# Cours 2 : Opérations sur les Développements Limités ## Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons découvert le concept fondamental des développements limités (DL) et appris à calculer le DL des fonctions usuelles. Cette approximation polynomiale est au cœur de nombreuses applications, notamment en calcul de limites, en étude de branches infinies, et constitue une base essentielle pour les méthodes numériques que vous aborderez prochainement. Cependant, calculer le DL de fonctions complexes directement à partir de la formule de Taylor-Young peut être fastidieux, voire impossible. Imaginez devoir calculer toutes les dérivées successives d'une fonction comme $e^{\sin x}$ ou $\frac{\ln(1+x)}{\cos x}$ ! Heureusement, il existe des règles d'opérations qui nous permettent de construire le DL de fonctions complexes à partir des DL de fonctions plus simples, sans avoir à repasser par les dérivées. Ce chapitre est dédié à l'étude de ces opérations. Nous allons apprendre à manipuler les développements limités par addition, multiplication, division et composition, ainsi qu'à les intégrer et les dériver. Maîtriser ces techniques vous offrira une grande flexibilité et efficacité dans la résolution de problèmes d'analyse. --- ## 1. Somme et Différence de Développements Limités L'opération la plus simple est l'addition ou la soustraction de deux fonctions. > [!theorem] DL d'une somme ou différence > Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $x_0=0$ : > $ f(x) = P_n(x) + o(x^n) $ > $ g(x) = Q_n(x) + o(x^n) $ > où $P_n(x)$ et $Q_n(x)$ sont des polynômes de degré au plus $n$. > Alors, la fonction $f \pm g$ admet un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $0$ donné par : > $ (f \pm g)(x) = (P_n(x) \pm Q_n(x)) + o(x^n) $ > Autrement dit, pour trouver le DL d'une somme (ou différence), il suffit d'additionner (ou soustraire) les polynômes des DL de chaque fonction. > [!note] Ordre des DL > Si les DL de $f$ et $g$ sont d'ordres différents, par exemple $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ et $g(x) = Q_m(x) + o(x^m)$, alors le DL de $f \pm g$ sera à l'ordre $k = \min(n, m)$. Il faut donc s'assurer que les DL sont calculés au même ordre pour obtenir un résultat précis à cet ordre. > [!example] Exemple : DL de $e^x + \sin x$ à l'ordre 3 en $x=0$ > On connaît les DL de $e^x$ et $\sin x$ à l'ordre 3 : > $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) $ > $ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $ > On additionne les polynômes : > $ e^x + \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) $ > $ e^x + \sin x = 1 + (1+1)x + \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) $ > $ e^x + \sin x = 1 + 2x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) $ --- ## 2. Produit de Développements Limités Le produit de DL est un peu plus délicat que la somme, car il faut faire attention à l'ordre des termes. > [!theorem] DL d'un produit > Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $x_0=0$ : > $ f(x) = P_n(x) + o(x^n) = (a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n) + o(x^n) $ > $ g(x) = Q_n(x) + o(x^n) = (b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n) + o(x^n) $ > Alors, la fonction $f \cdot g$ admet un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $0$ donné par : > $ (f \cdot g)(x) = (P_n(x) \cdot Q_n(x))_{\text{tronqué à l'ordre } n} + o(x^n) $ > Pour obtenir le DL du produit à l'ordre $n$, on multiplie les polynômes $P_n(x)$ et $Q_n(x)$ comme des polynômes ordinaires, puis on ne conserve que les termes dont la puissance de $x$ est inférieure ou égale à $n$. Tous les termes de degré supérieur à $n$ sont absorbés par le $o(x^n)$. > [!tip] Stratégie pour le produit > Pour éviter les erreurs, il est souvent préférable de ne calculer les DL des fonctions $f$ et $g$ qu'à un ordre légèrement supérieur si nécessaire, ou d'être très vigilant lors de la multiplication pour ne pas conserver de termes inutiles. > Par exemple, si vous voulez un DL à l'ordre $n$, et que $P_n(x)$ commence par $a_0$ et $Q_n(x)$ par $b_0$, alors $a_k b_j x^{k+j}$ est un terme du produit. Si $k+j > n$, ce terme est à négliger. > [!example] Exemple : DL de $e^x \cos x$ à l'ordre 3 en $x=0$ > On