> Page d'accueil de la compétence: [[Équations et Inéquations]] # Exercices et Corrigés : Équations & Inéquations ## Exercice 1 : Domaines de Définition et Équations Fondamentales 1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ des fonctions suivantes : a) $f(x) = \sqrt{3x - 6}$ b) $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$ c) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 2. Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ : a) $4x - 5 = 2(x + 3)$ b) $x^2 + 7x + 10 = 0$ c) $3x^2 - 2x - 1 = 0$ ## Exercice 2 : Inéquations Linéaires et Quadratiques Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ et exprimer les solutions sous forme d'intervalles : 1. $5x + 3 < 2x - 6$ 2. $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$ 3. $(x-1)(x+2) > x^2 - 3x + 1$ ## Exercice 3 : Équations et Inéquations Rationnelles Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ : 1. $\frac{2x - 1}{x + 3} = 3$ 2. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ 3. $\frac{x+1}{x-2} \le 2$ ## Exercice 4 : Équations et Inéquations avec Valeur Absolue Résoudre les problèmes suivants dans $\mathbb{R}$ : 1. $|2x - 3| = 5$ 2. $|x + 4| < 2$ 3. $|3x - 1| \ge 4$ ## Exercice 5 : Équations et Inéquations avec Racines Carrées Résoudre les problèmes suivants dans $\mathbb{R}$ : 1. $\sqrt{x + 5} = x - 1$ 2. $\sqrt{2x - 1} < 3$ 3. $\sqrt{x^2 - 9} = 4$ ## Exercice 6 : Problème de Synthèse Résoudre l'inéquation suivante dans $\mathbb{R}$ : $ \frac{|x-3|}{x+1} \le 1 $ # Corrigés Détaillés ## Correction de l'Exercice 1 : Domaines de Définition et Équations Fondamentales ### 1. Domaines de Définition > [!note] Rappel sur les Domaines de Définition > Pour déterminer le domaine de définition d'une fonction $f(x)$ : > - Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul. > - L'expression sous une racine carrée (ou d'ordre pair) doit être positive ou nulle. > - L'expression sous une racine carrée au dénominateur doit être strictement positive. **a) $f(x) = \sqrt{3x - 6}$** Pour que $f(x)$ soit définie, l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $3x - 6 \ge 0$ $3x \ge 6$ $x \ge 2$ Donc, $D_f = [2, +\infty[$. **b) $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$** Pour que $f(x)$ soit définie, le dénominateur ne doit pas être nul : $x^2 - 9 \ne 0$ $(x - 3)(x + 3) \ne 0$ Cela signifie $x \ne 3$ et $x \ne -3$. Donc, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$ ou $D_f = ]-\infty, -3[ \cup ]-3, 3[ \cup ]3, +\infty[$. **c) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$** Pour que $f(x)$ soit définie, l'expression sous la racine doit être positive, et comme la racine est au dénominateur, elle ne doit pas être nulle. Donc, $4 - x > 0$ $4 > x$ $x < 4$ Donc, $D_f = ]-\infty, 4[$. ### 2. Résolution d'Équations **a) $4x - 5 = 2(x + 3)$** C'est une équation linéaire. $4x - 5 = 2x + 6$ Regroupons les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre : $4x - 2x = 6 + 5$ $2x = 11$ $x = \frac{11}{2}$ L'ensemble des solutions est $S = \left\{ \frac{11}{2} \right\}$. **b) $x^2 + 7x + 10 = 0$} C'est une équation quadratique de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Ici, $a=1$, $b=7$, $c=10$. $\Delta = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ L'ensemble des solutions est $S = \{-5, -2\}$. > [!tip] Factorisation pour les Équations Quadratiques > Pour $x^2 + 7x + 10 = 0$, on peut aussi chercher deux nombres dont la somme est $7$ et le produit est $10$. Ces nombres sont $2$ et $5$. Donc, l'équation peut s'écrire $(x+2)(x+5) = 0$, ce qui donne $x=-2$ ou $x=-5$. C'est souvent plus rapide quand c'est possible ! **c) $3x^2 - 2x - 1 = 0$} C'est une équation quadratique. $a=3$, $b=-2$, $c=-1$. $\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$ L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$. ## Correction de l'Exercice 2 : Inéquations Linéaires et Quadratiques ### 1. $5x + 3 < 2x - 6$ C'est une inéquation linéaire. $5x - 2x < -6 - 3$ $3x < -9$ $x < -3$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -3[$. ### 2. $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$ C'est une inéquation quadratique. D'abord, trouvons les racines de l'équation $-x^2 + 4x - 3 = 0$. On peut multiplier par $-1$ pour simplifier : $x^2 - 4x + 3 = 0$. Discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. Les racines sont $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3$. Maintenant, étudions le signe de $-x^2 + 4x - 3$. Le coefficient de $x^2$ est $a=-1$, qui est négatif. Une parabole avec $a<0$ est ouverte vers le bas. Elle est positive entre ses racines. | $x$ | $-\infty$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | | :-------------- | :-------- | :-: | :-: | :-------- | | $-x^2+4x-3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$. D'après le tableau de signes, c'est pour $x \in [1, 3]$. L'ensemble des solutions est $S = [1, 3]$. ### 3. $(x-1)(x+2) > x^2 - 3x + 1$ Développons le membre de gauche : $x^2 + 2x - x - 2 > x^2 - 3x + 1$ $x^2 + x - 2 > x^2 - 3x + 1$ Soustraire $x^2$ des deux côtés : $x - 2 > -3x + 1$ Regroupons les termes en $x$ : $x + 3x > 1 + 2$ $4x > 3$ $x > \frac{3}{4}$ L'ensemble des solutions est $S = ]\frac{3}{4}, +\infty[$. ## Correction de l'Exercice 3 : Équations et Inéquations Rationnelles ### 1. $\frac{2x - 1}{x + 3} = 3$ > [!warning] Attention : Domaine de Définition ! > Avant toute manipulation, il faut s'assurer que le dénominateur n'est pas nul. > Ici, $x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$. Le domaine de validité de l'équation est $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. On peut multiplier les deux côtés par $(x+3)$ puisque $x \ne -3$ : $2x - 1 = 3(x + 3)$ $2x - 1 = 3x + 9$ $2x - 3x = 9 + 1$ $-x = 10$ $x = -10$ Cette solution est bien dans le domaine de validité ($\mathbb{R} \setminus \{-3\}$). L'ensemble des solutions est $S = \{-10\}$. ### 2. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ > [!warning] Attention : Domaine de Définition ! > Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. On remarque que $x^2 - 4$ est une identité remarquable : $(x-2)(x+2)$. L'équation devient : $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ Puisque $x \ne 2$, on peut simplifier par $(x-2)$ : $x+2 = x+2$ Cette égalité est toujours vraie. Cela signifie que *toutes* les valeurs de $x$ pour lesquelles l'équation est définie sont des solutions. Donc, l'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. ### 3. $\frac{x+1}{x-2} \le 2$ > [!warning] Attention : Domaine de Définition et Manipulation ! > Le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul, donc $x \ne 2$. Le domaine de validité est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. > Pour les inéquations rationnelles, *ne jamais multiplier par le dénominateur* si son signe n'est pas connu. Il faut ramener tous les termes d'un côté et utiliser un tableau de signes. $\frac{x+1}{x-2} - 2 \le 0$ Mettre sur un dénominateur commun : $\frac{x+1}{x-2} - \frac{2(x-2)}{x-2} \le 0$ $\frac{x+1 - (2x - 4)}{x-2} \le 0$ $\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} \le 0$ $\frac{-x+5}{x-2} \le 0$ Maintenant, nous allons construire un tableau de signes pour l'expression $\frac{-x+5}{x-2}$. Les valeurs critiques sont les racines du numérateur et du dénominateur : - Numérateur : $-x+5 = 0 \Rightarrow x = 5$ - Dénominateur : $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (valeur interdite) | $x$ | $-\infty$ | $2$ | $5$ | $+\infty$ | | :-------------- | :-------- | :-: | :-: | :-------- | | $-x+5$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $x-2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $\frac{-x+5}{x-2}$ | $-$ | $\|$ | $+$ | $0$ | $-$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles l'expression est $\le 0$. D'après le tableau, c'est pour $x \in ]-\infty, 2[ \cup [5, +\infty[$. L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, 