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Équation caractéristique : $r^2 - 7r + 6 = 0$. > > **Discriminant :** $\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 49 - 24 = 25 > 0$ > > **Deux racines réelles distinctes :** $r_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1, \qquad r_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6$ > > **Solution générale :** $y(x) = K_1 e^{x} + K_2 e^{6x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ > [!example] Question 1.2 — Résoudre $y'' - 6y' + 9y = 0$ > > **Nature :** EDO homogène. Équation caractéristique : $r^2 - 6r + 9 = 0$. > > **Discriminant :** $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$ > > **Racine double :** $r = \frac{6}{2 \times 1} = 3$ > > **Solution générale :** $y(x) = (K_1 x + K_2) \cdot e^{3x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ > [!example] Question 1.3 — Résoudre $y'' + 4y = 0$ > > **Nature :** EDO homogène. Équation caractéristique : $r^2 + 4 = 0$. > > **Discriminant :** $\Delta = 0 - 4 \times 1 \times 4 = -16 < 0$ > > **Racines complexes conjuguées :** $r = \pm 2i$, soit $\alpha = 0$ et $\beta = 2$. > > **Solution générale :** $y(x) = K_1\cos(2x) + K_2\sin(2x), \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ ## Correction Exercice 2 > [!example] Question 2.1 — Résoudre $y'' + 2y' - 3y = x$ avec $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$ > **Solution homogène** > Équation caractéristique : $r^2 + 2r - 3 = 0$. > > Discriminant : $\Delta = 4 + 12 = 16 > 0$ > > Racines : $r_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \qquad r_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ > > Solution homogène : $y_h(x) = K_1 e^{-3x} + K_2 e^{x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ >**Solution particulière** > Si $y_p(x) = ax + b$, alors $y'_p = a$ et $y''_p = 0$. On substitue dans l'équation : $0 + 2a - 3(ax + b) = x$ $-3ax + (2a - 3b) = x$ > > Identification des coefficients : $ -3a = 1 $ > $ 2a - 3b = 0 $ > $ \Rightarrow a = -\dfrac{1}{3} , b = \dfrac{2a}{3} = -\dfrac{2}{9}$ > Solution particulière : $y_p(x) = -\frac{x}{3} - \frac{2}{9}$ > **Solution générale :** $y(x) = K_1 e^{-3x} + K_2 e^{x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$ > > **Application des conditions initiales :** > > $y(0) = 1$ : $K_1 + K_2 - \frac{2}{9} = 1 \Rightarrow K_1 + K_2 = \frac{11}{9}$ > > On dérive : $y'(x) = -3K_1 e^{-3x} + K_2 e^{x} - \dfrac{1}{3}$ > > $y'(0) = 0$ : $-3K_1 + K_2 - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow -3K_1 + K_2 = \frac{1}{3}$ > > Résolution du système :$\begin{cases} K_1 + K_2 = \dfrac{11}{9}\\-3K_1 + K_2 = \dfrac{1}{3}\end{cases}$ En soustrayant la seconde de la première : $4K_1 = \frac{11}{9} - \frac{3}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow K_1 = \frac{2}{9}, \quad K_2 = \frac{11}{9} - \frac{2}{9} = 1$ > > **Solution unique :** $\boxed{y(x) = \frac{2}{9}e^{-3x} + e^{x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{9}}$ > [!example] Question 2.2 — Résoudre $y'' - 5y' + 6y = e^{2x}$ avec $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ > **Solution homogène** > Équation caractéristique : $r^2 - 5r + 6 = 0$. > > Discriminant : $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ > > Racines : $r_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad r_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ > >Solution homogène : $y_h(x) = K_1 e^{2x} + K_2 e^{3x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ **Solution particulière** $\alpha = 2$ est une racine simple de l'équation caractéristique ($r_1 = 