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# Exercices
## Exercice 1
Simplifier les expressions suivantes :
1. $A=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{4}{5}$
2. $B=\frac{1}{6}\times(5-\frac{3}{8})$
3. $C=\frac{3^2\times5^4\times5^2\times 7^3}{3^{-2}\times 5^7 \times 7^2}$
4. $D=\frac{4^3\times (2^2)^3 }{2^5}$
5. $E=(3-5)^2\times 6-(5\times 3+8\div 2)$
6. $F=\sqrt{25}+1-2\sqrt{49}+\sqrt{24}$
7. $G=\frac{2\lvert x \rvert+x}{x}\ \text{lorsque} \ x>0 $
## Exercice 2
Écrire l'expression $E = \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ sans racine au dénominateur.
## Exercice 3
Soit $P(x)=|x-3|$ avec $x\in[1,2]$.
1. Écrire $P(x)$ sans valeur absolue.
2. Interpréter géométriquement l'expression de $P(x)$.
# Corrigés détaillés
## Exercice 1
1.
$\begin{aligned}
A &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} \\&= \frac{2}{3} - \frac{4}{15} \\&= \frac{10}{15} - \frac{4}{15} \\&= \frac{6}{15} \\&= \frac{2}{5}\end{aligned}
$
2. $
\begin{aligned}
B &= \frac{1}{6}\times\left(5-\frac{3}{8}\right) \\&= \frac{1}{6}\times\left(\frac{40}{8}-\frac{3}{8}\right) \\&= \frac{1}{6}\times\frac{37}{8} \\&= \frac{37}{48}
\end{aligned}
$
3. $
\begin{aligned}
C &= \frac{3^2\times5^4\times5^2\times7^3}{3^{-2}\times5^7\times7^2} \\&= 3^{2-(-2)} \times 5^{6-7} \times 7^{3-2} \\&= 3^4 \times 5^{-1} \times 7 \\&= \frac{3^4 \times 7}{5} \\&= \frac{567}{5}
\end{aligned}
$
4. $\begin{aligned}
D &= \frac{4^3\times(2^2)^3}{2^5} \\&= \frac{(2^2)^3 \times (2^2)^3}{2^5} \\&= \frac{2^6 \times 2^6}{2^5} \\&= 2^{12-5} \\&= 2^7 \\&= 128
\end{aligned}
$
5. $
\begin{aligned}
E &= (3-5)^2\times6-(5\times3+8\div2) \\&= (-2)^2\times6-(15+4) \\&= 4\times6-19 \\&= 24-19 \\&= 5
\end{aligned}
$
6. $
\begin{aligned}
F &= \sqrt{25}+1-2\sqrt{49}+\sqrt{24} \\&= 5+1-2\times7+\sqrt{4\times6} \\&= 6-14+2\sqrt{6} \\&= -8+2\sqrt{6}
\end{aligned}
$
7. $
\begin{aligned}
G &= \frac{2|x|+x}{x}, \quad x>0 \\&= \frac{2x+x}{x} \quad (\text{car } |x|=x) \\&= \frac{3x}{x} \\&= 3
\end{aligned}
$
## Exercice 2
Il faut multiplier par le **conjugué** du dénominateur pour avoir la forme $(a-b)(a+b)$ qui est égale à$a^2-b^2$.
$E=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4}{3-\sqrt{5}}\times\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{4}=3+\sqrt{5}
$
## Exercice 3
1. Sur $[1,2]$, $x-3<0$. Alors, $P(x)=3-x$.
2. Interprétation : $|x-3|$ représente la **distance entre $x$ et 3**.
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