%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Diagonalisation des matrices|Accueil · Diagonalisation des matrices]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Cours 2 - Diagonalisation des matrices\|Cours 2 - Diagonalisation des matrices →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% ## Introduction En algèbre linéaire, l'étude des transformations linéaires est fondamentale. Parmi ces transformations, certaines sont particulièrement simples à décrire lorsqu'elles sont exprimées dans une base appropriée. Les concepts de valeurs propres et de vecteurs propres sont au cœur de cette simplification. Ils permettent de comprendre comment une transformation linéaire "étire" ou "rétrécit" certains vecteurs sans changer leur direction, et sont des outils essentiels pour l'analyse et la résolution de nombreux problèmes en sciences de l'ingénieur, allant de la mécanique quantique à l'analyse des systèmes dynamiques, en passant par la compression d'images et l'intelligence artificielle. Ce chapitre s'appuie sur vos connaissances des matrices, des déterminants et des systèmes linéaires. ## 1. Définitions Fondamentales Considérons une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, où $\mathbb{K}$ est un corps (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). > [!definition] Vecteur Propre > Un vecteur $v \in \mathbb{K}^n$ est appelé **vecteur propre** de la matrice $A$ s'il est non nul et s'il existe un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que : > $ A v = \lambda v $ > [!definition] Valeur Propre > Le scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ associé à un vecteur propre $v$ est appelé **valeur propre** de la matrice $A$. >[!example] Exemple >Soit $A=\begin{pmatrix}2&7\\8&3\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$. >Le vecteur $v=\begin{pmatrix} -1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=-5$ de $A$. En effet, $Av=\begin{pmatrix}2&7\\8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}=(-5)\begin{pmatrix} -1\\1\end{pmatrix}=-5v$ > [!note] Remarque > La condition $v \neq 0$ est cruciale. Si $v=0$, l'équation $Av = \lambda v$ serait toujours vérifiée pour n'importe quel $\lambda$, ce qui rendrait la notion de valeur propre triviale et inutile. > [!definition] Espace Propre > Pour chaque valeur propre $\lambda$ de $A$, l'ensemble des vecteurs $v \in \mathbb{K}^n$ tels que $Av = \lambda v$ est appelé **espace propre** associé à $\lambda$, noté $E_\lambda$. > $ E_\lambda = \{ v \in \mathbb{K}^n \mid Av = \lambda v \} $ > $E_\lambda$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^n$. > [!example]+ Démonstration > Pour montrer que $E_\lambda$ est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier trois conditions : > 1. $E_\lambda$ n'est pas vide : $0 \in E_\lambda$ car $A \cdot 0 = 0 = \lambda \cdot 0$. > 2. Stabilité par addition : Si $u, v \in E_\lambda$, alors $Au = \lambda u$ et $Av = \lambda v$. Donc $A(u+v) = Au + Av = \lambda u + \lambda v = \lambda(u+v)$. Ainsi, $u+v \in E_\lambda$. > 3. Stabilité par multiplication scalaire : Si $v \in E_\lambda$ et $k \in \mathbb{K}$, alors $Av = \lambda v$. Donc $A(kv) = k(Av) = k(\lambda v) = \lambda(kv)$. Ainsi, $kv \in E_\lambda$. > Ces trois conditions prouvent que $E_\lambda$ est bien un sous-espace vectoriel. > [!definition] Spectre d'une Matrice > L'ensemble de toutes les valeurs propres d'une matrice $A$ est appelé le **spectre** de $A$, noté $\text{Sp}(A)$. ## 2. Recherche des Valeurs Propres : Le Polynôme Caractéristique Comment trouver les valeurs propres d'une matrice $A$? L'équation $Av = \lambda v$ peut être réécrite comme : $ Av - \lambda v = 0 $ $ Av - \lambda I v = 0 \quad \text{où } I \text{ est la matrice identité de taille } n $ $ (A - \lambda I) v = 0 $ Cette équation représente un système linéaire homogène. Nous cherchons des vecteurs propres $v$ qui sont non nuls. Un système linéaire homogène $Mx=0$ admet des solutions non triviales (non nulles) si et seulement si la matrice $M$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si son déterminant est nul. Dans notre cas, $M = (A - \lambda I)$. Par conséquent, les valeurs propres $\lambda$ sont les scalaires pour lesquels $\det(A - \lambda I) = 0$. > [!definition] Polynôme Caractéristique > Le **polynôme