# ▷ Cours > Page d'accueil de la compétence: [[Calcul matriciel]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours # ❶ Le Déterminant ## Introduction Le déterminant est un outil indispensable pour comprendre l'**inversibilité d'une matrice**, la **dépendance linéaire de vecteurs** et, comme nous le verrons plus tard, la **diagonalisation des matrices**, une compétence fondamentale pour l'analyse des systèmes dynamiques et de nombreuses applications en ingénierie. ## Rappels et Contexte Avant de plonger dans le vif du sujet, il est essentiel de se remémorer quelques notions d'**espaces vectoriels** qui sous-tendent la compréhension du déterminant. > [!note] Rappel : Dépendance Linéaire > Un ensemble de vecteurs $\{v_1, \dots, v_n\}$ d'un espace vectoriel $E$ est **linéairement dépendant** si au moins un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres. Autrement dit, il existe des scalaires non tous nuls $c_1, \dots, c_n$ tels que $c_1 v_1 + \dots + c_n v_n = 0_E$. > Si l'unique solution est $c_1 = \dots = c_n = 0$, alors les vecteurs sont **linéairement indépendants**. Pour une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, ses colonnes (ou ses lignes) peuvent être vues comme des vecteurs de $\mathbb{R}^n$. Le déterminant nous donnera un critère simple pour savoir si ces vecteurs sont linéairement indépendants. # ❷ Définition du Déterminant Le déterminant est une fonction qui associe à chaque matrice carrée un scalaire. Sa définition générale est assez complexe, impliquant des permutations. Nous allons l'introduire progressivement. ## Cas des matrices d'ordre 2 > [!definition] Déterminant d'une matrice $2 \times 2$ > Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice $2 \times 2$. Son déterminant, noté $\det(A)$ ou $|A|$, est défini par : > $ \det(A) = ad - bc $ > [!example] Exemple 1 > Calculons le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. > $\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$. ## Cas des matrices d'ordre 3 (Règle de Sarrus) Pour les matrices $3 \times 3$, il existe une règle mnémotechnique appelée **Règle de Sarrus**. > [!definition] Déterminant d'une matrice $3 \times 3$ (Règle de Sarrus) > Soit $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ une matrice $3 \times 3$. > Pour appliquer la règle de Sarrus, on recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice : > $ \begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array} $ > Le déterminant est la somme des produits des éléments le long des trois diagonales descendantes, moins la somme des produits des éléments le long des trois diagonales ascendantes : > $ \det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12}) $ <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 600 400"><defs><marker id="arrow-pos" markerWidth="10" markerHeight="10" refX="9" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0 L0,6 L9,3 z" fill="#10b981"/></marker><marker id="arrow-neg" markerWidth="10" markerHeight="10" refX="9" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0 L0,6 L9,3 z" fill="#ef4444"/></marker></defs><rect width="600" height="400" fill="#ffffff"/><text x="300" y="50" font-family="sans-serif" font-size="24" font-weight="bold" fill="#1e293b" text-anchor="middle">Règle de Sarrus (Matrice 3x3)</text><line x1="337.5" y1="100" x2="337.5" y2="290" stroke="#1e293b" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,5"/><path d="M 100 100 L 100 290 M 120 100 L 100 100 M 120 290 L 100 290" fill="none" stroke="#1e293b" stroke-width="2"/><path d="M 320 100 L 320 290 M 300 100 L 320 100 M 300 290 L 320 290" fill="none" stroke="#1e293b" stroke-width="2"/><g stroke-width="3" opacity="0.6"><line x1="130" y1="110" x2="290" y2="280" stroke="#10b981" marker-end="url(#arrow-pos)"/><line x1="205" y1="110" x2="365" y2="280" stroke="#10b981" marker-end="url(#arrow-pos)"/><line x1="280" y1="110" x2="440" y2="280" stroke="#10b981" marker-end="url(#arrow-pos)"/><line x1="130" y1="280" x2="290" y2="110" stroke="#ef4444" marker-end="url(#arrow-neg)"/><line x1="205" y1="280" x2="365" y2="110" stroke="#ef4444" marker-end="url(#arrow-neg)"/><line x1="280" y1="280" x2="440" y2="110" stroke="#ef4444" marker-end="url(#arrow-neg)"/></g><g font-family="sans-serif" font-size="20" fill="#1e293b" text-anchor="middle"><text x="150" y="130">a₁₁</text><text x="225" y="130">a₁₂</text><text