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# Limites et Continuité des Fonctions Réelles
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> [!tip] Tags
> #FonctionsRéelles #Limites #Continuité #LimiteAGauche #LimiteADroite #LimiteALInfini #PropriétésDesLimites #FormesIndéterminées #Factorisation #ChangementDeVariable #DéveloppementsLimités #RegleDeLHopital #TheoremeDesGendarmes #Comparaison #FonctionComposée #LimitesUsuelles #CroissancesComparées #Asymptotes #ContinuitéEnUnPoint #ContinuitéSurUnIntervalle #FonctionsContinues #TVI #Bijection #Weierstrass #BornesAtteintes
> [!NOTE] Fil directeur
>Après avoir solidifié vos connaissances sur les nombres réels, les fonctions élémentaires et la trigonométrie, nous abordons aujourd'hui un pilier fondamental de l'analyse : les **limites** et la **continuité** des fonctions réelles. Ces concepts sont absolument essentiels. Ils nous permettent de comprendre le comportement des fonctions non seulement en des points spécifiques, mais aussi lorsqu'elles s'approchent de ces points, ou lorsqu'elles tendent vers l'infini.
> [!example] Contenu de ce cours
> - Limites
> - Continuité
> - Théorème des valeurs intermédiaires
# Limites de Fonctions
## Notion Intuitive de Limite
Commençons par une approche intuitive. Qu'est-ce que cela signifie que "la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est $L
quot;?
> [!note] Intuition de la Limite
> Cela signifie que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $a$ (sans nécessairement être égale à $a$), les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de plus en plus d'une certaine valeur $L$.
>
> On note cela : $ \lim_{x \to a} f(x) = L $
>[!example] Exemple :
> - Considérons la fonction $f(x) = x^2$. Lorsque $x$ s'approche de 2, $f(x)$ s'approche de $2^2 = 4$. On écrit $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.
>
> - Considérons $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. Cette fonction n'est pas définie en $x=0$ (le dénominateur ne peut pas être nul). Cependant, si nous regardons les valeurs de $g(x)$ pour $x$ très proches de 0 (par exemple, $x=0.1, 0.01, 0.001$), nous constatons que $g(x)$ s'approche de 1. On écrit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.
>
> ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/limite sin(x) sur x.png||500]]
Les limites peuvent être finies ou infinies, et $x$ peut tendre vers un nombre fini ou vers l'infini. Cela nous donne quatre cas principaux.
## Définition Formelle des Limites
La définition formelle, bien que parfois intimidante, est cruciale pour la rigueur mathématique. Elle permet de lever toute ambiguïté sur ce que signifie "s'approcher de plus en plus".
> [!definition] Limite finie en un point fini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $L \in \mathbb{R}$ lorsque $x$ tend vers $a \in \mathbb{R}$, et on note **$\lim_{x \to a} f(x) = L$**, si :
> $ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon) $
> Autrement dit, pour tout "écart" $\varepsilon$ que l'on se fixe pour $f(x)$, on peut trouver un "intervalle" $\delta$ autour de $a$ tel que toutes les valeurs de $x$ dans cet intervalle (sauf $a$ lui-même) donnent des $f(x)$ à moins de $\varepsilon$ de $L$.
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/limite finie en un point fini.png||400]]
> [!definition] Limite infinie en un point fini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a \in \mathbb{R}$, et on note **$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$**, si :
> $ \forall M > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M) $
> (Définition similaire pour $-\infty$)
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/limite infinie en un point fini.jpg||400]]
> [!definition] Limite finie à l'infini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $L \in \mathbb{R}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et on note **$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$** si :
> $ \forall \varepsilon > 0, \exists A > 0 \text{ tel que } (x > A \implies |f(x) - L| < \varepsilon) $
> (Définition similaire pour $x \to -\infty$)
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/limite finie en l'infinie.png||400]]
> [!definition] Limite infinie à l'infini
> On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et on note **$\lim_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$,** si :
> $ \forall M > 0, \exists A > 0 \text{ tel que } (x > A \implies f(x) > M) $
> (Définitions similaires pour les autres combinaisons de $\pm \infty$)
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/limite infinie en l'infinie.png||400]]
> [!Attention] Importance des définitions formelles
> Bien que ces définitions soient rarement utilisées directement pour calculer des limites en pratique (on utilise plutôt les propriétés que nous allons voir), elles sont le fondement rigoureux de toutes les règles et théorèmes. Elles garantissent la validité de nos calculs.
## Limites à Gauche et à Droite
Il est parfois nécessaire de distinguer l'approche par valeurs supérieures ou inférieures à $a$.
> [!definition] Limite à gauche et limite à droite
> - **Limite à droite :** $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ si $x$ tend vers $a$ par des valeurs $x > a$.
> - **Limite à gauche :** $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ si $x$ tend vers $a$ par des valeurs $x < a$.
>
> **Condition d'existence :** La limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et vaut $L$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales à $L$.
