# Cours 3 : Introduction au Développement limité (DL) Ce chapitre explore les multiples facettes des développements limités (DL) au-delà de leur simple calcul. Nous verrons comment ces outils puissants permettent une analyse fine du comportement local des fonctions, facilitant notamment le calcul de limites indéterminées et la détermination des asymptotes. ## Introduction Les développements limités sont une pierre angulaire de l'analyse mathématique, offrant une approximation polynomiale locale d'une fonction. Après avoir maîtrisé leur calcul, il est temps d'exploiter leur potentiel. Ce chapitre se concentrera sur les applications pratiques des DL en ingénierie et en sciences. Nous aborderons trois applications majeures : 1. **L'étude locale d'une fonction** : détermination de l'équation de la tangente et de la position de la courbe par rapport à celle-ci. 2. **Le calcul de limites** : résolution d'indéterminations complexes. 3. **La recherche d'asymptotes** : caractérisation du comportement à l'infini. ## Application 1 : Étude Locale d'une Fonction et Équation de la Tangente Les développements limités permettent de caractériser très précisément le comportement d'une fonction au voisinage d'un point. ### 1.1. Équation de la Tangente (DL d'ordre 1) Le DL d'ordre 1 d'une fonction $f$ en $x_0$ est : $ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) $ Les deux premiers termes du DL, $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$, représentent l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$. > [!definition] Équation de la Tangente > L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$ est donnée par : > $ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) $ > [!note] Rappel sur la dérivée > La dérivée $f'(x_0)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$. Le DL d'ordre 1 formalise cette approximation linéaire. ### 1.2. Position Relative de la Courbe par rapport à sa Tangente (DL d'ordre 2 ou plus) Pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente au voisinage de $x_0$, nous devons examiner le terme suivant dans le DL, c'est-à-dire le terme d'ordre 2. Soit $\Delta(x) = f(x) - (f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0))$. En utilisant le DL d'ordre 2 : $ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2) $ Alors : $ \Delta(x) = \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2) $ Le signe de $\Delta(x)$ au voisinage de $x_0$ est déterminé par le signe du premier terme non nul du reste. Puisque $(x-x_0)^2 > 0$ pour $x \neq x_0$, le signe de $\Delta(x)$ dépend du signe de $f''(x_0)$. * Si $f''(x_0) > 0$ : $\Delta(x) > 0$, la courbe est **au-dessus** de sa tangente. La fonction est convexe. * Si $f''(x_0) < 0$ : $\Delta(x) < 0$, la courbe est **en dessous** de sa tangente. La fonction est concave. * Si $f''(x_0) = 0$ : Il faut aller à un ordre supérieur. > [!definition] Point d'inflexion > Si $f''(x_0) = 0$ et que $f''$ change de signe en $x_0$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un **point d'inflexion**. La courbe traverse sa tangente en ce point. Dans ce cas, il faut calculer le DL jusqu'au premier terme non nul d'ordre pair supérieur à 2 (s'il existe) pour déterminer la position relative. Si le premier terme non nul est d'ordre impair, c'est un point d'inflexion. > [!example] Exemple : Étude locale de $f(x) = e^{\sin x}$ en $x_0 = 0$ > 1. **Calcul du DL :** > On utilise les DL usuels : > $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ > $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ > > Substituons $u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ dans le DL de $e^u$ : > $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 + \frac{1}{6}\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 + o(x^3)$ > Développons les termes : > $\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - 2x \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^3) = x^2 + o(x^3)$ > $\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 = x^3 + o(x^3)$ > > Donc : > $e^{\sin x} = 1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$ > $e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3)$ > $e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$ > > 2. **Équation de la tangente :** > Le DL d'ordre 1 est $1+x$. > L'équation de la tangente en $x=0$ est $y = 1+x$. > > 3. **Position relative :** > Le terme d'ordre 2 est $\frac{x^2}{2}$. > $\Delta(x) = f(x) - (1+x) = \frac{x^2}{2} + o(x^3)$. > Puisque $\frac{x^2}{2} > 0$ pour $x \neq 0$, la courbe de $f$ est **au-dessus** de sa tangente au voisinage de $x=0$. ## Application 2 : Calcul de Limites Indéterminées Les développements limités sont un outil extrêmement puissant pour lever les formes indéterminées de limites, souvent plus efficace que la règle de L'Hôpital car ils remplacent des fonctions complexes par des polynômes. ### 2.1. Méthodologie Pour calculer $\lim_{x \to x_0} F(x)$ où $F(x)$ est une forme indéterminée : 1. **Identifier la forme indéterminée** : $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. 