# Cours 1 : Introduction au Développement limité (DL)
## Introduction
Bienvenue dans ce chapitre fondamental des mathématiques pour l'ingénieur : le **Développement Limité (DL)**. Vous avez déjà exploré le monde des fonctions, de leurs dérivées et de leurs intégrales. Le développement limité est une extension naturelle de ces concepts, offrant un outil puissant pour *approximer* des fonctions complexes par des polynômes plus simples, au voisinage d'un point donné.
Pourquoi est-ce si important ? Imaginez que vous ayez besoin d'étudier le comportement d'une fonction très compliquée près d'un point spécifique, ou de calculer une limite indéterminée, voire d'estimer une valeur avec une grande précision. Les développements limités vous fourniront une méthode systématique pour transformer ces problèmes ardus en calculs polynomiaux, bien plus abordables.
Ce chapitre posera les bases théoriques et pratiques des DL, en s'appuyant sur vos connaissances des dérivées. Il vous préparera également, sans le savoir encore, à des concepts cruciaux en calcul numérique, où la notion d'approximation et d'estimation de l'erreur est reine.
## 1. Rappels et Motivation
### 1.1. Rappels sur les Dérivées
Vous maîtrisez déjà le concept de dérivée, qui mesure le taux de variation instantané d'une fonction. La dérivée première $f'(x)$ nous donne la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $x$. La dérivée seconde $f''(x)$ nous renseigne sur la concavité, et ainsi de suite pour les dérivées d'ordre supérieur. Ces informations locales sont les briques essentielles de notre approximation.
> [!note] Pré-requis
> Une parfaite maîtrise du calcul des dérivées d'ordre $n$ (première, seconde, troisième, etc.) est indispensable pour aborder sereinement les développements limités. Revoyez les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition) et les dérivées des fonctions usuelles.
> [!example] Exemple : Dérivées successives
> Soit $f(x) = \sin(x)$.
> * $f(x) = \sin(x)$
> * $f'(x) = \cos(x)$
> * $f''(x) = -\sin(x)$
> * $f'''(x) = -\cos(x)$
> * $f^{(4)}(x) = \sin(x)$
> Et ainsi de suite, les dérivées sont cycliques.
### 1.2. Motivation : Approximation Locale d'une Fonction
L'idée derrière le développement limité est d'approximer une fonction $f(x)$ au voisinage d'un point $x_0$ par un polynôme. Pourquoi un polynôme ? Parce que les polynômes sont les fonctions les plus simples à manipuler : dériver, intégrer, évaluer, tout est aisé avec un polynôme.
Reprenons l'idée d'approximations successives que vous connaissez intuitivement :
* **Approximation d'ordre 0 (constante) :** $f(x) \approx f(x_0)$.
C'est la valeur de la fonction au point $x_0$. Utile si $x$ est *très* proche de $x_0$, mais généralement peu précise.
* **Approximation d'ordre 1 (linéaire) :** $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
C'est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0$. Cette approximation est bien meilleure que la constante, car elle capture la direction de la courbe. La droite tangente est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de $x_0$.
* **Approximation d'ordre 2 (quadratique) :** Pour aller plus loin et capturer la courbure de la fonction, on ajoute un terme quadratique : $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$.
Ce polynôme de degré 2 "épouse" la forme de la courbe de $f$ bien mieux que la tangente seule. Le coefficient $\frac{f''(x_0)}{2}$ est crucial pour ajuster la courbure.
Le développement limité généralise cette idée en utilisant des polynômes de degré $n$, en incorporant les dérivées successives de la fonction au point $x_0$. L'enjeu est de quantifier la "qualité" de cette approximation, c'est-à-dire de maîtriser l'erreur commise en remplaçant $f(x)$ par son polynôme d'approximation.
## 2. Définition et Notation du "Petit o"
### 2.1. Le Symbole "Petit o" de Landau
Pour décrire la précision d'une approximation, nous avons besoin d'une notation rigoureuse pour le "reste", c'est-à-dire la différence entre la fonction et son approximation polynomiale. C'est le rôle fondamental du symbole de Landau, le **"petit o"**.
> [!definition] Notation "Petit o"
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a$, avec $g(x) \neq 0$ pour $x \neq a$.
> On dit que $f(x)$ est un **petit o de $g(x)$** au voisinage de $a$, et on note $f(x) = o(g(x))$, si :
> $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $
>
> Intuitivement, cela signifie que $f(x)$ tend vers 0 "beaucoup plus vite" que $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$. En d'autres termes, $f(x)$ devient négligeable devant $g(x)$ quand $x \to a$.
