# ▷ Les fondamentaux du dénombrement > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse Combinatoire]] > [!tip] Tags > #Probabilités #Dénombrement #Ensemble #Cardinal #Partition #ProduitCartésien > [!NOTE] Fil directeur > Ce chapitre pose les bases de vocabulaire et les principes fondamentaux qui nous permettront de construire des raisonnements rigoureux pour compter des objets. > [!example] Contenu de ce cours > - Cardinalité > - Dénombrement > - Principe multiplicatif # ❶ Langage des ensembles > [!note]+ Définition : Ensemble et Éléments > Un **ensemble** est une collection d'objets, appelés **éléments**. > * On note $x \in E$ si $x$ est un élément de $E$. > * On note $x \notin E$ dans le cas contraire. > * L'**ensemble vide**, noté $\emptyset$, est l'ensemble ne contenant aucun élément. > * $\emptyset=\{\}$ > * Un ensemble $A$ est un **sous-ensemble** de $B$ si tous les éléments de $A$ sont aussi dans $B$. On note $A \subset B$. > [!note]+ Définition : Cardinal > Le **cardinal** d'un ensemble fini $E$, noté $card(E)$ ou $|E|$, est le nombre de ses éléments. > * **Exemple :** Si $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, alors $card(A) = 5$. > * **Remarques :** Si $A \subset B$, alors $card(A) \le card(B)$. Et $card(\emptyset) = 0$. ## Opérations sur les ensembles | Opération | Définition | Notation Mathématique | | :----------------- | :---------------------------------------- | :-------------------------------------------------- | | **Intersection** | Éléments communs à $A$ et $B$. | $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}$ | | **Réunion** | Éléments appartenant à $A$ **ou** à $B$. | $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$ | | **Complémentaire** | Éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$. | $\bar{A}$ ou $A^c = \{x \in E \mid x \notin A\}$ | ![[union_inter.png]] ![[complementatire.png|300]] > [!definition]+ Partition d'un ensemble > Une famille de sous-ensembles $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ forme une **partition** de $E$ si : > 1. Leur réunion est égale à $E$ : $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = E$. > 2. Ils sont deux à deux disjoints : $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour tout $i \neq j$. > [!definition]+ Produit Cartésien > Le produit cartésien de $A$ et $B$, noté $A \times B$, est l'ensemble de tous les **couples** ordonnés $(x, y)$ où $x \in A$ and $y \in B$. > $A\times B = \{(x,y) ; x\in A , y \in B\}$ # ❷ Règles de base du dénombrement ## Règle de la Somme (ou principe additif) > [!theorem]+ Règle de la Somme > Si deux ensembles $A$ et $B$ sont **disjoints** ($A \cap B = \emptyset$), alors le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux : > $ card(A \cup B) = card(A) + card(B) $ > **Intuition :** Si une action peut être réalisée de $m$ façons **OU** de $n$ façons, et que ces deux ensembles de façons sont totalement distincts, alors il y a $m+n$ façons au total. > [!exemple] > Dans une classe, il y a 13 garçons et 15 filles. Le nombre total d'élèves est $13 + 15 = 28$. ![[union_disj.png]] ## Principe d'inclusion-exclusion (Formule du crible de Poincaré) Que se passe-t-il si les ensembles ne sont pas disjoints ? On doit soustraire les éléments comptés en double. > [!theorem]+ Formule du crible pour 2 ensembles > Pour deux ensembles finis $A$ et $B$ : > $ card(A \cup B) = card(A) + card(B) - card(A \cap B) $ > [!theorem]+ Formule du crible pour 3 ensembles > Pour trois ensembles finis $A$, $B$ et $C$ : > $ card(A \cup B \cup C) = card(A) + card(B) + card(C) - (card(A \cap B) + card(A \cap C) + card(B \cap C)) + card(A \cap B \cap C) $ ![[union_int.png|350]] ### Règle du Produit (ou principe multiplicatif) > [!theorem]+ Règle du Produit > Le cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis $E$ et $F$ est le produit de leurs cardinaux : > $ card(E \times F) = card(E) \times card(F) $ > **Intuition :** Si une procédure se déroule en deux étapes successives, avec $m$ choix pour la première étape et $n$ choix pour la seconde (quel que soit le choix de la première), alors il y a $m \times n$ façons de réaliser la procédure complète. > [!exemple] > La carte d'un restaurant propose 5 entrées et 4 plats. Le nombre de menus (entrée + plat) est $5 \times 4 = 20$. > [!exemple] > $E= \{a,b\}$, $F= \{1,2, 3\}$ donc $card(E\times F) = 2\cdot 3 = 6$ > ![[principemu.png|450]] # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Analyse combinatoire]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse Combinatoire]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `28-Août-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]