2. **Ramener le problème en $x=0$ si nécessaire** : * Si $x \to x_0 \neq 0$, poser $h = x - x_0$ (donc $x = x_0 + h$). Lorsque $x \to x_0$, $h \to 0$. * Si $x \to \pm \infty$, poser $h = 1/x$. Lorsque $x \to \pm \infty$, $h \to 0$. 3. **Calculer les DL des fonctions impliquées** : Développer chaque fonction au voisinage de 0 (ou $x_0$) jusqu'à un ordre suffisant. > [!tip] Quel ordre choisir ? > Il faut développer jusqu'à ce que le premier terme non nul du numérateur ou du dénominateur (après simplification) apparaisse. Une bonne stratégie est souvent de commencer par un ordre 2 ou 3 et d'augmenter si les termes s'annulent. 4. **Substituer les DL dans l'expression** : Remplacer les fonctions par leurs DL. 5. **Simplifier l'expression** : Effectuer les opérations arithmétiques sur les polynômes obtenus. 6. **Calculer la limite** : Le résultat sera souvent évident après simplification. ### 2.2. Exemples > [!example] Exemple 1 : Forme $\frac{0}{0}$ > Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$. > > C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. > On utilise le DL de $\sin x$ en $x=0$ à l'ordre 3 : > $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ > > On substitue : > $ \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} $ > > On simplifie en divisant par $x^3$ : > $ = -\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3} $ > > Or, $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^3)}{x^3} = 0$. > Donc, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$. > [!example] Exemple 2 : Forme $\frac{0}{0}$ > Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}$. > > C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. > On utilise les DL de $e^x$ et $\cos x$ en $x=0$. > > Pour le numérateur, on a $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. > Donc, $e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - 1 - x - \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. > > Pour le dénominateur, on a $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > Donc, $\cos x - 1 + \frac{x^2}{2} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) - 1 + \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > > On substitue : > $ \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}} = \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{\frac{x^4}{24} + o(x^4)} $ > > On simplifie par la plus petite puissance de $x$ dominante, ici $x^3$ au numérateur et $x^4$ au dénominateur : > $ = \frac{x^3 \left(\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3}\right)}{x^4 \left(\frac{1}{24} + \frac{o(x^4)}{x^4}\right)} = \frac{1}{x} \frac{\frac{1}{6} + o(1)}{\frac{1}{24} + o(1)} $ > > Lorsque $x \to 0^+$, l'expression tend vers $\frac{1}{x} \frac{1/6}{1/24} = \frac{1}{x} \frac{24}{6} = \frac{4}{x} \to +\infty$. > Lorsque $x \to 0^-$, l'expression tend vers $\frac{1}{x} \frac{4}{1} = \frac{4}{x} \to -\infty$. > > La limite n'existe pas, ou plus précisément, la limite à droite est $+\infty$ et la limite à gauche est $-\infty$. > [!example] Exemple 3 : Forme $1^\infty$ > Calculer $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$. > > C'est une forme indéterminée $1^\infty$. On utilise la propriété $A^B = e^{B \ln A}$. > Soit $L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$. Alors $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln(\cos x)$. > > C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. > On a $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > On utilise le DL de $\ln(1+u)$ avec $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. > $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$. > > $\ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ > $\ln(\cos x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4)$ > $\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{1}{2}\frac{x^4}{4} + o(x^4)$ > $\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)$ > $\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{24} - \frac{3}{24}\right)x^4 + o(x^4)$ > $\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{2}{24}x^4 + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$ > > Maintenant, on calcule la limite de $\frac{1}{x^2} \ln(\cos x)$ : > $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)\right) = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2} - \frac{x^2}{12} + \frac{o(x^4)}{x^2}\right) $ > $ = -\frac{1}{2} $ > > Donc, $\ln L = -\frac{1}{2}$, ce qui implique $L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. > [!warning] Ordre du DL > Il est crucial de