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En général, pour les applications en ingénierie, ce corps sera $\mathbb{R}$ (les nombres réels) ou $\mathbb{C}$ (les nombres complexes). > [!definition] Corps $\mathbb{K}$ > Un **corps** $\mathbb{K}$ est un ensemble muni de deux opérations, l'addition $(+)$ et la multiplication $(\cdot)$, qui vérifient certaines propriétés (associativité, commutativité, existence d'éléments neutres et d'inverses, distributivité de la multiplication sur l'addition). > Les corps les plus courants sont $\mathbb{R}$ (corps des nombres réels) et $\mathbb{C}$ (corps des nombres complexes). > [!definition] Espace Vectoriel > Soit $\mathbb{K}$ un corps (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). > Un ensemble $E$ est appelé un **espace vectoriel sur $\mathbb{K}$** (ou $\mathbb{K}$-espace vectoriel) si $E$ est muni de deux opérations : > > 1. Une **addition interne** : $+ : E \times E \to E$, notée $(u, v) \mapsto u+v$. > 2. Une **multiplication externe** (par un scalaire) : $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$, notée $(\lambda, u) \mapsto \lambda \cdot u$ (ou simplement $\lambda u$). > > Ces deux opérations doivent satisfaire les huit axiomes suivants : > > **Axiomes de l'addition (structure de groupe abélien pour $(E, +)$) :** > 1. **Associativité** : $\forall u, v, w \in E, (u+v)+w = u+(v+w)$. > 2. **Commutativité** : $\forall u, v \in E, u+v = v+u$. > 3. **Élément neutre** : Il existe un unique élément $0_E \in E$ (appelé vecteur nul) tel que $\forall u \in E, u+0_E = u$. > 4. **Opposé** : $\forall u \in E$, il existe un unique élément $-u \in E$ (appelé opposé de $u$) tel que $u+(-u) = 0_E$. > > **Axiomes de la multiplication par un scalaire :** > > 5. **Associativité mixte** : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (\lambda \mu) u = \lambda (\mu u)$. > 6. **Distributivité par rapport à l'addition des scalaires** : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (\lambda+\mu) u = \lambda u + \mu u$. > 7. **Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs** : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u, v \in E, \lambda (u+v) = \lambda u + \lambda v$. > 8. **Élément neutre pour la multiplication externe** : L'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$, noté $1_\mathbb{K}$, vérifie $\forall u \in E, 1_\mathbb{K} u = u$. > [!note] Vocabulaire > - Les éléments de $E$ sont appelés des **vecteurs**. > - Les éléments de $\mathbb{K}$ sont appelés des **scalaires**. > - Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, on parle d'**espace vectoriel réel**. > - Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, on parle d'**espace vectoriel complexe**. ## Propriétés Immédiates À partir des axiomes, on peut déduire plusieurs propriétés utiles : > [!theorem] Propriétés du vecteur nul et de la multiplication par zéro > Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. > 1. $\forall u \in E, 0_\mathbb{K} \cdot u = 0_E$. (Le scalaire $0_\mathbb{K}$ multiplié par n'importe quel vecteur donne le vecteur nul). > 2. $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \cdot 0_E = 0_E$. (N'importe quel scalaire multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul). > 3. $\forall u \in E, (-1_\mathbb{K}) \cdot u = -u$. (Multiplier par $-1_\mathbb{K}$ donne l'opposé du vecteur). > 4. Si $\lambda \cdot u = 0_E$, alors $\lambda = 0_\mathbb{K}$ ou $u = 0_E$. > [!tip] Comment retenir les axiomes ? > Pensez à deux groupes : > - Les 4 premiers assurent que $(E, +)$ est un groupe commutatif (ou abélien). C'est la structure "interne" de l'addition des vecteurs. > - Les 4 suivants décrivent comment la multiplication par un scalaire interagit avec l'addition des vecteurs et des scalaires. C'est la structure "externe". # II - Exemples Fondamentaux d'Espaces Vectoriels La beauté de la définition abstraite réside dans la multitude d'objets qu'elle englobe. Voici des exemples cruciaux : > [!example] L'espace $\mathbb{K}^n$ > L'ensemble $\mathbb{K}^n = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in \mathbb{K} \}$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel pour $n \in \mathbb{N}^*$. > Les opérations sont définies composante par composante : > - **Addition** : Pour $u = (x_1, \dots, x_n)$ et $v = (y_1, \dots, y_n)$, > $ u+v = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n) $ > - **Multiplication par un scalaire** : Pour $\lambda \in \mathbb{K}$ et $u = (x_1, \dots, x_n)$, > $ \lambda u = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) $ > Le vecteur nul est $0_E = (0, \dots, 0)$. L'opposé de $u$ est $-u = (-x_1, \dots, -x_n)$. > > - Pour $n=1$, $\mathbb{K}^1 = \mathbb{K}$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel sur lui-même. > - Pour $n=2$, $\mathbb{R}^2$ représente le plan euclidien (vecteurs géométriques). > - Pour $n=3$, $\mathbb{R}^3$ représente l'espace euclidien. > > Les solutions de certains systèmes d'équations linéaires homogènes (par exemple, $Ax=0$) forment souvent un sous-ensemble de $\mathbb{K}^n$ qui est lui-même un espace vectoriel. > [!example] L'espace des polynômes $\mathbb{K}[X]$ > L'ensemble $\mathbb{K}[X]$ de tous les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. > Un polynôme $P(X)$ s'écrit $P(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$, où $a_i \in \mathbb{K}$. > - **Addition** : $(P+Q)(X) = \sum (a_i+b_i) X^i$. > - **Multiplication par un scalaire** : $(\lambda P)(X) = \sum (\lambda a_i) X^i$. > Le polynôme nul est $0(X) = 0$. > > L'ensemble $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est également un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. > [!example] L'espace des fonctions $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ > Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ de toutes les fonctions de $I$ vers $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. > - **Addition** : Pour $f, g \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$, $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ pour tout $x \in I$. > - **Multiplication par un scalaire** : Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R})$, $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$ pour tout $x \in I$. > La fonction nulle est $0(x)=0$ pour tout $x \in I$. > > Des sous-ensembles importants comme l'ensemble des fonctions continues $C(I, \mathbb{R})$ ou l'ensemble des fonctions dérivables $D(I, \mathbb{R})$ sont aussi des espaces vectoriels. > [!example] L'espace des matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ > L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients dans $\mathbb{K}$, est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. > - **Addition** : $(A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij}$. > - **Multiplication par un scalaire** : $(\lambda A)_{ij} = \lambda A_{ij}$. > La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. > > Cet exemple fait le lien avec le calcul matriciel, qui sera abordé dans un prochain chapitre. Les matrices peuvent être vues comme des "tableaux" de scalaires, et leur addition/multiplication par un scalaire suit une logique similaire à celle des vecteurs de $\mathbb{K}^n$. > [!example] L'espace trivial > L'ensemble $E = \{0_E\}$ contenant uniquement le vecteur nul est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. > - $0_E+0_E = 0_E$ > - $\lambda \cdot 0_E = 0_E$ > C'est le plus petit espace vectoriel possible. # III - Sous-Espaces Vectoriels Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations. C'est une notion cruciale pour comprendre la structure interne des espaces vectoriels. > [!definition] Sous-Espace Vectoriel > Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Un sous-ensemble $F \subseteq E$ est un **sous-espace vectoriel** de $E$ si $F$ est lui-même un $\mathbb{K}$-espace vectoriel avec les mêmes opérations $+$ et $\cdot$ restreintes à $F$. Vérifier tous les axiomes d'un espace vectoriel pour un sous-ensemble peut être fastidieux. Heureusement, il existe un critère simplifié : > [!theorem] Critère de sous-espace vectoriel > Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F$ un sous-ensemble de $E$. > $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : > 1. $F$ est **non vide** (en pratique, on vérifie que le vecteur nul $0_E$ appartient à $F$). > 2. $F$ est **stable par addition** : $\forall u, v \in F, u+v \in F$. > 3. $F$ est **stable par multiplication par un scalaire** : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in F, \lambda u \in F$. > > Ces deux dernières conditions peuvent être combinées en une seule : > 2'. $F$ est **stable par combinaison linéaire** : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u, v \in F, \lambda u + \mu v \in F$. > [!warning] Erreur fréquente > La condition $F \neq \emptyset$ est fondamentale. La manière la plus simple de la vérifier est de s'assurer que le **vecteur nul $0_E$ appartient à $F$**. Si $0_E \notin F$, alors $F$ ne peut pas être un sous-espace vectoriel. > [!example] Exemples Fondamentaux > 1. **L'ensemble $\{0_E\}$** (contenant uniquement le vecteur nul) est toujours un sous-espace vectoriel de $E$. > 2. **L'espace $E$ lui-même** est un sous-espace vectoriel de $E$. > > Ces deux sous-espaces sont appelés les **sous-espaces triviaux**. > [!example] Exemples non triviaux de sous-espaces vectoriels > 1. **L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène** : > Considérons le système linéaire homogène $AX=0$, où $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ est une matrice et $X \in \mathbb{K}^n$ est un vecteur colonne d'inconnues. L'ensemble $S = \{ X \in \mathbb{K}^n \mid AX=0 \}$ des solutions est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^n$. > - $0_{\mathbb{K}^n} \in S$ car $A \cdot 0_{\mathbb{K}^n} = 0_{\mathbb{K}^m}$. Donc $S \neq \emptyset$. > - Si $X_1, X_2 \in S$, alors $AX_1=0$ et $AX_2=0$. Donc $A(X_1+X_2) = AX_1+AX_2 = 0+0=0$. Ainsi $X_1+X_2 \in S$. > - Si $X \in S$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $AX=0$. Donc $A(\lambda X) = \lambda (AX) = \lambda \cdot 0 = 0$. Ainsi $\lambda X \in S$. > Ceci est un lien direct avec vos pré-requis sur les systèmes d'équations linéaires ! > > 2. **Droites et plans passant par l'origine** : > Dans $\mathbb{R}^2$, toute droite passant par l'origine est un sous-espace vectoriel. Par exemple, $D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y=2x \}$. > - $(0,0) \in D$. > - Si $(x_1, y_1) \in D$ et $(x_2, y_2) \in D$, alors $y_1=2x_1$ et $y_2=2x_2$. Donc $y_1+y_2 = 2x_1+2x_2 = 2(x_1+x_2)$. Ainsi $(x_1+x_2, y_1+y_2) \in D$. > - Si $(x,y) \in D$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $y=2x$. Donc $\lambda y = \lambda(2x) = 2(\lambda x)$. Ainsi $(\lambda x, \lambda y) \in D$. > De même, dans $\mathbb{R}^3$, tout plan passant par l'origine est un sous-espace vectoriel. > > 3. **$\mathbb{K}_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$** : > L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble de tous les polynômes. > > 4. **L'ensemble des fonctions continues sur un intervalle** : > $C(I, \mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$. La somme de deux fonctions continues est continue, et le produit d'une fonction continue par un scalaire est continu. >[!example] Contre-exemple >L'ensemble $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \, | \, y=ax+b \, \text{avec} \, b \neq 0\}$ n'est PAS un sous-espace vectoriel, car il ne contient pas le vecteur nul $(0,0)$ . # ➡️ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Espaces vectoriels/Cours 2 - Espaces vectoriels|Cours 2 - Espaces vectoriels]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Espaces vectoriels/Espaces vectoriels|Espaces vectoriels]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Espaces vectoriels/Espaces vectoriels|Accueil · Espaces vectoriels]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Espaces vectoriels/Espaces vectoriels - Résumé & PodCast\|← Espaces vectoriels - Résumé & PodCast]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Espaces vectoriels/Cours 2 - Espaces vectoriels\|Cours 2 - Espaces vectoriels →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%