caractéristique** d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est le polynôme $P_A(X)$ défini par : > $ P_A(X) = \det(A - X I_n) $ > [!theorem] Valeur propre > Les valeurs propres d'une matrice $A$ sont les racines du polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(A - X I_n)$. > [!note] Propriétés du Polynôme Caractéristique > * $P_A(X)$ est un polynôme de degré $n$. > * Le coefficient du terme de plus haut degré $X^n$ est $(-1)^n$. > * Le terme constant $P_A(0) = \det(A)$. > * Le coefficient de $X^{n-1}$ est $(-1)^{n-1} \text{Tr}(A)$, où $\text{Tr}(A)$ est la trace de $A$ (somme des éléments diagonaux). > [!example] Exemple de calcul de valeurs propres > Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. > > 1. **Calculer $A - \lambda I$ :** > $ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} $ > > 2. **Calculer le déterminant $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ :** > $ P_A(\lambda) = (2-\lambda)(2-\lambda) - (1)(1) = (2-\lambda)^2 - 1 $ > $ P_A(\lambda) = 4 - 4\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 $ > > 3. **Trouver les racines de $P_A(\lambda) = 0$ :** > Nous devons résoudre $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$. > Le discriminant est $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. > Les racines sont $\lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}$. > Donc, $\lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1$ et $\lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3$. > > Les valeurs propres de $A$ sont $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 3$. > Le spectre de $A$ est $\text{Sp}(A) = \{1, 3\}$. ## 3. Recherche des Vecteurs Propres et Espaces Propres Une fois les valeurs propres $\lambda_i$ trouvées, il faut déterminer les vecteurs propres associés en résolvant le système $(A - \lambda_i I)v = 0$ pour chaque $\lambda_i$. L'ensemble des solutions (plus le vecteur nul) forme l'espace propre $E_{\lambda_i}$. > [!example] Reprenons l'exemple précédent > Matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ avec valeurs propres $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 3$. > > **1. Pour $\lambda_1 = 1$ :** > Nous cherchons $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que $(A - 1I)v = 0$. > $ \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ > $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ > Cela donne le système : > $ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} $ > La solution est $y = -x$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ pour $x \neq 0$. > L'espace propre $E_1$ est le sous-espace vectoriel engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. > $E_1 = \text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$. Sa dimension est 1. > > **2. Pour $\lambda_2 = 3$ :** > Nous cherchons $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que $(A - 3I)v = 0$. > $ \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ > $ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ > Cela donne le système : > $ \begin{cases} -x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} $ > La solution est $y = x$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ pour $x \neq 0$. > L'espace propre $E_3$ est le sous-espace vectoriel engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. > $E_3 = \text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$. Sa dimension est 1. > [!tip] Astuce pour trouver la base de $E_\lambda$ > Pour trouver une base de l'espace propre $E_\lambda = \text{Ker}(A - \lambda I)$, il suffit de résoudre le système linéaire homogène $(A - \lambda I)v = 0$ et d'exprimer les variables dépendantes en fonction des variables libres. Les vecteurs obtenus en donnant la valeur 1 à une variable libre et 0 aux autres (alternativement) formeront une base de $E_\lambda$. La dimension de $E_\lambda$ est le nombre de variables libres. ## 4. Multiplicité des Valeurs Propres Lorsqu'une valeur propre est une racine du polynôme caractéristique, elle peut apparaître avec une certaine multiplicité. Il existe deux types de multiplicités importantes. > [!definition] Multiplicité Algébrique > La **multiplicité algébrique** d'une valeur propre $\lambda_0$, notée $m_a(\lambda_0)$, est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique $P_A(X)$. > Autrement