# ▷ Exercices > Page d'accueil de la compétence: [[Calcul matriciel]] >[!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Calcul Matriciel]] > - [[Cours 2 - Calcul Matriciel]] > - [[Cours 3 - Calcul Matriciel]] # 📝 Exercices ## Partie 1 : Exercices Basiques (Application Directe) > [!tip] Astuce > Ces premiers exercices visent à consolider les définitions et les opérations fondamentales. Assurez-vous de bien maîtriser les règles de calcul avant de passer aux exercices suivants. ### Exercice 1 : Opérations Élémentaires sur les Matrices Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculez : 1. $A+B$ 2. $2A$ 3. $AB$ ### Exercice 2 : Calcul de Déterminants Simples Calculez le déterminant des matrices suivantes : 1. $M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ 2. $M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ ## Partie 2 : Exercices de Niveau Normal (Combinaison de Concepts) > [!note] Remarque > Ces exercices vous demanderont de combiner plusieurs notions du cours. N'hésitez pas à revoir les propriétés des déterminants et de l'inversion matricielle. ### Exercice 3 : Sous-Espace Vectoriel et Trace 1. Soit $S_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de taille $n \times n$ à coefficients réels, c'est-à-dire $A \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $A^T = A$. Montrez que $S_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$. 2. Calculez la trace de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. ### Exercice 4 : Inversibilité et Inverse par Méthode de Gauss Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $\det(A)$. Que pouvez-vous en déduire concernant l'inversibilité de $A$ ? 2. Calculez $A^{-1}$ en utilisant la méthode du pivot de Gauss (méthode de la matrice augmentée). ### Exercice 5 : Résolution d'une Équation Matricielle Résolvez l'équation matricielle $AX = B$, où $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$. La matrice $X$ est un vecteur colonne. ### Exercice 6 : Déterminant Paramétré et Inversibilité Soit la matrice $M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, où $a \in \mathbb{R}$. 1. Calculez $\det(M(a))$. 2. Déterminez pour quelles valeurs de $a$ la matrice $M(a)$ est inversible. ## Partie 3 : Exercices Plus Élaborés (Problèmes) > [!warning] Attention > Ces exercices demandent plus de réflexion et peuvent nécessiter la combinaison de plusieurs techniques. Ils sont conçus pour vous préparer à des problèmes plus complexes rencontrés en ingénierie. ### Exercice 7 : Matrice de Projection et Puissances Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. 1. Montrez que $P$ est une matrice de projection, c'est-à-dire que $P^2 = P$. 2. Calculez $P^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. > [!note] Préparation à la Diagonalisation > Les puissances de matrices sont un concept clé qui sera grandement simplifié par la diagonalisation. ### Exercice 8 : Propriétés de l'Inverse et de la Transposée Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices inversibles. 1. Démontrez que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. 2. Démontrez que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. ### Exercice 9 : Calcul de l'Inverse par la Comatrice Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $\det(A)$. 2. Déterminez la comatrice de $A$, notée $\text{com}(A)$. 3. Déduisez-en $A^{-1}$ en utilisant la formule $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$. ### Exercice 10 : Matrices Nilpotentes et Commutation Soit la matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 1. Calculez $N^2$ et $N^3$. Que pouvez-vous dire de la matrice $N$ ? 2. Trouvez toutes les matrices $X \in M_3(\mathbb{R})$ qui commutent avec $N$, c'est-à-dire telles que $NX = XN$. # ✅ Corrigés Détaillés ## Partie 1 : Corrigés des Exercices Basiques ### Correction Exercice 1 : Opérations Élémentaires sur les Matrices Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $A+B$ :** L'addition de matrices se fait terme à terme. $ A+B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+(-1) \\ 3+1 & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} $ 2. **Calcul de $2A$ :** La multiplication par un scalaire se fait en multipliant chaque terme de la matrice par ce scalaire. $ 2A = 2 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} $ 3. **Calcul de $AB$ :** Le produit matriciel est défini si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième. Ici, $A$ est $2 \times 2$ et $B$ est $2 \times 2$, donc le produit