> Page d'accueil de la compétence: [[Dérivées]] >[!tip] Tags > #Dérivées #CalculDifférentiel #Pente #Vitesse #TauxDeVariation #DroiteTangente > [!note] Fil directeur > Ce chapitre a pour objectif de vous fournir les outils essentiels : les **règles de calcul** qui permettent de dériver des combinaisons de fonctions de manière systématique et efficace. Maîtriser ces propriétés est indispensable pour l'analyse de fonctions, l'optimisation, et de nombreux domaines de l'ingénierie. >[!example] Contenu de ce cours > Calculer la dérivée de fonctions complexes en utilisant les règles de dérivation: sommes, produits, quotients et compositions ![[tableau_der.png]] # Propriétés Fondamentales de la Dérivation Ces propriétés nous permettent de dériver des fonctions construites à partir de fonctions plus simples dont on connaît déjà les dérivées. ## Linéarité de la Dérivation La dérivation est une opération linéaire. Cela signifie qu'elle respecte l'addition des fonctions et la multiplication par un scalaire. > [!theorem] Dérivée d'une somme > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction somme $u+v$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) $ > [!theorem] Dérivée d'un produit par un scalaire > Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ une constante réelle. Alors la fonction $k \cdot u$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (k \cdot u)'(x) = k \cdot u'(x) $ > [!example] Dérivée d'une combinaison linéaire > Soit $f(x) = 3x^2 + 5\sin(x)$. > On sait que $(x^2)' = 2x$ et $(\sin(x))' = \cos(x)$. > En utilisant la linéarité : > $ f'(x) = (3x^2)' + (5\sin(x))' = 3(x^2)' + 5(\sin(x))' = 3(2x) + 5(\cos(x)) = \boxed{6x + 5\cos(x)} $ ## Dérivée d'un Produit de Fonctions C'est l'une des règles les plus importantes et fréquemment utilisées. > [!theorem] Règle du produit > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction produit $u \cdot v$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (u \cdot v)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ > [!tip] Mémorisation > La règle du produit peut être mémorisée comme "dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second". > [!example] Dérivée d'un produit > Soit $f(x) = x^3 \cdot e^x$. > Posons $u(x) = x^3$ et $v(x) = e^x$. > Alors $u'(x) = 3x^2$ et $v'(x) = e^x$. > En appliquant la règle du produit : > $ f'(x) = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = \boxed{e^x(3x^2 + x^3)} $ ## Dérivée d'un Quotient de Fonctions La règle du quotient est un peu plus complexe que celle du produit, mais tout aussi essentielle. > [!theorem] Règle du quotient > Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et supposons que $v(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$. Alors la fonction quotient $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ \left(\frac{u}{v}\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ > [!warning] Erreur fréquente > Attention à l'ordre des termes dans le numérateur : c'est toujours $u'v - uv'$. Le signe moins est crucial ! Ne pas oublier non plus le dénominateur au carré. > [!example] Dérivée d'un quotient > Soit $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. (Pour $x \neq 0$). > Posons $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = x$. > Alors $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = 1$. > En appliquant la règle du quotient : > $ f'(x) = \frac{(\sin(x))' \cdot x - \sin(x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \boxed{\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}} $ ## Dérivée d'une Fonction Composée (Règle de la Chaîne) La règle de la chaîne est fondamentale pour dériver des fonctions de la forme $f(g(x))$. > [!theorem] Règle de la chaîne > Soient $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $J = g(I)$. Alors la fonction composée $f \circ g$ (définie par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$) est