%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 1 - Équations et Inéquations\|← Cours 1 - Équations et Inéquations]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Exercices - Équations et Inéquations\|Exercices - Équations et Inéquations →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Autres types d'Équations et Inéquations: approfondissement > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Équations et Inéquations]] >[!tip] Tags > #équations #second-degré #discriminant #identités-remarquables >[!example] Contenu de ce cours > - Equations et inéquations sous forme de produits > - Equations et inéquations sous forme rationnelle (quotient) > - Equations et inéquations avec valeurs absolues # I- Les équations ## A- Équations avec Valeurs Absolues La valeur absolue d'un nombre $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite numérique. $ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $ > [!theorem] Propriété fondamentale > Pour $a \ge 0$, l'équation $|X| = a$ est équivalente à $X = a$ ou $X = -a$. > [!warning] Attention ! > Si $a < 0$, l'équation $|X| = a$ n'a aucune solution, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. > [!example] Exemple : Équation avec valeur absolue > Résolvons l'équation $|2x - 3| = 5$. > D'après la propriété, nous avons deux cas à considérer : > 1. $2x - 3 = 5$ > $2x = 8$ > $x = 4$ > 2. $2x - 3 = -5$ > $2x = -2$ > $x = -1$ > L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 4\}$. ## B- Équations sous forme d'un produit > [!NOTE] Proposition > Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. > > Si le produit $P(x)\times Q(x)$ est nul, alors $P(x)=0$ ou $Q(x)=0$. > [!example] Exemple : > Résolvons l'équation $(x-1)(x+1)(x-2) = 0$. >Les solutions sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur : > $x-1=0 \Rightarrow x=1$ > $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ > $x-2=0 \Rightarrow x=2$ > L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 1, 2\}$. ## C- Équations sous forme rationnelle (quotient) Une équation rationnelle est de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes. > [!warning] Attention ! Domaine de définition > Une équation rationnelle n'est définie que si le dénominateur est non nul. Il faut donc toujours commencer par déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $Q(x) \ne 0$. > L'équation $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ est équivalente à $P(x) = 0$ ET $Q(x) \ne 0$. > [!example] Exemple : > Résolvons l'équation $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$. > 1. Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. > 2. L'équation est équivalente à $x^2 - 4 = 0$ pour $x \ne 2$. > $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. > 3. La solution $x=2$ est à rejeter parce qu'elle annule le dénominateur. Par contre, $x=-2$ est une solution acceptable. > L'ensemble des solutions est $S = \{-2\}$. # II- Les inéquations ## A- Inéquations avec Valeurs Absolues > [!theorem] Propriétés des inéquations avec valeurs absolues > Pour $a > 0$: > 1. $|X| < a \iff -a < X < a$ > 2. $|X| \le a \iff -a \le X \le a$ > 3. $|X| > a \iff X < -a \text{ ou } X > a$ > 4. $|X| \ge a \iff X \le -a \text{ ou } X \ge a$ > [!warning] Attention ! > Si $a \le 0$: > * $|X| < a$ ou $|X| \le a$ n'ont pas de solution. > * $|X| > a$ ou $|X| \ge a$ sont vraies pour tout $X \in \mathbb{R}$ (sauf si $X$ est dans un domaine de définition restreint). > [!example] Exemple : Inéquation avec valeur absolue > Résolvons l'inéquation $|2x - 3| \le 5$. > D'après la propriété 2, cela est équivalent à : > $-5 \le 2x - 3 \le 5$ > On peut décomposer cette double inégalité en deux inéquations : > 1. $-5 \le 2x - 3$ > $-2 \le 2x$ > $-1 \le x$ > 2. $2x - 3 \le 5$ > $2x \le 8$ > $x \le 4$ > Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément. Donc, $x \ge -1$ ET $x \le 4$. > L'ensemble des solutions est $S = [-1, 4]$. ## B- Inéquations sous forme d'un produit Pour résoudre ces inéquations, la méthode la plus fiable est l'étude du signe de l'expression complète, souvent à l'aide d'un tableau de signes. > [!note] Principe de l'étude du signe > Pour déterminer le signe d'une expression $E(x)$, on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ est positive, négative ou nulle. La méthode consiste généralement à factoriser l'expression et à analyser le signe de chaque