est possible et la matrice résultante sera $2 \times 2$. Le terme $(AB)_{ij}$ est le produit scalaire de la $i$-ème ligne de $A$ par la $j$-ème colonne de $B$. $ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0)+(2)(1) & (1)(-1)+(2)(2) \\ (3)(0)+(4)(1) & (3)(-1)+(4)(2) \end{pmatrix} $ $ AB = \begin{pmatrix} 0+2 & -1+4 \\ 0+4 & -3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} $ ### Correction Exercice 2 : Calcul de Déterminants Simples 1. **Déterminant de $M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ :** Pour une matrice $2 \times 2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc$. $ \det(M_1) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 $ 2. **Déterminant de $M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ :** Nous pouvons utiliser la règle de Sarrus ou le développement par cofacteurs. Développons par rapport à la première ligne : $ \det(M_2) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ $ \det(M_2) = 1 \cdot ((1)(1) - (0)(2)) - 0 + 2 \cdot ((3)(2) - (1)(0)) $ $ \det(M_2) = 1 \cdot (1 - 0) + 2 \cdot (6 - 0) $ $ \det(M_2) = 1 + 12 = 13 $ ## Partie 2 : Corrigés des Exercices de Niveau Normal ### Correction Exercice 3 : Sous-Espace Vectoriel et Trace 1. **Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ :** Pour montrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier trois conditions : * **Contient le vecteur nul :** La matrice nulle $0_n$ est symétrique car $0_n^T = 0_n$. Donc $0_n \in S_n(\mathbb{R})$. * **Stabilité par addition :** Soient $A, B \in S_n(\mathbb{R})$. Par définition, $A^T = A$ et $B^T = B$. Considérons la somme $A+B$. Sa transposée est $(A+B)^T = A^T + B^T$. Puisque $A^T = A$ et $B^T = B$, on a $(A+B)^T = A+B$. Donc $A+B \in S_n(\mathbb{R})$. * **Stabilité par multiplication par un scalaire :** Soit $A \in S_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Par définition, $A^T = A$. Considérons le produit $\lambda A$. Sa transposée est $(\lambda A)^T = \lambda A^T$. Puisque $A^T = A$, on a $(\lambda A)^T = \lambda A$. Donc $\lambda A \in S_n(\mathbb{R})$. Les trois conditions étant vérifiées, $S_n(\mathbb{R})$ est bien un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$. 2. **Calcul de la trace de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ :** > [!definition] Définition : Trace d'une matrice > La trace d'une matrice carrée est la somme des éléments de sa diagonale principale. Pour une matrice $A=(a_{ij})$, $\text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$. $ \text{Tr}(A) = 1 + 5 + 9 = 15 $ ### Correction Exercice 4 : Inversibilité et Inverse par Méthode de Gauss Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(A)$ et conclusion sur l'inversibilité :** $A$ est une matrice triangulaire supérieure. > [!theorem] Théorème > Le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses éléments diagonaux. $ \det(A) = (1)(1)(1) = 1 $ Puisque $\det(A) = 1 \neq 0$, la matrice $A$ est inversible. 2. **Calcul de $A^{-1}$ par la méthode du pivot de Gauss :** On forme la matrice augmentée $[A | I_3]$ et on applique des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer $A$ en $I_3$. La partie droite sera alors $A^{-1}$. $ [A | I_3] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_1 \leftarrow L_1 - 3L_3$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_3$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ * Opération $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ La matrice $A^{-1}$ est donc : $ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ > [!tip] Vérification > Pour vérifier votre résultat, calculez $A A^{-1}$ ou $A^{-1} A$. Vous devez obtenir la matrice identité $I_3$. ### Correction Exercice 5 : Résolution d'une Équation Matricielle Résoudre $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$. Pour résoudre $AX=B$, si $A$ est inversible, alors $X = A^{-1}B$. 