x="300" y="130">a₁₃</text><text x="375" y="130">a₁₁</text><text x="450" y="130">a₁₂</text><text x="150" y="200">a₂₁</text><text x="225" y="200">a₂₂</text><text x="300" y="200">a₂₃</text><text x="375" y="200">a₂₁</text><text x="450" y="200">a₂₂</text><text x="150" y="270">a₃₁</text><text x="225" y="270">a₃₂</text><text x="300" y="270">a₃₃</text><text x="375" y="270">a₃₁</text><text x="450" y="270">a₃₂</text></g><rect x="150" y="330" width="20" height="20" fill="#10b981" opacity="0.6"/><text x="180" y="346" font-family="sans-serif" font-size="16" fill="#1e293b">Diagonales (+) : Produits ajoutés</text><rect x="150" y="360" width="20" height="20" fill="#ef4444" opacity="0.6"/><text x="180" y="376" font-family="sans-serif" font-size="16" fill="#1e293b">Diagonales (-) : Produits soustraits</text></svg> ![[Pasted image 20260227162126.png]] > [!example] Exemple 2 > Calculons le déterminant de $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$. > En utilisant Sarrus : > $ \begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 \\ 5 & 6 & 0 & 5 & 6 \end{array} $ > Diagonales descendantes : $(1 \cdot 1 \cdot 0) + (2 \cdot 4 \cdot 5) + (3 \cdot 0 \cdot 6) = 0 + 40 + 0 = 40$. > Diagonales ascendantes : $(5 \cdot 1 \cdot 3) + (6 \cdot 4 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 2) = 15 + 24 + 0 = 39$. > $\det(B) = 40 - 39 = 1$. > [!warning] Attention > La règle de Sarrus n'est applicable *que* pour les matrices $3 \times 3$. Pour les matrices d'ordre supérieur, il faut utiliser la méthode générale par cofacteurs. ## Définition générale : Développement par cofacteurs (Formule de Laplace) Pour une matrice carrée $A$ d'ordre $n \ge 2$, le déterminant peut être défini de manière récursive en utilisant des déterminants de matrices d'ordre inférieur. Cette méthode est connue sous le nom de **développement par cofacteurs** ou **formule de Laplace**. > [!definition] Mineur et Cofacteur > Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d'ordre $n$. > 1. Le **mineur** $M_{ij}$ de l'élément $a_{ij}$ est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de $A$. > 2. Le **cofacteur** $C_{ij}$ de l'élément $a_{ij}$ est défini par $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. > [!definition] Développement par cofacteurs > Le déterminant d'une matrice $A = (a_{ij})$ d'ordre $n$ peut être calculé en développant le long de n'importe quelle ligne $i$ : > $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} $ > Ou en développant le long de n'importe quelle colonne $j$ : > $ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} $ > [!note] Astuce > Le terme $(-1)^{i+j}$ alterne les signes selon un motif de "damier" : > $ \begin{pmatrix} + & - & + & \dots \\ - & + & - & \dots \\ + & - & + & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} $ > Choisir une ligne ou une colonne contenant le plus de zéros simplifie grandement les calculs, car les termes $a_{ij} C_{ij}$ correspondants seront nuls. > [!example] Exemple 3 > Reprenons $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ et calculons son déterminant en développant le long de la première colonne (qui contient un zéro). > $\det(B) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}$ > > 1. $a_{11} = 1$. $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) = -24$. > 2. $a_{21} = 0$. $C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 6) = -1 \cdot (-18) = 18$. > 3. $a_{31} = 5$. $C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = 1 \cdot (8 - 3) = 5$. > > $\det(B) = 1 \cdot (-24) + 0 \cdot 18 + 5 \cdot 5 = -24 + 0 + 25 = 1$. > On retrouve bien le même résultat qu'avec la règle de Sarrus. # ❸ Propriétés Fondamentales du Déterminant Les propriétés du déterminant sont essentielles, non seulement pour simplifier les calculs, mais aussi pour comprendre sa signification théorique. > [!theorem] Théorème : Propriétés du Déterminant > Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre $n$. > > 1. **Déterminant de la matrice identité** : $\det(I_n) = 1$. > 2. **Transposition** : $\det(A^T) = \det(A)$. > *Conséquence : Toutes les propriétés énoncées pour les lignes sont aussi valables pour les colonnes.* > 3. **Multiplication par un scalaire** : Si $A'$ est obtenue en multipliant une *seule ligne ou colonne* de $A$ par un scalaire $k$, alors $\det(A') = k \det(A)$. > *Attention : Pour la matrice entière, $\det(kA) = k^n \det(A)$.