> [!example] Exemples de "petit o" au voisinage de $0$
> * $x^3 = o(x^2)$ car $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0$.
> * $x^2 = o(x)$ car $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$.
> * $x = o(1)$ car $\lim_{x \to 0} \frac{x}{1} = 0$.
> * $\sin(x) - x = o(x^2)$ (nous verrons pourquoi plus tard, le DL de $\sin(x)$ commence par $x$).
>
> > [!example] Exemple de "petit o" au voisinage de $a \neq 0$
> > * $(x-2)^3 = o((x-2)^2)$ au voisinage de $2$, car $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^3}{(x-2)^2} = \lim_{x \to 2} (x-2) = 0$.
> [!note] Propriétés utiles du "petit o" (au voisinage de $a$)
> Ces propriétés sont essentielles pour manipuler les DL en pratique :
> * **Addition :** $o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x))$. (La somme de deux termes négligeables devant $g(x)$ reste négligeable devant $g(x)$.)
> * **Multiplication par une constante :** $k \cdot o(g(x)) = o(g(x))$ pour toute constante $k \neq 0$.
> * **Multiplication par une fonction :** $h(x) \cdot o(g(x)) = o(h(x)g(x))$.
> En particulier, $o((x-a)^n) \cdot (x-a)^p = o((x-a)^{n+p})$.
> * **Composition :** Si $u(x) \to 0$ quand $x \to a$, alors $o(u(x)^n) = o((u(x))^n)$.
> * **Transitivité :** Si $f(x) = o(g(x))$ et $g(x) = o(h(x))$, alors $f(x) = o(h(x))$.
> * **Hiérarchie :** Si $p > n$, alors $o((x-a)^p) = o((x-a)^n)$. (Un reste plus petit est toujours un reste plus petit.)
### 2.2. Définition du Développement Limité
Le symbole "petit o" nous permet maintenant de définir rigoureusement ce qu'est un développement limité.
> [!definition] Développement Limité (DL)
> Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un point $a$. On dit que $f$ admet un **développement limité d'ordre $n$ au voisinage de $a$** s'il existe des réels $c_0, c_1, \dots, c_n$ tels que :
> $ f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + o((x-a)^n) $
> lorsque $x \to a$.
>
> * Le polynôme $P_n(x) = c_0 + c_1(x-a) + \dots + c_n(x-a)^n$ est appelé la **partie régulière** ou **partie principale du DL**.
> * Le terme $o((x-a)^n)$ est le **reste** du DL. Il quantifie l'erreur de l'approximation.
> [!note] Unicité du DL
> Si une fonction $f$ admet un DL d'ordre $n$ au voisinage de $a$, alors ce DL est unique. C'est une propriété très importante qui garantit que le DL que nous trouvons est *le seul* pour cette fonction à cet ordre et en ce point.
> [!note] Ordre du DL
> L'ordre $n$ indique le degré maximal du polynôme d'approximation et la "précision" de l'approximation. Plus $n$ est grand, plus le polynôme approche finement la fonction au voisinage de $a$.
## 3. La Formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young est le théorème fondamental qui nous donne la forme explicite des coefficients $c_k$ du développement limité en fonction des dérivées de la fonction.
> [!theorem] Formule de Taylor-Young
> Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ (c'est-à-dire $n$ fois continûment dérivable) au voisinage d'un point $a$. Alors $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ au voisinage de $a$ donné par :
> $ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n) $
> lorsque $x \to a$.
>
> Les coefficients sont donc $c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ pour $k=0, 1, \dots, n$.
> On peut l'écrire de manière plus compacte avec la notation de sommation :
> $ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o((x-a)^n) $
> [!note] Remarque importante sur les conditions
> La condition "de classe $\mathcal{C}^n
quot; est essentielle. Elle garantit l'existence et la continuité des dérivées jusqu'à l'ordre $n$ au voisinage de $a$, ce qui est nécessaire pour calculer les coefficients $c_k$. Sans cette régularité, la formule de Taylor-Young ne peut pas être appliquée.
> [!tip] Cas particulier : Formule de Maclaurin-Young
> Lorsque le point $a=0$, la formule de Taylor-Young prend le nom de **formule de Maclaurin-Young**. C'est le cas le plus fréquemment utilisé en pratique, car il simplifie considérablement les expressions $(x-a)^k$ en $x^k$.
> $ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $
> lorsque $x \to 0$.
## 4. Développements Limités des Fonctions Usuelles au Voisinage de 0
Il est absolument crucial de connaître par cœur ou de savoir retrouver rapidement les DL des fonctions usuelles au voisinage de 0. Ils servent de briques de base pour construire des DL de fonctions plus complexes par combinaison et opérations.