développer à un ordre suffisant. Si le premier terme du DL s'annule, il faut poursuivre le développement jusqu'à obtenir un terme non nul. Ne pas le faire peut conduire à un résultat incorrect (souvent 0 ou $\infty$). ## Application 3 : Détermination des Asymptotes et Position Relative Les DL sont également très utiles pour étudier le comportement d'une fonction à l'infini, notamment pour trouver des asymptotes obliques et déterminer la position de la courbe par rapport à celles-ci. ### 3.1. Asymptote Oblique Une droite d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\pm \infty$ si $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$. Pour trouver $a$ et $b$ en utilisant les DL : 1. **Changement de variable** : Poser $h = 1/x$. Lorsque $x \to \pm \infty$, $h \to 0$. 2. **Calculer le DL de $f(1/h)$ en $h=0$** : On cherche un DL de la forme : $ f(x) = ax+b + \frac{c}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^k}\right) $ (où $k \ge 1$ est le plus petit entier tel que le terme $c/x^k$ soit non nul). En remplaçant $x$ par $1/h$ : $ f(1/h) = a/h + b + c h^k + o(h^k) $ Les coefficients $a$ et $b$ sont obtenus en identifiant les termes en $1/h$ et constants dans le DL de $f(1/h)$. > [!theorem] Condition d'existence d'une asymptote oblique > La droite $y=ax+b$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\pm \infty$ si et seulement si : > 1. $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ (et cette limite est finie et non nulle) > 2. $b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$ (et cette limite est finie) > > Le DL à l'infini permet de calculer $a$ et $b$ simultanément et de manière plus systématique. ### 3.2. Position Relative de la Courbe par rapport à son Asymptote Une fois l'asymptote $y=ax+b$ trouvée, la position relative est donnée par le signe de la différence $f(x) - (ax+b)$. À partir du DL : $ f(x) - (ax+b) = \frac{c}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^k}\right) $ Le signe de cette différence est donné par le signe de $\frac{c}{x^k}$ pour $x$ suffisamment grand. * Si $\frac{c}{x^k} > 0$ (pour $x \to +\infty$), la courbe est au-dessus de l'asymptote. * Si $\frac{c}{x^k} < 0$ (pour $x \to +\infty$), la courbe est en dessous de l'asymptote. * Il faut faire attention au signe de $x^k$ si $k$ est impair et que l'on étudie en $-\infty$. > [!example] Exemple : Asymptote oblique de $f(x) = \sqrt{x^2+x+1}$ en $+\infty$ > 1. **Changement de variable** : Posons $h = 1/x$. Lorsque $x \to +\infty$, $h \to 0^+$. > $f(x) = \sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}$ > Puisque $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $\sqrt{x^2} = x$. > $f(x) = x \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$ > > 2. **DL de $\sqrt{1+u}$** : On utilise le DL de $(1+u)^\alpha$ avec $\alpha = 1/2$. > $(1+u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}u^2 + o(u^2) = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2)$. > > 3. **Substitution** : Posons $u = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = h + h^2$. > $\sqrt{1+h+h^2} = 1 + \frac{1}{2}(h+h^2) - \frac{1}{8}(h+h^2)^2 + o((h+h^2)^2)$ > $\sqrt{1+h+h^2} = 1 + \frac{1}{2}h + \frac{1}{2}h^2 - \frac{1}{8}(h^2 + 2h^3 + h^4) + o(h^2)$ > $\sqrt{1+h+h^2} = 1 + \frac{1}{2}h + \frac{1}{2}h^2 - \frac{1}{8}h^2 + o(h^2)$ > $\sqrt{1+h+h^2} = 1 + \frac{1}{2}h + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)h^2 + o(h^2)$ > $\sqrt{1+h+h^2} = 1 + \frac{1}{2}h + \frac{3}{8}h^2 + o(h^2)$ > > 4. **Retour à $x$** : > $f(x) = x \left(1 + \frac{1}{2x} + \frac{3}{8x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$ > $f(x) = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$ > > 5. **Conclusion** : > L'équation de l'asymptote oblique est $y = x + \frac{1}{2}$. > La position relative est donnée par le signe de $\frac{3}{8x}$. > Pour $x \to +\infty$, $\frac{3}{8x} > 0$, donc la courbe est **au-dessus** de son asymptote. ## Conclusion Les développements limités sont bien plus qu'un simple exercice de calcul ; ce sont des outils d'analyse fondamentaux en mathématiques et en ingénierie. Ils permettent une étude locale approfondie des fonctions, simplifient le calcul de limites complexes et caractérisent le comportement asymptotique. En maîtrisant ces applications, vous développez une intuition précieuse sur le comportement des fonctions et acquérez des compétences analytiques essentielles pour la modélisation et la résolution de problèmes scientifiques et techniques. La pratique régulière de ces techniques est la clé pour les assimiler pleinement. - Cours précèdent: [[Cours 2 - Développements limités]] - Prochain cours: [[Exercices - Développements limités]] - Page d'accueil de la compétence: [[Développements limités]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `08-Avril-2026`