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Calculez : 1. $A+B$ 2. $2A$ 3. $AB$ ### Exercice 2 : Calcul de Déterminants Simples Calculez le déterminant des matrices suivantes : 1. $M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ 2. $M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ ### Exercice 3 : Inversibilité et Inverse par Méthode de Gauss Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $\det(A)$. Que pouvez-vous en déduire concernant l'inversibilité de $A$ ? 2. Calculez $A^{-1}$ en utilisant la méthode du pivot de Gauss (méthode de la matrice augmentée). ### Exercice 4 : Résolution d'une Équation Matricielle Résolvez l'équation matricielle $AX = B$, où $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$. La matrice $X$ est un vecteur colonne. ### Exercice 5 : Déterminant Paramétré et Inversibilité Soit la matrice $M_a = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, où $a \in \mathbb{R}$. 1. Calculez $\det(M_a)$. 2. Déterminez pour quelles valeurs de $a$ la matrice $M_a$ est inversible. ### Exercice 6 : Matrice de Projection et Puissances Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. 1. Montrez que $P$ est une matrice de projection, c'est-à-dire que $P^2 = P$. 2. Calculez $P^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. ### Exercice 7 : Propriétés de l'Inverse et de la Transposée Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices inversibles. 1. Démontrez que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. 2. Démontrez que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. ### Exercice 8 : Calcul de l'Inverse par la Comatrice Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $\det(A)$. 2. Déterminez la comatrice de $A$, notée $\text{com}(A)$. 3. Déduisez-en $A^{-1}$ en utilisant la formule $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$. ### Exercice 9 : Matrices Nilpotentes et Commutation Soit la matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $N^2$ et $N^3$. Que pouvez-vous dire de la matrice $N$ ? 2. Trouvez toutes les matrices $X \in M_3(\mathbb{R})$ qui commutent avec $N$, c'est-à-dire telles que $NX = XN$. # ✅ Corrigés Détaillés ### Correction Exercice 1 : Opérations Élémentaires sur les Matrices Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $A+B$ :** L'addition de matrices se fait terme à terme. $ A+B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+(-1) \\ 3+1 & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} $ 2. **Calcul de $2A$ :** La multiplication par un scalaire se fait en multipliant chaque terme de la matrice par ce scalaire. $ 2A = 2 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} $ 3. **Calcul de $AB$ :** Le produit matriciel est défini si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième. Ici, $A$ est $2 \times 2$ et $B$ est $2 \times 2$, donc le produit est possible et la matrice résultante sera $2 \times 2$. Le terme $(AB)_{ij}$ est le produit scalaire de la $i$-ème ligne de $A$ par la $j$-ème colonne de $B$. $ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0)+(2)(1) & (1)(-1)+(2)(2) \\ (3)(0)+(4)(1) & (3)(-1)+(4)(2) \end{pmatrix} $ $ AB = \begin{pmatrix} 0+2 & -1+4 \\ 0+4 & -3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} $ ### Correction Exercice 2 : Calcul de Déterminants Simples 1. **Déterminant de $M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ :** Pour une matrice $2 \times 2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc$. $ \det(M_1) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 $ 2. **Déterminant de $M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ :** Nous pouvons utiliser la règle de Sarrus ou le développement par cofacteurs. Développons par rapport à la première ligne : $ \det(M_2) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ $ \det(M_2) = 1 \cdot ((1)(1) - (0)(2)) - 0 + 2 \cdot ((3)(2) - (1)(0)) $ $ \det(M_2) = 1 \cdot (1 - 0) + 2 \cdot (6 - 0) $ $ \det(M_2) = 1 + 12 = 13 $ ### Correction Exercice 3 : Inversibilité et Inverse par Méthode de Gauss Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(A)$ et conclusion sur l'inversibilité :** $A$ est une matrice triangulaire supérieure. > [!theorem] Théorème > Le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses éléments diagonaux. $ \det(A) = (1)(1)(1) = 1 $ Puisque $\det(A) = 1 \neq 0$, la matrice $A$ est inversible. 