%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées - Résumé & PodCast\|← Dérivées - Résumé & PodCast]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées\|Cours 2 - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Les bases de calcul d'une dérivée >[!tip] Tags > #Dérivées #DéfintionFormelle #DérivéesUsuelles #DérivéeDuneSomme #DérivéeDunProduit #DérivéeDunQuotient #RégleDeLaChaîne >[!example] Contenu de ce cours Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : > * Définition intuitive d'une dérivée > * Définition formelle d'une dérivée >* Dérivées des fonctions usuelles >* Dérivée d'une somme de fonctions >* Dérivée d'un produit >* Dérivée d'un quotient >* Règle de la chaîne ## Définition Intuitive : Pente et Vitesse Commençons par une approche concrète pour saisir ce que représente une dérivée. ### Pente d'une courbe et tangente Imaginez le graphique d'une fonction $f(x)$. Si vous marchez sur cette courbe, la pente de votre chemin change constamment. Comment mesurer cette pente en un point précis ? Considérons un point $A(x_0, f(x_0))$ sur la courbe de $f$. Si nous prenons un deuxième point $B(x_0+h, f(x_0+h))$ très proche de $A$, la droite qui relie $A$ et $B$ est une **sécante**. La pente de cette sécante $AB$ est donnée par le taux d'accroissement : $ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{(x_0+h) - x_0} = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ Maintenant, si nous rapprochons le point $B$ de $A$, c'est-à-dire si nous faisons tendre $h$ vers $0$, la sécante $AB$ va se rapprocher de la **tangente** à la courbe au point $A$. La pente de cette tangente est précisément ce que nous cherchons à définir comme la dérivée. --- > [!note] Interprétation Géométrique > La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x_0$, notée $f'(x_0)$, représente la **pente de la tangente** à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. ### Vitesse instantanée Considérons un objet se déplaçant le long d'un axe. Sa position à l'instant $t$ est donnée par une fonction $p(t)$. * La **vitesse moyenne** entre deux instants $t_0$ et $t_0+h$ est : $ V_{moy} = \frac{\text{distance parcourue}}{\text{temps écoulé}} = \frac{p(t_0+h) - p(t_0)}{(t_0+h) - t_0} = \frac{p(t_0+h) - p(t_0)}{h} $ * Si nous voulons connaître la **vitesse instantanée** de l'objet à l'instant $t_0$, nous devons faire tendre l'intervalle de temps $h$ vers $0$. La vitesse instantanée est alors la limite de la vitesse moyenne lorsque $h \to 0$. > [!note] Interprétation Physique > La dérivée d'une fonction de position $p(t)$ par rapport au temps $t$ représente la **vitesse instantanée** de l'objet à l'instant $t$. C'est le taux de variation instantané de la position. > [!note] Lien entre Pente et Vitesse > Ces deux exemples, l'un géométrique et l'autre physique, convergent vers la même idée : la dérivée mesure un **taux de variation instantané**. C'est la pente d'une courbe en un point ou la vitesse d'un changement à un instant précis. ## Définition Formelle de la Dérivée Maintenant que nous avons l'intuition, passons à la définition mathématique rigoureuse. ### Taux d'accroissement Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, et $x_0$ un point de cet intervalle. Pour tout $h$ tel que $x_0+h \in I$ et $h \neq 0$, le **taux d'accroissement** de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ est : $ \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ ### Dérivée en un point > [!definition] Dérivée en un point > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ est **dérivable** au point $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$. > Cette limite est appelée la **dérivée de $f$ en $x_0$** et est notée $f'(x_0)$ (notation de Lagrange) ou $\frac{df}{dx}(x_0)$ (notation de Leibniz). > $ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ > > Une notation équivalente, en posant $x = x_0+h$, est : > $ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $ ### Fonction dérivée > [!definition] Fonction dérivée > Si une fonction $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $J \subset I$, alors la fonction qui à chaque $x \in J$ associe $f'(x)$ est appelée la **fonction dérivée** de $f$ sur $J$, et est notée $f'$ ou $\frac{df}{dx}$. Appliquons la définition formelle pour calculer les dérivées de quelques fonctions de base. > [!example] Dérivée d'une fonction linéaire > Soit $f(x) = ax+b$, où $a, b$ sont des constantes réelles. > > Calculons $f'(x)$ : > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a(x+h)+b - (ax+b)}{h} $ > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ax+ah+b-ax-b}{h} $ > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ah}{h} = \lim_{h \to 0} a = a $ > > La dérivée d'une fonction linéaire $f(x)=ax+b$ est $a$. > *Interprétation :* La