%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Analyse Combinatoire|Accueil · Analyse Combinatoire]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Exercices - Analyse combinatoire\|Exercices - Analyse combinatoire →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% > [!tip] Tags > #Probabilités #Dénombrement #Ensemble #Cardinal #Partition #ProduitCartésien #pListe #Arrangement #Permutation #Combinaison #Factorielle #CoefficientBinomial > [!NOTE] Fil directeur > Ce chapitre pose les bases de vocabulaire et les principes fondamentaux qui nous permettront de dénombrer des ensembles finies. > [!example] Contenu de ce cours > - p-listes > - Arrangements > - Permutations > - Combinaisons Pour dénombrer, nous devons répondre à deux questions fondamentales sur le type de "tirage" que nous effectuons : 1. **L'ordre compte-t-il ?** (ex: un code `123` est-il différent de `321` ?) 2. **Les répétitions sont-elles permises ?** (ex: peut-on former le code `112` ?) En fonction des réponses, nous utiliserons un outil différent. # La factorielle ! > [!note] Définition > Soit $n\in \mathbb{N}$, on définit $ n! = \prod_{i=1}^{n} i = 1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n \quad \mathrm{si} \quad n\geq 1 $ > et $0! =1$ > [!example] Exemples > - $0! = 1$ > - $1! = 1$ > - $2! = 2\cdot1 = 2$ > - $3! = 3\cdot2\cdot1 = 6$ > - $5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$ # I - Les p-listes > [!definition]+ p-liste > Une **p-liste** d'un ensemble $E$ à $n$ éléments est une liste **ordonnée** de $p$ éléments de $E$, où les **répétitions sont autorisées**. > Le nombre de p-listes est : > $ n^p $ >[!example] Exemple 1 : >Combien de codes constitués de trois chiffres peut-on composer ? >Les chiffres à utiliser sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. >C'est un choix de $p=3$ chiffres parmi les $n=10$ **avec répétition** possible et **un ordre important**. >Le nombre de codes possibles est alors $10^3=10\times 10 \times 10=1000$ > [!example] Exemple 2 : > Un distributeur a 3 prospectus différents à répartir dans 5 boîtes aux lettres. > Pour chaque prospectus, il a 5 choix de boîtes. > Le nombre de répartitions possibles est $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$. # II - Les Arrangements > [!definition]+ Arrangement > Un **arrangement** de $p$ éléments parmi $n$ est une liste **ordonnée** de $p$ éléments **distincts** choisis parmi les $n$ éléments de $E$. > Le nombre d'arrangements est noté $A_n^p$ : > $ A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!} $ > [!example] Exemple : > On veut garer 3 voitures sur un parking de 6 places. > Pour la 1ère voiture, il y a 6 choix. Pour la 2ème, il en reste 5. Pour la 3ème, il en reste 4. > C'est un choix de $p=3$ places **ordonnées** parmi $n=6$ **sans répétition**. > Le nombre de possibilités est $A_6^3 = \dfrac{6!}{(6-3)!}=\dfrac{6!}{3!}=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!}=6 \times 5 \times 4 = 120$ >[!warning] Remarque : >**Sur la calculatrice Casio fx-92 Collège** >1. Appuyer sur **Catalog**. >2. Sélectionner **Probabilité**. >3. Choisir **Permutation P** pour calculer les arrangements. >4. Taper **nPp** pour obtenir la réponse de **$A_n^p$**. Sur l'exemple précédent, on obtient : ![[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Ressources_Anayse_combinatoire/arrangements.png||200]] ## Cas particulier : Les Permutations Les permutations sont des cas particuliers des arrangements où $n=p$. > [!definition]+ Permutation > Une **permutation** d'un ensemble $E$ à $n$ éléments est un arrangement de ses $n$ éléments. C'est une façon d'ordonner tous les éléments de l'ensemble. > Le nombre de permutations est noté $n!$ (factorielle n) : > $ P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 $ > [!example] Exemple : > Combien y a-t-il de manières de placer 12 tomes d'une encyclopédie côte à côte ? > Il y a $12! = 479,001,600$ manières. >[!warning] Remarque : >**Sur la calculatrice Casio fx-92 Collège** >1. Appuyer sur **Catalog**. >2. Sélectionner **Probabilité**. >3. Choisir **Factorielle(!)** pour calculer les permutations. >4. Taper **n!** pour obtenir la réponse. Sur l'exemple précédent, on obtient : ![[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Ressources_Anayse_combinatoire/permutations.png||200]] >[!tip] Cas où des éléments sont identiques > Le nombre de permutations de $n$ objets où il y a $n_1$ objets identiques de type 1, $n_2$ objets identiques de type 2, ..., $n_k$ objets identiques de type k, est : > $ P_n^{n_1, n_2,\cdots,n_k}=\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} $ >[!example] Exemple : > Quel est le nombre de mots (anagrammes) formés avec les lettres du mot BARBARE ? > Il y a 7 lettres au total. B (2 fois), A (2 fois), R (2 fois). > Nombre d'anagrammes = $P_7^{2,2,2}=\frac{7!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{5040}{2 \times 2 \times 2} = 630$. # III - Les Combinaisons > [!definition]+ Combinaison > Une **combinaison** de $p$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble de $p$ éléments **distincts** choisis parmi $n$. **L'ordre n'a pas d'importance**. > Le nombre de combinaisons est noté $C_n^p$ ou $\binom{n}{p}$ ("p parmi n") : > $ C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!} $ > [!example] Exemple : > Combien y a-t-il de podiums possibles de 3 coureurs sur 10 partants, si on ne tient pas compte de l'ordre (pas de médaille d'or/argent/bronze) ? > On choisit un sous-ensemble de 3 personnes parmi 10. (Pas d'ordre, pas de répétition) > $C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ >[!warning] Remarque : >**Sur la calculatrice Casio fx-92 Collège** >1. Appuyer sur **Catalog**. >2. Sélectionner **Probabilité**. >3. Choisir **Combinaison C** pour calculer les combinaisons. >4. Taper **nCp** pour obtenir la réponse de **$C_n^p$**. Sur l'exemple précédent, on obtient : ![[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Ressources_Anayse_combinatoire/combinaisons.png||200]] # IV - Les Combinaisons avec répétition > [!definition]+ Combinaisons avec répétition > C'est le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ **avec remise**, où **l'ordre ne compte pas**. > La formule est : > $ \Gamma_n^p = C_{n+p-1}^p = \binom{n+p-1}{p} $ > [!example] Exemple : > Un domino est formé de deux parties, chacune ayant de 0 à 6 points. Combien y a-t-il de dominos différents ? > C'est un tirage **non ordonné** de $p=2$ chiffres parmi $n=7$ ({0,1,2,3,4,5,6}), **avec répétition** autorisée (ex: le double-6). > $\Gamma_7^2 = \binom{7+2-1}{2} = \binom{8}{2} = 28$ **Sur la calculatrice Casio fx-92 Collège**, il faut utiliser les combinaisons pour faire le calcul de l'exemple précédent : taper **8C2** pour obtenir la réponse de $\Gamma_7^2$. # Résumé ![[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Ressources_Anayse_combinatoire/résumé analyse combinatoire.png||600]] # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Exercices - Analyse combinatoire|Exercices - Analyse combinatoire]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Analyse Combinatoire|Analyse Combinatoire]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `07-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Analyse Combinatoire|Accueil · Analyse Combinatoire]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Exercices - Analyse combinatoire\|Exercices - Analyse combinatoire →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%