%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 2 - Équations et Inéquations\|← Cours 2 - Équations et Inéquations]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Équations et Inéquations]] # Exercices ## Exercice 1 : Factorisation et développement 1. Factoriser : - $x^2-4x+4$ - $9x^2+12x+4$ - $4x^2-9$ - $2x^3+x^2+2x+1$ 2. Développer : - $(5x-1)^2$ - $(2x+5)^2$ - $(2x+1)(2x-1)$ - $-x(3x+2)(x-1)$ ## Exercice 2 : Équations Fondamentales Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ : 1. $4x - 5 = 2(x + 3)$ 2. $-(2x+1)-x=5x-1$ 3. $x^2 + 7x + 10 = 0$ 4. $3x^2 - 2x - 1 = 0$ 5. $2x(x+1)=x^2-1$ 6. $(x+1)(3x+1)=0$ ## Exercice 3 : Inéquations Linéaires et Quadratiques Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ et exprimer les solutions sous forme d'intervalles : 1. $5x + 3 < 2x - 6$ 2. $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$ 3. $(x-1)(x+2) > x^2 - 3x + 1$ ## Exercice 4 : Équations et Inéquations Rationnelles Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ : 1. $\frac{2x - 1}{x + 3} = 3$ 2. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ 3. $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=0$ 4. $\frac{x+1}{x-2} \le 2$ 5. $\frac{(2x+4)(x-1)}{x+3}\geq 0$ ## Exercice 5 : Équations et Inéquations avec Valeur Absolue Résoudre les problèmes suivants dans $\mathbb{R}$ : 1. $|2x - 3| = 5$ 2. $|x + 4| < 2$ 3. $|3x - 1| \ge 4$ ## Exercice 6 : Résoudre l'inéquation suivante dans $\mathbb{R}$ : $ \frac{|x-3|}{x+1} \le 1 $ # Corrigés Détaillés ## Exercice 1 : Factorisation et développement 1. L'objectif est de transformer une somme en produit en utilisant les **identités remarquables** ou un **facteur commun**. * **Expression :** $x^2-4x+4$ On reconnaît $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ avec $a = x$ et $b = 2$. **Résultat :** $(x-2)^2$ * **Expression :** $9x^2+12x+4$ On reconnaît $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$. **Résultat :** $(3x+2)^2$ * **Expression :** $4x^2-9$ On reconnaît $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = 2x$ et $b = 3$. **Résultat :** $(2x-3)(2x+3)$ * **Expression :** $2x^3+x^2+2x+1$ On utilise la factorisation par groupement : - On factorise les deux premiers termes par $x^2$ : $x^2(2x+1)$ - On remarque que les deux derniers termes sont $(2x+1)$ - On extrait le facteur commun $(2x+1)$ **Résultat :** $(2x+1)(x^2+1)$ 2. Développer consiste à transformer un produit en une somme en utilisant les identités remarquables ou la distributivité. * **Expression :** $(5x-1)^2$ Formule : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Calcul : $(5x)^2 - 2 \times 5x \times 1 + 1^2$ **Résultat :** $25x^2 - 10x + 1$ * **Expression :** $(2x+5)^2$ Formule : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Calcul : $(2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2$ **Résultat :** $4x^2 + 20x + 25$ * **Expression :** $(2x+1)(2x-1)$ Formule : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ Calcul : $(2x)^2 - 1^2$ **Résultat :** $4x^2 - 1$ * **Expression :** $-x(3x+2)(x-1)$ - Étape 1 (double distributivité) : $(3x+2)(x-1) = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$ - Étape 2 (distribuer le $-x$) : $-x(3x^2 - x - 2)$ **Résultat :** $-3x^3 + x^2 + 2x$ ## Exercice 2 : Équations Fondamentales **1. $4x - 5 = 2(x + 3)$** C'est une équation linéaire. $4x - 5 = 2x + 6$ Regroupons les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre : $4x - 2x = 6 + 5$ $2x = 11$ $x = \frac{11}{2}$ L'ensemble des solutions est $S = \left\{ \frac{11}{2} \right\}$. **2.