%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 1 - Dérivées\|← Cours 1 - Dérivées]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 3 - Dérivées\|Cours 3 - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Dérivées - Approfondissement > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Dérivées]] >[!tip] Tags > #Dérivées #DérivéeDuneFonctionRéciproque #DérivationLogarithmique #DérivéesDOrdreSupérieure #Leibniz >[!example] Contenu de ce cours > Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : > * Dérivation d'une fonction réciproque > * Dérivation logarithmique > * Dérivées d'ordre supérieur et formule de Leibniz ## Dérivation d'une Fonction Réciproque La dérivée d'une fonction réciproque est une autre propriété importante qui nous permet de trouver les dérivées de fonctions comme $\arcsin x$, $\arctan x$, ou même de retrouver la dérivée de $\ln x$ à partir de $e^x$. ### Rappel sur les Fonctions Réciproques > [!definition] Définition (Fonction réciproque) > Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$. Il existe une fonction unique $f^{-1}$ (appelée fonction réciproque de $f$) définie sur $J$ et à valeurs dans $I$ telle que : > * Pour tout $x \in I$, $f^{-1}(f(x)) = x$. > * Pour tout $y \in J$, $f(f^{-1}(y)) = y$. ### Théorème de Dérivation d'une Fonction Réciproque > [!theorem] Théorème (Dérivée d'une fonction réciproque) > Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. On suppose que $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et que $f'(x_0) \neq 0$. > Alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$, et sa dérivée est donnée par : > $ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} $ >[!example]+ Démonstration (intuitive) : > Partons de la relation $f(f^{-1}(y)) = y$. > Dérivons les deux membres par rapport à $y$, en utilisant la règle de la chaîne pour le membre de gauche : > $f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$ > D'où $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$, à condition que $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$. > [!warning] Attention > La condition $f'(x_0) \neq 0$ est cruciale. Si $f'(x_0)=0$, la tangente à $f$ est horizontale en $x_0$, et la tangente à $f^{-1}$ est verticale en $y_0=f(x_0)$, donc $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$. ### Exemples Détaillés > [!example] Exemple 1 : Retrouver la dérivée de $\ln x$ à partir de $e^x$ > Soit $f(x) = e^x$. C'est une fonction strictement croissante et dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = e^x$. > Sa fonction réciproque est $f^{-1}(y) = \ln y$, définie pour $y > 0$. > > Appliquons la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$. > $f'(f^{-1}(y)) = e^{\ln y} = y$. > Donc, $(\ln y)' = \frac{1}{y}$. Ceci confirme la dérivée de la fonction logarithme népérien. > [!example] Exemple 2 : Dérivée de $\arcsin x$ > Soit $f(x) = \sin x$. Pour que $f$ soit bijective, on restreint son domaine à $I = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Sur cet intervalle, $f$ est strictement croissante et dérivable. L'image est $J = [-1, 1]$. > Sa dérivée est $f'(x) = \cos x$. > La fonction réciproque est $f^{-1}(y) = \arcsin y$, définie sur $[-1, 1]$. > > On applique la formule $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$. > $f'(f^{-1}(y)) = \cos(\arcsin y)$. > On sait que $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$, donc $\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$. > Puisque $\arcsin y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\cos(\arcsin y) \ge 0$. > Donc $\cos(\arcsin y) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin y)} = \sqrt{1 - y^2}$. > > Par conséquent, $(\arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$ pour $y \in ]-1, 1[$. > (Note : en $y=\pm 1$, la dérivée n'existe pas car $\sqrt{1-y^2}$ serait nul). > [!example] Exemple 3 : Dérivée de $\arctan x$ > Soit $f(x) = \tan x$. Pour que $f$ soit bijective, on restreint son domaine à $I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Sur cet intervalle, $f$ est strictement croissante et dérivable. L'image est $J = \mathbb{R}$. > Sa