2. **Calcul de $A^{-1}$ par la méthode du pivot de Gauss :** On forme la matrice augmentée $[A | I_3]$ et on applique des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer $A$ en $I_3$. La partie droite sera alors $A^{-1}$. $ [A | I_3] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_1 \leftarrow L_1 - 3L_3$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_3$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ La matrice $A^{-1}$ est donc : $ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ > [!tip] Vérification > Pour vérifier votre résultat, calculez $A A^{-1}$ ou $A^{-1} A$. Vous devez obtenir la matrice identité $I_3$. ### Correction Exercice 4 : Résolution d'une Équation Matricielle Résoudre $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$. Pour résoudre $AX=B$, si $A$ est inversible, alors $X = A^{-1}B$. 1. **Calcul de $\det(A)$ :** $ \det(A) = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 $ Puisque $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible. 2. **Calcul de $A^{-1}$ :** Pour une matrice $2 \times 2$, $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $ 3. **Calcul de $X = A^{-1}B$ :** $ X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(5)+(-1)(12) \\ (-2)(5)+(1)(12) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15-12 \\ -10+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $ La solution de l'équation est $X = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. ### Correction Exercice 5 : Déterminant Paramétré et Inversibilité Soit la matrice $M_a = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(M_a)$ :** Utilisons le développement par rapport à la première ligne : $ \det(M_a) = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $ $ \det(M_a) = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) $ $ \det(M_a) = a(a-1)(a+1) - (a-1) - (a-1) $ Factorisons $(a-1)$ : $ \det(M_a) = (a-1) [a(a+1) - 1 - 1] $ $ \det(M_a) = (a-1) [a^2 + a - 2] $ Cherchons les racines du polynôme $a^2 + a - 2$. Elles sont $a = 1$ et $a = -2$. Donc $a^2 + a - 2 = (a-1)(a+2)$. $ \det(M(a)) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2) $ 2. **Déterminer pour quelles valeurs de $a$ la matrice $M(a)$ est inversible :** La matrice $M(a)$ est inversible si et seulement si $\det(M(a)) \neq 0$. $ (a-1)^2(a+2) \neq 0 $ Ceci implique $a-1 \neq 0$ et $a+2 \neq 0$. Donc $a \neq 1$ et $a \neq -2$. La matrice $M(a)$ est inversible pour tout $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$. ### Correction Exercice 6 : Matrice de Projection et Puissances Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. 1. **Montrer que $P$ est une matrice de projection ($P^2 = P$) :** Calculons $P^2 = P \times P$: $ P^2 = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $ $ P^2 = \begin{pmatrix} (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) & (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) \\ (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) & (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) \end{pmatrix} $ $ P^2 = \begin{pmatrix} 1/4+1/4 & 1/4+1/4 \\ 1/4+1/4 & 1/4+1/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/4 & 2/4 \\ 2/4 & 2/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $ On constate que $P^2 = P$. $P$ est donc bien une matrice de projection. 2. **Calculer $P^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :** Puisque $P^2 = P$, nous pouvons déduire les puissances supérieures : * $P^1 = P$ * $P^2 = P$ * $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ Par récurrence, si $P^k = P$ pour un certain $k \ge 1$, alors $P^{k+1} = P^k \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$. Donc, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P^n = P$. $ P^n = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^* $ ### Correction Exercice 7 : Propriétés de l'Inverse et de la Transposée Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices inversibles. 1. **Démontrer que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ :** Pour montrer qu'une matrice $X$ est l'inverse d'une matrice $M$, il faut vérifier que $MX = I_n$ et $XM = I_n$. Posons $M = AB$ et $X = B^{-1}A^{-1}$. Calculons le produit $MX$: $ MX = (AB)(B^{-1}A^{-1}) $ Par associativité du produit matriciel : $ MX = A(BB^{-1})A^{-1} $ Puisque $B$ est inversible, $BB^{-1} = I_n$ (matrice identité). $ MX = A I_n A^{-1} $ $ MX = A A^{-1} $ Puisque $A$ est inversible, $A A^{-1} = I_n$. $ MX = I_n $ Calculons le produit $XM$: $ XM = (B^{-1}A^{-1})(AB) $ Par associativité du produit matriciel : $ XM = B^{-1}(A^{-1}A)B $ Puisque $A$ est inversible, $A^{-1}A = I_n$. $ XM = B^{-1} I_n B $ $ XM = B^{-1} B $ Puisque $B$ est inversible, $B^{-1}B = I_n$. $ XM = I_n $ Comme $MX = I_n$ et $XM = I_n$, on a bien démontré que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. 