> $ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = L \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = L $
>[!example] Exemple :
Considérons la fonction définie par : $
f(x)=
\begin{cases}
x^2+1 & \text{si } x<0,\\
x^2+2 & \text{si } x\geq 0.
\end{cases} $ Limite à gauche :
Lorsque $x\to 0^-$ : $ f(x)=x^2+1 $
donc
$ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1.$
Limite à droite
Lorsque $x\to 0^+$ : $ f(x)=x^2+2 $
donc $ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. $
On obtient : $ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2.$
Comme les limites à gauche et à droite sont différentes, la limite en $0$ n'existe pas :
$ \lim_{x\to 0}f(x)\ \text{n'existe pas}. $
## Propriétés des Limites
Une fois la définition posée, nous pouvons établir des règles pour calculer les limites sans revenir à $\varepsilon$ et $\delta$ à chaque fois.
> [!theorem] Unicité de la limite
> Si une fonction $f$ admet une limite en un point $a$ (fini ou infini), alors cette limite est unique.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, et $L, L' \in \mathbb{R}$ leurs limites respectives en un point $a$ (ou $\pm \infty$).
| Opération | Limite de $f(x)$ | Limite de $g(x)$ | Limite de l'opération | Notes |
| :-------- | :--------------- | :--------------- | :-------------------- | :---- |
| Somme | $L$ | $L'$ | $L+L'$ | |
| | $L$ | $+\infty$ | $+\infty$ | |
| | $+\infty$ | $-\infty$ | **F.I. ($+\infty - \infty$)** | |
| Produit | $L$ | $L'$ | $L \cdot L'$ | |
| | $L \ne 0$ | $\pm \infty$ | $\pm \infty$ (selon le signe de $L$) | |
| | $0$ | $\pm \infty$ | **F.I. ($0 \cdot \infty$)** | |
| Quotient | $L$ | $L' \ne 0$ | $L/L'$ | |
| | $L \ne 0$ | $0^+$ ou $0^-$ | $\pm \infty$ (selon les signes) | |
| | $L$ | $\pm \infty$ | $0$ | |
| | $\pm \infty$ | $\pm \infty$ | **F.I. ($\infty / \infty$)** | |
| | $0$ | $0$ | **F.I. ($0 / 0$)** | |
> [!warning] Formes Indéterminées (FI)
> Les formes indéterminées sont des situations où les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement. Il faut alors utiliser d'autres techniques (factorisation, conjugué, changement de variable, développements limités, règle de L'Hôpital - que nous verrons plus tard).
> Les principales FI sont :
> - $0/0$
> - $\infty/\infty$
> - $0 \cdot \infty$
> - $+\infty - \infty$
> - $1^\infty$ (plus complexe, souvent traitée via l'exponentielle)
> - $0^0$
> - $\infty^0$
> [!tip] Lever les Formes Indéterminées
> Pour les fonctions polynomiales ou rationnelles :
> - **En un point $a$ où le dénominateur s'annule :** Factoriser le terme $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur.
> - **À l'infini :** Factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
> - **Avec des racines carrées :** Multiplier par l'expression conjuguée.
> [!example] Exemple de levée de FI
> Calculons $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. C'est une FI de type $0/0$.
> On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
> Donc, $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pour $x \ne 1$.
> La limite est alors $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.
> [!theorem] Théorèmes de Comparaison (ou Théorèmes des Gendarmes)
> Soient $f, g, h$ trois fonctions.
> 1. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$), et si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$.
> 2. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, et si $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.
> 3. **Théorème des Gendarmes :** Si $f(x) \le g(x) \le h(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, et si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$, alors $\lim_{x \to a} g(x) = L$.
>[!example] Exemple sur le théorème des Gendarmes
Calculons la limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ lorsque $x \to +\infty$
Pour tout réel $x$, on a : $ -1 \leq \sin(x) \leq 1. $
Comme $x>0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on peut diviser les trois membres de l'inégalité par $x$ :
$ -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}. $ Or, $ \lim_{x\to+\infty}-\frac{1}{x}=0
\qquad \text{et} \qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. $ D'après le théorème des gendarmes, on obtient :
$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0.$
> [!theorem] Limite d'une fonction composée
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Si $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{y \to L} f(y) = M$, alors $\lim_{x \to a} f(g(x)) = M$.
> (Attention aux domaines de définition et aux valeurs prises par $g(x)$ autour de $L$).
>[!example] Exemple :
>Calculons $\lim_{x\to 2}(3x-1)^2.$
>On pose : $ g(x)=3x-1 \quad \text{et} \quad f(y)=y^2.$On a $\lim_{x\to 2} g(x)=3\times 2-1=5$. Alors,
$\lim_{x\to 2}(3x-1)^2 = \lim_{y\to 5}y^2=5^2=25. $
## Asymptotes
Les limites permettent de caractériser le comportement d'une fonction aux "bords" de son domaine de définition ou à l'infini, souvent sous forme d'asymptotes.
> [!definition] Asymptote Verticale (AV)
> La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$.
> [!definition] Asymptote Horizontale (AH)
> La droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ (avec $L \in \mathbb{R}$).