2$). La forme naturelle $Ae^{2x}$ appartient à $y_h$ et ne peut donc pas servir d'ansatz. On multiplie par $x$, ce qui conduit à chercher $y_p(x) = Axe^{2x}$. > > Calcul des dérivées : $y'_p(x) = (A+2Ax)\cdot e^{2x}$ $y''_p(x) =(4A+4Ax)e^{2x}$ > > Substitution : $(4A+4Ax)e^{2x} - 5(A+2Ax)e^{2x} + 6(Ax)e^{2x} = e^{2x}$ > Après simplification : $A=-1$ > Solution particulière : $y_p(x) = -x \cdot e^{2x}$ > **Solution générale :** $y(x) = K_1 e^{2x} + K_2 e^{3x} - x\cdot e^{2x}$ > > **Application des conditions initiales :** > > $y(0) = 0$ : $K_1 + K_2 = 0 \Rightarrow K_1 = -K_2$ > > On dérive : $y'(x) = 2K_1 e^{2x} + 3K_2 e^{3x} - e^{2x}+2xe^{2x}$ > > $y'(0) = 1$ : $2K_1 + 3K_2 - 1 = 1 \Rightarrow 2K_1 + 3K_2 = 2$ > > En substituant $K_1 = -K_2$ : $-2K_2 + 3K_2 = 2 \Rightarrow K_2 = 2$, $K_1 = -2$. > > **Solution unique :** $\boxed{y(x) = -2e^{2x} + 2e^{3x} - x\cdot e^{2x}}$ >[!example] Question 2.3 — $y''-4y'+3y=(2x+1)e^x$ avec $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ >**Solution homogène** > Équation caractéristique : $r^2 - 4r + 3 = 0$. > > Discriminant : $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$ > > Racines : $r_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \qquad r_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$ > >Solution homogène : $y_h(x) = K_1 e^{x} + K_2 e^{3x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ **Solution particulière** Le second membre est $(2x+1)e^x$. $\alpha = 1$ est une racine simple de l'équation caractéristique ($r_1 = 1$). La forme naturelle $(Ax+B)e^{x}$ appartient à $y_h$ et ne peut donc pas servir d'ansatz. On multiplie par $x$, ce qui conduit à chercher $y_p(x) =x(Ax+B)e^{x}=(Ax^2+Bx)e^{x}.$ Calcul des dérivées :$y'_p=(2xA+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x=(Ax^2+(2A+B)x+B)e^x$ et $y''_p(x)=(2Ax+(2A+B))e^x+(Ax^2+(2A+B)x+B)e^x=(Ax^2+(4A+B)x+2A+2B)e^x $ Après substitution et simplification : $-4Ax+(2A-2B)=2x+1$ Par identification : $\begin{cases}-4A=2\\ 2A-2B=1 \end{cases}$ On trouve alors que $A=-1/2$ et $B=-1$. La solution particulière est $y_p(x)=\big(-\frac{1}{2}x^2 -x\big)e^x$ **Solution générale :** $y(x)=y_h+y_p=K_1 e^{x} + K_2 e^{3x}+\big(-\frac{1}{2}x^2 -x\big)e^x$ **Application des conditions initiales** $y(0)=0\implies K_1+K_2=0\implies K_1=-K_2$ Dérivée : $y'(x)=K_1e^x+3K_2e^{3x}+(-x-1)e^x+\big(-\frac{1}{2}x^2 -x\big)e^x$. Or, $y'(0)=0$ alors $K_1+3K_2-1=0\implies -K_2+3K_2-1=0\implies K_2=\frac{1}{2}\implies K_1=-\frac12$ **Solution unique** $ \boxed{y=-\frac12 e^{x} + \frac12 e^{3x}+\big(-\frac{1}{2}x^2 -x\big)e^x}$ ## Correction Exercice 3 Pour résoudre cette équation, on utilise la formule de trigonométrie : $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. L'équation devient : $y'' + y' + y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$ ### Résolution de l'équation homogène ($y'' + y' + y = 0$) On cherche l'équation caractéristique : $r^2 + r + 1 = 0$ Calcul du discriminant $\Delta$ : $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ Comme $\Delta < 0$, les racines sont complexes : $r = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ La solution homogène est donc : $y_h(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left[ C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right]$ ### Recherche d'une solution particulière ($y_p$) Par le principe de superposition, on cherche $y_p = y_{p1} + y_{p2}$. #### Pour le second membre $d_1(x) = \frac{1}{2}$ : On cherche une solution constante $y_{p1} = A$. En remplaçant dans l'équation ($y' = 0$ et $y'' = 0$) : $0 + 0 + A = \frac{1}{2} \implies