# Dérivées Classiques > Page d'accueil de la compétence: [[Dérivées]] >[!tip] Tags > #Dérivées #CalculDifférentiel #Pente #Vitesse #TauxDeVariation #DroiteTangente > [!note] Fil directeur > Dans ce chapitre, nous allons revoir la définition rigoureuse de la dérivée, explorer ses interprétations, et surtout, nous allons établir une "boîte à outils" des dérivées des fonctions usuelles et des règles de calcul qui vous permettront de dériver n'importe quelle fonction construite à partir de ces briques de base. >[!example] Contenu de ce cours > Calculer la dérivée de fonctions usuels en utilisant les règles de dérivation: sommes, produits, quotients et compositions # Rappels: Définition et Interprétations de la Dérivée ## Définition Formelle Intuitivement, la dérivée mesure comment une fonction change lorsque son entrée change. Précisément, c'est la limite du taux d'accroissement. > [!definition] Dérivée en un point > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $x_0 \in I$. > On dit que $f$ est **dérivable** en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$. > Cette limite, si elle existe, est appelée la **dérivée de $f$ en $x_0$** et est notée $f'(x_0)$ ou $\frac{df}{dx}(x_0)$. > $ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ > Une autre formulation équivalente est : > $ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $ > [!definition] Fonction dérivée > Si $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $J \subset I$, alors la fonction qui à chaque $x \in J$ associe $f'(x)$ est appelée la **fonction dérivée** de $f$ sur $J$, et est notée $f'$. > [!example] Exemple de calcul par définition > Calculons la dérivée de $f(x) = x^2$ en un point $x_0$. > $ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} $ > $ = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - x_0^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2x_0h + h^2}{h} $ > $ = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h) = 2x_0 $ > Donc, la fonction dérivée de $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$. ## Interprétation Géométrique La dérivée en un point a une signification géométrique très claire. > [!theorem] Pente de la tangente > Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors la valeur $f'(x_0)$ représente la **pente (ou coefficient directeur)** de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$, c'est-à-dire au point $(x_0, f(x_0))$. > L'équation de cette tangente est donnée par : > $ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $ > [!example] Tangente à $f(x)=x^2$ > Pour $f(x)=x^2$, nous avons trouvé $f'(x)=2x$. > Au point $x_0=1$, $f(1)=1^2=1$ et $f'(1)=2(1)=2$. > L'équation de la tangente au point $(1,1)$ est donc $y = 2(x-1) + 1$, ce qui simplifie en $y = 2x - 1$. ## Interprétation Physique En physique, la dérivée est omniprésente pour décrire des phénomènes dynamiques. > [!note] Vitesse et accélération > Si $s(t)$ représente la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors : > - La dérivée première $s'(t) = \frac{ds}{dt}$ représente la **vitesse instantanée** de l'objet au temps $t$. > - La dérivée seconde $s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}$ représente l'**accélération instantanée** de l'objet au temps $t$. ## Differentiabilité et Continuité Il existe une relation importante entre la dérivabilité et la continuité d'une fonction. > [!theorem] Differentiabilité implique Continuité > Si une fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$, alors elle est nécessairement **continue** en $x_0$. > > La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (ex: $f(x)=|x|$ en $x_0=0$). > [!warning] Attention > La continuité est une condition nécessaire mais non suffisante pour la dérivabilité. Une "pointe" ou un "angle" dans la courbe indique une non-dérivabilité, même si la fonction est continue. # Dérivées des Fonctions Usuelles Il est impératif de connaître par cœur les dérivées des fonctions élémentaires. Elles constituent la base de tous les calculs plus complexes. Dans les tableaux ci-dessous, $c$ est une constante réelle, $n$ est un entier, $a$ est une constante réelle positive et $u$ est une fonction dérivable. ## Fonctions Puissances | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :----------------------- | :--------- | | $c$ | $0$ | | | $x$ | $1$ | | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n \in \mathbb{Z}$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $x \neq 0$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x > 0$ | | $x^\alpha$ | $\alpha x^{\alpha-1}$ | $\alpha \in \mathbb{R}$, $x > 0$ | > [!example] Exemples > - Si $f(x) = 7$, alors $f'(x) = 0$. > - Si $f(x) = x^5$, alors $f'(x) = 5x^4$. > - Si $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$, alors $f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$. > - Si $f(x) = x^{3/2}$, alors $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$. ## Fonctions Exponentielles et Logarithmiques | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :----------------------- | :--------- | | $e^x$ | $e^x$ | | | $a^x$ | $a^x \ln(a)$ | $a>0, a \neq 1$ | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $x > 0$ | | $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \ln(a)}$ | $a>0, a \neq 1, x > 0$ | > [!example] Exemples > - Si $f(x) = e^x$, alors $f'(x) = e^x$. > - Si $f(x) = 2^x$, alors $f'(x) = 2^x \ln(2)$. > - Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$. > - Si $f(x) = \log_{10}(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x \ln(10)}$. ## Fonctions Trigonométriques | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :----------------------- | :--------- | | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | | | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | | | $\tan(x)$ | $\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | ## Fonctions Trigonométriques Inverses | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :----------------------- | :--------- | | $\arcsin(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $x \in ]-1, 1[$ | | $\arccos(x)$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $x \in ]-1, 1[$ | | $\arctan(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | | ## Fonctions Hyperboliques | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Conditions | | :-------------- | :----------------------- | :--------- | | $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | | | $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | | | $\tanh(x)$ | $\frac{1}{\cosh^2(x)} = 1-\tanh^2(x)$ | | # Rappel: Composition (Règle de la Chaîne) C'est l'une des règles les plus importantes et les plus utilisées. Elle permet de dériver une fonction "imbriquée". > [!theorem] Règle de la chaîne > Si $f(x) = g(u(x))$, où $g$ et $u$ sont des fonctions dérivables, alors : > $ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) $ > En notation de Leibniz : $\frac{df}{dx} = \frac{dg}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. > [!example] Exemples > 1. Si $f(x) = \sin(x^2)$. Ici $g(u)=\sin(u)$ et $u(x)=x^2$. > $g'(u)=\cos(u)$ et $u'(x)=2x$. > Donc $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$. > 2. Si $f(x) = (2x+3)^5$. Ici $g(u)=u^5$ et $u(x)=2x+3$. > $g'(u)=5u^4$ et $u'(x)=2$. > Donc $f'(x) = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$. > 3. Si $f(x) = e^{-x}$. Ici $g(u)=e^u$ et $u(x)=-x$. > $g'(u)=e^u$ et $u'(x)=-1$. > Donc $f'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$. > 4. Si $f(x) = \ln(x^2+1)$. Ici $g(u)=\ln(u)$ et $u(x)=x^2+1$. > $g'(u)=\frac{1}{u}$ et $u'(x)=2x$. > Donc $f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$. > [!tip] Astuce pour la règle de la chaîne > Pensez à "dériver de l'extérieur vers l'intérieur". Dérivez la fonction "principale" en gardant son argument intact, puis multipliez par la dérivée de cet argument. # Dérivée de la Fonction Réciproque > [!theorem] Dérivée de la fonction réciproque > Si $y = f(x)$ est une fonction dérivable et bijective, et que sa fonction réciproque $x = f^{-1}(y)$ est aussi dérivable, alors : > $ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $ > (valable lorsque $f'(x) \neq 0$) > [!example] Exemple : Dérivée de $\ln(y)$ à partir de $e^x$ > Soit $f(x) = e^x$. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \ln(y)$. > On sait que $f'(x) = e^x$. > En utilisant la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{e^{\ln(y)}} = \frac{1}{y}$. > On retrouve bien la dérivée de $\ln(y)$, pour $y>0$. # Dérivées d'Ordre Supérieur On peut dériver une fonction plusieurs fois, à condition que la dérivée précédente soit elle-même dérivable. > [!definition] Dérivées d'ordre supérieur > - La **dérivée première** est $f'(x)$. > - La **dérivée seconde** est la dérivée de la dérivée première : $f''(x) = (f')'(x)$. On la note aussi $\frac{d^2f}{dx^2}$. > - La **dérivée troisième** est la dérivée de la dérivée seconde : $f'''(x) = (f'')'(x)$. On la note aussi $\frac{d^3f}{dx^3}$. > - De manière générale, la **dérivée $n$-ième** est notée $f^{(n)}(x)$ ou $\frac{d^nf}{dx^n}$. > [!example] Exemple > Soit $f(x) = x^4$. > - $f'(x) = 4x^3$ > - $f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$ > - $f'''(x) = (12x^2)' = 24x$ > - $f^{(4)}(x) = (24x)' = 24$ > - $f^{(5)}(x) = (24)' = 0$ > Toutes les dérivées d'ordre supérieur à 4 seront nulles pour cette fonction. > [!note] Applications des dérivées d'ordre supérieur > - La dérivée seconde est cruciale pour l'étude de la **convexité** et de la **concavité** d'une fonction, ainsi que pour la recherche des **points d'inflexion**. > - Les dérivées d'ordre supérieur sont la base des **développements limités**, un outil puissant pour approximer des fonctions complexes par des polynômes. # Tableau Récapitulatif des Dérivées Usuelles Ce tableau est votre référence rapide pour les dérivées. $u$ est une fonction de $x$ dérivable, $c$ est une constante. | Fonction $f(x)$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | | :-------------- | :----------------------- | | $c$ | $0$ | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | | $u^n$ | $nu^{n-1}u'$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | | $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $e^u$ | $u'e^u$ | | $a^x$ | $a^x \ln(a)$ | | $a^u$ | $u'a^u \ln(a)$ | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | | $\ln(u)$ | $\frac{u'}{u}$ | | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | | $\sin(u)$ | $u'\cos(u)$ | | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | | $\cos(u)$ | $-u'\sin(u)$ | | $\tan(x)$ | $1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ | | $\tan(u)$ | $u'(1+\tan^2(u)) = \frac{u'}{\cos^2(u)}$ | | $\arcsin(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | | $\arcsin(u)$ | $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ | | $\arctan(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | | $\arctan(u)$ | $\frac{u'}{1+u^2}$ | | $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | | $\sinh(u)$ | $u'\cosh(u)$ | | $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | | $\cosh(u)$ | $u'\sinh(u)$ | # ➡️ C'est la fin! Félicitations ! Vous avez maintenant une solide compréhension des dérivées classiques, de leur définition à leurs règles de calcul. La maîtrise de ce chapitre est une étape cruciale dans votre parcours d'ingénieur. Les dérivées sont omniprésentes : - Elles permettent d'étudier les **variations de fonctions** (où la fonction est croissante ou décroissante). - Elles aident à trouver les **extrema locaux** (maximums et minimums) d'une fonction, essentiels pour les problèmes d'optimisation. - Elles sont la pierre angulaire pour la résolution d'**équations différentielles**, qui modélisent de nombreux phénomènes physiques et biologiques. --- - Cours précèdent: [[Cours 3 - Dérivées]] - Prochain cours: [[Cours 4 - Dérivées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Dérivées]] # Historique - Dernière MAJ: `28-Août-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]