facteur. > [!example] Exemple : Étude du signe d'un produit > Étudions le signe de l'expression $E(x) = (x-1)(x+2)(3-x)$. > 1. L'expression est un polynôme, donc définie sur $\mathbb{R}$. > 2. **Facteurs et racines :** > * $x-1 = 0 \Rightarrow x=1$ > * $x+2 = 0 \Rightarrow x=-2$ > * $3-x = 0 \Rightarrow x=3$ > 3. **Tableau de signes :** > On classe les racines par ordre croissant : $-2, 1, 3$. > > | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | | $1$ | | $3$ | $+\infty$ | > | :-------------- | :-------: | :--------------: | :--------------: |:------------: | :--------------: | :-------: |:-------: | > | $(x-1)$ | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$| | $+$ | > | $(x+2)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$| | $+$ | > | $(3-x)$ | $+$ | | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | > | $E(x)$ | $+$ | $0$ | $-$| $0$ |$+$ | $0$ | $-$ | > > 4. **Interprétation :** > * $E(x) > 0$ sur $]-\infty, -2[ \cup ]1, 3[$ > * $E(x) < 0$ sur $]-2, 1[ \cup ]3, +\infty[$ > * $E(x) = 0$ pour $x \in \{-2, 1, 3\}$ ## C- Équations sous forme rationnelle (quotient) > [!example] Exemple : > Résolvons l'inéquation $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$ > 1. Le dénominateur $x+3$ ne doit pas être nul, donc $x \ne -3$. > 2. **Facteurs et racines :** Numérateur $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$ > 3. **Tableau de signes :** > On classe les valeurs critiques par ordre croissant : $-3, 2$. > > | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | | $2$ | $+\infty$ | > | :-------------- | :-------: | :--------------: | :---------: | :--------------: | :-------: | > | $(x-2)$ | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ | > | $(x+3)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | > | $\frac{x-2}{x+3}$ | $+$ | **Non Défini** | $-$ | $0$ | $+$ | > > 4. **Interprétation :** > On cherche les intervalles où $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$. > * L'expression est strictement positive sur $]-\infty, -3[$ et sur $]2, +\infty[$. > * Elle est nulle en $x=2$. > * Elle n'est pas définie en $x=-3$. > L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -3[ \cup [2, +\infty[$. Notez bien le crochet ouvert en $-3$. # III- Applications et Méthodologie Générale de Résolution ## Exemples d'Applications * **Physique :** Calculer le temps nécessaire pour qu'un objet atteigne une certaine hauteur (équations quadratiques), déterminer la portée maximale d'un projectile (inéquations). * **Économie :** Déterminer le seuil de rentabilité d'une entreprise (équations), optimiser la production pour maximiser les profits (inéquations). * **Chimie :** Calculer la concentration d'une substance à l'équilibre (équations). * **Informatique :** Analyse de la complexité d'algorithmes (inéquations). ## Stratégie de Résolution d'un Problème 1. **Comprendre le problème :** Lire attentivement l'énoncé, identifier les données connues et ce qui est recherché. 2. **Modéliser :** * Choisir une ou plusieurs variables pour représenter les inconnues. * Traduire les informations de l'énoncé en termes mathématiques, formulant ainsi une ou plusieurs équations ou inéquations. 3. **Résoudre :** Appliquer les méthodes algébriques appropriées pour trouver les solutions de l'équation ou de l'inéquation. 4. **Interpréter la solution :** Replacer les solutions trouvées dans le contexte du problème. Vérifier si elles sont physiquement ou logiquement acceptables (par exemple, une longueur ne peut pas être négative). 5. **Vérifier :** Si possible, substituer la solution trouvée dans l'énoncé original pour s'assurer qu'elle satisfait toutes les conditions. # ➡️ C'est la fin --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 1 - Équations et Inéquations|Cours 1 - Équations et Inéquations]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Exercices - Équations et Inéquations|Exercices - Équations et Inéquations]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Équations et Inéquations]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `29-juin-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 1 - Équations et Inéquations\|← Cours 1 - Équations et Inéquations]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Exercices - Équations et Inéquations\|Exercices - Équations et Inéquations →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%