pente d'une droite est constante et égale à son coefficient directeur $a$. > [!example] Dérivée de $f(x) = x^2$ > Soit $f(x) = x^2$. > > Calculons $f'(x)$ : > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $ > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} $ > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} $ > $ f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x $ > > La dérivée de $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$. ### Tableau des Dérivées des Fonctions Usuelles Pour faciliter les calculs, voici un récapitulatif des dérivées des fonctions de base, à connaître par cœur. | Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :----------------- | :------------------------------------ | :---------------------------------------------- | | $k$ (constante) | $0$ | | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n \in \mathbb{R}$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $x \neq 0$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x > 0$ | | $e^x$ | $e^x$ | | | $a^x$ | $a^x \ln(a)$ | $a > 0$ | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x > 0$ | | $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \ln(a)}$ | $x > 0, a > 0, a \neq 1$ | | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | | | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | | | $\tan(x)$ | $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\text{arcsin}(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1 < x < 1$ | | $\text{arccos}(x)$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1 < x < 1$ | | $\text{arctan}(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | | | $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | | | $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | | ### Dérivabilité VS Continuité La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité. > [!theorem] Dérivabilité implique Continuité > Si une fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$, alors elle est continue en $x_0$. >[!example]+ Démonstartion > Puisque $f$ est dérivable en $x_0$, on a $f(x_0+h) - f(x_0) = h \cdot \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$. > En passant à la limite quand $h \to 0$: > $ \lim_{h \to 0} (f(x_0+h) - f(x_0)) = \lim_{h \to 0} h \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ > $ \lim_{h \to 0} (f(x_0+h) - f(x_0)) = 0 \cdot f'(x_0) = 0 $ > Donc, $\lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$, ce qui est la définition de la continuité en $x_0$. > [!warning] Attention > La réciproque est fausse ! Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. > L'exemple le plus classique est la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ en $x_0=0$. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Ressources_Dérivées/valeur absolue.png||400]] > * $f(x)$ est continue en $0$ (car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = |0|$). > * Calculons la limite du taux d'accroissement en $0$: > $ \lim_{h \to 0} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $ > * Si $h \to 0^+$ (par la droite), $\frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = 1$. > * Si $h \to 0^-$ (par la gauche), $\frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1$. > Les limites à droite et à gauche sont différentes, donc la limite n'existe pas. La fonction $f(x)=|x|$ n'est pas dérivable en $0$. Graphiquement, il y a un "point anguleux". ## Propriétés Fondamentales de la Dérivation Ces propriétés nous permettent de dériver des fonctions construites à partir de fonctions plus simples dont on connaît déjà les dérivées. ### Linéarité de la Dérivation La dérivation est une opération linéaire. Cela signifie qu'elle respecte l'addition des fonctions et la multiplication par un scalaire. > [!theorem] Dérivée d'une somme > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction somme $u+v$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) $ > [!theorem] Dérivée d'un produit par un scalaire > Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ une constante réelle. Alors la fonction $k \cdot u$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (k \cdot u)'(x) = k \cdot u'(x) $ > [!example] Exemple > Soit $f(x) = 3x^2 + 5\sin(x)$. > On sait que $(x^2)' = 2x$ et $(\sin(x))' = \cos(x)$. > En utilisant la linéarité : > $ f'(x) = (3x^2)' + (5\sin(x))' = 3(x^2)' + 5(\sin(x))' = 3(2x) + 5(\cos(x)) = 6x + 5\cos(x) $ ### Dérivée d'un Produit de Fonctions C'est l'une des règles les plus importantes et fréquemment utilisées. > [!theorem] Règle du produit > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction produit $u \cdot v$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (u \cdot v)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ > [!tip] Mémorisation > La règle du produit peut être mémorisée