utilise les DL à l'ordre 3 : > $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) $ > $ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) $ > Multiplions les polynômes : > $ (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) $ > Développons terme par terme, en ne gardant que les puissances de $x$ inférieures ou égales à 3 : > - $1 \cdot (1 - \frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{2}$ > - $x \cdot (1 - \frac{x^2}{2}) = x - \frac{x^3}{2}$ > - $\frac{x^2}{2} \cdot (1 - \frac{x^2}{2}) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}$ (le terme en $x^4$ est négligeable) > - $\frac{x^3}{6} \cdot (1 - \frac{x^2}{2}) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{12}$ (le terme en $x^5$ est négligeable) > > En sommant les termes pertinents : > $ e^x \cos x = 1 + x + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)x^2 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) $ > $ e^x \cos x = 1 + x - \frac{2}{6}x^3 + o(x^3) $ > $ e^x \cos x = 1 + x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) $ --- ## 3. Quotient de Développements Limités Le DL d'un quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ peut être obtenu de deux manières principales : par multiplication avec l'inverse, ou par division euclidienne de polynômes. > [!warning] Condition essentielle pour le DL d'un quotient > Pour que le DL de $\frac{f(x)}{g(x)}$ existe au voisinage de $x=0$, il est nécessaire que $g(0) \neq 0$. Si $g(0)=0$, la fonction $\frac{f(x)}{g(x)}$ n'est pas définie en $x=0$ (sauf cas particulier où $f(0)=0$ et la limite existe), et son DL ne peut être directement calculé sous cette forme. Dans ce cas, il faut souvent simplifier la fraction en factorisant des puissances de $x$ au numérateur et au dénominateur si $f(0)=0$. ### 3.1. Méthode par multiplication avec l'inverse Cette méthode consiste à écrire $\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$ et à calculer d'abord le DL de $\frac{1}{g(x)}$. > [!theorem] DL de $\frac{1}{g(x)}$ > Soit $g(x) = b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n + o(x^n)$ avec $b_0 \neq 0$. > On peut écrire $g(x) = b_0 (1 + \frac{b_1}{b_0}x + \dots + \frac{b_n}{b_0}x^n + o(x^n))$. > Soit $u(x) = \frac{b_1}{b_0}x + \dots + \frac{b_n}{b_0}x^n + o(x^n)$. On a $u(x) \to 0$ quand $x \to 0$. > On utilise alors le DL de $\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - u^3 + \dots + (-1)^n u^n + o(u^n)$. > En substituant $u(x)$ et en tronquant à l'ordre $n$, on obtient le DL de $\frac{1}{g(x)}$. > [!example] Exemple : DL de $\frac{1}{1+x+x^2}$ à l'ordre 3 en $x=0$ > Ici, $g(x) = 1+x+x^2$. On a $g(0)=1 \neq 0$. > Soit $u = x+x^2$. Le DL de $\frac{1}{1+u}$ à l'ordre 3 est $1 - u + u^2 - u^3 + o(u^3)$. > Substituons $u = x+x^2$ : > - $u = x+x^2$ > - $u^2 = (x+x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4$ (on ne garde que jusqu'à l'ordre 3 : $x^2 + 2x^3$) > - $u^3 = (x+x^2)^3 = x^3 + 3x^4 + \dots$ (on ne garde que jusqu'à l'ordre 3 : $x^3$) > > Donc : > $ \frac{1}{1+x+x^2} = 1 - (x+x^2) + (x^2+2x^3) - (x^3) + o(x^3) $ > $ \frac{1}{1+x+x^2} = 1 - x - x^2 + x^2 + 2x^3 - x^3 + o(x^3) $ > $ \frac{1}{1+x+x^2} = 1 - x + x^3 + o(x^3) $ ### 3.2. Méthode par division euclidienne des polynômes Cette méthode est souvent plus intuitive et moins sujette aux erreurs de troncature pour le quotient. > [!tip] Division euclidienne pour le DL d'un quotient > Pour trouver le DL de $\frac{f(x)}{g(x)}$ à l'ordre $n$ : > 1. Calculez les DL de $f(x)$ et $g(x)$ à l'ordre $n$. Soient $P_n(x)$ et $Q_n(x)$ leurs parties polynomiales. > 2. Effectuez la division euclidienne du polynôme $P_n(x)$ par $Q_n(x)$ en puissances croissantes, jusqu'à obtenir un quotient de degré $n$. Les termes de reste de degré supérieur à $n$ sont ignorés. > [!example] Exemple : DL de $\frac{\sin x}{e^x}$ à l'ordre 3 en $x=0$ > On cherche le DL de $\sin x \cdot e^{-x}$. Mais utilisons la division euclidienne pour illustrer. > DL de $\sin x$ à l'ordre 3 : $x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ > DL de $e^x$ à l'ordre 3 : $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ > > On effectue la division de $P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$ par $Q_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ : > > ``` > (x - x^3/6) | (1 + x + x^2/2 + x^3/6) > -(x + x^2 + x^3/2) | ----------------------- > ------------------- | x - x^2 + x^3/3 > -x^2 - x^3/2 > -(-x^2 - x^3 - x^4/2) > -------------------- > x^3/2 - x^3/6 (terme en x^4 négligé) > x^3/3 > -(x^3/3 + x^4/3 + ...) > -------------------- > 0 + o(x^3) > ``` > > Le quotient est $x - x^2 + \frac{x^3}{3}$. > Donc, $\frac{\sin x}{e^x} = x - x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$. --- ## 4. Composition de Développements Limités La composition $f(g(x))$ est une opération très puissante mais qui demande une attention particulière. > [!theorem] DL d'une composition > Soient $f$ et $g$ deux fonctions. > Supposons que $g(x)$ admette un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $x=0$ : > $ g(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \dots + b_n x^n + o(x^n) $ > Et supposons que $f(y)$ admette un DL à l'ordre $n$ au voisinage de $y_0 = g(0)$ : > $ f(y) = c_0 + c_1 (y-y_0) + c_2 (y-y_0)^2 + \dots + c_n (y-y_0)^n + o((y-y_0)^n) $ > Pour trouver le DL de $f(g(x))$ à l'ordre $n$ au voisinage de $x=0$, on substitue le DL de $g(x)$ dans le DL de $f(y)$, puis on tronque le résultat à l'ordre $n$. > [!warning] Condition cruciale pour la composition au voisinage de 0 > Si nous voulons calculer le DL de $f(g(x))$ au voisinage de $x=0$, il est souvent nécessaire que $g(0) = 0$. > Si $g(0) \neq 0$, disons $g(0)=a$, alors il faut calculer le DL de $f(y)$ *autour de $y=a$*, et non autour de $y=0$. > Pour simplifier, on pose $u(x) = g(x) - g(0)$. Alors $u(x) \to 0$ quand $x \to 0$. Et on cherche le DL de $f(g(0) + u(x))$. > [!tip] Stratégie pour la composition > 1. Calculez $g(0)$. > 2. Calculez le DL de $f(y)$ au voisinage de $y_0 = g(0)$. Si $g(0)=0$, c'est un DL en $y=0$. Sinon, il faut faire un changement de variable $Y = y-y_0$. > 3. Calculez le DL de $g(x)$ au voisinage de $x=0$. > 4. Substituez le DL de $g(x)$ (ou $u(x)$ si $g(0) \neq 0$) dans le DL de $f$. > 5. Développez et tronquez le résultat à l'ordre souhaité. Gardez à l'esprit que les puissances élevées de $x$ dans les termes de $g(x)$ contribuent rapidement à des ordres élevés dans le DL final. > [!example] Exemple : DL de $e^{\sin x}$ à l'ordre 3 en $x=0$ > Ici, $f(y) = e^y$ et $g(x) = \sin x$. > 6. $g(0) = \sin(0) = 0$. Donc on peut utiliser le DL de $e^y$ en $y=0$. > 7. DL de $e^y$ à l'ordre 3 en $y=0$ : $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{6} + o(y^3)$. > 8. DL de $\sin x$ à l'ordre 3 en $x=0$ : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. > 9. Substituons $\sin x$ dans le DL de $e^y$. Soit $y = x - \frac{x^3}{6}$. > - $y = x - \frac{x^3}{6}$ > - $y^2 = (x - \frac{x^3}{6})^2 = x^2 - 2x \frac{x^3}{6} + (\frac{x^3}{6})^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{x^6}{36}$. En tronquant à l'ordre 3, on garde $x^2$. > - $y^3 = (x - \frac{x^3}{6})^3 = x^3 - 3x^2 \frac{x^3}{6} + \dots = x^3 - \frac{x^5}{2} + \dots$. En tronquant à l'ordre 3, on garde $x^3$. > > 10. Assemblons les termes : > $ e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2}(x^2) + \frac{1}{6}(x^3) + o(x^3) $ > $ e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) $ > $ e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) $ > [!example] Exemple : DL de $\ln(\cos x)$ à l'ordre 4 en $x=0$ > Ici, $f(y) = \ln y$ et $g(x) = \cos x$. > 11. $g(0) = \cos(0) = 1$. Ce n'est pas 0 ! > 12. Il faut donc calculer le DL de $\ln y$ au voisinage de $y=1$. Pour cela, on utilise un changement de variable : soit $Y = y-1$. Alors $y = 1+Y$. > DL de $\ln(1+Y)$ à l'ordre 4 en $Y=0$ : $\ln(1+Y) = Y - \frac{Y^2}{2} + \frac{Y^3}{3} - \frac{Y^4}{4} + o(Y^4)$. > 13. DL de $\cos x$ à l'ordre 4 en $x=0$ : $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > 14. On pose $Y = \cos x - 1 = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - 1 + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > 15. Substituons $Y$ dans le DL de $\ln(1+Y)$ : > - $Y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ > - $Y^2 = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)^2 = \left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{x^2}{2}\right)\left(\frac{x^4}{24}\right) + \left(\frac{x^4}{24}\right)^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + \frac{x^8}{576}$. En tronquant à l'ordre 4, on garde $\frac{x^4}{4}$. > - $Y^3 = \left(-\frac{x^2}{2} + \dots\right)^3 = \left(-\frac{x^2}{2}\right)^3 + \dots = -\frac{x^6}{8} + \dots$. Termes d'ordre supérieur à 4. > - $Y^4 = \left(-\frac{x^2}{2} + \dots\right)^4 = \frac{x^8}{16} + \dots$. Termes d'ordre supérieur à 4. > > Donc : > $ \ln(\cos x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}\right) + o(x^4) $ > $ \ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + o(x^4) $ > $ \ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{24} - \frac{3}{24}\right)x^4 + o(x^4) $ > $ \ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{2}{24}x^4 + o(x^4) $ > $ \ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4) $ --- ## 5. Intégration et Dérivation de Développements Limités Ces opérations permettent de déduire le DL d'une fonction à partir du DL de sa dérivée ou de sa primitive. > [!theorem] DL d'une dérivée > Si $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + o(x^n)$ est le DL de $f$ à l'ordre $n$ en $x=0$, alors le DL de sa dérivée $f'(x)$ à l'ordre $n-1$ en $x=0$ est obtenu en dérivant le polynôme : > $ f'(x) = a_1 + 2a_2 x + \dots + n a_n x^{n-1} + o(x^{n-1}) $ > Notez que l'ordre du DL diminue de 1. Ce résultat est une conséquence directe de la relation entre les coefficients du DL et les dérivées successives de la fonction (formule de Taylor-Young). > [!theorem] DL d'une primitive > Si $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + o(x^n)$ est le DL de $f$ à l'ordre $n$ en $x=0$, alors le DL de toute primitive $F(x) = \int f(x) dx$ à l'ordre $n+1$ en $x=0$ est obtenu en intégrant le polynôme : > $ F(x) = C + a_0 x + \frac{a_1}{2} x^2 + \frac{a_2}{3} x^3 + \dots + \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + o(x^{n+1}) $ > où $C$ est la constante d'intégration, qui est $F(0)$. L'ordre du DL augmente de 1. > [!example] Exemple : DL de $\arctan x$ à l'ordre 5 en $x=0$ > On sait que $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$. > Nous allons d'abord trouver le DL de $\frac{1}{1+x^2}$. > On utilise le DL de $\frac{1}{1+u}$ avec $u=x^2$. Pour un DL de $\arctan x$ à l'ordre 5, on a besoin du DL de sa dérivée à l'ordre 4. > $ \frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - u^3 + o(u^3) $ > En substituant $u=x^2$ : > $ \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + (x^2)^2 - (x^2)^3 + o((x^2)^3) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6) $ > On a donc le DL de $(\arctan x)'$ à l'ordre 5 (car le terme en $x^6$ est $o(x^5)$) : > $ (\arctan x)' = 1 - x^2 + x^4 + o(x^5) $ > Maintenant, intégrons ce DL. La primitive de $1$ est $x$, de $-x^2$ est $-\frac{x^3}{3}$, de $x^4$ est $\frac{x^5}{5}$. > $ \arctan x = C + x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6) $ > Pour trouver la constante $C$, on utilise le fait que $\arctan(0) = 0$. Donc $C=0$. > $ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6) $ --- ## Conclusion Vous avez maintenant une maîtrise des opérations fondamentales sur les développements limités. Nous avons vu comment : - Additionner et soustraire des DL en additionnant/soustraire leurs parties polynomiales. - Multiplier des DL en multipliant les polynômes et en tronquant le résultat à l'ordre voulu. - Diviser des DL soit par la méthode de l'inverse, soit par division euclidienne des polynômes. - Composer des DL en substituant un DL dans un autre, avec une attention particulière à la valeur de la fonction interne au point considéré. - Dériver et intégrer des DL, ce qui permet de passer d'un DL à celui de sa dérivée ou de sa primitive en ajustant l'ordre. Ces techniques sont des piliers de l'analyse mathématique et vous seront d'une aide précieuse dans de nombreux domaines de l'ingénierie. Entraînez-vous avec des exercices variés pour solidifier ces compétences. La pratique régulière est la clé pour maîtriser ces outils puissants. --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Développements limités]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Développements limités]] - Page d'accueil de la compétence: [[Développements limités]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `08-Avril-2026`