1. **Calcul de $\det(A)$ :** $ \det(A) = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 $ Puisque $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible. 2. **Calcul de $A^{-1}$ :** Pour une matrice $2 \times 2$, $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $ 3. **Calcul de $X = A^{-1}B$ :** $ X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(5)+(-1)(12) \\ (-2)(5)+(1)(12) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15-12 \\ -10+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $ La solution de l'équation est $X = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. #### Correction Exercice 6 : Déterminant Paramétré et Inversibilité Soit la matrice $M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(M(a))$ :** Utilisons le développement par rapport à la première ligne : $ \det(M(a)) = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $ $ \det(M(a)) = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) $ $ \det(M(a)) = a(a-1)(a+1) - (a-1) - (a-1) $ Factorisons $(a-1)$ : $ \det(M(a)) = (a-1) [a(a+1) - 1 - 1] $ $ \det(M(a)) = (a-1) [a^2 + a - 2] $ Cherchons les racines du polynôme $a^2 + a - 2$. Elles sont $a = 1$ et $a = -2$. Donc $a^2 + a - 2 = (a-1)(a+2)$. $ \det(M(a)) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2) $ > [!tip] Autre méthode : Opérations sur les lignes/colonnes > On peut aussi utiliser des opérations sur les lignes/colonnes pour simplifier le calcul. Par exemple, $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ donne une colonne avec des $a+2$. Puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$. > $ \det(M(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+2 & 1 & 1 \\ a+2 & a & 1 \\ a+2 & 1 & a \end{vmatrix} \quad (C_1 \leftarrow C_1+C_2+C_3) $ > $ = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} $ > Maintenant, $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : > $ = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix} $ > Cette matrice est triangulaire. Son déterminant est le produit des diagonaux. > $ = (a+2) \cdot 1 \cdot (a-1) \cdot (a-1) = (a+2)(a-1)^2 $ > Cette méthode est souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul. 2. **Déterminer pour quelles valeurs de $a$ la matrice $M(a)$ est inversible :** > [!theorem] Théorème > Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. La matrice $M(a)$ est inversible si et seulement si $\det(M(a)) \neq 0$. $ (a-1)^2(a+2) \neq 0 $ Ceci implique $a-1 \neq 0$ et $a+2 \neq 0$. Donc $a \neq 1$ et $a \neq -2$. La matrice $M(a)$ est inversible pour tout $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$. ## Partie 3 : Corrigés des Exercices Plus Élaborés ### Correction Exercice 7 : Matrice de Projection et Puissances Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. 1. **Montrer que $P$ est une matrice de projection ($P^2 = P$) :** Calculons $P^2 = P \times P$: $ P^2 = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $ $ P^2 = \begin{pmatrix} (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) & (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) \\ (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) & (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) \end{pmatrix} $ $ P^2 = \begin{pmatrix} 1/4+1/4 & 1/4+1/4 \\ 1/4+1/4 & 1/4+1/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/4 & 2/4 \\ 2/4 & 2/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $ On constate que $P^2 = P$. $P$ est donc bien une matrice de projection. 2. **Calculer $P^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :** Puisque $P^2 = P$, nous pouvons déduire les puissances supérieures : * $P^1 = P$ * $P^2 = P$ * $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ Par récurrence, si $P^k = P$ pour un certain $k \ge 1$, alors $P^{k+1} = P^k \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$. Donc, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P^n = P$. $ P^n = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^* $ ### Correction Exercice 8 : Propriétés de l'Inverse et de la Transposée Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices inversibles. 1. **Démontrer que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ :** Pour montrer qu'une matrice $X$ est l'inverse d'une matrice $M$, il faut vérifier que $MX = I_n$ et $XM = I_n$. Posons $M = AB$ et $X = B^{-1}A^{-1}$. Calculons le produit $MX$: $ MX = (AB)(B^{-1}A^{-1}) $ Par associativité du produit matriciel : $ MX = A(BB^{-1})A^{-1} $ Puisque $B$ est inversible, $BB^{-1} = I_n$ (matrice identité). $ MX = A I_n A^{-1} $ $ MX = A A^{-1} $ Puisque $A$ est inversible, $A A^{-1} = I_n$. $ MX = I_n $ Calculons le produit $XM$: $ XM = (B^{-1}A^{-1})(AB) $ Par associativité du produit matriciel : $ XM = B^{-1}(A^{-1}A)B $ Puisque $A$ est inversible, $A^{-1}A = I_n$. $ XM = B^{-1} I_n B $ $ XM = B^{-1} B $ Puisque $B$ est inversible, $B^{-1}B = I_n$. $ XM = I_n $ Comme $MX = I_n$ et $XM = I_n$, on a bien démontré que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. > [!note] Ordre > L'ordre est crucial dans le produit matriciel. Notez bien que $(AB)^{-1} \neq A^{-1}B^{-1}$ en général. 