# Limites et Continuité des Fonctions Réelles
> Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]]
> [!tip] Tags
> #FonctionsRéelles #Limites #Continuité #LimiteAGauche #LimiteADroite #LimiteALInfini #PropriétésDesLimites #FormesIndéterminées #Factorisation #ChangementDeVariable #DéveloppementsLimités #RegleDeLHopital #TheoremeDesGendarmes #Comparaison #FonctionComposée #LimitesUsuelles #CroissancesComparées #Asymptotes #ContinuitéEnUnPoint #ContinuitéSurUnIntervalle #FonctionsContinues #TVI #Bijection #Weierstrass #BornesAtteintes #Sin #Cos #Tan #Exponentielle #Logarithme
> [!NOTE] Fil directeur
>Après avoir solidifié vos connaissances sur les nombres réels, les fonctions élémentaires et la trigonométrie, nous abordons aujourd'hui un pilier fondamental de l'analyse : les **limites** et la **continuité** des fonctions réelles. Ces concepts sont absolument essentiels. Ils nous permettent de comprendre le comportement des fonctions non seulement en des points spécifiques, mais aussi lorsqu'elles s'approchent de ces points, ou lorsqu'elles tendent vers l'infini.
> [!example] Contenu de ce cours
> - Limites
> - Continuité
> Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 2 - Fonctions Réelles.pdf]]
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/zag6kjp4?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
# Limites de Fonctions
## Notion Intuitive de Limite
Commençons par une approche intuitive. Qu'est-ce que cela signifie que "la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est $L
quot;?
> [!note] Intuition de la Limite
> Cela signifie que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $a$ (sans nécessairement être égale à $a$), les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de plus en plus d'une certaine valeur $L$.
>
> On note cela : $ \lim_{x \to a} f(x) = L $
>
> **Exemple :**
> Considérons la fonction $f(x) = x^2$. Lorsque $x$ s'approche de 2, $f(x)$ s'approche de $2^2 = 4$. On écrit $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.
>
> Considérons $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. Cette fonction n'est pas définie en $x=0$. Cependant, si nous regardons les valeurs de $g(x)$ pour $x$ très proches de 0 (par exemple, $x=0.1, 0.01, 0.001$), nous constatons que $g(x)$ s'approche de 1. On écrit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.
Les limites peuvent être finies ou infinies, et $x$ peut tendre vers un nombre fini ou vers l'infini. Cela nous donne quatre cas principaux.
## Définition Formelle des Limites (Définition Epsilon-Delta / Epsilon-M)
La définition formelle, bien que parfois intimidante, est cruciale pour la rigueur mathématique. Elle permet de lever toute ambiguïté sur ce que signifie "s'approcher de plus en plus".
> [!definition] Limite finie en un point fini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $L \in \mathbb{R}$ lorsque $x$ tend vers $a \in \mathbb{R}$ si :
> $ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon) $
> Autrement dit, pour tout "écart" $\varepsilon$ que l'on se fixe pour $f(x)$, on peut trouver un "intervalle" $\delta$ autour de $a$ tel que toutes les valeurs de $x$ dans cet intervalle (sauf $a$ lui-même) donnent des $f(x)$ à moins de $\varepsilon$ de $L$.
> [!definition] Limite infinie en un point fini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a \in \mathbb{R}$ si :
> $ \forall M > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M) $
> (Définition similaire pour $-\infty$)
> [!definition] Limite finie à l'infini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $L \in \mathbb{R}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si :
> $ \forall \varepsilon > 0, \exists A > 0 \text{ tel que } (x > A \implies |f(x) - L| < \varepsilon) $
> (Définition similaire pour $x \to -\infty$)
> [!definition] Limite infinie à l'infini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si :
> $ \forall M > 0, \exists A > 0 \text{ tel que } (x > A \implies f(x) > M) $
> (Définitions similaires pour les autres combinaisons de $\pm \infty$)
> [!note] Importance des définitions formelles
> Bien que ces définitions soient rarement utilisées directement pour calculer des limites en pratique (on utilise plutôt les propriétés que nous allons voir), elles sont le fondement rigoureux de toutes les règles et théorèmes. Elles garantissent la validité de nos calculs.
## Limites à Gauche et à Droite
Il est parfois nécessaire de distinguer l'approche par valeurs supérieures ou inférieures à $a$.
> [!definition] Limite à gauche et limite à droite
> - **Limite à droite :** $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ si $x$ tend vers $a$ par des valeurs $x > a$.
> - **Limite à gauche :** $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ si $x$ tend vers $a$ par des valeurs $x < a$.
>
> **Condition d'existence :** La limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et vaut $L$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales à $L$.
> $ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = L \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = L $
## Propriétés des Limites
Une fois la définition posée, nous pouvons établir des règles pour calculer les limites sans revenir à $\varepsilon$ et $\delta$ à chaque fois.