2[ \cup [5, +\infty[$. Notez que $x=2$ est exclu. ## Correction de l'Exercice 4 : Équations et Inéquations avec Valeur Absolue > [!definition] Rappel sur la Valeur Absolue > - $|A| = B \iff (B \ge 0 \text{ et } (A = B \text{ ou } A = -B))$ > - $|A| < B \iff (-B < A < B)$ > - $|A| > B \iff (A < -B \text{ ou } A > B)$ > - $|A| \le B \iff (-B \le A \le B)$ > - $|A| \ge B \iff (A \le -B \text{ ou } A \ge B)$ ### 1. $|2x - 3| = 5$ D'après la définition, cela signifie que $2x - 3 = 5$ ou $2x - 3 = -5$. **Cas 1 :** $2x - 3 = 5$ $2x = 8$ $x = 4$ **Cas 2 :** $2x - 3 = -5$ $2x = -2$ $x = -1$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 4\}$. ### 2. $|x + 4| < 2$ D'après la définition, cela signifie que $-2 < x + 4 < 2$. C'est une double inéquation que l'on peut résoudre en deux parties ou simultanément : $-2 < x + 4 \quad \text{et} \quad x + 4 < 2$ $-2 - 4 < x \quad \text{et} \quad x < 2 - 4$ $-6 < x \quad \text{et} \quad x < -2$ Donc, $-6 < x < -2$. L'ensemble des solutions est $S = ]-6, -2[$. ### 3. $|3x - 1| \ge 4$ D'après la définition, cela signifie que $3x - 1 \le -4$ ou $3x - 1 \ge 4$. **Cas 1 :** $3x - 1 \le -4$ $3x \le -3$ $x \le -1$ **Cas 2 :** $3x - 1 \ge 4$ $3x \ge 5$ $x \ge \frac{5}{3}$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -1] \cup [\frac{5}{3}, +\infty[$. ## Correction de l'Exercice 5 : Équations et Inéquations avec Racines Carrées > [!warning] Attention aux Racines Carrées ! > 1. **Domaine de Définition :** L'expression sous la racine doit être $\ge 0$. > 2. **Condition de Positivité :** Si $\sqrt{A} = B$, alors $B$ doit être $\ge 0$. On ne peut pas avoir une racine carrée égale à un nombre négatif. > 3. **Solutions Étrangères :** Élever au carré peut introduire des solutions qui ne vérifient pas l'équation originale. Il est IMPÉRATIF de vérifier les solutions trouvées dans l'équation de départ. ### 1. $\sqrt{x + 5} = x - 1$ **Étape 1 : Domaine de Définition (DD)** Pour que $\sqrt{x+5}$ soit définie, il faut $x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$. Donc, $DD = [-5, +\infty[$. **Étape 2 : Condition de Positivité (CP)** Le membre de droite $x-1$ doit être positif ou nul pour être égal à une racine carrée : $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Les solutions doivent donc satisfaire $x \ge 1$. **Étape 3 : Résolution** Si les conditions sont remplies, on peut élever au carré les deux membres : $(\sqrt{x + 5})^2 = (x - 1)^2$ $x + 5 = x^2 - 2x + 1$ $0 = x^2 - 3x - 4$ Calculons le discriminant : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$. Les solutions de cette équation quadratique sont : $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ **Étape 4 : Vérification des solutions** Nous devons vérifier si $x_1$ et $x_2$ respectent la condition $x \ge 1$. - Pour $x_1 = -1$ : $-1 < 1$, donc $x_1$ n'est pas une solution de l'équation originale. (C'est une solution étrangère). - Pour $x_2 = 4$ : $4 \ge 1$, donc $x_2$ est une solution potentielle. Vérifions dans l'équation originale : $\sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$ $4-1 = 3$ L'égalité $3=3$ est vraie, donc $x_2=4$ est bien une solution. L'ensemble des solutions est $S = \{4\}$. ### 2. $\sqrt{2x - 1} < 3$ **Étape 1 : Domaine de Définition (DD)** Pour que $\sqrt{2x-1}$ soit définie, il faut $2x-1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$. Donc, $DD = [\frac{1}{2}, +\infty[$. **Étape 2 : Résolution** Puisque les deux membres de l'inéquation sont positifs (une racine carrée est toujours $\ge 0$, et $3 > 0$), on peut élever au carré sans changer le sens de l'inégalité : $(\sqrt{2x - 1})^2 < 3^2$ $2x - 1 < 9$ $2x < 10$ $x < 5$ **Étape 3 : Intersection avec le Domaine de Définition** Nous devons combiner la condition $x < 5$ avec le domaine de définition $x \ge \frac{1}{2}$. L'intersection de ces deux conditions est $\frac{1}{2} \le x < 5$. L'ensemble des solutions est $S = [\frac{1}{2}, 5[$. ### 3. $\sqrt{x^2 - 9} = 4$ **Étape 1 : Domaine de Définition (DD)** Pour que $\sqrt{x^2-9}$ soit définie, il faut $x^2-9 \ge 0$. Les racines de $x^2-9=0$ sont $x=-3$ et $x=3$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif, $x^2-9 \ge 0$ pour $x \in ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[$. Donc, $DD = ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[$. **Étape 2 : Condition de Positivité (CP)** Le membre de droite est $4$, qui est positif. Cette condition est satisfaite. **Étape 3 : Résolution** On élève au carré les deux membres : $(\sqrt{x^2 - 9})^2 = 4^2$ $x^2 - 9 = 16$ $x^2 = 25$ $x = \sqrt{25}$ ou $x = -\sqrt{25}$ $x_1 = 5$ $x_2 = -5$ **Étape 4 : Vérification des solutions** Nous devons vérifier si $x_1$ et $x_2$ sont dans le domaine de définition $DD = ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[$. - Pour $x_1 = 5$ : $5 \in DD$, car $5 \ge 3$. C'est une solution. - For $x_2 = -5$ : $-5 \in DD$, car $-5 \le -3$. C'est une solution. L'ensemble des solutions est $S = \{-5, 5\}$. ## Correction de l'Exercice 6 : Problème de Synthèse Résoudre l'inéquation suivante dans $\mathbb{R}$ : $ \frac{|x-3|}{x+1} \le 1 $ **Étape 1 : Domaine de Définition (DD)** Le dénominateur ne doit pas être nul : $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$. Donc, $DD = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. **Étape 2 : Ramener l'inéquation à une forme comparable à zéro** $\frac{|x-3|}{x+1} - 1 \le 0$ $\frac{|x-3| - (x+1)}{x+1} \le 0$ **Étape 3 : Étudier la valeur absolue** Nous devons distinguer deux cas selon le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue, $x-3$. - Si $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$, alors $|x-3| = x-3$. - Si $x-3 < 0 \Rightarrow x < 3$, alors $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. **Cas 1 : $x \ge 3$** Dans ce cas, $x+1$ est positif (car $x \ge 3 \Rightarrow x+1 \ge 4$). L'inéquation devient : $\frac{(x-3) - (x+1)}{x+1} \le 0$ $\frac{x-3-x-1}{x+1} \le 0$ $\frac{-4}{x+1} \le 0$ Puisque $-4$ est négatif, et $x+1$ est positif (pour $x \ge 3$), le quotient $\frac{-4}{x+1}$ est toujours négatif. Donc, $\frac{-4}{x+1} \le 0$ est toujours vrai pour $x \ge 3$. Les solutions pour ce cas sont $x \in [3, +\infty[$. **Cas 2 : $x < 3$** Dans ce cas, $|x-3| = 3-x$. L'inéquation devient : $\frac{(3-x) - (x+1)}{x+1} \le 0$ $\frac{3-x-x-1}{x+1} \le 0$ $\frac{2-2x}{x+1} \le 0$ Nous devons maintenant faire un tableau de signes pour $\frac{2-2x}{x+1}$ sur l'intervalle $x < 3$ (en tenant compte de $x \ne -1$). - Numérateur : $2-2x = 0 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. - Dénominateur : $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$. | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $3$ | | :-------------- | :-------- | :-: | :-: | :-: | | $2-2x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $\frac{2-2x}{x+1}$ | $-$ | $\|$ | $+$ | $0$ | $-$ | Nous cherchons les valeurs pour lesquelles $\frac{2-2x}{x+1} \le 0$ dans l'intervalle $x < 3$ (et $x \ne -1$). D'après le tableau, sur $]-\infty, 3[ \setminus \{-1\}$, l'expression est $\le 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup [1, 3[$. **Étape 4 : Combinaison des solutions** Les solutions sont l'union des solutions du Cas 1 et du Cas 2. - Solutions du Cas 1 ($x \ge 3$) : $[3, +\infty[$ - Solutions du Cas 2 ($x < 3$) : $]-\infty, -1[ \cup [1, 3[$ L'union de ces deux ensembles est : $S = (]-\infty, -1[ \cup [1, 3[) \cup [3, +\infty[$ $S = ]-\infty, -1[ \cup [1, +\infty[$ > [!tip] Visualisation sur une Droite Numérique > Pour combiner les intervalles, il est souvent utile de les visualiser sur une droite numérique. > > Cas 1: `------[3-------)` > Cas 2: `(--(-1)---[1--3)` > > Union: `(--(-1)---[1------------)` L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -1[ \cup [1, +\infty[$. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `03-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]