2. **Démontrer que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ :** Pour montrer qu'une matrice $X$ est l'inverse de $A^T$, il faut vérifier que $A^T X = I_n$ et $X A^T = I_n$. Posons $X = (A^{-1})^T$. Nous savons que $A A^{-1} = I_n$ et $A^{-1} A = I_n$. Appliquons la transposition à $A A^{-1} = I_n$: $ (A A^{-1})^T = I_n^T $ > [!theorem] Propriété de la transposition > Pour toutes matrices $M, N$ dont le produit est défini, $(MN)^T = N^T M^T$. $ (A^{-1})^T A^T = I_n $ De même, en appliquant la transposition à $A^{-1} A = I_n$: $ (A^{-1} A)^T = I_n^T $ $ A^T (A^{-1})^T = I_n $ Les deux conditions étant vérifiées, on a démontré que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. ### Correction Exercice 9 : Calcul de l'Inverse par la Comatrice Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $\det(A)$ :** Développons par rapport à la première ligne : $ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ $ \det(A) = 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0 $ $ \det(A) = 1(1) - 2(-1) = 1 + 2 = 3 $ Puisque $\det(A) = 3 \neq 0$, la matrice $A$ est inversible. 2. **Détermination de la comatrice de $A$, $\text{com}(A)$ :** La comatrice est la matrice des cofacteurs $C_{ij}$, où $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ et $M_{ij}$ est le mineur (déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne). $ C_{11} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ $ C_{12} = - \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(-1) = 1 $ $ C_{13} = + \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1 $ $ C_{21} = - \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(2) = -2 $ $ C_{22} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ $ C_{23} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -(0-2) = 2 $ $ C_{31} = + \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 $ $ C_{32} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(1) = -1 $ $ C_{33} = + \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $ La comatrice est donc : $ \text{com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ 3. **Déduction de $A^{-1}$ :** La formule est $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$. D'abord, calculons la transposée de la comatrice, $(\text{com}(A))^T$ (appelée aussi matrice adjointe ou classique). $ (\text{com}(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $ Maintenant, multiplions par $1/\det(A) = 1/3$ : $ A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 2/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \end{pmatrix} $ ### Correction Exercice 10 : Matrices Nilpotentes et Commutation Soit la matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 1. **Calcul de $N^2$ et $N^3$. Que peut-on dire de $N$ ?** $ N^2 = N \times N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ $ N^3 = N^2 \times N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ Puisque $N^3 = 0_3$ (la matrice nulle) et $N^2 \neq 0_3$, la matrice $N$ est dite **nilpotente d'indice 3**. > [!definition] Définition : Matrice nilpotente > Une matrice carrée $A$ est nilpotente s'il existe un entier $k \ge 1$ tel que $A^k = 0$. Le plus petit tel $k$ est appelé l'indice de nilpotence. 2. **Trouver toutes les matrices $X \in M_3(\mathbb{R})$ qui commutent avec $N$ :** Soit $X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$. Nous voulons $NX = XN$. Calculons $NX$: $ NX = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ Calculons $XN$: $ XN = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} $ Pour que $NX = XN$, nous devons avoir l'égalité terme à terme des deux matrices : $ \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} $ En comparant les éléments : * $d = 0$ * $e = a$ * $f = b$ * $g = 0$ * $h = d \implies h = 0$ (puisque $d=0$) * $i = e \implies i = a$ (puisque $e=a$) * $0 = 0$ (ligne 3, colonne 1) * $0 = g \implies g = 0$ (ce qui est cohérent) * $0 = h \implies h = 0$ (ce qui est cohérent) En résumé, les conditions sont : $d=0$, $g=0$ $e=a$ $f=b$ $h=0$ $i=a$ La matrice $X$ doit donc être de la forme : $ X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} $ où $a, b, c$ sont des réels arbitraires. Ces matrices sont les polynômes en $N$, c'est-à-dire $P(N)$ où $P(x) = ax^2 + bx + c$. $X = aI + bN + cN^2$. Ceci est un exemple de l'ensemble des matrices qui commutent avec une matrice donnée, qui est un concept important en algèbre linéaire et qui sera revisité lors de l'étude de la diagonalisation. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]