# Fonctions Réelles: Introduction > Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]] > [!tip] Tags > #FonctionsRéelles #DomaineDeDéfinition #RacineCarrée #Logarithme #Tangente #Cotangente #Affines #Linéaires #Polynomiales #Rationnelles #Puissance #RacineCarréeFonction #ValeurAbsolue #Exponentielle #LogarithmeNépérien #Sin #Cos #Tan #Image #Antécédent #TestDeLaDroiteVerticale > [!NOTE] Fil directeur > Ce chapitre posera les bases solides de votre compréhension des fonctions. Nous allons définir précisément ce qu'est une fonction, explorer les contraintes qui déterminent son "domaine de vie", et passer en revue les fonctions élémentaires qui constituent les briques de toute modélisation complexe. Une maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder sereinement les chapitres futurs, notamment sur la dérivation et l'intégration. > [!example] Contenu de ce cours > - Domaines de définition > - Fonctions classiques > Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 1 - Fonctions Réelles.pdf]] # Domaines de définition : Le "Territoire" d'une Fonction Avant même de manipuler une fonction, il est crucial de savoir sur quel ensemble de nombres réels elle est *définie*. C'est ce que l'on appelle le domaine de définition. > [!definition] Domaine de Définition > Le **domaine de définition** (ou ensemble de définition) d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de tous les nombres réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est bien défini et renvoie un nombre réel unique. En d'autres termes, $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible sans rencontrer d'opération "interdite" en mathématiques réelles. ## Les Opérations Interdites en $\mathbb{R}$ Certaines opérations ne sont pas autorisées ou ne renvoient pas de nombre réel, et sont les principales causes de restrictions du domaine de définition. 1. **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul. * Exemple : Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$, il faut $x-2 \neq 0$, donc $x \neq 2$. 2. **Racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous une racine carrée (ou plus généralement une racine d'ordre pair) doit être positive ou nulle. * Exemple : Pour $f(x) = \sqrt{x+3}$, il faut $x+3 \geq 0$, donc $x \geq -3$. 3. **Logarithme d'un nombre négatif ou nul :** L'argument d'un logarithme (népérien $\ln$ ou autre) doit être strictement positif. * Exemple : Pour $f(x) = \ln(5-x)$, il faut $5-x > 0$, donc $x < 5$. 4. **Certaines fonctions trigonométriques :** * La fonction tangente $f(x) = \tan(x)$ est définie pour $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$. * La fonction cotangente $f(x) = \cot(x)$ est définie pour $x \neq k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$. > [!note] Rappel sur les ensembles > Nous utiliserons fréquemment les notations d'intervalles et d'ensembles : > * $\mathbb{R}$ : l'ensemble des nombres réels. > * $[a, b]$ : intervalle fermé, $a \leq x \leq b$. > * $]a, b[$ : intervalle ouvert, $a < x < b$. > * $[a, b[$ ou $]a, b]$ : intervalles semi-ouverts. > * $\cup$ : union d'ensembles. > * $\cap$ : intersection d'ensembles. > * $\setminus$ : soustraction d'ensembles (ex: $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ signifie tous les réels sauf $a$). ## Méthodologie pour Déterminer le Domaine de Définition Pour trouver le domaine de définition d'une fonction $f(x)$, il faut identifier toutes les contraintes liées aux opérations "interdites" et trouver les valeurs de $x$ qui satisfont *simultanément* toutes ces contraintes. > [!tip] Stratégie > 1. Identifiez toutes les expressions qui pourraient poser problème (dénominateurs, racines paires, arguments de logarithmes, arguments de tangentes, etc.). > 2. Écrivez les conditions mathématiques correspondantes (inégalités, inégalités strictes, non-égalités). > 3. Résolvez chaque condition pour $x$. > 4. Combinez toutes les solutions pour trouver l'intersection des intervalles ou ensembles résultants. Cet ensemble est $D_f$. > [!example] Exemple 1 : Fonction rationnelle > Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 4}$. > > **Solution :** > La seule contrainte est que le dénominateur ne doit pas être nul. > $ x^2 - 4 \neq 0 $ > $ (x-2)(x+2) \neq 0 $ > Cela implique $x-2 \neq 0$ ET $x+2 \neq 0$. > Donc $x \neq 2$ ET $x \neq -2$. > Le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ ou $D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]-2, 2[ \cup ]2, +\infty[$. > [!example] Exemple 2 : Fonction avec racine carrée > Déterminer le domaine de définition de $g(x) = \sqrt{3x - 6}$. > > **Solution :** > L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle. > $ 3x - 6 \geq 0 $ > $ 3x \geq 6 $ > $ x \geq 2 $ > Le domaine de définition est $D_g = [2, +\infty[$. > [!example] Exemple 3 : Fonction avec logarithme > Déterminer le domaine de définition de $h(x) = \ln(x^2 - 5x + 6)$. > > **Solution :** > L'argument du logarithme doit être strictement positif. > $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ > Pour résoudre cette inéquation, nous trouvons d'abord les racines du polynôme $P(x) = x^2 - 5x + 6$. > Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. > Les racines sont $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$. > Puisque le coefficient de $x^2$ est positif (1), la parabole est ouverte vers le haut, donc $x^2 - 5x + 6 > 0$ lorsque $x < 2$ ou $x > 3$. > Le domaine de définition est $D_h = ]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[$. > [!example] Exemple 4 : Combinaison de contraintes > Déterminer le domaine de définition de $k(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$. > > **Solution :** > Il y a deux contraintes : > 1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. > Ceci donne l'intervalle $I_1 = [-1, +\infty[$. > 2. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. > Ceci donne l'ensemble $I_2 = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. > > Le domaine de définition est l'intersection de ces deux conditions : $D_k = I_1 \cap I_2$. > $D_k = [-1, +\infty[ \setminus \{3\}$ ou $D_k = [-1, 3[ \cup ]3, +\infty[$. # Définition Formelle d'une Fonction Maintenant que nous savons où une fonction peut exister, définissons ce qu'elle est. > [!definition] Fonction Réelle > Une **fonction réelle** $f$ d'une variable réelle $x$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D_f \subset \mathbb{R}$ un unique nombre réel $y$. > > On écrit cette relation sous la forme : > $ f: D_f \to \mathbb{R} $ > $ x \mapsto f(x) $ > > * $D_f$ est le **domaine de définition** de $f$. > * $\mathbb{R}$ est l'**ensemble d'arrivée** (ou codomaine). > * $x$ est la **variable indépendante** (ou antécédent). > * $y = f(x)$ est la **variable dépendante** (ou image de $x$ par $f$). > * L'**image de la fonction** $f$, notée $\text{Im}(f)$ ou $f(D_f)$, est l'ensemble de toutes les valeurs que $f(x)$ peut prendre lorsque $x$ parcourt $D_f$. C'est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée. > [!note] Relation vs. Fonction > Toutes les relations ne sont pas des fonctions. Pour qu'une relation soit une fonction, chaque antécédent $x$ doit avoir **une et une seule** image $f(x)$. > Graphiquement, cela signifie que toute droite verticale ne doit couper la courbe de la fonction qu'en un seul point au maximum. C'est le **test de la droite verticale**. > [!example] Test de la droite verticale > * La courbe d'équation $y = x^2$ est une fonction. Toute droite verticale $x=a$ coupe la parabole en un seul point $(a, a^2)$. > * La courbe d'équation $x^2 + y^2 = 1$ (un cercle) n'est **pas** une fonction de $x$. Une droite verticale $x=0$ (l'axe Y) coupe le cercle en deux points $(0, 1)$ et $(0, -1)$. Pour un $x$ donné, il y a deux $y$ possibles. ## Vocabulaire Clé * **Antécédent :** Si $y = f(x)$, alors $x$ est un antécédent de $y$. Un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. * **Image :** Si $y = f(x)$, alors $y$ est l'image de $x$ par $f$. Chaque $x$ du domaine a une unique image. > [!example] Antécédents et Images > Soit la fonction $f(x) = x^2$. > * L'image de $2$ est $f(2) = 2^2 = 4$. > * L'image de $-2$ est $f(-2) = (-2)^2 = 4$. > * Les antécédents de $4$ sont $2$ et $-2$. > * Le nombre $-1$ n'a pas d'antécédent par $f$ dans $\mathbb{R}$, car $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. # Fonctions de Base (Classiques) : Les Briques Fondamentales Ces fonctions sont les piliers de l'analyse mathématique. Il est essentiel de connaître leur définition, leur domaine, leur allure graphique et leurs propriétés fondamentales. ## Fonctions Affines et Linéaires > [!definition] Fonctions Affines > Une **fonction affine** est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. > * $a$ est la **pente** (ou coefficient directeur). > * $b$ est l'**ordonnée à l'origine**. > > Son domaine de définition est $D_f = \mathbb{R}$. > Son graphe est une droite. > [!definition] Fonctions Linéaires > Une **fonction linéaire** est un cas particulier de fonction affine où $b=0$, c'est-à-dire $f(x) = ax$. > Son graphe est une droite passant par l'origine $(0,0)$. > [!note] Propriétés > * Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante. > * Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante. > * Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$). ## Fonctions Polynomiales > [!definition] Fonctions Polynomiales > Une **fonction polynomiale** est une fonction de la forme : > $ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $ > où $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des constantes réelles (coefficients) et $n$ est un entier naturel (degré du polynôme). > > Son domaine de définition est $D_P = \mathbb{R}$. > [!example] Cas particuliers > * **Degré 0 :** $P(x) = a_0$ (fonction constante). > * **Degré 1 :** $P(x) = a_1 x + a_0$ (fonction affine). > * **Degré 2 :** $P(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (fonction quadratique ou trinôme du second degré). Son graphe est une parabole. > * Si $a_2 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut. > * Si $a_2 < 0$, la parabole est ouverte vers le bas. ## Fonctions