%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Accueil · Fonctions Réelles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles\|Cours 2 - Fonctions Réelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Fonctions Réelles: Introduction > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Fonctions Réelles]] > [!tip] Tags > #FonctionsRéelles #DomaineDeDéfinition #RacineCarrée #Logarithme #Image #Antécédent #TestDeLaDroiteVerticale #Parité #Périodicité #Monotonie > [!NOTE] Fil directeur > Ce chapitre posera les bases solides de votre compréhension des fonctions. Nous allons définir précisément ce qu'est une fonction, explorer les contraintes qui déterminent son "domaine de vie". > [!example] Contenu de ce cours > - Domaines de définition > - Définition d'une fonction > - Image et antécédent > - Parité > - Périodicité > - Monotonie # I - Domaines de définition Avant même de manipuler une fonction, il est crucial de savoir sur quel ensemble de nombres réels elle est *définie*. C'est ce que l'on appelle le domaine de définition. > [!definition] Domaine de Définition > Le **domaine de définition** (ou ensemble de définition) d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de tous les nombres réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est bien défini et renvoie un nombre réel unique. En d'autres termes, $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible sans rencontrer d'opération "interdite" en mathématiques réelles. ## Les Opérations Interdites en $\mathbb{R}$ Certaines opérations ne sont pas autorisées ou ne renvoient pas de nombre réel, et sont les principales causes de restrictions du domaine de définition. 1. **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul. * Exemple : Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$, il faut $x-2 \neq 0$, donc $x \neq 2$. 2. **Racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous une racine carrée (ou plus généralement une racine d'ordre pair) doit être positive ou nulle. * Exemple : Pour $f(x) = \sqrt{x+3}$, il faut $x+3 \geq 0$, donc $x \geq -3$. 3. **Logarithme d'un nombre négatif ou nul :** L'argument d'un logarithme (népérien $\ln$ ou autre) doit être strictement positif. * Exemple : Pour $f(x) = \ln(5-x)$, il faut $5-x > 0$, donc $x < 5$. > [!note] Rappel sur les ensembles > Nous utiliserons fréquemment les notations d'intervalles et d'ensembles : > * $\mathbb{R}$ : l'ensemble des nombres réels. > * $[a, b]$ : intervalle fermé, $a \leq x \leq b$. > * $]a, b[$ : intervalle ouvert, $a < x < b$. > * $[a, b[$ ou $]a, b]$ : intervalles semi-ouverts. > * $\cup$ : union d'ensembles. > * $\cap$ : intersection d'ensembles. > * $\setminus$ : soustraction d'ensembles (ex: $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ signifie tous les réels sauf $a$). ## Méthodologie pour Déterminer le Domaine de Définition Pour trouver le domaine de définition d'une fonction $f(x)$, il faut identifier toutes les contraintes liées aux opérations "interdites" et trouver les valeurs de $x$ qui satisfont *simultanément* toutes ces contraintes. > [!tip] Stratégie > 1. Identifiez toutes les expressions qui pourraient poser problème (dénominateurs, racines paires, arguments de logarithmes, etc.). > 2. Écrivez les conditions mathématiques correspondantes (inégalités, inégalités strictes, non-égalités). > 3. Résolvez chaque condition pour $x$. > 4. Combinez toutes les solutions pour trouver l'intersection des intervalles ou ensembles résultants. Cet ensemble est $D_f$. > [!example] Exemple 1 : Fonction rationnelle > Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 4}$. > > **Solution :** > La seule contrainte est que le dénominateur ne doit pas être nul. > $ x^2 - 4 \neq 0 $ > $ (x-2)(x+2) \neq 0 $ > Cela implique $x-2 \neq 0$ ET $x+2 \neq 0$. > Donc $x \neq 2$ ET $x \neq -2$. > Le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ ou $D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]-2, 2[ \cup ]2, +\infty[$. > [!example] Exemple 2 : Fonction avec racine carrée > Déterminer le domaine de définition de $g(x) = \sqrt{3x - 6}$. > > **Solution :** > L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle. > $ 3x - 6 \geq 0 $ > $ 3x \geq 6 $ > $ x \geq 2 $ > Le domaine de définition est $D_g = [2, +\infty[$. > [!example] Exemple 3 : Fonction