$-(2x+1)-x=5x-1$** $-2x - 1 - x = 5x - 1$ $-3x - 1 = 5x - 1$ On regroupe les termes en $x$. $-3x - 5x = -1 + 1$ $ $-8x = 0$ On divise par $-8$ : $x = \frac{0}{-8} = 0$ L'ensemble des solutions est $S = \{0\}$ **3. $x^2 + 7x + 10 = 0$** C'est une équation quadratique de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Ici, $a=1$, $b=7$, $c=10$. $\Delta = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ L'ensemble des solutions est $S = \{-5, -2\}$. **4. $3x^2 - 2x - 1 = 0$** C'est une équation quadratique. $a=3$, $b=-2$, $c=-1$. $\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$ L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$. **5. $2x(x+1)=x^2-1$** $2x^2+2x=x^2-1$ $2x^2+2x-x^2+1=0$ $x^2+2x+1=0$ On reconnaît une identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ On a alors $(x+1)^2=0$ Un carré est nul si le nombre est nul : $x + 1 = 0 \implies x = -1$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1\}$ **6.$(x+1)(3x+1)=0$** C'est une équation produit nul. Un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul. - $x + 1 = 0 \implies x = -1$ - $3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1 ; -\frac{1}{3}\}$. ## Exercice 3 : Inéquations Linéaires et Quadratiques **1. $5x + 3 < 2x - 6$** C'est une inéquation linéaire. $5x - 2x < -6 - 3$ $3x < -9$ $x < -3$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -3[$. **2. $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$** C'est une inéquation quadratique. D'abord, trouvons les racines de l'équation $-x^2 + 4x - 3 = 0$. On peut multiplier par $-1$ pour simplifier : $x^2 - 4x + 3 = 0$. Discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. Les racines sont $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3$. Maintenant, étudions le signe de $-x^2 + 4x - 3$. Le coefficient de $x^2$ est $a=-1$, qui est négatif. Une parabole avec $a<0$ est ouverte vers le bas. Elle est positive entre ses racines. | $x$ | $-\infty$ | $1$ | | $3$ | $+\infty$ | | :---------- | :-------- | :-: | :-: | :-- | --------- | | $-x^2+4x-3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$. D'après le tableau de signes, c'est pour $x \in [1, 3]$. L'ensemble des solutions est $S = [1, 3]$. **3. $(x-1)(x+2) > x^2 - 3x + 1$** Développons le membre de gauche : $x^2 + 2x - x - 2 > x^2 - 3x + 1$ $x^2 + x - 2 > x^2 - 3x + 1$ Soustraire $x^2$ des deux côtés : $x - 2 > -3x + 1$ Regroupons les termes en $x$ : $x + 3x > 1 + 2$ $4x > 3$ $x > \frac{3}{4}$ L'ensemble des solutions est $S = ]\frac{3}{4}, +\infty[$. ## Exercice 4 : Équations et Inéquations Rationnelles **1. $\frac{2x - 1}{x + 3} = 3$** > [!warning] Attention : > Avant toute manipulation, il faut s'assurer que le dénominateur n'est pas nul. > Ici, $x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$. Le domaine de validité de l'équation est $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. On peut multiplier les deux côtés par $(x+3)$ puisque $x \ne -3$ : $2x - 1 = 3(x + 3)$ $2x - 1 = 3x + 9$ $2x - 3x = 9 + 1$ $-x = 10$ $x = -10$ Cette solution ($x=-10$) est bien dans le domaine de validité ($\mathbb{R} \setminus \{-3\}$) alors elle est acceptable. L'ensemble des solutions est $S = \{-10\}$. **2. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$** > [!warning] Attention : > Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. On remarque que $x^2 - 4$ est une identité remarquable : $(x-2)(x+2)$. L'équation devient : $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ Puisque $x \ne 2$, on peut simplifier par $(x-2)$ : $x+2 = x+2$ Cette égalité est toujours vraie. Cela signifie que *toutes* les valeurs de $x$ pour lesquelles l'équation est définie sont des solutions. Donc, l'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. **3. $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=0$** > [!warning] Attention : > Le dénominateur $x+2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne -2$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul. On résout donc : $2x^2+3x-1=0$ qui est une équation quadratique. $\Delta = 3^2 - 4(2)(-1)=17$ Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux racines : $x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2 \times 2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$ et $x_2=\frac{-3+\sqrt{17}}{2 \times 2}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$ Les deux solutions sont différentes de $-2$, donc elles sont acceptées. L'ensemble des solutions est : $S=\left\{\frac{-3-\sqrt{17}}{4},\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\right\}$ **4. $\frac{x+1}{x-2} \le 2$** > [!warning] Attention : > Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. > Pour les inéquations rationnelles, *ne jamais multiplier par le dénominateur* si son signe n'est pas connu. Il faut ramener tous les termes d'un côté et utiliser un tableau de signes. $\frac{x+1}{x-2} - 2 \le 0$ Mettre sur un dénominateur commun : $\frac{x+1}{x-2} - \frac{2(x-2)}{x-2} \le 0$ $\frac{x+1 - (2x - 4)}{x-2} \le 0$ $\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} \le 0$ $\frac{-x+5}{x-2} \le 0$ Maintenant, nous allons construire un tableau de signes pour l'expression $\frac{-x+5}{x-2}$. Les valeurs critiques sont les racines du numérateur et du dénominateur : - Numérateur : $-x+5 = 0 \Rightarrow x = 5$ - Dénominateur : $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (valeur interdite) | $x$ | $-\infty$ | $2$ | | $5$ | $+\infty$ | | :----------------- | :-------- | :-------------: | :-: | :-: | :-------- | | $-x+5$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | $x-2$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $\frac{-x+5}{x-2}$ | $-$ | **Non définie** | $+$ | $0$ | $-$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles l'expression est $\le 0$. D'après le tableau, c'est pour $x \in ]-\infty, 2[ \cup [5, +\infty[$. L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, 2[ \cup [5, +\infty[$. Notez que $x=2$ est exclu. **5.$\frac{(2x+4)(x-1)}{x+3}\geq 0$** > [!warning] Attention : > Le dénominateur $x+3$ ne doit pas être nul, donc $x \ne -3$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. On factorise :$2x+4=2(x+2)$ Donc :$\frac{(2x+4)(x-1)}{x+3}=\frac{2(x+2)(x-1)}{x+3}$ Comme $2>0$, ce facteur ne change pas le signe de l'expression. On étudie donc le signe de :$\frac{(x+2)(x-1)}{x+3}$ Les valeurs critiques sont celles qui annulent le numérateur ou le dénominateur. - Numérateur : $x+2=0\Rightarrow x=-2$ et $x-1=0 \Rightarrow x=1$ - Dénominateur : $x+3=0 \Rightarrow x=-3$ (valeur interdite). On fait un tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | | $-2$ | | $1$ | $+\infty$ | | :----------------------- | :-------- | :-------------: | :-: | :--: | :-: | :-: | --------: | | $x+2$ | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $x-1$ | $-$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $x+3$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $+$ | | $\frac{(x+2)(x-1)}{x+3}$ | $-$ | **Non définie** | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles :$\frac{(2x+4)(x-1)}{x+3}\geq 0$ D'après le tableau de signes, c'est pour $-3<x\le -2$ ou $x\ge 1$ L'ensemble des solutions est $S=]-3,-2]\cup[1,+\infty[$ ## Exercice 5 : Équations et Inéquations avec Valeur Absolue > [!definition] Rappel sur la Valeur Absolue > - $|A| = B \iff (B \ge 0 \text{ et } (A = B \text{ ou } A = -B))$ > - $|A| < B \iff (-B < A < B)$ > - $|A| > B \iff (A < -B \text{ ou } A > B)$ > - $|A| \le B \iff (-B \le A \le B)$ > - $|A| \ge B \iff (A \le -B \text{ ou } A \ge B)$ **1. $|2x - 3| = 5$** D'après la définition, cela signifie que $2x - 3 = 5$ ou $2x - 3 = -5$. - **Cas 1 :** $2x - 