# Autres types d'Équations et Inéquations: approfondissement > Page d'accueil de la compétence: [[Équations et Inéquations]] >[!tip] Tags > #équations #second-degré #discriminant #identités-remarquables >[!info] Fil directeur > Ce chapitre vous fournira les bases essentielles pour : >* Résoudre différents types d'équations (linéaires, quadratiques, polynomiales simples, rationnelles, avec valeurs absolues). >* Comprendre et résoudre les inéquations correspondantes. >* Maîtriser l'étude du signe d'une expression, une compétence cruciale pour les inéquations et l'analyse de fonctions. >[!example] Contenu de ce cours > - Rappel sur les identités remarquables. > - Forme canonique d'une équation du second degré. > - Le discriminant $\Delta$ : calcul et interprétation. > - Formules des solutions d'une équation du second degré. > Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 2 - Équations et Inéquations.pdf]] > # Équations avec Valeurs Absolues La valeur absolue d'un nombre $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite numérique. - $|x| = x$, si $x \ge 0$ - $|x| = -x$, si $x < 0$. > [!theorem] Propriété fondamentale > Pour $a \ge 0$, l'équation $|X| = a$ est équivalente à $X = a$ ou $X = -a$. > [!warning] Attention ! > Si $a < 0$, l'équation $|X| = a$ n'a aucune solution, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. > [!example] Exemple : Équation avec valeur absolue > Résolvons l'équation $|2x - 3| = 5$. > D'après la propriété, nous avons deux cas à considérer : > 1. $2x - 3 = 5$ > $2x = 8$ > $x = 4$ > 2. $2x - 3 = -5$ > $2x = -2$ > $x = -1$ > L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 4\}$. # Équations Polynomiales d'ordre supérieur > [!NOTE] Définition > Une équation polynomiale est de la forme $P(x) = 0$ où $P(x)$ est un polynôme $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ > Pour $n > 2$, il n'existe pas de formule générale pour trouver les racines. On utilise souvent la factorisation. > > [!tip] Astuce : Recherche de racines évidentes > Pour les polynômes à coefficients entiers, si une racine rationnelle $\dfrac{p}{q}$ existe, alors $p$ divise le terme constant $a_0$ et $q$ divise le coefficient dominant $a_n$. Les racines entières sont des diviseurs du terme constant. > Si $x_0$ est une racine de $P(x)$, alors $(x - x_0)$ est un facteur de $P(x)$, et on peut factoriser $P(x)$ par $(x - x_0)$ (division euclidienne de polynômes ou méthode de Horner). > [!example] Exemple : Équation polynomiale par factorisation > Résolvons l'équation $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$. > 1. Cherchons des racines évidentes parmi les diviseurs de 2 (terme constant) : $\pm 1, \pm 2$. > * Pour $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$. Donc $x=1$ est une racine. > * Cela signifie que $(x-1)$ est un facteur du polynôme. > 2. On peut factoriser par regroupement ou par division euclidienne : > $x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = 0$. > 3. On reconnaît une identité remarquable $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. > Donc l'équation devient $(x-1)(x+1)(x-2) = 0$. > 4. Les solutions sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur : > $x-1=0 \Rightarrow x=1$ > $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ > $x-2=0 \Rightarrow x=2$ > L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 1, 2\}$. # Équations Rationnelles Une équation rationnelle est de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes. > [!warning] Attention ! Domaine de définition > Une équation rationnelle n'est définie que si le dénominateur est non nul. Il faut donc toujours commencer par déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $Q(x) \ne 0$. > L'équation $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ est équivalente à $P(x) = 0$ ET $Q(x) \ne 0$. > [!example] Exemple 5 : Équation rationnelle > Résolvons l'équation $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$. > 1. **Domaine de définition :** Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. > L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. > 2. **Résolution :** L'équation est équivalente à $x^2 - 4 = 0$ pour $x \in D_f$. > $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. > 3. **Vérification :** > * $x = 2$ est une solution de $x^2 - 4 = 0$, mais elle est exclue du domaine de définition. Ce n'est donc pas une solution de l'équation rationnelle. > * $x = -2$ est une solution de $x^2 - 4 = 0$ et est dans le domaine de définition. C'est donc une solution valide. > L'ensemble des solutions