> [!definition] Asymptote Oblique (AO)
> La droite d'équation $y = ax + b$ (avec $a \ne 0$) est une asymptote oblique à la courbe de $f$ si :
> $ \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 $
> Pour trouver $a$ et $b$ :
> 1. $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ (si $a$ est fini et non nul)
> 2. $b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]$ (si $b$ est fini)
>[!example] Exemple
Considérons la fonction :
$ f(x)=\frac{1}{x-1}. $ Le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
On a :
$ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^-}=-\infty$et $ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^+}=+\infty.$La droite $x=1$ est donc une **asymptote verticale** (représentée en bleu sur la figure).
Par ailleurs, $ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-1}=0$
et $ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-1}=0.$
La droite $y=0$ est donc une **asymptote horizontale** (représentée en rouge sur la figure).
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/exemple asymptotes.png||500]]
# Continuité des Fonctions
La continuité est une propriété fondamentale qui décrit des fonctions "sans saut" ni "rupture".
## Notion Intuitive de Continuité
> [!note] Intuition de la Continuité
> Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon. Autrement dit, il n'y a pas de "trous", de "sauts" ou de "ruptures" dans la courbe.
## Définition Formelle de la Continuité
> [!definition] Continuité en un point
> Une fonction $f$ est dite continue en un point $a \in \text{Dom}(f)$ si :
> 1. $f(a)$ est définie.
> 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
> 3. La limite est égale à la valeur de la fonction en ce point :
> $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/continuité définition.png|602]]
> [!definition] Continuité sur un intervalle
> - Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
> - Une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) et continue à gauche en $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).
> [!example] Exemple de fonction discontinue
> La fonction partie entière $E(x) = \lfloor x \rfloor$ est discontinue en tout entier.
> ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction partie entière.png||400]]
> Par exemple, en $x=1$ :
> - $E(1) = 1$
> - $\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$
> - $\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$
> Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc la limite en $x=1$ n'existe pas, et la fonction n'est pas continue en $x=1$.
## Propriétés des Fonctions Continues
La continuité est une propriété "stable" par les opérations usuelles.
> [!theorem] Propriétés des fonctions continues
> Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues en un point $a$ (ou sur un intervalle $I$), alors :
> 1. La somme $f+g$ est continue en $a$ (ou sur $I$).
> 2. Le produit $f \cdot g$ est continue en $a$ (ou sur $I$).
> 3. Le quotient $f/g$ est continue en $a$ (ou sur $I$), à condition que $g(a) \ne 0$ (ou $g(x) \ne 0$ sur $I$).
> 4. La composition $f \circ g$ est continue en $a$ si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$.
## Théorèmes Fondamentaux sur la Continuité
La continuité, en particulier sur un intervalle fermé et borné (un segment), confère aux fonctions des propriétés très puissantes.
> [!theorem] Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
> Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
>
> Graphiquement, cela signifie qu'une fonction continue "ne saute pas" de $f(a)$ à $f(b)$ sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
> [!note] Corollaire du TVI (Théorème de la bijection)
> Si $f$ est une fonction continue et **strictement monotone** sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un **unique** réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
> Ce corollaire est fondamental pour prouver l'existence et l'unicité de solutions à des équations du type $f(x) = k$.
![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/théorème des valeurs intermédiaires.png|282]]
>[!example] Exemple d'application du théorème des valeurs intermédiaires
Montrons que l'équation $x^3+x-1=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,1]$.
Soit $f(x)=x^3+x-1$.
**Continuité** de la fonction : La fonction $f$ est un polynôme. Elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur l'intervalle $[0,1]$.
Calcul des **valeurs aux bornes de l'intervalle** :
$f(0)=0^3+0-1=-1<0$ et $f(1)=1^3+1-1=1>0. $
Application du **théorème des valeurs intermédiaires ** : Comme $f$ est continue sur $[0,1]$ et que $0 \in [f(0),f(1)] = [-1,1]$, le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il existe un réel $c \in [0,1]$ tel que $f(c)=0$.
**Conclusion ** : L'équation admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,1]$.
**Interprétation graphique :** La courbe représentative de la fonction $f$ passe d'une valeur négative en $x=0$ à une valeur positive en $x=1$. Elle coupe donc nécessairement l'axe des abscisses au moins une fois entre 0 et 1.
> [!theorem] Théorème des Bornes Atteintes (ou Théorème de Weierstrass)
> Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$. Alors $f$ est bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes. C'est-à-dire, il existe $c_1, c_2 \in [a, b]$ tels que :
> $ f(c_1) = \min_{x \in [a, b]} f(x) \quad \text{et} \quad f(c_2) = \max_{x \in [a, b]} f(x) $
> Cela garantit l'existence d'un minimum et d'un maximum globaux pour la fonction sur le segment, ce qui n'est pas toujours le cas sur un intervalle ouvert ou non borné.
# ➡️ C'est la fin
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- Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 3 - Fonctions Réelles|Cours 3 - Fonctions Réelles]]
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# 🗓️ Historique
- Dernière MAJ: `16-juillet-2026`
- Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]]
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