%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées\|← Cours 2 - Dérivées]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Exercices - Dérivées\|Exercices - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Dérivées : Interprétation et application > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Dérivées]] >[!tip] Tags > #Dérivées #CalculDifférentiel #Pente #Vitesse #TauxDeVariation #DroiteTangente >[!example] Contenu de ce cours > Calculer la dérivée de fonctions usuels en utilisant les règles de dérivation: sommes, produits, quotients et compositions ## Rappel de la définition Formelle Intuitivement, la dérivée mesure comment une fonction change lorsque son entrée change. Précisément, c'est la limite du taux d'accroissement. > [!definition] Dérivée en un point > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $x_0 \in I$. > On dit que $f$ est **dérivable** en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$. > Cette limite, si elle existe, est appelée la **dérivée de $f$ en $x_0$** et est notée $f'(x_0)$ ou $\frac{df}{dx}(x_0)$. > $ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $ > Une autre formulation équivalente est : > $ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $ > [!definition] Fonction dérivée > Si $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $J \subset I$, alors la fonction qui à chaque $x \in J$ associe $f'(x)$ est appelée la **fonction dérivée** de $f$ sur $J$, et est notée $f'$. ## Pente de la tangente La dérivée en un point a une signification géométrique très claire. > [!theorem] Pente de la tangente > Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors la valeur $f'(x_0)$ représente la **pente (ou coefficient directeur)** de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$, c'est-à-dire au point $(x_0, f(x_0))$. > L'équation de cette tangente est donnée par : > $ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $ > [!example] Exemple > Tangente à $f(x)=x^2$ au point $A$ d'abscisse $x_0=1$ : > Pour $f(x)=x^2$, nous avons trouvé $f'(x)=2x$. > Au point $x_0=1$, $f(1)=1^2=1$ et $f'(1)=2(1)=2$. > L'équation de la tangente au point $(1,1)$ est donc $y = 2(x-1) + 1$, ce qui simplifie en $y = 2x - 1$. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Ressources_Dérivées/exemple tangente.png||500]] ## Vitesse et accélération En physique, la dérivée est omniprésente pour décrire des phénomènes dynamiques. > [!note] Vitesse et accélération > Si $s(t)$ représente la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors : > - La dérivée première $s'(t) = \frac{ds}{dt}$ représente la **vitesse instantanée** de l'objet au temps $t$. > - La dérivée seconde $s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}$ représente l'**accélération instantanée** de l'objet au temps $t$. >[!example] Exemple On considère le mouvement d'une voiture dont la position (en mètres) au temps $t$ (en secondes) est donnée par : $s(t)=5t^2$. >* La vitesse instantanée est : $v(t)=s'(t)=10t$. >* L'accélération instantanée est : $a(t)=v'(t)=s''(t)=10$. > À l'instant $t=3$ s : >- Position : $s(3)=5\times 3^2=45\ \text{m}$. >- Vitesse : $v(3)=10\times 3=30\ \text{m/s}$. >- Accélération : $a(3)=10\ \text{m/s}^2$. > >**Interprétation :** Après $3$ secondes, la voiture se trouve à $45$ mètres de son point de départ, sa vitesse est de $30\ \text{m/s}$ et son accélération est constante égale à $10\ \text{m/s}^2$. ## Sens de variation d'une fonction La notion de dérivée permet d'approfondir l'étude des fonctions réelles. En effet, elle fournit des informations sur le sens de variation d'une fonction (croissance ou décroissance) et permet de déterminer ses points critiques. Cette étude vient compléter celle réalisée dans la compétence précédente [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Fonctions Réelles]] , consacrée au domaine de définition, aux limites et aux asymptotes des fonctions. > [!theorem] Théorème des variations > Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. > * Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. > * Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. > * Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$. > [!note] Points critiques > Les points où $f'(x) = 0$ sont appelés des **points critiques**. Ils correspondent souvent à des maximums locaux, des minimums locaux ou des points d'inflexion (où la courbe change de concavité). L'étude du signe de la dérivée autour de ces points permet de déterminer leur nature. >[!example] Exemple d'étude de fonctions > Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ **1. Domaine de définition** La fonction est définie si son dénominateur est non nul : $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$ Le domaine de définition est : $D_f = ]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$ **2. Limites** >* Limites aux infinis : On regarde les termes de plus haut degré : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x$ Alors, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ >* Limites en $2$ : > Limite à gauche de $x=2$ : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{3}{0^-} = -\infty$ > Limite à droite de $x=2$ : $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty$ **3. Asymptotes** >* Étude en $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^\pm} f(x) = \pm\infty$ implique que la droite $x = 2$ est une **asymptote verticale**. >* Étude aux infinis : On a trouvé que les limites aux infinis sont infinies. Donc, une asymptote oblige $y=ax+b$ telle que $\lim_{x \to +\infty} f(x)-(ax+b)=0$ existe potentiellement. On détermine $a$ et $b$ grâce aux formules suivantes : >$ \begin{align} a &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x(x - 2)} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2} \\ &= 1 \end{align} $ > et $ \begin{align} b &= \lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 - 1}{x - 2} - x \right) \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1 - x(x - 2)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1 - x^2 + 2x}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 1}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} \\ &= 2 \end{align} $ On vérifie que $\lim_{x \to +\infty} f(x)-(ax+b)$ est nulle : >$ \begin{align} \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] &= \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^2 - 1}{x - 2} - (x + 2) \right] \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1 - (x + 2)(x - 2)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1 - (x^2 - 4)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x - 2} \\ &= 0 \end{align} $ Donc, la droite d'équation **$y = x + 2$** est une **asymptote oblique**. >**4. Dérivée** On utilise la règle du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ : $u(x) = x^2 - 1 \implies u'(x) = 2x$ $v(x) = x - 2 \implies v'(x) = 1$ $f'(x) = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 1)(1)}{(x - 2)^2}$ $f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x - 2)^2}$ $f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x - 2)^2}$ **5. Variation** Recherche des racines de $f'(x)$ : On cherche quand $x^2 - 4x + 1 = 0$ avec $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 12>0$On trouve $x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27$ et $x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$ qui sont les points critiques de $f(x)$. La dérivée $f'(x)$ prend le signe du numérateur (le dénominateur est toujours positif) donc, $f'(x)$ est négative entre les deux points critiques. **6. Tableau de variations** > >| $x$ | $-\infty$ | | $2-\sqrt{3}$ | | $2$ | | $2+\sqrt{3}$ | | $+\infty$ | >| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | >| $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | | >| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $f(x_1)$ | $\searrow$ | $\|$ | $\searrow$ | $f(x_2)$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | > >**7. Graphe** En tenant compte de tous les résultats obtenus, on peut représenter la fonction $f$ comme suit: ![[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Ressources_Dérivées/étude de fonction exemple.png]] # ➡️ C'est la fin! Félicitations ! Vous avez maintenant une solide compréhension des dérivées classiques, de leur définition à leurs règles de calcul. La maîtrise de ce chapitre est une étape cruciale dans votre parcours d'ingénieur. Les dérivées sont omniprésentes : - Elles permettent d'étudier les **variations de fonctions** (où la fonction est croissante ou décroissante). - Elles aident à trouver les **extrema locaux** (maximums et minimums) d'une fonction, essentiels pour les problèmes d'optimisation. - Elles sont la pierre angulaire pour la résolution d'**équations différentielles**, qui modélisent de nombreux phénomènes physiques et biologiques. --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées|Cours 2 - Dérivées]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Exercices - Dérivées|Exercices - Dérivées]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Dérivées]] # Historique - Dernière MAJ: `17-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Dérivées|Accueil · Dérivées]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Cours 2 - Dérivées\|← Cours 2 - Dérivées]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Dérivées/Exercices - Dérivées\|Exercices - Dérivées →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%