> [!theorem] Unicité de la limite
> Si une fonction $f$ admet une limite en un point $a$ (fini ou infini), alors cette limite est unique.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, et $L, L' \in \mathbb{R}$ leurs limites respectives en un point $a$ (ou $\pm \infty$).
| Opération | Limite de $f(x)$ | Limite de $g(x)$ | Limite de l'opération | Notes |
| :-------- | :--------------- | :--------------- | :-------------------- | :---- |
| Somme | $L$ | $L'$ | $L+L'$ | |
| | $L$ | $+\infty$ | $+\infty$ | |
| | $+\infty$ | $-\infty$ | **F.I. ($+\infty - \infty$)** | |
| Produit | $L$ | $L'$ | $L \cdot L'$ | |
| | $L \ne 0$ | $\pm \infty$ | $\pm \infty$ (selon le signe de $L$) | |
| | $0$ | $\pm \infty$ | **F.I. ($0 \cdot \infty$)** | |
| Quotient | $L$ | $L' \ne 0$ | $L/L'$ | |
| | $L \ne 0$ | $0^+$ ou $0^-$ | $\pm \infty$ (selon les signes) | |
| | $L$ | $\pm \infty$ | $0$ | |
| | $\pm \infty$ | $\pm \infty$ | **F.I. ($\infty / \infty$)** | |
| | $0$ | $0$ | **F.I. ($0 / 0$)** | |
> [!warning] Formes Indéterminées (FI)
> Les formes indéterminées sont des situations où les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement. Il faut alors utiliser d'autres techniques (factorisation, conjugué, changement de variable, développements limités, règle de L'Hôpital - que nous verrons plus tard).
> Les principales FI sont :
> - $0/0$
> - $\infty/\infty$
> - $0 \cdot \infty$
> - $+\infty - \infty$
> - $1^\infty$ (plus complexe, souvent traitée via l'exponentielle)
> - $0^0$
> - $\infty^0$
> [!tip] Lever les Formes Indéterminées
> Pour les fonctions polynomiales ou rationnelles :
> - **En un point $a$ où le dénominateur s'annule :** Factoriser le terme $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur.
> - **À l'infini :** Factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
> - **Avec des racines carrées :** Multiplier par l'expression conjuguée.
> [!example] Exemple de levée de FI
> Calculons $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. C'est une FI de type $0/0$.
> On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
> Donc, $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pour $x \ne 1$.
> La limite est alors $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.
> [!theorem] Théorèmes de Comparaison (ou Théorèmes des Gendarmes)
> Soient $f, g, h$ trois fonctions.
> 1. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$), et si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$.
> 2. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, et si $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.
> 3. **Théorème des Gendarmes :** Si $f(x) \le g(x) \le h(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, et si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$, alors $\lim_{x \to a} g(x) = L$.
> [!theorem] Limite d'une fonction composée
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Si $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{y \to L} f(y) = M$, alors $\lim_{x \to a} f(g(x)) = M$.
> (Attention aux domaines de définition et aux valeurs prises par $g(x)$ autour de $L$).
## Limites Usuelles
Il est indispensable de connaître les limites des fonctions usuelles.
| Fonction $f(x)$ | Limite en $x \to +\infty$ | Limite en $x \to -\infty$ | Autres limites notables |
| :-------------- | :----------------------- | :----------------------- | :---------------------- |
| $P(x)$ (polynôme) | $\lim_{x \to +\infty} ax^n$ | $\lim_{x \to -\infty} ax^n$ | $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ |
| $R(x) = P(x)/Q(x)$ (rationnelle) | $\lim_{x \to +\infty} \frac{ax^n}{bx^m}$ | $\lim_{x \to -\infty} \frac{ax^n}{bx^m}$ | |
| $e^x$ | $+\infty$ | $0$ | |
| $\ln(x)$ | $+\infty$ | Non définie | $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ |
| $\sin(x)$ | Pas de limite | Pas de limite | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ |
| $\cos(x)$ | Pas de limite | Pas de limite | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ |
| $\tan(x)$ | Pas de limite | Pas de limite | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$ |
| $x^\alpha (\alpha > 0)$ | $+\infty$ | Dépend de $\alpha$ (non définie si $\alpha$ non entier) | $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = 0$ |
> [!note] Croissances Comparées
> À l'infini, certaines fonctions "l'emportent" sur d'autres. C'est crucial pour lever les FI $\infty/\infty$ ou $0 \cdot \infty$.
> Pour $\alpha > 0, \beta > 0$:
> $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0 $
> $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{e^{\beta x}} = 0 $
> En résumé, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.