Rationnelles > [!definition] Fonctions Rationnelles > Une **fonction rationnelle** est une fonction qui peut s'écrire comme le quotient de deux fonctions polynomiales : > $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $ > où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes. > > Son domaine de définition est $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$. > [!example] Exemple classique : Fonction inverse > La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est une fonction rationnelle. > Son domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. > Son graphe est une hyperbole. ## Fonctions Puissance > [!definition] Fonctions Puissance > Une **fonction puissance** est une fonction de la forme $f(x) = x^\alpha$, où $\alpha$ est un nombre réel. > > Le domaine de définition dépend de $\alpha$ : > * Si $\alpha$ est un entier positif ($n \in \mathbb{N}^*$), $f(x) = x^n$, alors $D_f = \mathbb{R}$. > * Si $\alpha$ est un entier négatif ($-n$, avec $n \in \mathbb{N}^*$), $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, alors $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. > * Si $\alpha$ est un nombre rationnel ($p/q$), $f(x) = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$. Si $q$ est pair, il faut $x \geq 0$. Si $q$ est impair, $D_f = \mathbb{R}$. > * Si $\alpha$ est un nombre réel non rationnel (ex: $x^{\sqrt{2}}$), la fonction est généralement définie pour $x > 0$. > [!example] Cas particuliers > * $f(x) = x^2$ (parabole). > * $f(x) = x^3$ (cubique). > * $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ (hyperbole). > * $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ (voir section suivante). ## Fonction Racine Carrée > [!definition] Fonction Racine Carrée > La **fonction racine carrée** est définie par $f(x) = \sqrt{x}$. > > Son domaine de définition est $D_f = [0, +\infty[$. > Son graphe est la moitié supérieure d'une parabole couchée. > [!note] Propriétés > * Strictement croissante sur son domaine. > * L'image de la fonction est $[0, +\infty[$. ## Fonction Valeur Absolue > [!definition] Fonction Valeur Absolue > La **fonction valeur absolue** est définie par $f(x) = |x|$. > $ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $ > Son domaine de définition est $D_f = \mathbb{R}$. > Son graphe forme un "V" avec le sommet à l'origine. > [!note] Propriétés > * La fonction est paire : $|-x| = |x|$. > * L'image de la fonction est $[0, +\infty[$. ## Fonctions Exponentielle et Logarithme Népérien Ces fonctions sont d'une importance capitale en ingénierie et seront étudiées plus en détail dans des chapitres ultérieurs. Nous les introduisons ici brièvement. > [!definition] Fonction Exponentielle > La **fonction exponentielle** est définie par $f(x) = e^x$ (où $e \approx 2.71828$ est la base du logarithme népérien). > Son domaine de définition est $D_f = \mathbb{R}$. > Son image est $]0, +\infty[$. > > * Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. > * Son graphe passe par $(0,1)$. > [!definition] Fonction Logarithme Népérien > La **fonction logarithme népérien** est définie par $f(x) = \ln(x)$. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. > Son domaine de définition est $D_f = ]0, +\infty[$. > Son image est $\mathbb{R}$. > > * Elle est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. > * Son graphe passe par $(1,0)$. > * Propriété fondamentale : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$). ## Fonctions Trigonométriques En tant que pré-requis, vous êtes censés être familiers avec les bases de la trigonométrie. Nous rappelons ici les fonctions principales. Page d'accueil de la compétence: [[Trigonométrie]]. > [!definition] Fonctions Sinus et Cosinus > Les fonctions **sinus** $f(x) = \sin(x)$ et **cosinus** $f(x) = \cos(x)$ sont définies pour tout nombre réel $x$. > Leur domaine de définition est $D_f = \mathbb{R}$. > Leur image est $[-1, 1]$. > > * Elles sont périodiques de période $2\pi$. > * $\sin(x)$ est impaire ($\sin(-x) = -\sin(x)$). > * $\cos(x)$ est paire ($\cos(-x) = \cos(x)$). > [!definition] Fonction Tangente > La **fonction tangente** est définie par $f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. > Son domaine de définition est $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid \cos(x) \neq 0\}$. > $ D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $ > Son image est $\mathbb{R}$. > > * Elle est périodique de période $\pi$. > * Elle est impaire. # ➡️ C'est la fin Dans les prochains chapitres, nous construirons sur ces bases pour explorer des concepts plus avancés comme la continuité, la dérivation (qui vous permettra d'étudier les variations des fonctions), et l'intégration. Chaque nouvelle notion s'appuiera sur cette compréhension solide des fondations. N'hésitez pas à revoir ces concepts, à refaire les exemples et à vous exercer sur de nouvelles fonctions. C'est en pratiquant que ces connaissances s'ancreront durablement. --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Fonctions Réelles]] - Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]