%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Analyse Combinatoire|Accueil · Analyse Combinatoire]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Cours 1 - Analyse combinatoire\|← Cours 1 - Analyse combinatoire]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% ## Exercice 1 : Anagrammes 1. Dénombrer les anagrammes du mot ORGANISME. 2. Dénombrer les anagrammes du mot MOLECULE. 3. Dénombrer les anagrammes du mot ANAGRAMME. > [!success]- Correction de l'Exercice 1 > 1. **ORGANISME** : 9 lettres toutes distinctes. C'est une permutation simple. > Nombre d'anagrammes = $9! = 362,880$. > 2. **MOLECULE** : 8 lettres. La lettre E apparaît 2 fois. La même chose pour L. C'est une permutation avec répétition. > Nombre d'anagrammes = $\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10,080$. > 3. **ANAGRAMME** : 9 lettres. A (3 fois), M (2 fois). > Nombre d'anagrammes = $\frac{9!}{3! \times 2!} = \frac{362880}{6 \times 2} = 30,240$. ## Exercice 2 : Code bancaire Pour accéder à un service bancaire, il faut taper un code à 4 symboles. Ces symboles peuvent être soit une lettre (26 choix) soit un chiffre (10 choix), soit 36 symboles possibles au total. Combien y a-t-il de codes possibles ? > [!success]- Correction de l'Exercice 2 > C'est un tirage ordonné (le code 12AB est différent de AB12) et avec remise (le code AAAA est possible). C'est donc une p-liste. > * Ensemble de base $E$ = {lettres} $\cup$ {chiffres}, donc $card(E) = 26 + 10 = 36$. > * Longueur de la liste $p=4$. > > Nombre de codes = $n^p=36^4 = 1,679,616$. ## Exercice 3 : Choix de nombres Six étudiants choisissent mentalement un nombre entier compris entre 2 et 7 (inclus). On répertorie les 6 nombres choisis. L'ensemble des nombres possibles est {2, 3, 4, 5, 6, 7}, soit 6 nombres. 1. Combien de résultats (listes de 6 nombres) peut-on obtenir ? 2. Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ? > [!success]- Correction de l'Exercice 3 > 1. Chaque étudiant a 6 choix. L'ordre compte (l'étudiant 1 choisissant 2 est différent de l'étudiant 2 choisissant 2) et les répétitions sont possibles (deux étudiants peuvent choisir le même nombre). C'est une p-liste. > $n=6$ (nombre de choix), $p=6$ (nombre d'étudiants). > Nombre de résultats = $6^6 = 46,656$. > 2. Si les nombres doivent être distincts, c'est un tirage ordonné et sans remise. C'est une permutation de l'ensemble {2, 3, 4, 5, 6, 7}. > Nombre de résultats = $6! = 720$. ## Exercice 4 : Groupes sanguins On analyse le groupe sanguin de 10 personnes : 4 du groupe O, 3 du groupe A, 2 du groupe B, 1 du groupe AB. On extrait 3 personnes au hasard. Dénombrer les cas où : 1. Les 3 personnes tirées appartiennent au même groupe sanguin. 2. Au moins 2 des 3 personnes tirées appartiennent au même groupe sanguin. 3. Les 3 personnes tirées appartiennent à des groupes sanguins différents. > [!success]- Correction de l'Exercice 4 > L'ordre du tirage ne compte pas, on choisit des sous-ensembles. On utilise les combinaisons. > > 1. **Même groupe :** > * Soit 3 du groupe O : $\binom{4}{3} = 4$ cas. > * Soit 3 du groupe A : $\binom{3}{3} = 1$ cas. > * (Impossible pour B et AB car il n'y a pas assez de personnes). > Total (règle de la somme) = $4 + 1 = 5$ cas. > > 2. **Au moins 2 du même groupe :** C'est le cas "2 pareils, 1 différent" OU "3 pareils". > * Cas "3 pareils" : 5 cas (calculé en 1). > * Cas "2 pareils, 1 différent" : > * 2 de O et 1 non-O : $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$. > * 2 de A et 1 non-A : $\binom{3}{2} \times \binom{7}{1} = 3 \times 7 = 21$. > * 2 de B et 1 non-B : $\binom{2}{2} \times \binom{8}{1} = 1 \times 8 = 8$. > * Total "2 pareils" = $36 + 21 + 8 = 65$. > Total "au moins 2" = $65 + 5 = 70$ cas. > > 3. **3 groupes différents :** On choisit 1 personne dans 3 groupes distincts. > * 1 O, 1 A, 1 B : $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 4 \times 3 \times 2 = 24$. > * 1 O, 1 A, 1 AB : $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 4 \times 3 \times 1 = 12$. > * 1 O, 1 B, 1 AB : $\binom{4}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 4 \times 2 \times 1 = 8$. > * 1 A, 1 B, 1 AB : $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 2 \times 1 = 6$. > Total = $24 + 12 + 8 + 6 = 50$ cas. > > **Vérification :** Le nombre total de tirages est $\binom{10}{3} = 120$. > ("Au moins 2 pareils") + ("tous différents") = $70 + 50 = 120$. Le compte est bon. ## Exercice 4 : La Course Une course de 8 athlètes a lieu. 1. Combien y a-t-il de podiums possibles ? 2. Combien y a-t-il de classements complets possibles ? 