dérivée est $f'(x) = 1 + \tan^2 x$. > La fonction réciproque est $f^{-1}(y) = \arctan y$, définie sur $\mathbb{R}$. > > On applique la formule $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$. > $f'(f^{-1}(y)) = 1 + \tan^2(\arctan y) = 1 + y^2$. > > Par conséquent, $(\arctan y)' = \frac{1}{1 + y^2}$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. ## Dérivation Logarithmique La dérivation logarithmique est une technique astucieuse qui simplifie la dérivation de fonctions complexes, notamment celles qui impliquent des produits, des quotients et des puissances de fonctions, ou des fonctions de la forme $u(x)^{v(x)}$. ### Principe L'idée est de prendre le logarithme népérien de la fonction à dériver avant de dériver. Cela transforme les produits en sommes et les puissances en produits, ce qui est plus facile à dériver. Soit $f(x)$ une fonction à dériver. 1. On pose $y = f(x)$. 2. On prend le logarithme népérien des deux côtés : $\ln|y| = \ln|f(x)|$. 3. On dérive les deux côtés par rapport à $x$ en utilisant la règle de la chaîne : $\frac{y'}{y} = (\ln|f(x)|)'$. 4. On résout pour $y'$ : $y' = y \cdot (\ln|f(x)|)' = f(x) \cdot (\ln|f(x)|)'$. > [!tip] Quand utiliser la dérivation logarithmique ? > * Pour des fonctions de la forme $f(x)^{g(x)}$ (ex: $x^x$, $(\cos x)^{\sin x}$). > * Pour des fonctions qui sont des produits ou quotients de nombreuses fonctions (ex: $f(x) = \frac{(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}}{e^x \sin x}$). ### Exemples Détaillés > [!example] Exemple 1 : Dériver $f(x) = x^x$ pour $x > 0$ > On ne peut pas utiliser $(x^n)'=nx^{n-1}$ car $n$ n'est pas une constante, ni $(a^x)'=a^x \ln a$ car $a$ n'est pas une constante. > > 1. Posons $y = x^x$. > 2. Prenons le logarithme : $\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$. > 3. Dérivons $\ln y$ par rapport à $x$ (règle de la chaîne) et $x \ln x$ par rapport à $x$ (règle du produit) : > $\frac{y'}{y} = (1 \cdot \ln x) + (x \cdot \frac{1}{x}) = \ln x + 1$. > 4. Résolvons pour $y'$ : > $y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$. > [!example] Exemple 2 : Dériver $f(x) = \frac{(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}}{e^x \sin x}$ pour $x > 1$ et $\sin x > 0$ > Dériver cette fonction directement avec les règles du produit et du quotient serait très laborieux. > > 1. Posons $y = \frac{(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}}{e^x \sin x}$. > 2. Prenons le logarithme : > $\ln y = \ln\left(\frac{(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}}{e^x \sin x}\right)$ > $\ln y = \ln((x^2+1)^3) + \ln(\sqrt{x-1}) - \ln(e^x) - \ln(\sin x)$ > $\ln y = 3 \ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\ln(x-1) - x - \ln(\sin x)$. > 3. Dérivons par rapport à $x$ : > $\frac{y'}{y} = 3 \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{x-1} - 1 - \frac{\cos x}{\sin x}$ > $\frac{y'}{y} = \frac{6x}{x^2+1} + \frac{1}{2(x-1)} - 1 - \cot x$. > 4. Résolvons pour $y'$ : > $y' = \frac{(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}}{e^x \sin x} \left( \frac{6x}{x^2+1} + \frac{1}{2(x-1)} - 1 - \cot x \right)$. > Ce résultat est beaucoup plus facile à obtenir par cette méthode. ## Dérivées d'Ordre Supérieur Jusqu'à présent, nous avons calculé la "première" dérivée d'une fonction. Cependant, il est souvent nécessaire de dériver une fonction plusieurs fois. ### Définition > [!definition] Définition (Dérivée d'ordre supérieur) > Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. > * La **dérivée première** est $f'$. > * Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, sa dérivée est appelée la **dérivée seconde** de $f$, notée $f''$ ou $\frac{d^2 f}{dx^2}$. > * De manière générale, si la dérivée $(n-1)$-ième de $f$, notée $f^{(n-1)}$, est dérivable sur $I$, sa dérivée est appelée la **dérivée $n$-ième** de $f$, notée $f^{(n)}$ ou $\frac{d^n f}{dx^n}$. > > Une fonction est dite de classe $C^n$ sur $I$ si elle est $n$ fois dérivable sur $I$ et si sa $n$-ième dérivée $f^{(n)}$ est continue sur $I$. Une fonction est de classe $C^\infty$ si elle est infiniment dérivable. ### Exemples > [!example] Exemple 1 : Dérivées d'ordre supérieur d'un polynôme > Soit $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 1$. > * $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$ > * $f''(x) = 12x^2 - 12x$ > * $f'''(x) = 24x - 12$ > * $f^{(4)}(x) = 24$ > * $f^{(5)}(x) = 0$ > * Et pour tout $n \ge 5$, $f^{(n)}(x) = 0$. > > > [!note] Remarque > > La dérivée $(n+1)$-ième d'un polynôme de degré $n$ est toujours nulle. > [!example] Exemple 2 : Dérivées d'ordre supérieur de $e^{ax}$ > Soit $f(x) = e^{ax}$, avec $a \in \mathbb{R}$. > * $f'(x) = a e^{ax}$ > * $f''(x) = a (a e^{ax}) = a^2 e^{ax}$ > * $f'''(x) = a^2 (a e^{ax}) = a^3 e^{ax}$ > * Par récurrence, on peut montrer que $f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}$. > [!example] Exemple 3 : Dérivées d'ordre supérieur de $\sin x$ et $\cos x$ > * $f(x) = \sin x$ > * $f'(x) = \cos x$ > * $f''(x) = -\sin x$ > * $f'''(x) = -\cos x$ > * $f^{(4)}(x) = \sin x$ > * Les dérivées de $\sin x$ sont cycliques de période 4. > * $g(x) = \cos x$ > * $g'(x) = -\sin x$ > * $g''(x) = -\cos x$ > * $g'''(x) = \sin x$ > * $g^{(4)}(x) = \cos x$ > * Les dérivées de $\cos x$ sont également cycliques de période 4. ### Formule de Leibniz pour la Dérivée $n$-ième d'un Produit Calculer la dérivée $n$-ième d'un produit $(uv)^{(n)}$ peut être complexe. La formule de Leibniz généralise la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$. > [!theorem] Théorème (Formule de Leibniz pour la dérivée $n$-ième d'un produit) > Si $u$ et $v$ sont deux fonctions $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$, alors leur produit $uv$ est $n$ fois dérivable sur $I$, et sa dérivée $n$-ième est donnée par : > $ (uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) $ > où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ sont les coefficients binomiaux. > [!note] Utilité > Cette formule est particulièrement utile lorsque l'une des fonctions $u$ ou $v$ a des dérivées d'ordre supérieur qui s'annulent à partir d'un certain rang (comme les polynômes) ou sont faciles à calculer (comme $e^{ax}$). > [!example] Exemple : Calculer $(x^2 e^x)^{(3)}$ > Posons $u(x) = x^2$ et $v(x) = e^x$. > Dérivées de $u$: $u^{(0)}=x^2$, $u^{(1)}=2x$, $u^{(2)}=2$, $u^{(3)}=0$. > Dérivées de $v$: $v^{(k)}=e^x$ pour tout $k$. > > En utilisant la formule de Leibniz pour $n=3$: > $(uv)^{(3)} = \binom{3}{0} u^{(0)} v^{(3)} + \binom{3}{1} u^{(1)} v^{(2)} + \binom{3}{2} u^{(2)} v^{(1)} + \binom{3}{3} u^{(3)} v^{(0)}$ > $(uv)^{(3)} = 1 \cdot x^2 \cdot e^x + 3 \cdot 2x \cdot e^x + 3 \cdot 2 \cdot e^x + 1 \cdot 0 \cdot e^x$ > $(uv)^{(3)} = x^2 e^x + 6x e^x + 6 e^x = e^x(x^2 + 6x + 6)$. # ➡️ C'est la fin Ce chapitre a considérablement enrichi votre arsenal de techniques de dérivation. Vous maîtrisez désormais : * La **règle de la chaîne** pour dériver les fonctions composées $v(u(x))$, une compétence indispensable pour la quasi-totalité des fonctions rencontrées. * La dérivation des **fonctions réciproques**, qui vous a permis de comprendre comment sont dérivées des fonctions comme $\arcsin x$ ou $\arctan x$. * La **dérivation logarithmique**, une méthode puissante pour simplifier le calcul de dérivées de fonctions complexes, notamment celles de la forme $u(x)^{v(x)}$. * Le concept de **dérivées d'ordre supérieur**, ouvrant la voie à une analyse plus approfondie des fonctions et préparant les outils pour les développements limités. Ces propriétés sont des pierres angulaires du calcul différentiel. Une pratique régulière de ces techniques est cruciale pour les assimiler pleinement. Les exercices qui suivent vous aideront à consolider ces nouvelles connaissances. --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 1 - Dérivées|Cours 1 - Dérivées]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 3 - Dérivées|Cours 3 - Dérivées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Dérivées]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `16-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 1 - Dérivées\|← Cours 1 - Dérivées]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 3 - Dérivées\|Cours 3 - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%