avec logarithme > Déterminer le domaine de définition de $h(x) = \ln(x^2 - 5x + 6)$. > > **Solution :** > L'argument du logarithme doit être strictement positif. > $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ > Pour résoudre cette inéquation, nous trouvons d'abord les racines du polynôme $P(x) = x^2 - 5x + 6$. > Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. > Les racines sont $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$. > Puisque le coefficient de $x^2$ est positif (1), la parabole est ouverte vers le haut, donc $x^2 - 5x + 6 > 0$ lorsque $x < 2$ ou $x > 3$. > Le domaine de définition est $D_h = ]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[$. > [!example] Exemple 4 : Combinaison de contraintes > Déterminer le domaine de définition de $k(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$. > > **Solution :** > Il y a deux contraintes : > 1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. > Ceci donne l'intervalle $I_1 = [-1, +\infty[$. > 2. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. > Ceci donne l'ensemble $I_2 = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. > > Le domaine de définition est l'intersection de ces deux conditions : $D_k = I_1 \cap I_2$. > $D_k = [-1, +\infty[ \setminus \{3\}$ ou $D_k = [-1, 3[ \cup ]3, +\infty[$. # II - Définition Formelle d'une Fonction Maintenant que nous savons où une fonction peut exister, définissons ce qu'elle est. > [!definition] Fonction Réelle > Une **fonction réelle** $f$ d'une variable réelle $x$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D_f \subset \mathbb{R}$ un unique nombre réel $y$. > > On écrit cette relation sous la forme : > $ f: D_f \to \mathbb{R} $ > $ x \mapsto f(x) $ > > * $D_f$ est le **domaine de définition** de $f$. > * $\mathbb{R}$ est l'**ensemble d'arrivée** (ou codomaine). > * $x$ est la **variable indépendante** (ou antécédent). > * $y = f(x)$ est la **variable dépendante** (ou image de $x$ par $f$). > * L'**image de la fonction** $f$, notée $\text{Im}(f)$ ou $f(D_f)$, est l'ensemble de toutes les valeurs que $f(x)$ peut prendre lorsque $x$ parcourt $D_f$. C'est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée. > [!note] Relation vs. Fonction > Toutes les relations ne sont pas des fonctions. Pour qu'une relation soit une fonction, chaque antécédent $x$ doit avoir **une et une seule** image $f(x)$. > Graphiquement, cela signifie que toute droite verticale ne doit couper la courbe de la fonction qu'en un seul point au maximum. C'est le **test de la droite verticale**. > [!example] Test de la droite verticale > * La courbe d'équation $y = x^2$ est une fonction. En effet, toute droite verticale $x=a$ coupe la parabole en un seul point d'abscisse $a$ et d'ordonnée $a^2$. > > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/parabole.png||500]] > * La courbe d'équation $x^2 + y^2 = 1$ (un cercle) **n'est pas** une fonction de $x$. Une droite verticale $x=0$ (l'axe Y) coupe le cercle en deux points $(0, 1)$ et $(0, -1)$. Pour un $x$ donné, il y a deux $y$ possibles. > > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/cercle n'est pas une fonction.png||500]] ## Antécédent et image >[!theorem] Définition >Soit $x\in D_f$ tel que $f(x)=y$. >On dit que $y$ est l'**image** de $x$ par $f$ et $x$ est un **antécédent** de $y$. >[!warning] Attention : >- Un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. >- Chaque $x$ du domaine a une unique image. >[!example] Exemple 1 : >Dans la figure suivante, le point $y$ admet trois antécédents $x_A$, $x_B$ et $x_C$. > >![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/trois antécédents.png||400]] > [!example] Exemple 2 : > Soit la fonction $f(x) = x^2$. > * L'image de $2$ est $f(2) = 2^2 = 4$. > * L'image de $-2$ est $f(-2) = (-2)^2 = 4$. > * Les antécédents de $4$ sont $2$ et $-2$. > * Le nombre $-1$ n'a pas d'antécédent par $f$ dans $\mathbb{R}$, car $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. > > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/antécédent par la parabole.png||400]] > ## Parité d'une fonction L'étude de la parité d'une fonction permet de mettre en évidence certaines symétries de sa courbe représentative. Pour étudier la parité d'une fonction $f$, il faut : 1. Vérifier que son ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$. 