3. Anne a participé à la course et a terminé sur le podium. Sachant cette information, combien de classements complets sont possibles ? > [!success]- Correction Exercice 4 > 1. Un podium tient compte de l'ordre (1er, 2ème, 3ème) parmi 8. C'est un arrangement : > $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$ podiums. > 2. Un classement complet utilise tous les athlètes. C'est une permutation : > $P_8 = 8! = 40\,320$ classements. > 3. Si Anne est sur le podium, elle occupe soit la 1ère, la 2ème ou la 3ème place (3 possibilités). Pour chacune, on classe les 7 autres athlètes ($7!$ façons). > Total : $3 \times 7! = 3 \times 5\,040 = 15\,120$ classements. ## Exercice 5 : Le Cinéma Deux groupes d'étudiants se rendent au cinéma. Le premier est composé de 6 personnes et le deuxième de 4 personnes. Les étudiants s'installent sur une rangée de dix places. 1. Combien de configurations différentes existe-t-il ? 2. Les deux groupes ne veulent pas être séparés. Combien de configurations sont possibles ? > [!success]- Correction Exercice 5 > 1. On range 10 personnes sur 10 places : $10! = 3\,628\,800$ configurations. > 2. Si les groupes restent unis, on a deux blocs. > - Ordre des blocs : soit (Groupe 1 puis Groupe 2), soit (Groupe 2 puis Groupe 1) $\to 2$ possibilités. > - À l'intérieur du bloc 1 : $6!$ façons de se placer. > - À l'intérieur du bloc 2 : $4!$ façons de se placer. > Total : $2 \times 6! \times 4! = 2 \times 720 \times 24 = 34\,560$ configurations. ## Exercice 6 : Le Devoir de Maths Pour préparer le prochain devoir, le professeur donne une liste de dix exercices et vous recommande d'en travailler cinq. 1. Combien de combinaisons d'exercices pouvez-vous construire ? 2. Le professeur insiste sur le fait que l'exercice 8 est à travailler absolument. Il vous reste donc 4 exercices à choisir. Combien de combinaisons pouvez-vous construire ? > [!success]- Correction Exercice 6 > 1. L'ordre de choix des exercices ne compte pas. C'est une combinaison : > $\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ possibilités. > 2. Si l'exercice 8 est imposé, on doit choisir les 4 restants parmi les 9 autres : > $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ possibilités. ## Exercice 7 : Le Loto Dans une grille de loto, il faut choisir cinq nombres de 1 à 49 ainsi qu'un nombre chance allant de 1 à 10. De combien de manières différentes peut-on remplir sa grille ? > [!success]- Correction Exercice 7 > On combine le choix des 5 numéros et le choix du numéro chance (Principe multiplicatif) : > Total : $\binom{49}{5} \times \binom{10}{1} = 1\,906\,884 \times 10 = 19\,068\,840$ manières. ## Exercice 8 : Jeu de cartes (32 cartes) Une main est un ensemble de 5 cartes tirées sans remise et sans ordre. 1. Déterminer le nombre de mains comportant exactement 3 cœurs. 2. Comportant exactement un roi et exactement deux dames. 3. Comportant au plus 2 rois. > [!success]- Correction Exercice 8 > 1. On choisit 3 cœurs parmi 8, et 2 cartes parmi les 24 autres : > $\binom{8}{3} \times \binom{24}{2} = 56 \times 276 = 15\,456$ mains. > 2. Un roi parmi 4, deux dames parmi 4, et les 2 cartes restantes parmi les 24 autres (32 - 4 rois - 4 dames) : > $\binom{4}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{24}{2} = 4 \times 6 \times 276 = 6\,624$ mains. > 3. "Au plus 2 rois" signifie 0, 1 ou 2 rois : > - 0 roi : $\binom{28}{5} = 98\,280$ > - 1 roi : $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4} = 4 \times 20\,475 = 81\,900$ > - 2 rois : $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = 19\,656$ > Total : $98\,280 + 81\,900 + 19\,656 = 199\,836$ mains. ## Exercice 9 : La Délégation Une assemblée de 30 personnes élit une délégation de 4 personnes. 1. Combien de délégations peut-on ainsi désigner ? 2. Alice et Bob ne se supportent pas et ne souhaitent pas faire tous deux partie de la délégation. Combien de possibilités reste-t-il ? 3. Camille et Dominique sont inséparables : si l'un est là, l'autre doit l'être aussi. Combien de possibilités ? > [!success]- Correction Exercice 9 > 1. $\binom{30}{4} = 27\,405$ délégations. > 2. **Méthode par soustraction :** Total - (Alice et Bob ensemble). > Si Alice et Bob sont ensemble, on choisit les 2 autres parmi 28 : $\binom{28}{2} = 378$. > Résultat : $27\,405 - 378 = 27\,027$ possibilités. > 3. Deux cas de figure : > - Ils sont tous les deux présents : on choisit les 2 autres parmi 28 $\to \binom{28}{2} = 378$. > - Ils sont tous les deux absents : on choisit les 4 délégués parmi les 28 autres $\to \binom{28}{4} = 20\,475$. > Total : $378 + 20\,475 = 20\,853$ possibilités. ---- # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `07-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Analyse Combinatoire|Accueil · Analyse Combinatoire]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Analyse combinatoire/Cours 1 - Analyse combinatoire\|← Cours 1 - Analyse combinatoire]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%