> Anciens exos : [Lien externe vers le PDF](https://drive.google.com/file/d/1qicvr2fhPqTuKY_F0A3tJdD5jNjmCFc9) # Exercices dérivées ## Exercices Simples (Application directe) ### Exercice 1 : Dérivées de polynômes Calculez la fonction dérivée $f'(x)$ pour la fonction suivante : $ f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 10 $ --- ### Exercice 2 : Équation de la tangente Soit la fonction $f(x) = x^2 + 2x - 1$. 1. Calculez la dérivée $f'(x)$. 2. Déterminez l'équation de la droite tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$. --- ## Exercices de Niveau Moyen (Combinaison de règles) ### Exercice 3 : Règle du produit Calculez la fonction dérivée $f'(x)$ de la fonction suivante en utilisant la règle du produit : $ f(x) = x^2 e^x $ --- ### Exercice 4 : Règle du quotient Calculez la fonction dérivée $g'(x)$ de la fonction suivante en utilisant la règle du quotient : $ g(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 1} $ --- ### Exercice 5 : Règle de la chaîne simple Calculez la fonction dérivée $h'(x)$ de la fonction suivante en utilisant la règle de la chaîne : $ h(x) = (3x^2 - x)^4 $ --- ### Exercice 6 : Tangentes horizontales Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. Déterminez les coordonnées des points de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale. *(Indice : Une tangente horizontale a une pente de 0)*. --- ## Exercices Plus Complexes (Maîtrise et réflexion) ### Exercice 7 : Retour à la définition En utilisant uniquement la définition formelle de la dérivée avec la limite, montrez que si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$. $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ *(Indice : vous aurez besoin de développer $(x+h)^3$)*. --- ### Exercice 8 : Règle de la chaîne imbriquée Calculez la fonction dérivée $f'(x)$ de la fonction suivante : $ f(x) = e^{\cos(x^2)} $ *(Indice : Il s'agit d'une double composition de fonctions)*. --- ### Exercice 9 : Combinaison de la règle du quotient et du produit Calculez la fonction dérivée $g'(x)$ de la fonction suivante : $ g(x) = \frac{x \ln(x)}{x+1} $ --- ### Exercice 10 : Problème d'application complet Soit la fonction $f(x) = \sqrt{2x+1}$. 1. Déterminez le domaine de définition de $f$. 2. Calculez la dérivée $f'(x)$. 3. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 4$. 4. En quel point la pente de la tangente à la courbe de $f$ vaut-elle $1/3$ ? # Solutions Détaillées ### Solution 1 : Dérivées de polynômes On utilise la linéarité de la dérivation et la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$. $ f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 10 $ $ f'(x) = 4 \cdot (3x^2) - 7 \cdot (2x) + 5 \cdot (1) - 0 $ $ \mathbf{f'(x) = 12x^2 - 14x + 5} $ ### Solution 2 : Équation de la tangente 1. **Calcul de la dérivée :** $f(x) = x^2 + 2x - 1 \implies f'(x) = 2x + 2$. 2. **Calcul des éléments au point $x_0 = 1$ :** - Ordonnée du point : $f(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$. Le point est $(1, 2)$. - Pente de la tangente : $f'(1) = 2(1) + 2 = 4$. 3. **Équation de la tangente :** On utilise la formule $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. $ y = 4(x - 1) + 2 $ $ y = 4x - 4 + 2 $ $ \mathbf{y = 4x - 2} $ ### Solution 3 : Règle du produit On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = e^x$. Alors $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = e^x$. On applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$ : $ f'(x) = (2x)(e^x) + (x^2)(e^x) $ $ \mathbf{f'(x) = e^x (2x + x^2)} $ ### Solution 4 : Règle du quotient On pose $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = x^2 + 1$. Alors $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = 2x$. On applique la formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ : $ g'(x) = \frac{\cos(x)(x^2 + 1) - \sin(x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} $ $ \mathbf{g'(x) = \frac{(x^2+1)\cos(x) - 2x\sin(x)}{(x^2 + 1)^2}} $ ### Solution 5 : Règle de la chaîne simple On a une fonction de la forme $(u(x))^n$ avec $u(x) = 3x^2 - x$ et $n=4$. La dérivée est $n(u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$. Ici, $u'(x) = 6x - 1$. $ h'(x) = 4(3x^2 - x)^{4-1} \cdot (6x - 1) $ $ \mathbf{h'(x) = 4(6x-1)(3x^2 - x)^3} $ ### Solution 6 : Tangentes horizontales 1. **Calcul de la dérivée :** $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \implies f'(x) = 3x^2 - 6x$. 