# 📝 Analyse Combinatoire - Exercices > [!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Analyse combinatoire]] > - [[Cours 2 - Analyse combinatoire]] ### Exercice 1 : La visite médicale La Société Maigrir Sans Effort fait passer une visite médicale à ses 60 employés. Voici les résultats : * 35 sont obèses (O) * 30 sont hypertendus (H) * 25 ont un taux de cholestérol trop élevé (C) * 10 sont obèses et hypertendus ($O \cap H$) * 15 sont hypertendus et ont trop de cholestérol ($H \cap C$) * 12 sont obèses et ont trop de cholestérol ($O \cap C$) * 5 ont les trois problèmes à la fois ($O \cap H \cap C$) En utilisant la formule d'inclusion-exclusion, calculer le nombre d'employés qui n'ont **aucun** de ces problèmes. > [!success]- Correction de l'Exercice 1 > On cherche $card(\overline{O \cup H \cup C})$. C'est le nombre total d'employés moins ceux qui ont au moins un problème, i.e. $60 - card(O \cup H \cup C)$. > > D'après la formule du crible pour 3 ensembles : > $card(O \cup H \cup C) = card(O) + card(H) + card(C) - [card(O \cap H) + card(H \cap C) + card(O \cap C)] + card(O \cap H \cap C)$ > $card(O \cup H \cup C) = 35 + 30 + 25 - [10 + 15 + 12] + 5$ > $card(O \cup H \cup C) = 90 - 37 + 5 = 58$. > > Il y a 58 employés avec au moins un problème. > Le nombre d'employés sans aucun problème est donc $60 - 58 = 2$. ### Exercice 2 : Anagrammes 1. Dénombrer les anagrammes du mot ORGANISME. 2. Dénombrer les anagrammes du mot MOLECULE. 3. Dénombrer les anagrammes du mot ANAGRAMME. > [!success]- Correction de l'Exercice 2 > 1. **ORGANISME** : 9 lettres toutes distinctes. C'est une permutation simple. > Nombre d'anagrammes = $9! = 362,880$. > 2. **MOLECULE** : 8 lettres. La lettre E apparaît 2 fois. La même chose pour L. C'est une permutation avec répétition. > Nombre d'anagrammes = $\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10,080$. > 3. **ANAGRAMME** : 9 lettres. A (3 fois), M (2 fois). > Nombre d'anagrammes = $\frac{9!}{3! \times 2!} = \frac{362880}{6 \times 2} = 30,240$. ### Exercice 3 : Code bancaire Pour accéder à un service bancaire, il faut taper un code à 4 symboles. Ces symboles peuvent être soit une lettre (26 choix) soit un chiffre (10 choix), soit 36 symboles possibles au total. Combien y a-t-il de codes possibles ? > [!success]- Correction de l'Exercice 3 > C'est un tirage ordonné (le code 12AB est différent de AB12) et avec remise (le code AAAA est possible). C'est donc une p-liste. > * Ensemble de base $E$ = {lettres} $\cup$ {chiffres}, donc $card(E) = 26 + 10 = 36$. > * Longueur de la liste $p=4$. > > Nombre de codes = $36^4 = 1,679,616$. ### Exercice 4 : Choix de nombres Six étudiants choisissent mentalement un nombre entier compris entre 2 et 7 (inclus). On répertorie les 6 nombres choisis. L'ensemble des nombres possibles est {2, 3, 4, 5, 6, 7}, soit 6 nombres. 1. Combien de résultats (listes de 6 nombres) peut-on obtenir ? 2. Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ? > [!success]- Correction de l'Exercice 4 > 1. Chaque étudiant a 6 choix. L'ordre compte (l'étudiant 1 choisissant 2 est différent de l'étudiant 2 choisissant 2) et les répétitions sont possibles (deux étudiants peuvent choisir le même nombre). C'est une p-liste. > $n=6$ (nombre de choix), $p=6$ (nombre d'étudiants). > Nombre de résultats = $6^6 = 46,656$. > 2. Si les nombres doivent être distincts, c'est un tirage ordonné et sans remise. C'est une permutation de l'ensemble {2, 3, 4, 5, 6, 7}. > Nombre de résultats = $6! = 720$. ### Exercice 5 : Groupes sanguins On analyse le groupe sanguin de 10 personnes : 4 du groupe O, 3 du groupe A, 2 du groupe B, 1 du groupe AB. On extrait 3 personnes au hasard. Dénombrer les cas où : 1. Les 3 personnes tirées appartiennent au même groupe sanguin. 2. Au moins 2 des 3 personnes tirées appartiennent au même groupe sanguin. 3. Les 3 personnes tirées appartiennent à des groupes sanguins différents. > [!success]- Correction de l'Exercice 5 > L'ordre du tirage ne compte pas, on choisit des sous-ensembles. On utilise les combinaisons. > > 1. **Même groupe :** > * Soit 3 du groupe O : $\binom{4}{3} = 4$ cas. > * Soit 3 du groupe A : $\binom{3}{3} = 1$ cas. > * (Impossible pour B et AB car il n'y a pas assez de personnes). > Total (règle de la somme) = $4 + 1 = 5$ cas. > > 2. **Au moins 2 du même groupe :** C'est le cas "2 pareils, 1 différent" OU "3 pareils". > * Cas "3 pareils" : 5 cas (calculé en 1). > * Cas "2 pareils, 1 différent" : > * 2 de O et 1 non-O : $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$. > * 2 de A et 1 non-A : $\binom{3}{2} \times \binom{7}{1} = 3 \times 7 = 21$. > * 2 de B et 1 non-B : $\binom{2}{2} \times \binom{8}{1} = 1 \times 8 = 8$. > * Total "2 pareils" = $36 + 21 + 8 = 65$. > Total "au moins 2" = $65 + 5 = 70$ cas. > > 3. **3 groupes différents :** On choisit 1 personne dans 3 groupes distincts. > * 1 O, 1 A, 1 B : $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 4 \times 3 \times 2 = 24$. > * 1 O, 1 A, 1 AB : $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 4 \times 3 \times 1 = 12$. > * 1 O, 1 B, 1 AB : $\binom{4}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 4 \times 2 \times 1 = 8$. > * 1 A, 1 B, 1 AB : $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 2 \times 1 = 6$. > Total = $24 + 12 + 8 + 6 = 50$ cas. > > **Vérification :** Le nombre total de tirages est $\binom{10}{3} = 120$. > ("Au moins 2 pareils") + ("tous différents") = $70 + 50 = 120$. Le compte est bon. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]