2. Comparer $f(-x)$ et $f(x)$. ### Fonction paire >[!theorem] Fonction paire Une fonction $f$ est dite **paire** si : $\forall x\in D_f\quad -x\in D_f$ et $\forall x\in D_f \quad f(-x)=f(x) $ La courbe d'une fonction paire est **symétrique par rapport à l'axe des ordonnées**. >[!example] Exemple Soit $f(x)=x^2+3$. Le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}$ qui est symétrique par rapport à l'origine (si $x\in D_f, -x\in D_f$). On calcule : $ f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x).$ La fonction est donc **paire** et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction paire exemple.png|281]] ### Fonction impaire >[!theorem] Fonction paire Une fonction $f$ est dite **impaire** si : $\forall x\in D_f\quad -x\in D_f$ et $\forall x\in D_f \quad f(-x)=-f(x) $ La courbe d'une fonction impaire est **symétrique par rapport à l'origine du repère**. >[!example] Exemple Soit $f(x)=x^3$. Le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}$ qui est symétrique par rapport à l'origine (si $x\in D_f, -x\in D_f$). On calcule : $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).$ La fonction est donc **impaire** et sa courbe symétrique par rapport à l'origine du repère. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction impaire exemple.png||300]] >[!warning] Attention Si aucune des deux conditions précédentes n'est vérifiée, la fonction n'est ni paire ni impaire. Exemple : $f(x)=x^2+x$. On calcule $f(-x)=x^2-x$ différent de $f(x)$ et de $-f(x)$. La fonction est donc **ni paire ni impaire**. ## Périodicité d'une fonction Certaines fonctions reproduisent les mêmes valeurs à intervalles réguliers. On dit alors qu'elles sont périodiques. >[!theorem] Définition Une fonction $f$ est dite **périodique** s'il existe un réel $T>0$ tel que pour tout $x \in D_f$, $x+T \in D_f$ et $ f(x+T)=f(x) \quad \forall x\in D_f$ Le plus petit réel strictement positif vérifiant cette propriété est appelé **période** de la fonction. La courbe d'une fonction périodique se reproduit identiquement tous les $T$ unités. Il suffit donc d'étudier la fonction sur un intervalle de longueur $T$ pour connaître son comportement sur tout son domaine de définition. >[!example] Exemple >La fonction ci-dessous est une fonction périodique de période $T=1$. >On peut remarquer que pour tout $x$, on a >$f(x+1)=f(x)=1$ >Pour $x=0.5$ : on a $f(0.5+1)=f(0.5)=1$. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction périodique.png|508]] ## Monotonie d'une fonction La monotonie d'une fonction décrit l'évolution de ses valeurs lorsque la variable $x$ augmente. >[!theorem] Fonction croissante Une fonction est dite **croissante** sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $x$ et $y$ appartenant à $I$, la relation $x \leq y $ entraîne $ f(x) \leq f(y).$ Autrement dit, les valeurs prises par la fonction augmentent ou restent constantes lorsque $x$ augmente. >[!theorem] Fonction décroissante Une fonction est dite **décroissante** sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $x$ et $y$ appartenant à $I$, la relation $x \leq y $ entraîne $ f(x) \geq f(y).$ Autrement dit, les valeurs prises par la fonction diminuent ou restent constantes lorsque $x$ augmente. >[!warning] Fonctions strictement monotones Lorsque les inégalités sont strictes, c'est-à-dire lorsque $ x < y \quad \Longrightarrow \quad f(x) < f(y),$ la fonction est dite **strictement croissante**. De même, si $ x < y \quad \Longrightarrow \quad f(x) > f(y), $ la fonction est dite **strictement décroissante**. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/monotonie.png]] # ➡️ C'est la fin Dans les prochains chapitres, nous construirons sur ces bases pour explorer des concepts plus avancés comme la limite et la continuité. Chaque nouvelle notion s'appuiera sur cette compréhension solide des fondations. --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles|Cours 2 - Fonctions Réelles]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Fonctions Réelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `10-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Accueil · Fonctions Réelles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles\|Cours 2 - Fonctions Réelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%