2. **Recherche des points où la pente est nulle :** On résout $f'(x) = 0$. $ 3x^2 - 6x = 0 $ $ 3x(x - 2) = 0 $ Les solutions sont $x = 0$ et $x = 2$. 3. **Calcul des ordonnées :** - Pour $x=0$, $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$. - Pour $x=2$, $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Les points où la tangente est horizontale sont **(0, 1)** et **(2, -3)**. ### Solution 7 : Retour à la définition On applique la définition pour $f(x) = x^3$. $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} $ On développe $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$. $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x^3}{h} $ $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} $ On factorise par $h$ au numérateur (puisque $h \neq 0$) : $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} $ $ f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) $ Quand $h \to 0$, les termes $3xh$ et $h^2$ tendent vers 0. $ \mathbf{f'(x) = 3x^2} $ ### Solution 8 : Règle de la chaîne imbriquée La fonction est de la forme $e^{u(x)}$ avec $u(x) = \cos(x^2)$. La dérivée est $e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Calculons $u'(x)$. C'est la dérivée de $\cos(v(x))$ avec $v(x) = x^2$. $u'(x) = -\sin(v(x)) \cdot v'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$. On assemble le tout : $ f'(x) = e^{\cos(x^2)} \cdot (-2x\sin(x^2)) $ $ \mathbf{f'(x) = -2x \sin(x^2) e^{\cos(x^2)}} $ ### Solution 9 : Combinaison de règles C'est un quotient $\frac{U}{V}$ où $U(x) = x \ln(x)$ et $V(x) = x+1$. - Dérivons d'abord $U(x)$ avec la règle du produit : $U'(x) = (x)'\ln(x) + x(\ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$. - Dérivons $V(x)$ : $V'(x) = 1$. - Appliquons la règle du quotient $\frac{U'V - UV'}{V^2}$ : $ g'(x) = \frac{(\ln(x) + 1)(x+1) - (x \ln(x))(1)}{(x+1)^2} $ $ g'(x) = \frac{x\ln(x) + \ln(x) + x + 1 - x\ln(x)}{(x+1)^2} $ $ \mathbf{g'(x) = \frac{\ln(x) + x + 1}{(x+1)^2}} $ ### Solution 10 : Problème d'application complet 1. **Domaine de définition :** La fonction racine carrée est définie si son argument est positif ou nul. $2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$. Le domaine est **$[-1/2, +\infty[$**. 2. **Calcul de la dérivée :** C'est une fonction de la forme $\sqrt{u(x)}$ avec $u(x)=2x+1$. Sa dérivée est $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. $u'(x) = 2$. $ \mathbf{f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}} $ 3. **Tangente en $x_0 = 4$ :** - Point : $f(4) = \sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$. Le point est $(4, 3)$. - Pente : $f'(4) = \frac{1}{\sqrt{2(4)+1}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$. - Équation : $y = \frac{1}{3}(x - 4) + 3 = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} + 3 = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$. L'équation est **$y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$**. 4. **Point où la pente vaut $1/3$ :** On cherche $x$ tel que $f'(x) = 1/3$. $ \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{3} $ $ \sqrt{2x+1} = 3 $ On met au carré : $2x+1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x=4$. Le point est celui que nous venons d'étudier : **$x=4$**. # Historique - Dernière MAJ: `23-Juillet-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]