comme "dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second". > [!example] Dérivée d'un produit > Soit $f(x) = x^3 \cdot e^x$. > Posons $u(x) = x^3$ et $v(x) = e^x$. > Alors $u'(x) = 3x^2$ et $v'(x) = e^x$. > En appliquant la règle du produit : > $ f'(x) = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = e^x(3x^2 + x^3) $ ### Dérivée d'un Quotient de Fonctions La règle du quotient est un peu plus complexe que celle du produit, mais tout aussi essentielle. > [!theorem] Règle du quotient > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et supposons que $v(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$. Alors la fonction quotient $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ \left(\frac{u}{v}\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ > [!warning] Erreur fréquente > Attention à l'ordre des termes dans le numérateur : c'est toujours $u'v - uv'$. Le signe moins est crucial ! Ne pas oublier non plus le dénominateur au carré. > [!example] Dérivée d'un quotient > Soit $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. (Pour $x \neq 0$). > Posons $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = x$. > Alors $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = 1$. > En appliquant la règle du quotient : > $ f'(x) = \frac{(\sin(x))' \cdot x - \sin(x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} $ ### Dérivée d'une Fonction Composée La règle de la chaîne est fondamentale pour dériver des fonctions de la forme $f(g(x))$. > [!theorem] Règle de la chaîne > Soient $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $J = g(I)$. Alors la fonction composée $f \circ g$ (définie par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$) est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ > En d'autres termes, si l'on pose $y = f(u)$ et $u = g(x)$, alors en notation de Leibniz : $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. > [!tip] Mémorisation > "Dérivée de l'extérieur évaluée à l'intérieur, multipliée par la dérivée de l'intérieur." > [!example] Exemple 1 : > Soit $f(x) = \sin(x^2)$. > Ici, la fonction "extérieure" est $f(u) = \sin(u)$ et la fonction "intérieure" est $u = g(x) = x^2$. > La dérivée de l'extérieur est $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. > La dérivée de l'intérieur est $g'(x) = (x^2)' = 2x$. > Donc, $f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$. > [!example] Exemple 2 : > Soit $g(x) = (3x+1)^5$. > Ici, la fonction extérieure est $f(u) = u^5$ et la fonction intérieure est $u = g(x) = 3x+1$. > La dérivée de l'extérieur est $f'(u) = (u^5)' = 5u^4$. > La dérivée de l'intérieur est $g'(x) = (3x+1)' = 3$. > Donc, $g'(x) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$. > [!example] Exemple 3 : > Soit $f(x) = e^{x^2}$ > Identifions les fonctions : > * Fonction extérieure $f(u) = e^u$ > * Fonction intérieure $u=g(x) = x^2$ > > Calculons leurs dérivées : > * $f'(u) = e^u$ > * $g'(x) = 2x$ > > Appliquons la règle de la chaîne : > $f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$. > [!example] Exemple 4 : > Soit $f(x) = \ln(\cos x)$ > Identifions les fonctions : > * Fonction extérieure $f(u) = \ln u$ > * Fonction intérieure $u = g(x) = \cos x$ > > Calculons leurs dérivées : > * $f'(u) = \frac{1}{u}$ > * $g'(x) = -\sin x$ > > Appliquons la règle de la chaîne : > $f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$. > (Notez que $\cos x$ doit être strictement positif pour que $\ln(\cos x)$ soit défini et dérivable). ### Application de la règle de la chaîne aux fonctions usuelles Ce tableau est votre référence rapide pour les dérivées. $u$ est une fonction de $x$ dérivable, $c$ est une constante. | Fonction $f(u(x))$ | Fonction dérivée $(f(u(x)))'$ | | :----------------- | :--------------------------------------- | | $c$ | $0$ | | $u^n$ | $nu^{n-1}u'$ | | $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ | | $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | | $e^u$ | $u'e^u$ | | $a^u$ | $u'a^u \ln(a)$ | | $\ln(u)$ | $\frac{u'}{u}$ | | $\sin(u)$ | $u'\cos(u)$ | | $\cos(u)$ | $-u'\sin(u)$ | | $\tan(u)$ | $u'(1+\tan^2(u)) = \frac{u'}{\cos^2(u)}$ | | $\arcsin(u)$ | $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ | | $\arccos(u)$ | $-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ | | $\arctan(u)$ | $\frac{u'}{1+u^2}$ | # ➡️ C'est la fin ! --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées|Cours 2 - Dérivées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Dérivées]] --- # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `16-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées - Résumé & PodCast\|← Dérivées - Résumé & PodCast]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées\|Cours 2 - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%