est $S = \{-2\}$. # Inéquations Linéaires > [!example] Exemple: Inéquation linéaire > Résolvons l'inéquation $3x - 7 \le 5x + 1$. > 1. Regroupons les termes en $x$ et les constantes : > $3x - 5x \le 1 + 7$ > $-2x \le 8$ > 2. Divisons par $-2$. Attention, on divise par un nombre négatif, il faut **inverser le sens de l'inégalité** : > $x \ge \frac{8}{-2}$ > $x \ge -4$ > L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = [-4, +\infty[$. # Inéquations Quadratiques Pour résoudre une inéquation de la forme $ax^2 + bx + c > 0$ (ou lt;, \le, \ge$), il est essentiel d'étudier le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$. > [!theorem] Théorème : Signe du trinôme du second degré > Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 0$, et un discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$: > 1. Si $\Delta < 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$. > 2. Si $\Delta = 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ où il est nul. > 3. Si $\Delta > 0$, le trinôme a deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$). > * Entre les racines ($x_1 < x < x_2$), le trinôme est du signe opposé à $a$. > * À l'extérieur des racines ($x < x_1$ ou $x > x_2$), le trinôme est du signe de $a$. > * Aux racines ($x=x_1$ ou $x=x_2$), le trinôme est nul. > [!example] Exemple : Inéquation quadratique > Résolvons l'inéquation $2x^2 - 5x - 3 > 0$. > 4. On a déjà trouvé les racines de l'équation $2x^2 - 5x - 3 = 0$ dans l'Exemple 2 : $x_1 = -\frac{1}{2}$ et $x_2 = 3$. > 5. Le coefficient $a=2$ est positif. > 6. D'après le théorème sur le signe du trinôme, le trinôme $2x^2 - 5x - 3$ est positif à l'extérieur des racines. > Donc, $2x^2 - 5x - 3 > 0$ lorsque $x < -\frac{1}{2}$ ou $x > 3$. > L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -\frac{1}{2}[ \cup ]3, +\infty[$. # Inéquations avec Valeurs Absolues > [!theorem] Propriétés des inéquations avec valeurs absolues > Pour $a > 0$: > 1. $|X| < a \iff -a < X < a$ > 2. $|X| \le a \iff -a \le X \le a$ > 3. $|X| > a \iff X < -a \text{ ou } X > a$ > 4. $|X| \ge a \iff X \le -a \text{ ou } X \ge a$ > [!warning] Attention ! > Si $a \le 0$: > * $|X| < a$ ou $|X| \le a$ n'ont pas de solution. > * $|X| > a$ ou $|X| \ge a$ sont vraies pour tout $X \in \mathbb{R}$ (sauf si $X$ est dans un domaine de définition restreint). > [!example] Exemple : Inéquation avec valeur absolue > Résolvons l'inéquation $|2x - 3| \le 5$. > D'après la propriété 2, cela est équivalent à : > $-5 \le 2x - 3 \le 5$ > On peut décomposer cette double inégalité en deux inéquations : > 1. $-5 \le 2x - 3$ > $-2 \le 2x$ > $-1 \le x$ > 2. $2x - 3 \le 5$ > $2x \le 8$ > $x \le 4$ > Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément. Donc, $x \ge -1$ ET $x \le 4$. > L'ensemble des solutions est $S = [-1, 4]$. ## Inéquations Polynomiales et Rationnelles d'ordre supérieur Pour résoudre ces inéquations, la méthode la plus fiable est l'étude du signe de l'expression complète, souvent à l'aide d'un tableau de signes. ### Étude du Signe d'une Expression > [!note] Principe de l'étude du signe > Pour déterminer le signe d'une expression $E(x)$, on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ est positive, négative ou nulle. La méthode consiste généralement à factoriser l'expression et à analyser le signe de chaque facteur. ### Méthodologie générale 1. **Définir le domaine de l'expression :** Identifier les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est définie (ex: dénominateurs non nuls, arguments de racines carrées positifs). 2. **Mettre l'expression sous forme factorisée :** Si possible, factoriser l'expression en un produit ou un quotient de termes plus simples (linéaires ou quadratiques irréductibles). 3. **Identifier les "valeurs critiques" :** Ce sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur (racines) et les valeurs qui annulent un dénominateur (valeurs interdites). Ces valeurs délimitent des intervalles sur la droite réelle. 4. **Construire un tableau de signes :** * La première ligne contient $x$ avec les valeurs critiques classées par ordre croissant. * Les lignes suivantes contiennent le signe de chaque facteur sur les intervalles définis. * La dernière ligne contient le signe de l'expression totale, obtenu en appliquant la règle des signes (produit/quotient). 