2. **Démontrer que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ :** Pour montrer qu'une matrice $X$ est l'inverse de $A^T$, il faut vérifier que $A^T X = I_n$ et $X A^T = I_n$. Posons $X = (A^{-1})^T$. Nous savons que $A A^{-1} = I_n$ et $A^{-1} A = I_n$. Appliquons la transposition à $A A^{-1} = I_n$: $ (A A^{-1})^T = I_n^T $ > [!theorem] Propriété de la transposition > Pour toutes matrices $M, N$ dont le produit est défini, $(MN)^T = N^T M^T$. $ (A^{-1})^T A^T = I_n $ De même, en appliquant la transposition à $A^{-1} A = I_n$: $ (A^{-1} A)^T = I_n^T $ $ A^T (A^{-1})^T = I_n $ Les deux conditions étant vérifiées, on a démontré que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. ### Correction Exercice 8 : Calcul de l'Inverse par la Comatrice Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(A)$ :** Développons par rapport à la première ligne : $ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ $ \det(A) = 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0 $ $ \det(A) = 1(1) - 2(-1) = 1 + 2 = 3 $ Puisque $\det(A) = 3 \neq 0$, la matrice $A$ est inversible. 2. **Détermination de la comatrice de $A$, $\text{com}(A)$ :** La comatrice est la matrice des cofacteurs $C_{ij}$, où $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ et $M_{ij}$ est le mineur (déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne). $ C_{11} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ $ C_{12} = - \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(-1) = 1 $ $ C_{13} = + \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1 $ $ C_{21} = - \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(2) = -2 $ $ C_{22} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ $ C_{23} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -(0-2) = 2 $ $ C_{31} = + \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 $ $ C_{32} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(1) = -1 $ $ C_{33} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ La comatrice est donc : $ \text{com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ 3. **Déduction de $A^{-1}$ :** La formule est $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$. D'abord, calculons la transposée de la comatrice, $(\text{com}(A))^T$ (appelée aussi matrice adjointe ou classique). $ (\text{com}(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $ Maintenant, multiplions par $1/\det(A) = 1/3$ : $ A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 2/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \end{pmatrix} $ ### Correction Exercice 9 : Matrices Nilpotentes et Commutation Soit la matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $N^2$ et $N^3$. Que peut-on dire de $N$ ?** $ N^2 = N \times N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ $ N^3 = N^2 \times N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ Puisque $N^3 = 0_3$ (la matrice nulle) et $N^2 \neq 0_3$, la matrice $N$ est dite **nilpotente d'indice 3**. 2. **Trouver toutes les matrices $X \in M_3(\mathbb{R})$ qui commutent avec $N$ :** Soit $X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$. Nous voulons $NX = XN$. Calculons $NX$: $ NX = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ Calculons $XN$: $ XN = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} $ Pour que $NX = XN$, nous devons avoir l'égalité terme à terme des deux matrices : $ \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} $ En comparant les éléments : * $d = 0$ * $e = a$ * $f = b$ * $g = 0$ * $h = d \implies h = 0$ (puisque $d=0$) * $i = e \implies i = a$ (puisque $e=a$) * $0 = 0$ (ligne 3, colonne 1) * $0 = g \implies g = 0$ (ce qui est cohérent) * $0 = h \implies h = 0$ (ce qui est cohérent) En résumé, les conditions sont : $d=0$, $g=0$ $e=a$ $f=b$ $h=0$ $i=a$ La matrice $X$ doit donc être de la forme : $ X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} $ où $a, b, c$ sont des réels arbitraires. ---- # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `08-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Calcul matriciel|Accueil · Calcul matriciel]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Calcul Matriciel/Cours 3 - Calcul Matriciel\|← Cours 3 - Calcul Matriciel]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%