y_{p1} = \frac{1}{2}$ #### Pour le second membre $d_2(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ : On cherche une solution de la forme $y_{p2} = B \cos(2x) + C \sin(2x)$. Calculons les dérivées : - $y_{p2}' = -2B \sin(2x) + 2C \cos(2x)$ - $y_{p2}'' = -4B \cos(2x) - 4C \sin(2x)$ On injecte dans $y'' + y' + y = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ : $(-4B\cos 2x - 4C\sin 2x) + (-2B\sin 2x + 2C\cos 2x) + (B\cos 2x + C\sin 2x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$ Regroupons les termes : - **Pour $\cos(2x)$ :** $-4B + 2C + B = -1/2 \implies -3B + 2C = -1/2$ - **Pour $\sin(2x)$ :** $-4C - 2B + C = 0 \implies -2B - 3C = 0 \implies B = -1,5C$ Substitution dans la première ligne : $-3(-1,5C) + 2C = -1/2 \implies 4,5C + 2C = -1/2 \implies 6,5C = -1/2$ $C = -\frac{1}{13} \quad \text{et} \quad B = -1,5 \times \left(-\frac{1}{13}\right) = \frac{3}{26}$ On a donc : $y_{p2}(x) = \frac{3}{26}\cos(2x) - \frac{1}{13}\sin(2x)$. ### Solution Générale La solution complète est la somme de la solution homogène et des solutions particulières : $y(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left[ C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right] + \frac{1}{2} + \frac{3}{26}\cos(2x) - \frac{1}{13}\sin(2x)$ avec $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$. ## Correction Exercice 4 ### Transformer le système en une équation du second degré L'objectif est d'éliminer une des deux fonctions pour n'avoir qu'une seule équation à résoudre. D'après l'équation $(1)$, on peut exprimer $z$ en fonction de $y$ : $z = y' - y$ En dérivant cette expression par rapport à $x$, on obtient $z'$ : $z' = y'' - y'$ Substitution dans la deuxième équation Remplaçons maintenant $z$ et $z'$ dans l'équation $(2)$ par les expressions trouvées ci-dessus : $(y'' - y') + (y' - y) = 3y$ Simplifions l'équation : $y'' - y = 3y$ $y'' - 4y = 0$ Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. ### Résolution de l'équation en $y$ On cherche l'équation caractéristique associée : $r^2 - 4 = 0 \implies r^2 = 4$ Les racines sont : $r_1 = 2 \quad \text{et} \quad r_2 = -2$ La solution générale pour $y(x)$ est donc : $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$ avec $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ ### Détermination de la fonction $z$ Utilisons la relation $z = y' - y$ pour trouver $z(x)$. Tout d'abord, calculons la dérivée $y'(x)$ : $y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x}$ Calculons maintenant $z(x)$ : $z(x) = y'(x) - y(x)$ $z(x) = (2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x}) - (C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x})$ $z(x) = (2C_1 - C_1)e^{2x} + (-2C_2 - C_2)e^{-2x}$ $z(x) = C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-2x}$ **Solution Finale** Le couple de fonctions $(y, z)$ solution du système est : $ \begin{cases} y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \\ z(x) = C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-2x} \end{cases} $ où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles quelconques ---- # ➡️ C'est la fin - Page d'accueil de la compétence : [[Analyse et Données/Mathématiques/EDO d'ordre 2/EDO d'ordre 2|EDO d'ordre 2]] - Page d'accueil du domaine : [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `20-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/EDO d'ordre 2/EDO d'ordre 2|Accueil · EDO d'ordre 2]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/EDO d'ordre 2/Cours 2 - EDO d'ordre 2\|← Cours 2 - EDO d'ordre 2]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%