5. **Conclure :** Déduire les intervalles où l'expression est positive, négative ou nulle. ### Exemple d'étude du signe (Produit) > [!example] Exemple : Étude du signe d'un produit > Étudions le signe de l'expression $E(x) = (x-1)(x+2)(3-x)$. > 1. **Domaine :** L'expression est un polynôme, donc définie sur $\mathbb{R}$. > 2. **Facteurs et racines :** > * $x-1 = 0 \Rightarrow x=1$ > * $x+2 = 0 \Rightarrow x=-2$ > * $3-x = 0 \Rightarrow x=3$ > 3. **Tableau de signes :** > On classe les racines par ordre croissant : $-2, 1, 3$. > > | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | > | :-------------- | :-------: | :--------------: | :--------------: | :--------------: | :-------: | > | Signe de $(x-1)$ | $-$ | $-$ | $0$ + | + | + | > | Signe de $(x+2)$ | $-$ | $0$ + | + | + | + | > | Signe de $(3-x)$ | + | + | + | $0$ - | - | > | Signe de $E(x)$ | + | $0$ - | $0$ + | $0$ - | - | > > **Interprétation :** > * $E(x) > 0$ sur $]-\infty, -2[ \cup ]1, 3[$ > * $E(x) < 0$ sur $]-2, 1[ \cup ]3, +\infty[$ > * $E(x) = 0$ pour $x \in \{-2, 1, 3\}$ ### Exemple d'étude du signe (Quotient) > [!example] Exemple 10 : Étude du signe d'un quotient > Résolvons l'inéquation $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$. > 1. **Domaine de définition :** Le dénominateur $x+3$ ne doit pas être nul, donc $x \ne -3$. > $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. > 2. **Facteurs et racines/valeurs interdites :** > * Numérateur $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$ > * Dénominateur $x+3 = 0 \Rightarrow x=-3$ (valeur interdite) > 3. **Tableau de signes :** > On classe les valeurs critiques par ordre croissant : $-3, 2$. > > | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $2$ | $+\infty$ | > | :-------------- | :-------: | :--------------: | :--------------: | :-------: | > | Signe de $(x-2)$ | $-$ | $-$ | $0$ + | + | > | Signe de $(x+3)$ | $-$ | $0$ + | + | + | > | Signe de $\frac{x-2}{x+3}$ | + | **Non Défini** - | $0$ + | + | > > **Interprétation :** > On cherche les intervalles où $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$. > * L'expression est positive sur $]-\infty, -3[$ et sur $[2, +\infty[$. > * Elle est nulle en $x=2$. > * Elle n'est pas définie en $x=-3$. > L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -3[ \cup [2, +\infty[$. Notez bien le crochet ouvert en $-3$. # Applications et Méthodologie Générale de Résolution ## Exemples d'Applications * **Physique :** Calculer le temps nécessaire pour qu'un objet atteigne une certaine hauteur (équations quadratiques), déterminer la portée maximale d'un projectile (inéquations). * **Économie :** Déterminer le seuil de rentabilité d'une entreprise (équations), optimiser la production pour maximiser les profits (inéquations). * **Chimie :** Calculer la concentration d'une substance à l'équilibre (équations). * **Informatique :** Analyse de la complexité d'algorithmes (inéquations). ## Stratégie de Résolution d'un Problème 1. **Comprendre le problème :** Lire attentivement l'énoncé, identifier les données connues et ce qui est recherché. 2. **Modéliser :** * Choisir une ou plusieurs variables pour représenter les inconnues. * Traduire les informations de l'énoncé en termes mathématiques, formulant ainsi une ou plusieurs équations ou inéquations. 3. **Résoudre :** Appliquer les méthodes algébriques appropriées pour trouver les solutions de l'équation ou de l'inéquation. 4. **Interpréter la solution :** Replacer les solutions trouvées dans le contexte du problème. Vérifier si elles sont physiquement ou logiquement acceptables (par exemple, une longueur ne peut pas être négative). 5. **Vérifier :** Si possible, substituer la solution trouvée dans l'énoncé original pour s'assurer qu'elle satisfait toutes les conditions. > [!tip] Astuce : Vérification systématique > Pour les équations, substituez vos solutions dans l'équation originale. > Pour les inéquations, testez un point dans chaque intervalle de votre solution pour vérifier si l'inégalité est satisfaite. # ➡️ C'est la fin Ce chapitre a posé les bases solides de la résolution des équations et inéquations. Vous avez appris à manipuler des expressions algébriques, à identifier les différents types d'équations et inéquations (linéaires, quadratiques, avec valeurs absolues, polynomiales et rationnelles) et à appliquer les méthodes de résolution spécifiques à chacune. N'oubliez pas que la pratique régulière est la clé de la maîtrise. Entraînez-vous avec de nombreux exercices pour consolider ces acquis. --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Équations et Inéquations]] - Prochain cours: [[Exercices - Équations et Inéquations]] - Page d'accueil de la compétence: [[Équations et Inéquations]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `28-Août-2025`