%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Calcul matriciel|Accueil · Calcul matriciel]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Cours 2 - Calcul Matriciel\|Cours 2 - Calcul Matriciel →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Opérations matricielles > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Calcul matriciel|Calcul matriciel]] >[!example] Contenu du cours >- Définition d'une matrice >- Somme de matrices >- Multiplication par un scalaire >- Produit de matrices >- Transposée d'une matrice # I - Les Matrices : Définition > [!definition] Définition d'une Matrice > Une **matrice** est un tableau rectangulaire de nombres (ou d'autres objets mathématiques) organisés en lignes et en colonnes. > > Une matrice $A$ de taille $m \times n$ (prononcé "m par n") est un tableau ayant $m$ lignes et $n$ colonnes. Ses éléments sont généralement notés $a_{ij}$, où $i$ est l'indice de la ligne ($1 \le i \le m$) et $j$ est l'indice de la colonne ($1 \le j \le n$). > > On écrit généralement une matrice sous la forme : > $ A = \begin{pmatrix} > a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ > a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ > \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ > a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} > \end{pmatrix} $ > On peut aussi la noter de manière compacte $A = (a_{ij})_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$. > > Les nombres $a_{ij}$ sont appelés les **coefficients** ou **éléments** de la matrice. Ils peuvent être des nombres réels ($\mathbb{R}$), complexes ($\mathbb{C}$), ou plus généralement des éléments d'un corps $\mathbb{K}$. L'ensemble de toutes les matrices de taille $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$. > [!example] Exemples de Matrices > 1. Une matrice $A$ de taille $2 \times 3$ à coefficients réels : > $ A = \begin{pmatrix} > 1 & 0 & -2 \\ > 3 & 4 & 5 > \end{pmatrix} $ > Ici, $a_{11}=1$, $a_{13}=-2$, $a_{22}=4$. > > 2. Une matrice $B$ de taille $3 \times 1$ (matrice colonne ou vecteur colonne) : > $ B = \begin{pmatrix} > 7 \\ > -1 \\ > 0 > \end{pmatrix} $ > > 3. Une matrice $C$ de taille $1 \times 4$ (matrice ligne ou vecteur ligne) : > $ C = \begin{pmatrix} > 2 & 0 & 0 & 9 > \end{pmatrix} $ > [!note] Types de matrices particuliers > - **Matrice carrée** : Une matrice est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes, c'est-à-dire $m=n$. On parle alors de matrice de taille $n$ et on la note souvent $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. > - **Matrice nulle** : La matrice dont tous les coefficients sont nuls, notée $0_{m,n}$ ou simplement $0$ si le contexte est clair. > - **Matrice identité** : C'est une matrice carrée, notée $I_n$, dont les coefficients $a_{ii}$ (éléments de la diagonale principale) sont égaux à 1 et tous les autres coefficients sont nuls. > $ I_3 = \begin{pmatrix} > 1 & 0 & 0 \\ > 0 & 1 & 0 \\ > 0 & 0 & 1 > \end{pmatrix} $ > La matrice identité joue un rôle similaire à celui du nombre 1 dans la multiplication des nombres. # II - Opérations sur les Matrices Nous allons définir les opérations fondamentales sur les matrices : l'addition, la multiplication par un scalaire et la multiplication de matrices. ## Somme de Matrices L'addition de matrices est une opération simple, mais elle n'est possible que sous une condition stricte. > [!definition] Somme de Matrices > Soient $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ deux matrices de *même taille* $m \times n$. Leur somme, notée $A+B$, est la matrice $C = (c_{ij})$ de taille $m \times n$ dont les coefficients sont la somme des coefficients correspondants de $A$ et $B$ : > $ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \quad \text{pour tout } 1 \le i \le m, 1 \le j \le n $ > [!example] Exemple de Somme de Matrices > Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. > Alors, leur somme est : > $ A+B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} $ > [!warning] Condition d'existence > La somme de matrices n'est définie que si les matrices ont *exactement les mêmes dimensions*. On ne peut pas additionner une matrice $2 \times 3$ et une matrice $3 \times 2$. > [!theorem] Propriétés de la Somme de Matrices > Pour toutes matrices $A, B, C \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ : > 1. **Commutativité** : $A+B = B+A$ > 2. **Associativité** : $(A+B)+C = A+(B+C)$ > 3. **Élément neutre** : Il existe une matrice nulle $0_{m,n}$ telle que $A+0_{m,n} = A$. > 4. **Opposé** : Pour toute matrice $A$, il existe une matrice $(-A)$ (obtenue en multipliant chaque coefficient de $A$ par $-1$) telle que $A+(-A) = 0_{m,n}$. ## Multiplication d'une Matrice par un Scalaire > [!definition] Multiplication par un Scalaire > Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de taille $m \times n$ et $k \in \mathbb{K}$ un scalaire. Le produit de $A$ par le scalaire $k$, noté $kA$, est la matrice $C = (c_{ij})$ de taille $m \times n$ dont les coefficients sont obtenus en multipliant chaque coefficient de $A$ par $k$ : > $ c_{ij} = k \cdot a_{ij} \quad \text{pour tout } 1 \le i \le m, 1 \le j \le n $ > [!example] Exemple de Multiplication par un Scalaire > Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et le scalaire $k=3$. > Alors : > $ 3A = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 3 & 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} $ > [!theorem] Propriétés de la Multiplication par