Dans les tableaux suivants, tous les DL sont donnés au voisinage de $0$ et à l'ordre $n$ (ou un ordre pertinent pour les termes non nuls). Pour la plupart, ils sont valables à tout ordre $n$.
| Fonction $f(x)$ | Développement Limité au voisinage de $0$ |
| :---------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$ |
| $\sin(x)$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+1})$ |
| $\cos(x)$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2n})$ |
| $\operatorname{sh}(x)$ | $x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+1})$ |
| $\operatorname{ch}(x)$ | $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2n})$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$ |
| $\tan(x)$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$ (attention, coefficients plus complexes) |
| $\arctan(x)$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1})$ |
| $\arcsin(x)$ | $x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} + \dots + \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1})$ |
> [!tip] Comment retenir les DL des fonctions trigonométriques et hyperboliques ?
> * **Parité :** $\sin(x)$ et $\operatorname{sh}(x)$ sont impaires, leurs DL ne contiennent que des puissances impaires de $x$.
> * **Parité :** $\cos(x)$ et $\operatorname{ch}(x)$ sont paires, leurs DL ne contiennent que des puissances paires de $x$.
> * **Similitude :** Les DL de $\sin(x)$ et $\operatorname{sh}(x)$ sont presque identiques, sauf les signes alternés pour $\sin(x)$. Idem pour $\cos(x)$ et $\operatorname{ch}(x)$.
> * **Dérivation/Intégration :** Le DL de $\ln(1+x)$ peut être obtenu en intégrant le DL de $\frac{1}{1+x}$. Le DL de $\arctan(x)$ peut être obtenu en intégrant le DL de $\frac{1}{1+x^2}$ (obtenu à partir de $\frac{1}{1+x}$ par substitution $x \to x^2$).
## 5. Changement de variable
#### 5.1. DL au voisinage d'un point $a \neq 0$
Pour calculer le DL de $f(x)$ au voisinage de $a$, on pose $h = x-a$. Alors $x = a+h$. Lorsque $x \to a$, $h \to 0$.
On calcule alors le DL de $f(a+h)$ au voisinage de $0$ en fonction de $h$, puis on remplace $h$ par $(x-a)$.
> [!example] Exemple
> Cherchons le DL de $\ln(x)$ à l'ordre $2$ au voisinage de $1$.
> Posons $h = x-1$, donc $x = 1+h$. Quand $x \to 1$, $h \to 0$.
> $\ln(x) = \ln(1+h)$
> Le DL de $\ln(1+h)$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ est :
> $\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + o(h^2)$
>
> En substituant $h = x-1$ :
> $\ln(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + o((x-1)^2)$ au voisinage de $1$.
#### 5.2. DL au voisinage de l'infini
Pour calculer le DL de $f(x)$ au voisinage de $+\infty$, on pose : $h=\frac{1}{x}$. Alors $x=\frac{1}{h}$. Lorsque $x\rightarrow +\infty$, on a $h\rightarrow 0$.
On calcule alors le DL de $f(\frac{1}{h})$ au voisinage de $0$ en fonction de $h$, puis on remplace $h$ par $\frac{1}{x}$.
> [!example] Exemple
> Cherchons le DL de $\frac{1}{1+x}$ à l'ordre $2$ au voisinage de $+\infty$.
> Posons $h = \frac{1}{x}$, donc $x = \frac{1}{h}$. Quand $x \to +\infty$, $h \to 0$.
> On calcule alors $f(\frac{1}{h})=\frac{1}{1+\frac{1}{h}} = \frac{h}{1+h}=h\cdot\frac{1}{1+h}$.
> Le DL de $\frac{1}{1+h}$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ est :
> $\frac{1}{1+h} = 1-h+h^2 + o(h^2)$
>Donc, $f(1/h)=h\cdot\frac{1}{1+h}=h(1-h+h^2 + o(h^2))=h-h^2+o(h^2)$.
> En substituant $h = \frac{1}{x}$ :
> $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+ o((\frac{1}{x})^2)$ au voisinage de $+\infty$.
## Conclusion
Nous avons parcouru les concepts fondamentaux des développements limités. Vous avez appris à définir rigoureusement un DL grâce à la notation de Landau, à utiliser la formule de Taylor-Young pour en calculer les coefficients, et à manipuler les DL des fonctions usuelles.
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# 🗓️ Historique
- Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]]
- Dernière MAJ: `08-Avril-2026`