3 = 5$ $2x = 8$ $x = 4$ - **Cas 2 :** $2x - 3 = -5$ $2x = -2$ $x = -1$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 4\}$. **2. $|x + 4| < 2$** D'après la définition, cela signifie que $-2 < x + 4 < 2$. C'est une double inéquation que l'on peut résoudre en deux parties ou simultanément : $-2 < x + 4 \quad \text{et} \quad x + 4 < 2$ $-2 - 4 < x \quad \text{et} \quad x < 2 - 4$ $-6 < x \quad \text{et} \quad x < -2$ Donc, $-6 < x < -2$. L'ensemble des solutions est $S = ]-6, -2[$. **3. $|3x - 1| \ge 4$** D'après la définition, cela signifie que $3x - 1 \le -4$ ou $3x - 1 \ge 4$. - **Cas 1 :** $3x - 1 \le -4$ $3x \le -3$ $x \le -1$ - **Cas 2 :** $3x - 1 \ge 4$ $3x \ge 5$ $x \ge \frac{5}{3}$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -1] \cup [\frac{5}{3}, +\infty[$. ## Exercice 6 Résoudre l'inéquation suivante dans $\mathbb{R}$ : $ \frac{|x-3|}{x+1} \le 1 $ **Étape 1 : Domaine** Le dénominateur ne doit pas être nul : $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$. Donc, $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. **Étape 2 : Ramener l'inéquation à une forme comparable à zéro** $\frac{|x-3|}{x+1} - 1 \le 0$ $\frac{|x-3| - (x+1)}{x+1} \le 0$ **Étape 3 : Étudier la valeur absolue** Nous devons distinguer deux cas selon le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue, $x-3$. - Si $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$, alors $|x-3| = x-3$. - Si $x-3 < 0 \Rightarrow x < 3$, alors $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. **Cas 1 : $x \ge 3$** Dans ce cas, $x+1$ est positif (car $x \ge 3 \Rightarrow x+1 \ge 4$). L'inéquation devient : $\frac{(x-3) - (x+1)}{x+1} \le 0$ $\frac{x-3-x-1}{x+1} \le 0$ $\frac{-4}{x+1} \le 0$ Puisque $-4$ est négatif, et $x+1$ est positif (pour $x \ge 3$), le quotient $\frac{-4}{x+1}$ est toujours négatif. Donc, $\frac{-4}{x+1} \le 0$ est toujours vrai pour $x \ge 3$. Les solutions pour ce cas sont $x \in [3, +\infty[$. **Cas 2 : $x < 3$** Dans ce cas, $|x-3| = 3-x$. L'inéquation devient : $\frac{(3-x) - (x+1)}{x+1} \le 0$ $\frac{3-x-x-1}{x+1} \le 0$ $\frac{2-2x}{x+1} \le 0$ Nous devons maintenant faire un tableau de signes pour $\frac{2-2x}{x+1}$ sur l'intervalle **$x < 3$** (en tenant compte de $x \ne -1$). - Numérateur : $2-2x = 0 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. - Dénominateur : $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$. | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | | $1$ | | $3$ | | :----------------- | :-------- | :-------------: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $2-2x$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | | $\frac{2-2x}{x+1}$ | $-$ | **Non définie** | $+$ | $0$ | $0$ | | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $\frac{2-2x}{x+1} \le 0$ dans l'intervalle $x < 3$ (et $x \ne -1$). D'après le tableau, l'expression est $\le 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup [1, 3[$. **Étape 4 : Combinaison des solutions** Les solutions sont l'union des solutions du Cas 1 et du Cas 2. - Solutions du Cas 1 ($x \ge 3$) : $[3, +\infty[$ - Solutions du Cas 2 ($x < 3$) : $]-\infty, -1[ \cup [1, 3[$ L'union de ces deux ensembles est : $S = (]-\infty, -1[ \cup [1, 3[) \cup [3, +\infty[$ $S = ]-\infty, -1[ \cup [1, +\infty[$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -1[ \cup [1, +\infty[$. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `30-juin-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Équations et Inéquations|Accueil · Équations et Inéquations]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Équations et inéquations/Cours 2 - Équations et Inéquations\|← Cours 2 - Équations et Inéquations]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%