dérivable sur $I$, et sa dérivée est : > $ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ > En d'autres termes, si l'on pose $y = f(u)$ et $u = g(x)$, alors en notation de Leibniz : $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. > [!tip] Mémorisation > "Dérivée de l'extérieur évaluée à l'intérieur, multipliée par la dérivée de l'intérieur." > [!example] Dérivée d'une fonction composée > Soit $f(x) = \sin(x^2)$. > Ici, la fonction "extérieure" est $f(u) = \sin(u)$ et la fonction "intérieure" est $u = g(x) = x^2$. > La dérivée de l'extérieur est $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. > La dérivée de l'intérieur est $g'(x) = (x^2)' = 2x$. > Donc, $f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = \boxed{2x\cos(x^2)}$. > [!example] Autre exemple de composition > Soit $g(x) = (3x+1)^5$. > Ici, la fonction extérieure est $f(u) = u^5$ et la fonction intérieure est $u = g(x) = 3x+1$. > La dérivée de l'extérieur est $f'(u) = (u^5)' = 5u^4$. > La dérivée de l'intérieur est $g'(x) = (3x+1)' = 3$. > Donc, $g'(x) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = \boxed{15(3x+1)^4}$. > [!note] Cas particuliers de la règle de la chaîne > Ces formes sont très courantes et méritent une attention particulière : > * **Dérivée de $(u(x))^n$**: Si $f(x) = (u(x))^n$, alors $f'(x) = n(u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$. > * **Dérivée de $e^{u(x)}$**: Si $f(x) = e^{u(x)}$, alors $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. > * **Dérivée de $\ln(u(x))$**: Si $f(x) = \ln(u(x))$ (avec $u(x) > 0$), alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. > * **Dérivée de $\sqrt{u(x)}$**: Si $f(x) = \sqrt{u(x)}$ (avec $u(x) > 0$), alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. ## Dérivée de la Fonction Réciproque Cette propriété est utile lorsque l'on connaît la dérivée d'une fonction $f$ et que l'on souhaite trouver la dérivée de sa réciproque $f^{-1}$. > [!theorem] Dérivée de la fonction réciproque > Soit $f$ une fonction dérivable et bijective sur un intervalle $I$, et dont la dérivée $f'(x)$ ne s'annule pas sur $I$. Alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$, et pour tout $y \in J$, on a : > $ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $ > Ou, de manière équivalente, si $y = f(x)$, alors $x = f^{-1}(y)$, et > $ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} $ > [!example] Dérivée de $\text{arctan}(x)$ > Nous savons que la dérivée de $\tan(x)$ est $1 + \tan^2(x)$. > Soit $f(x) = \tan(x)$. Alors $f^{-1}(y) = \text{arctan}(y)$. > En utilisant la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$. > $f'(x) = 1 + \tan^2(x)$. > Donc, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2(\text{arctan}(y))} = \frac{1}{1 + y^2}$. > Ainsi, $\boxed{(\text{arctan}(x))' = \frac{1}{1+x^2}}$. # Tableau des Dérivées des Fonctions Usuelles Pour faciliter les calculs, voici un récapitulatif des dérivées des fonctions de base, à connaître par cœur. | Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :-------------- | :--------- | | $k$ (constante) | $0$ | | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n \in \mathbb{R}$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $x \neq 0$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x > 0$ | | $e^x$ | $e^x$ | | | $a^x$ | $a^x \ln(a)$ | $a > 0$ | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x > 0$ | | $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \ln(a)}$ | $x > 0, a > 0, a \neq 1$ | | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | | | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | | | $\tan(x)$ | $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\text{arcsin}(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1 < x < 1$ | | $\text{arccos}(x)$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1 < x < 1$ | | $\text{arctan}(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | | # Exercices et Applications > [!example] Exercice 1 > Calculer la dérivée des fonctions suivantes : > 1. $f(x) = (x^2 + 1) \ln(x)$ > 2. $g(x) = \frac{e^{2x}}{x-1}$ > 3. $h(x) = \cos(x^3 - 2x)$ > 4. $k(x) = \sqrt{x^2 + e^x}$ > [!example]- Solution Exercice 1 > 1. $f(x) = (x^2 + 1) \ln(x)$ (Règle du produit $u \cdot v$) > $u(x) = x^2+1 \Rightarrow u'(x) = 2x$ > $v(x) = \ln(x) \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{x}$ > $f'(x) = u'v + uv' = 2x \ln(x) + (x^2+1)\frac{1}{x} = \boxed{2x \ln(x) + x + \frac{1}{x}}$ > 2. $g(x) = \frac{e^{2x}}{x-1}$ (Règle du quotient $\frac{u}{v}$) > $u(x) = e^{2x} \Rightarrow u'(x) = 2e^{2x}$ (Règle de la chaîne pour $e^{2x}$) > $v(x) = x-1 \Rightarrow v'(x) = 1$ > $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2e^{2x}(x-1) - e^{2x}(1)}{(x-1)^2} = \frac{e^{2x}(2x-2-1)}{(x-1)^2} = \boxed{\frac{e^{2x}(2x-3)}{(x-1)^2}}$ > 3. $h(x) = \cos(x^3 - 2x)$ (Règle de la chaîne $f(g(x))$) > Fonction extérieure $f(u) = \cos(u) \Rightarrow f'(u) = -\sin(u)$ > Fonction intérieure $g(x) = x^3 - 2x \Rightarrow g'(x) = 3x^2 - 2$ > $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2) = \boxed{-(3x^2 - 2)\sin(x^3 - 2x)}$ > 4. $k(x) = \sqrt{x^2 + e^x}$ (Règle de la chaîne $\sqrt{u(x)}$) > Fonction intérieure $u(x) = x^2 + e^x \Rightarrow u'(x) = 2x + e^x$ > $k'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \boxed{\frac{2x + e^x}{2\sqrt{x^2 + e^x}}}$ # Perspective : Au-delà des Propriétés La maîtrise des règles de dérivation est une étape fondamentale. Elle ouvre la porte à de nombreuses applications et concepts avancés : * **Analyse de fonctions** : Étude des variations (croissance/décroissance), recherche d'extrema locaux et globaux, points d'inflexion (via la dérivée seconde), tracé de courbes. * **Optimisation** : Déterminer les conditions optimales pour un système, minimiser des coûts, maximiser des profits, etc. * **Physique et Ingénierie** : La dérivée représente un taux de variation. Vitesse (dérivée de la position), accélération (dérivée de la vitesse), courant (dérivée de la charge), etc. * **Développements limités** : Les dérivées sont les coefficients clés dans les développements de Taylor, permettant d'approximer localement une fonction par un polynôme. C'est un outil puissant que nous explorerons prochainement. * **Primitives et Intégrales** : La dérivation et l'intégration sont des opérations inverses. Comprendre la dérivation est essentiel pour aborder le concept de primitive et le calcul intégral. > [!tip] Pratique régulière > La dérivation est une compétence qui s'acquiert par la pratique. N'hésitez pas à faire de nombreux exercices pour automatiser l'application de ces règles. C'est la clé de la réussite pour les chapitres futurs. # ➡️ C'est la fin Ce chapitre vous a équipé des outils nécessaires pour calculer la dérivée de la plupart des fonctions que vous rencontrerez. Nous avons revu la définition de la dérivée et son interprétation géométrique comme la pente de la **droite tangente**. Plus important encore, nous avons détaillé les propriétés de la dérivation : **linéarité**, règles du **produit**, du **quotient**, et de la **chaîne** (composition de fonctions), ainsi que la dérivée de la fonction réciproque. Ces règles, combinées au tableau des dérivées usuelles, constituent la base de tout calcul différentiel. Une parfaite maîtrise de ces concepts est non seulement exigée pour les examens, mais aussi indispensable pour aborder sereinement les chapitres futurs sur les primitives, les intégrales, les développements limités et l'analyse de fonctions, qui sont au cœur des mathématiques pour l'ingénieur. --- - Cours précèdent: [[Cours 2 - Dérivées]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Dérivées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Dérivées]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]