un Scalaire > Pour toutes matrices $A, B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ et tous scalaires $k, l \in \mathbb{K}$ : > 1. **Distributivité par rapport à la somme de matrices** : $k(A+B) = kA + kB$ > 2. **Distributivité par rapport à la somme de scalaires** : $(k+l)A = kA + lA$ > 3. **Associativité des scalaires** : $k(lA) = (kl)A$ > 4. **Élément neutre pour la multiplication scalaire** : $1 \cdot A = A$ (où 1 est l'unité du corps $\mathbb{K}$) ## Multiplication de Matrices La multiplication de matrices est l'opération la plus complexe et la plus fondamentale. Elle est à la base de nombreuses applications des matrices. > [!definition] Multiplication de Matrices > Soient $A = (a_{ij})$ une matrice de taille **$m \times n$** et $B = (b_{jk})$ une matrice de taille **$n \times p$**. > Leur produit, noté $AB$, est la matrice $C = (c_{ik})$ de taille $m \times p$ dont les coefficients sont définis par : > $ c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk} \quad \text{pour tout } 1 \le i \le m, 1 \le k \le p $ > > En d'autres termes, le coefficient $c_{ik}$ est obtenu en effectuant le produit scalaire de la $i$-ème ligne de $A$ par la $k$-ème colonne de $B$. > [!warning] Condition d'existence > Pour que le produit $AB$ soit défini, le **nombre de colonnes de la première matrice ($A$) doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice ($B$)**. > Si $A$ est de taille $m \times n$ et $B$ est de taille $n \times p$, alors $AB$ est de taille $m \times p$. > > $(m \times \underline{n}) \times (\underline{n} \times p) \implies (m \times p)$ > [!example] Exemple de Multiplication de Matrices > Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ (taille $2 \times 3$) et $B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (taille $3 \times 2$). > Le produit $AB$ est défini car le nombre de colonnes de $A$ (3) est égal au nombre de lignes de $B$ (3). La matrice résultante $C = AB$ sera de taille $2 \times 2$. > > Calculons les coefficients de $C = (c_{ik})$ : > - $c_{11}$ = (1ère ligne de $A$) $\cdot$ (1ère colonne de $B$) > $c_{11} = (1 \cdot 7) + (2 \cdot 9) + (3 \cdot 2) = 7 + 18 + 6 = 31$ > - $c_{12}$ = (1ère ligne de $A$) $\cdot$ (2ème colonne de $B$) > $c_{12} = (1 \cdot 8) + (2 \cdot 1) + (3 \cdot 3) = 8 + 2 + 9 = 19$ > - $c_{21}$ = (2ème ligne de $A$) $\cdot$ (1ère colonne de $B$) > $c_{21} = (4 \cdot 7) + (5 \cdot 9) + (6 \cdot 2) = 28 + 45 + 12 = 85$ > - $c_{22}$ = (2ème ligne de $A$) $\cdot$ (2ème colonne de $B$) > $c_{22} = (4 \cdot 8) + (5 \cdot 1) + (6 \cdot 3) = 32 + 5 + 18 = 55$ > > Donc, $AB = \begin{pmatrix} 31 & 19 \\ 85 & 55 \end{pmatrix}$. > [!warning] Attention : La multiplication de matrices n'est PAS commutative > C'est une différence majeure avec la multiplication des nombres réels ! > En général, $AB \neq BA$. > > Reprenons l'exemple précédent. $A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 2$. > - $AB$ est défini et est une matrice $2 \times 2$. > - $BA$ est également défini (car $B$ est $3 \times \underline{2}$ et $A$ est $\underline{2} \times 3$) et est une matrice $3 \times 3$. > > Puisque les dimensions sont différentes, $AB$ ne peut pas être égal à $BA$. > > Même pour des matrices carrées, $AB$ n'est pas nécessairement égal à $BA$. > Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. > $AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ > $BA = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ > Clairement, $AB \neq BA$. > [!theorem] Propriétés de la Multiplication de Matrices > Sous réserve que les dimensions des matrices permettent les opérations : > 1. **Associativité** : $(AB)C = A(BC)$ > 2. **Distributivité par rapport à l'addition** : > - $A(B+C) = AB + AC$ (distributivité à gauche) > - $(A+B)C = AC + BC$ (distributivité à droite) > 3. **Compatibilité avec la multiplication par un scalaire** : $k(AB) = (kA)B = A(kB)$ > 4. **Élément neutre (pour les matrices carrées)** : Pour toute matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, il existe la matrice identité $I_n$ telle que $AI_n = I_nA = A$. ## Transposée d'une matrice >[!Theorem] Définition : >Soit $A=(a_{ij})$ une matrice de taille $m\times n$. La **transposée** de $A$, notée $A^T$, est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. Autrement dit, l'élément situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $A$ devient l'élément situé à la ligne $j$ et à la colonne $i$ de $A^T$. $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ Si $A$ est de taille $m\times n$, alors $A^T$ est de taille $n\times m$. >[!example] Exemple >Soit $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ Alors, $A^T= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ **Propriétés :** Soient $A$ et $B$ deux matrices de tailles compatibles et $\lambda$ un scalaire. 1. $(A^T)^T=A$ 2. $(A+B)^T=A^T+B^T$ 3. $(\lambda A)^T=\lambda A^T$ 4. $(AB)^T=B^TA^T$ --- # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Cours 2 - Calcul Matriciel|Cours 2 - Calcul Matriciel]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Calcul matriciel|Calcul matriciel]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] --- # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `08-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Calcul matriciel|Accueil · Calcul matriciel]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Cours 2 - Calcul Matriciel\|Cours 2 - Calcul Matriciel →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%