dit, si $P_A(X) = (X-\lambda_0)^{m_a(\lambda_0)} Q(X)$ où $Q(\lambda_0) \neq 0$. >[!example] Exemple >Dans l'exemple précédent, on a trouvé $P_A(\lambda)=\lambda^2 - 4\lambda + 3 =(\lambda-1)(\lambda-3)$. Le facteur $(\lambda-1)$ est à la puissance $1$ donc $m_a(1)=1$. De même, $m_a(3)=1$ > [!definition] Multiplicité Géométrique > La **multiplicité géométrique** d'une valeur propre $\lambda_0$, notée $m_g(\lambda_0)$, est la dimension de l'espace propre associé $E_{\lambda_0}$. > $ m_g(\lambda_0) = \dim(E_{\lambda_0}) = \dim(\text{Ker}(A - \lambda_0 I)) $ >[!example] Exemple Dans l'exemple précédent, on trouvé l'espace vectoriel $E_1 = \text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$ associé à $\lambda_1=1$. L'espace $E_1$ est de dimension $1$, alors $m_g(1)=1$. De même, la dimension de l'espace vectoriel $E_2$ associé à $\lambda_2=3$ est 1 donc $m_g(3)=1$. > [!theorem] Relation entre les Multiplicités > Pour toute valeur propre $\lambda$ d'une matrice $A$, la multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique et est toujours au moins 1 : > $ 1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda) $ ## 5. Propriétés Remarquables des Valeurs Propres et Vecteurs Propres Les valeurs propres et vecteurs propres possèdent de nombreuses propriétés utiles. > [!theorem] Trace et Déterminant > Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice dont les valeurs propres (comptées avec leur multiplicité algébrique) sont $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$. Alors : > 1. La trace de $A$ est égale à la somme de ses valeurs propres : > $ \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i $ > 2. Le déterminant de $A$ est égal au produit de ses valeurs propres : > $ \det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i $ > [!example] Vérification sur l'exemple > Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, les valeurs propres sont $\lambda_1=1, \lambda_2=3$. > * $\text{Tr}(A) = 2+2 = 4$. > * $\sum \lambda_i = 1+3 = 4$. C'est vérifié. > * $\det(A) = (2)(2) - (1)(1) = 4-1 = 3$. > * $\prod \lambda_i = (1)(3) = 3$. C'est vérifié. > [!theorem] Valeurs Propres d'une Matrice Triangulaire ou Diagonale > Les valeurs propres d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) ou diagonale sont ses éléments diagonaux. > [!example] > Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. > $P_A(X) = \det(A - XI) = \det \begin{pmatrix} 3-X & 1 & 0 \\ 0 & 2-X & -1 \\ 0 & 0 & 4-X \end{pmatrix} = (3-X)(2-X)(4-X)$. > Les racines sont $X=3, X=2, X=4$. Ce sont les éléments diagonaux. > [!theorem] Vecteurs Propres Associés à des Valeurs Propres Distinctes > Si $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ sont des valeurs propres distinctes d'une matrice $A$, et si $v_1, v_2, \dots, v_k$ sont des vecteurs propres associés respectivement à ces valeurs propres, alors les vecteurs $v_1, v_2, \dots, v_k$ sont linéairement indépendants. > [!theorem] Valeurs Propres de la Matrice Inverse > Si $A$ est une matrice inversible et $\lambda$ est une valeur propre de $A$, alors $\lambda \neq 0$ et $\lambda^{-1}$ est une valeur propre de $A^{-1}$. ## Conclusion Ce chapitre a posé les bases de l'étude des valeurs propres et des vecteurs propres. Nous avons défini ces notions, appris à calculer le polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres, et à résoudre des systèmes linéaires pour déterminer les espaces propres associés. Nous avons également exploré les concepts de multiplicité algébrique et géométrique, ainsi que plusieurs propriétés fondamentales qui relient les valeurs propres à la trace et au déterminant de la matrice. # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Cours 2 - Diagonalisation des matrices|Cours 2 - Diagonalisation des matrices]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Diagonalisation des matrices|Diagonalisation des matrices]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ : `20-juillet-2026` - Rédigé par : [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Diagonalisation des matrices|Accueil · Diagonalisation des matrices]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Diagonalisation des matrices/Cours 2 - Diagonalisation des matrices\|Cours 2 - Diagonalisation des matrices →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%