* > 4. **Échange de lignes/colonnes** : Si $A'$ est obtenue en échangeant deux lignes (ou deux colonnes) de $A$, alors $\det(A') = -\det(A)$. > 5. **Lignes/colonnes identiques ou nulles** : > * Si $A$ a deux lignes (ou deux colonnes) identiques, alors $\det(A) = 0$. > * Si $A$ a une ligne (ou une colonne) entièrement nulle, alors $\det(A) = 0$. > 6. **Opération élémentaire de type $L_i \leftarrow L_i + k L_j$** : Si $A'$ est obtenue en ajoutant un multiple d'une ligne (ou colonne) à une autre ligne (ou colonne), alors $\det(A') = \det(A)$. > *Cette propriété est fondamentale pour le calcul par réduction de Gauss.* > 7. **Déterminant d'une matrice triangulaire** : Si $A$ est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), alors $\det(A)$ est le produit des éléments de sa diagonale principale : > $ \det(A) = a_{11} a_{22} \dots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii} $ > 8. **Déterminant d'un produit** : $\det(AB) = \det(A) \det(B)$. > *Attention : En général, $\det(A+B) \ne \det(A) + \det(B)$.* > 9. **Déterminant de l'inverse** : Si $A$ est inversible, alors $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$. > 10. **Critère d'inversibilité** : Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \ne 0$. > *Ceci est un lien direct avec la notion d'indépendance linéaire : les colonnes (ou lignes) de $A$ sont linéairement indépendantes si et seulement si $\det(A) \ne 0$.* > [!example] Exemple 4 : Utilisation des propriétés > Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$. > 1. $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$: > $\det(A) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ (Propriété 6) > 2. Échange $L_2 \leftrightarrow L_3$: > $\det(A) = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (Propriété 4) > 3. La matrice est maintenant triangulaire supérieure. > $\det(A) = - (1 \cdot 1 \cdot 1) = -1$ (Propriété 7) # ❹ Applications du Déterminant Le déterminant est un concept central avec de nombreuses applications. ## Inversibilité d'une matrice et indépendance linéaire Comme mentionné précédemment, la propriété la plus directe du déterminant est son lien avec l'inversibilité. > [!theorem] Théorème : Critère d'inversibilité > Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible si et seulement si $\det(A) \ne 0$. > > > [!note] Conséquence > > Les colonnes (ou les lignes) d'une matrice carrée $A$ forment une base de $\mathbb{R}^n$ si et seulement si $\det(A) \ne 0$. Autrement dit, elles sont linéairement indépendantes si et seulement si $\det(A) \ne 0$. ## Résolution de systèmes linéaires (Règle de Cramer) La règle de Cramer offre une méthode pour résoudre des systèmes d'équations linéaires de la forme $AX=B$, où $A$ est une matrice carrée inversible. > [!theorem] Règle de Cramer > Soit $AX=B$ un système de $n$ équations à $n$ inconnues, où $A$ est une matrice carrée inversible. La solution unique $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est donnée par : > $ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $ > où $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la $i$-ième colonne de $A$ par le vecteur colonne $B$. > [!warning] Attention > Bien que théoriquement élégante, la règle de Cramer est **extrêmement inefficace** pour la résolution de systèmes de grande taille en pratique, car elle nécessite le calcul de $n+1$ déterminants d'ordre $n$. Pour les systèmes de grande taille, les méthodes d'élimination de Gauss sont préférables. ## Interprétation géométrique Le déterminant a une signification géométrique profonde. > [!note] Interprétation géométrique > Pour une matrice $A$ d'ordre $n$: > * Si $n=2$, $|\det(A)|$ représente l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes (ou lignes) de $A$. > * Si $n=3$, $|\det(A)|$ représente le volume du parallélépipède formé par les vecteurs colonnes (ou lignes) de $A$. > * Plus généralement, pour $n$, $|\det(A)|$ est le volume de l'hyper-parallélépipède engendré par les vecteurs colonnes de $A$. > > Le signe du déterminant indique l'orientation de la base formée par les vecteurs. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: [[Cours 1 - Calcul Matriciel]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Calcul Matriciel]] - Page d'accueil de la compétence: [[Calcul matriciel]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `06-Octobre-2025`