> $ \ln(x) \ll x^\alpha \ll e^{\beta x} \quad \text{quand } x \to +\infty $
## Asymptotes
Les limites permettent de caractériser le comportement d'une fonction aux "bords" de son domaine de définition ou à l'infini, souvent sous forme d'asymptotes.
> [!definition] Asymptote Verticale (AV)
> La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$.
> [!definition] Asymptote Horizontale (AH)
> La droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ (avec $L \in \mathbb{R}$).
> [!definition] Asymptote Oblique (AO)
> La droite d'équation $y = ax + b$ (avec $a \ne 0$) est une asymptote oblique à la courbe de $f$ si :
> $ \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 $
> Pour trouver $a$ et $b$ :
> 1. $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ (si $a$ est fini et non nul)
> 2. $b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]$ (si $b$ est fini)
# Continuité des Fonctions
La continuité est une propriété fondamentale qui décrit des fonctions "sans saut" ni "rupture".
## Notion Intuitive de Continuité
> [!note] Intuition de la Continuité
> Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon. Autrement dit, il n'y a pas de "trous", de "sauts" ou de "ruptures" dans la courbe.
## Définition Formelle de la Continuité
> [!definition] Continuité en un point
> Une fonction $f$ est dite continue en un point $a \in \text{Dom}(f)$ si :
> 1. $f(a)$ est définie.
> 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
> 3. La limite est égale à la valeur de la fonction en ce point :
> $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $
> [!definition] Continuité sur un intervalle
> - Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $(a, b)$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
> - Une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ si elle est continue sur $(a, b)$, continue à droite en $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) et continue à gauche en $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).
> [!example] Exemple de fonction discontinue
> La fonction partie entière $E(x) = \lfloor x \rfloor$ est discontinue en tout entier. Par exemple, en $x=1$ :
> - $E(1) = 1$
> - $\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$
> - $\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$
> Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc la limite en $x=1$ n'existe pas, et la fonction n'est pas continue en $x=1$.
## Propriétés des Fonctions Continues
La continuité est une propriété "stable" par les opérations usuelles.
> [!theorem] Propriétés des fonctions continues
> Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues en un point $a$ (ou sur un intervalle $I$), alors :
> 1. La somme $f+g$ est continue en $a$ (ou sur $I$).
> 2. Le produit $f \cdot g$ est continue en $a$ (ou sur $I$).
> 3. Le quotient $f/g$ est continue en $a$ (ou sur $I$), à condition que $g(a) \ne 0$ (ou $g(x) \ne 0$ sur $I$).
> 4. La composition $f \circ g$ est continue en $a$ si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$.
> [!note] Continuité des fonctions usuelles
> Toutes les fonctions élémentaires (polynômes, fonctions rationnelles, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques, fonctions puissance) sont continues sur leur domaine de définition.
> - Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$.
> - Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition (partout où le dénominateur est non nul).
> - La fonction $\ln(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$.
> - La fonction $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
## Théorèmes Fondamentaux sur la Continuité
La continuité, en particulier sur un intervalle fermé et borné (un segment), confère aux fonctions des propriétés très puissantes.
> [!theorem] Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
> Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
>
> Graphiquement, cela signifie qu'une fonction continue "ne saute pas" de $f(a)$ à $f(b)$ sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
> [!note] Corollaire du TVI (Théorème de la bijection)
> Si $f$ est une fonction continue et **strictement monotone** sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un **unique** réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
> Ce corollaire est fondamental pour prouver l'existence et l'unicité de solutions à des équations du type $f(x) = k$.
> [!theorem] Théorème des Bornes Atteintes (ou Théorème de Weierstrass)
> Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$. Alors $f$ est bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes. C'est-à-dire, il existe $c_1, c_2 \in [a, b]$ tels que :
> $ f(c_1) = \min_{x \in [a, b]} f(x) \quad \text{et} \quad f(c_2) = \max_{x \in [a, b]} f(x) $
> Cela garantit l'existence d'un minimum et d'un maximum globaux pour la fonction sur le segment, ce qui n'est pas toujours le cas sur un intervalle ouvert ou non borné.
# ➡️ C'est la fin
La prochaine étape logique sera d'utiliser ces fondations pour définir la **dérivée** d'une fonction, qui n'est autre qu'une limite particulière. La dérivée nous permettra de quantifier précisément les variations d'une fonction, d'optimiser des processus, et de modéliser des phénomènes dynamiques.
Assurez-vous de bien maîtriser ce chapitre en pratiquant de nombreux exercices. La clarté dans la manipulation des limites et de la continuité est la clé de votre succès futur en calcul différentiel.
---
- Cours précèdent: [[Cours 1 - Fonctions Réelles]]
- Prochain cours: [[Cours 3 - Fonctions Réelles]]
- Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]]
# 🗓️ Historique
- Dernière MAJ: `04-Septembre-2025`
- Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]