtout lorsqu'il s'agit de résoudre des équations où l'on peut ramener l'expression à un produit nul. > [!example] Application : Développement > Développons $(x-4)(x+4)$. > En utilisant l'identité avec $a=x$ et $b=4$: > $(x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$. > [!example] Application : Factorisation > Factorisons $x^2 - 49$. > On reconnaît $x^2$ et $49 = 7^2$. C'est une différence de carrés. > Donc, $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$. > [!note] Utilité des identités remarquables > * **Simplification :** Elles permettent de développer et de réduire des expressions plus rapidement. > * **Factorisation :** Elles sont un outil puissant pour factoriser des polynômes. > * **Résolution d'équations :** Certaines équations peuvent être résolues par factorisation directe si elles sont des identités remarquables. # II- Les équations ## A- Qu'est-ce qu'une Équation ? Une équation est une pierre angulaire des mathématiques. Elle exprime une égalité entre deux expressions mathématiques, où au moins l'une d'elles contient une ou plusieurs variables appelées **inconnues**. > [!definition] Définition : Équation > Une **équation** est une égalité de la forme $A(x) = B(x)$, où $A(x)$ et $B(x)$ sont des expressions mathématiques dépendant d'une ou plusieurs **inconnues** (souvent notées $x, y, z, \dots$). > > Les expressions $A(x)$ et $B(x)$ sont appelées les **membres** de l'équation (membre de gauche et membre de droite). L'objectif principal de la résolution d'une équation est de trouver toutes les valeurs des inconnues qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont appelées les **solutions** de l'équation. > [!note] L'ensemble des solutions > L'ensemble de toutes les valeurs des inconnues qui satisfont l'équation est appelé l'**ensemble des solutions** (ou simplement les solutions) de l'équation. Il est souvent noté $S$. > [!example] Exemple simple > Considérons l'équation simple : $2x + 3 = 7$. > Ici, $A(x) = 2x + 3$ est le membre de gauche et $B(x) = 7$ est le membre de droite. L'inconnue est $x$. > > $x = 2$ est une solution de cette équation. En effet, $2x+3=2\times2+3=7$. > ## B- Équations équivalentes Pour résoudre une équation, on la transforme souvent en une suite d'équations plus simples. Pour que ces transformations soient valides, il faut qu'elles produisent des **équations équivalentes**. > [!theorem] Équations équivalentes > Deux équations sont dites **équivalentes** si elles possèdent exactement le même ensemble de solutions. > > Les opérations suivantes transforment une équation en une équation équivalente : > 1. Ajouter ou soustraire la même quantité (nombre ou expression) aux deux membres de l'équation. > 2. Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par le même nombre **non nul**. > [!example] Exemples : > 1. L'équation $(E_1) : 3x+1=0$ est équivalente à l'équation $(E_2):3x=-1$ car $(E_1)$ peut être obtenue en ajoutant un $1$ sur l'équation $(E_2)$. > 2. L'équation $(E_1) : 2x+4=6$ est équivalente à l'équation $(E_2):x+2=3$ car $(E_1)$ peut être obtenue en multipliant $(E_2)$ par $2$ qui est une quantité non nulle. ## C- Types d'Équations Courantes ### C.1- Équations Linéaires (du premier degré) Ce sont les équations les plus simples, où l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1. > [!definition] Définition : Équation linéaire > Une **équation linéaire** (ou du premier degré) à une inconnue $x$ est une équation qui peut s'écrire sous la forme canonique : > $ ax + b = 0 $ > où $a$ et $b$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. #### Méthode de résolution La résolution d'une équation linéaire est directe : 1. Isoler le terme en $x$. 2. Diviser par le coefficient de $x$. * **Cas général : $a \neq 0$** $ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}$ L'équation admet une unique solution : $S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}$. * **Cas particuliers : $a = 0$** Si $a=0$, l'équation devient $0 \cdot x + b = 0$, soit $b = 0$. * Si $b \neq 0$ (par exemple, $0x + 5 = 0 \implies 5=0$), l'égalité est fausse. L'équation n'a **aucune solution**. $S = \emptyset$. * Si $b = 0$ (par exemple, $0x + 0 = 0 \implies 0=0$), l'égalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur de $x$. L'équation a une **infinité de solutions**. $S = \mathbb{R}$. > [!example] Exemple : > Résolvons l'équation $3(x-1) + 2x = 5x - 3$. > > 1. Développer et simplifier chaque membre : > $3x - 3 + 2x = 5x - 3$ > $5x - 3 = 5x - 3$ > > 2. Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre : > $5x - 5x = -3 + 3$ > $0x = 0$ > > 3. Interpréter le résultat : > Puisque $0=0$ est toujours vrai, l'équation est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$. > L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$. ### C.2 - Équations Quadratiques (du second degré) Les équations quadratiques sont d'une importance capitale en ingénierie, apparaissant dans de nombreux problèmes de physique, d'optimisation, et de géométrie (par exemple, trajectoires paraboliques, calculs d'aires, etc.). > [!definition] Définition : Équation quadratique > Une **équation quadratique** (ou du second degré) à une inconnue $x$ est une équation qui peut s'écrire sous la forme canonique : > $ ax^2 + bx + c = 0 $ > où $a, b, c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. #### Méthode de résolution : Le Discriminant ($\Delta$) La méthode la plus courante et la plus générale pour résoudre une équation quadratique est d'utiliser le **discriminant**, noté $\Delta$ (delta). > [!theorem] Le Discriminant ($\Delta$) > Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$, le discriminant est défini par : > $ \Delta = b^2 - 4ac $ > La nature et le nombre de solutions réelles dépendent du signe de $\Delta$: > > | Signe de $\Delta$ | Nombre de solutions réelles | Formule des solutions | > | :---------------- | :-------------------------- | :-------------------- | > | $\Delta > 0$ | Deux solutions distinctes | $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ | > | $\Delta = 0$ | Une unique solution (double) | $x_0 = \frac{-b}{2a}$ | > | $\Delta < 0$ | Aucune solution réelle | $S = \emptyset$ (les solutions sont complexes, étudiées dans des cours ultérieurs) | > [!example] Exemple 1 : Cas $\Delta > 0$ > Résolvons l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$. > > 1. Identifier les coefficients : $a=1$, $b=-5$, $c=6$. > > 2. Calculer le discriminant : > $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. > > 3. Interpréter le signe de $\Delta$ : > Puisque $\Delta = 1 > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes. > > 4. Calculer les solutions : > $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ > $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ > > L'ensemble des solutions est $S = \{2, 3\}$. > [!example] Exemple 2 : Cas $\Delta = 0$ > Résolvons l'équation $x^2 - 4x + 4 = 0$. > > 1. Coefficients : $a=1$, $b=-4$, $c=4$. > > 2. Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. > > 3. Interprétation : $\Delta = 0$, il y a une unique solution réelle (double). > > 4. Solution : $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$. > > L'ensemble des solutions est $S = \{2\}$. > (Remarquez que $x^2 - 4x + 4$ est l'identité remarquable $(x-2)^2$). > [!example] Exemple 3 : Cas $\Delta < 0$ > Résolvons l'équation $x^2 + 2x + 5 = 0$. > > 1. Coefficients : $a=1$, $b=2$, $c=5$. > > 2. Discriminant : $\Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. > > 3. Interprétation : $\Delta < 0$, il n'y a aucune solution réelle. > > L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$. # III- Les inéquations ## A- Qu'est-ce qu'une Inéquation ? Alors qu'une équation exprime une égalité, une inéquation exprime une inégalité. > [!definition] Définition : Inéquation > Une **inéquation** est une relation d'inégalité entre deux expressions mathématiques, dépendant d'une ou plusieurs inconnues. Elle utilise l'un des symboles suivants : > * lt;$ (strictement inférieur à) > * gt;$ (strictement supérieur à) > * $\le$ (inférieur ou égal à) > * $\ge$ (supérieur ou égal à) > > Elle est de la forme $A(x) < B(x)$, $A(x) > B(x)$, $A(x) \le B(x)$ ou $A(x) \ge B(x)$. La résolution d'une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs des inconnues qui rendent l'inégalité vraie. > [!note] L'ensemble des solutions est un intervalle ou une union d'intervalles > Contrairement aux équations où les solutions sont généralement des points isolés, les solutions d'une inéquation sont souvent des **intervalles** ou des **unions d'intervalles** sur la droite des nombres réels. La notation des intervalles est donc cruciale. > [!example] Exemple simple d'inéquation > Considérons l'inéquation : $2x + 3 \le 7$. > Ici, $A(x) = 2x + 3$ et $B(x) = 7$. L'inconnue est $x$. > > $x=1$ est une des solutions de cette équation car $2\times 1+3=5\le 7$. > > On pourra démontrer que l'ensemble des solutions de cette équation est l'intervalle $S = ]-\infty, 2]$. ## B- Inéquations équivalentes Les règles pour obtenir des inéquations équivalentes sont similaires à celles des équations, avec une différence cruciale. > [!theorem] Inéquations équivalentes > Deux inéquations sont dites **équivalentes** si elles possèdent exactement le même ensemble de solutions. > > Les opérations suivantes transforment une inéquation en une inéquation équivalente : > 1. Ajouter ou soustraire la même quantité (nombre ou expression) aux deux membres de l'inéquation. > 2. Multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par le même nombre **strictement positif**. > 3. Multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par le même nombre **strictement négatif**, en **changeant le sens de l'inégalité**. > [!warning] Attention aux changements de signe ! > C'est l'erreur la plus courante et la plus coûteuse ! Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, vous devez **impérativement inverser le sens de l'inégalité**. > Par exemple : > $-2x < 6 \implies x > \frac{6}{-2} \quad \text{(division par -2<0)} \implies x > -3$. > Ne pas inverser le signe donnerait $x < -3$, ce qui est faux. ## C - Types d'Inéquations Courantes ### C.1 - Inéquations Linéaires (du premier ordre) > [!definition] Définition : Inéquation linéaire > Une **inéquation linéaire** à une inconnue $x$ est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme $ax + b \ge 0$ (ou gt;, <, \le$), où $a$ et $b$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. #### Méthode de résolution La résolution est similaire aux équations linéaires, avec l'attention particulière portée au signe du coefficient de $x$. * **Si $a > 0$ :** $ax + b \ge 0 \implies ax \ge -b \implies x \ge -\frac{b}{a}$ L'ensemble des solutions est $S = \left[-\frac{b}{a}, +\infty\right[$. * **Si $a < 0$ :** $ax + b \ge 0 \implies ax \ge -b \implies x \le -\frac{b}{a}$ (le sens de l'inégalité change !) L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty, -\frac{b}{a}\right]$. > [!example] Résolution d'une inéquation linéaire > Résolvons l'inéquation $-3x + 5 < 11$. > > 1. Isoler le terme en $x$ : > $-3x < 11 - 5$ > $-3x < 6$ > > 2. Diviser par le coefficient de $x$ (qui est négatif) et changer le sens de l'inégalité : > $x > \frac{6}{-3}$ > $x > -2$ > > L'ensemble des solutions est $S = ]-2, +\infty[$. ### C.2 - Inéquations Quadratiques (du second ordre) Les inéquations quadratiques sont résolues en étudiant le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$. > [!definition] Définition : Inéquation quadratique > Une **inéquation quadratique** est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme $ax^2 + bx + c \ge 0$ (ou gt;, <, \le$), où $a, b, c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. #### Méthode de résolution La méthode générale implique plusieurs étapes : 1. **Ramener l'inéquation à la forme $ax^2 + bx + c \ge 0$** (ou gt;, <, \le$). Tous les termes doivent être du même côté de l'inégalité. 2. **Résoudre l'équation associée $ax^2 + bx + c = 0$** pour trouver les racines (si elles existent) à l'aide du discriminant $\Delta$. Ces racines sont les points où l'expression change de signe (ou est nulle). 3. **Étudier le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$** en fonction des racines et du signe de $a$. On utilise souvent un **tableau de signes**. >[!tip] Tableau de signes pour $ax^2 + bx + c$ > > * **Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) :** > > | $x$ | $-\infty$ | $x_1$ | | $x_2$|$+\infty$ | > | :-------------- | :-------- | :---- | :----| :---- | :-------- | > | $ax^2+bx+c$ | signe de $a$ | $0$ | signe de $-a$ | $0$ | signe de $a$ | > > * **Cas $\Delta = 0$ (une racine double $x_0$) :** > Le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf en $x_0$ où il est nul. > > | $x$ | $-\infty$ | $x_0$ |$+\infty$ | > | :-------------- | :-------- | :---- | :-------- | > | $ax^2+bx+c$ | signe de $a$ | $0$ | signe de $a$ | > > * **Cas $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :** > Le trinôme est toujours du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$. > > | $x$ | $-\infty$ |$+\infty$ | > | :-------------- | :-------- | :-------- | > | $ax^2+bx+c$ | signe de $a$ | signe de $a$ | 4. **Déduire l'ensemble des solutions** en fonction de l'inégalité initiale. > [!example] Exemple : > Résolvons l'inéquation $x^2 - 5x + 6 \le 0$. > > 1. L'inéquation est déjà sous la forme souhaitée $(ax^2+bx+c\le 0)$. > > 2. Résoudre l'équation associée $x^2 - 5x + 6 = 0$. D'après l'exemple précédent, les racines sont $x_1=2$ et $x_2=3$. > > 3. Étudier le signe du trinôme $x^2 - 5x + 6$. > Ici, $a=1 > 0$. La parabole est ouverte vers le haut. Le trinôme est négatif entre les racines. > > | $x$ | $-\infty$ | $2$ | | $3$|$+\infty$ | > | :-------------- | :-------- | :---- | :----| :---- | :-------- | > | $x^2-5x+6$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | > > 4. Déduire l'ensemble des solutions. Nous cherchons $x^2 - 5x + 6 \le 0$. > D'après le tableau, cela correspond à l'intervalle où le signe est négatif ou nul. > L'ensemble des solutions est $S = [2, 3]$. ## Résumé Un résumé sur les équations et inéquations du second degré : ![[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Ressources_Equations&Innéquations/L_essentiel_du_second_degré.png|500]] # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 2 - Équations et Inéquations|Cours 2 - Équations et Inéquations]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Équations et Inéquations]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: ``29-juin-2026`` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 2 - Équations et Inéquations\|Cours 2 - Équations et Inéquations →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%