# Fonctions Réelles Classiques : Étude Approfondie > Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]] > [!tip] Tags #FonctionsRéelles #Exponentielle #Exp #LogarithmeNépérien #Ln #Réciproques #PropriétésAlgébriques #Équations #Inéquations #DomaineDeDéfinition #Variations #Monotonie #Limites #AsymptoteHorizontale #AsymptoteVerticale #Sin #Cos #Périodicité #Parité #Bornée #ValeursRemarquables #CercleTrigonométrique #IdentitéTrigonométrique #RacineCarrée #PointsRemarquables #ReprésentationGraphique > [!NOTE] Fil directeur > Comprendre leurs propriétés intrinsèques, leur comportement et leur représentation graphique est essentiel. Cela vous permettra non seulement de modéliser des phénomènes physiques, économiques ou biologiques, mais aussi de résoudre des problèmes complexes et d'interpréter des résultats. > [!example] Contenu de ce cours > Nous allons explorer les caractéristiques clés de la fonction exponentielle, du logarithme népérien, des fonctions trigonométriques sinus et cosinus, et de la fonction racine carrée. Pour chacune, nous détaillerons : > - Son domaine de définition et son ensemble image. > - Ses propriétés algébriques fondamentales. > - Ses variations (croissance/décroissance). > - Ses limites aux bornes de son domaine. > - Sa représentation graphique et ses points remarquables. > Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 3 - Fonctions Réelles.pdf]] # La Fonction Exponentielle La fonction exponentielle est sans doute l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences. Elle décrit des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle. > [!definition] Définition : Fonction Exponentielle > La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction unique $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qui satisfait les conditions suivantes : > 1. $f(0) = 1$ > 2. $f(x+y) = f(x)f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ (propriété fondamentale de l'exponentielle). > > Le nombre $e$ est une constante mathématique fondamentale, approximativement égale à $2.71828$. C'est la base du logarithme népérien. <iframe src="https://www.geogebra.org/classic/teswgnyc?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> ## Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\exp} = \mathbb{R}$ (elle est définie pour tout nombre réel). * **Ensemble image :** $\mathbb{R}^{+*}$ (l'ensemble des nombres réels strictement positifs). Cela signifie que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Variations :** La fonction exponentielle est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$. * **Limites :** * $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ * $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (l'axe des abscisses est une asymptote horizontale en $-\infty$). > [!theorem] Propriétés Algébriques de l'Exponentielle > Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$: > 1. $e^{a+b} = e^a e^b$ > 2. $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ > 3. $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ > 4. $(e^a)^n = e^{na}$ > 5. $e^0 = 1$ > 6. $e^1 = e$ > [!example] Résolution d'équations et inéquations > **Équation :** Résoudre $e^{2x+1} = e^5$. > Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante (donc injective), on a : > $2x+1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. > > **Inéquation :** Résoudre $e^{x^2} < e^{x+2}$. > Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on peut comparer les exposants : > $x^2 < x+2 \implies x^2 - x - 2 < 0$. > Les racines de $x^2 - x - 2 = 0$ sont $x=-1$ et $x=2$. > Le trinôme est négatif entre ses racines, donc la solution est $x \in ]-1, 2[$. ## B. Représentation Graphique Le graphique de $y = e^x$ passe par les points $(0,1)$ et $(1,e)$. Il est toujours au-dessus de l'axe des abscisses et monte de plus en plus vite vers $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$. > [!note] Graphe de $y=e^x$ > - Passe par $(0,1)$ > - Passe par $(1,e)$ > - Asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$ > - Strictement croissante > - Toujours positive ``` Graphique schématique de $y=e^x$: ^ y | e -+ . | . 1 -+ . | . +----------------------> x -2 -1 0 1 2 ``` # La Fonction Logarithme Népérien (ln) La fonction logarithme népérien est la "réciproque" de la fonction exponentielle. Elle est fondamentale pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant. > [!definition] Définition : Fonction Logarithme Népérien > La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est la **réciproque** de la fonction exponentielle. > Cela signifie que pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : > $ y = \ln(x) \iff x = e^y $ ## Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\ln} = \mathbb{R}^{+*} = ]0, +\infty[$ (elle est définie uniquement pour les nombres réels strictement positifs). * **Ensemble image :** $\mathbb{R}$ (elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle). * **Variations :** La fonction logarithme népérien est **strictement croissante** sur $]0, +\infty[$. * **Limites :** * $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ * $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (l'axe des ordonnées est une asymptote verticale en $0^+$). > [!theorem] Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien > Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n$: > 1. $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ > 2. $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ > 3. $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ > 4. $\ln(a^n) = n \ln(a)$ > 5. $\ln(1) = 0$ > 6. $\ln(e) = 1$ > 7. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$. > 8. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. > [!note] Logarithme de base $b$ > Le logarithme népérien est le logarithme de base $e$. Il existe aussi le logarithme décimal (base 10), noté $\log(x)$, et le logarithme de base $b$, noté $\log_b(x)$. La relation est $\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$. > [!example] Résolution d'équations et inéquations > **Équation :** Résoudre $\ln(x-1) = 2$. > D'abord, le domaine de définition : $x-1 > 0 \implies x > 1$. > On applique l'exponentielle des deux côtés : > $e^{\ln(x-1)} = e^2 \implies x-1 = e^2 \implies x = 1+e^2$. > Puisque $1+e^2 > 1$, la solution est valide. > > **Inéquation :** Résoudre $\ln(2x) \le \ln(x+3)$. > Domaine de définition : $2x > 0 \implies x > 0$ et $x+3 > 0 \implies x > -3$. Donc $x > 0$. > Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, on peut comparer les arguments : > $2x \le x+3 \implies x \le 3$. > En combinant avec le domaine de définition, la solution est $x \in ]0, 3]$. ## Représentation Graphique Le graphique de $y = \ln(x)$ passe par les points $(1,0)$ et $(e,1)$. Il est toujours à droite de l'axe des ordonnées et monte de plus en plus lentement vers $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$. > [!tip] Symétrie entre $\exp$ et $\ln$ > Les graphes de $y=e^x$ et $y=\ln(x)$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$. C'est une propriété générale des fonctions réciproques. ``` Graphique schématique de $y=\ln(x)$: ^ y | | 1 -+ . | . +--.--.--.--.--.--.---> x 0 1 e | . | . | v ``` # Les Fonctions Trigonométriques : Sinus et Cosinus Les fonctions sinus et cosinus sont essentielles pour décrire les phénomènes périodiques, les oscillations, les ondes, et sont omniprésentes en physique et en ingénierie. ## Rappels de Trigonométrie > [!note] Le Cercle Trigonométrique > Pour un angle $\theta$ (en radians) mesuré depuis l'axe des abscisses positives dans le sens anti-horaire, sur le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 centré à l'origine) : > * Le **cosinus** de $\theta$, $\cos(\theta)$, est l'abscisse du point correspondant sur le cercle. > * Le **sinus** de $\theta$, $\sin(\theta)$, est l'ordonnée du point correspondant sur le cercle. ## La Fonction Sinus > [!definition] Définition : Fonction Sinus > La fonction sinus, notée $\sin(x)$, associe à chaque réel $x$ (représentant un angle en radians) l'ordonnée du point sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle. ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\sin} = \mathbb{R}$. * **Ensemble image :** $[-1, 1]$. La valeur de $\sin(x)$ est toujours comprise entre $-1$ et $1$. * **Périodicité :** La fonction sinus est **périodique de période $2\pi$**. Cela signifie que $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Parité :** La fonction sinus est **impaire**. Cela signifie que $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Son graphe est symétrique par rapport à l'origine. * **Variations (sur une période $[0, 2\pi]$) :** * Croissante sur $[0, \pi/2]$ * Décroissante sur $[\pi/2, 3\pi/2]$ * Croissante sur $[3\pi/2, 2\pi]$ > [!note] Valeurs Remarquables (à connaître !) > | $x$ (rad) | $0$ | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | > | :-------: | :-: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :---: | :------: | :----: | > | $\sin(x)$ | $0$ | $1/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{3}/2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | ### Représentation Graphique Le graphe de $y = \sin(x)$ est une onde sinusoïdale, passant par l'origine $(0,0)$. ``` Graphique schématique de $y=\sin(x)$: ^ y 1 -+ . . | . . . . 0 +-.---.--.--.--.--.--.--.--.---> x | . . . -1 -+ . . | 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi ``` ## La Fonction Cosinus > [!definition] Définition : Fonction Cosinus > La fonction cosinus, notée $\cos(x)$, associe à chaque réel $x$ (représentant un angle en radians) l'abscisse du point sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle. ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\cos} = \mathbb{R}$. * **Ensemble image :** $[-1, 1]$. La valeur de $\cos(x)$ est toujours comprise entre $-1$ et $1$. * **Périodicité :** La fonction cosinus est **périodique de période $2\pi$**. Cela signifie que $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Parité :** La fonction cosinus est **paire**. Cela signifie que $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. * **Variations (sur une période $[0, 2\pi]$) :** * Décroissante sur $[0, \pi]$ * Croissante sur $[\pi, 2\pi]$ > [!note] Valeurs Remarquables (à connaître !) > | $x$ (rad) | $0$ | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | > | :-------: | :-: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :---: | :------: | :----: | > | $\cos(x)$ | $1$ | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1/2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | > [!theorem] Relation Fondamentale de la Trigonométrie > Pour tout réel $x$: > $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $ > [!tip] Lien entre Sinus et Cosinus > Les fonctions sinus et cosinus sont décalées d'une phase de $\pi/2$ : > $ \cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) $ > $ \sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2}) $ ### Représentation Graphique Le graphe de $y = \cos(x)$ est une onde cosinusoïdale, passant par $(0,1)$. ``` Graphique schématique de $y=\cos(x)$: ^ y 1 -+ . . | . . 0 +---.--.--.--.--.--.--.--.---> x | . . . -1 -+ . | 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi ``` # La Fonction Racine Carrée La fonction racine carrée est l'une des premières fonctions non linéaires rencontrées en mathématiques, essentielle pour la géométrie et la résolution d'équations quadratiques. > [!definition] Définition : Fonction Racine Carrée > La fonction racine carrée, notée $\sqrt{x}$, est définie pour tout réel $x \ge 0$. Elle associe à $x$ le nombre réel positif $y$ tel que $y^2 = x$. > $ y = \sqrt{x} \iff y^2 = x \quad \text{et} \quad y \ge 0 $ ## Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\sqrt{}} = [0, +\infty[$ (elle est définie uniquement pour les nombres réels positifs ou nuls). * **Ensemble image :** $[0, +\infty[$ (les valeurs de $\sqrt{x}$ sont toujours positives ou nulles). * **Variations :** La fonction racine carrée est **strictement croissante** sur $[0, +\infty[$. * **Limites :** * $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ * $\sqrt{0} = 0$ > [!warning] Attention au Domaine de Définition ! > La condition $x \ge 0$ est cruciale. Une expression comme $\sqrt{x-3}$ n'est définie que si $x-3 \ge 0$, c'est-à-dire $x \ge 3$. > [!theorem] Propriétés Algébriques de la Racine Carrée > Pour tous réels $a \ge 0$ et $b \ge 0$: > 1. $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ > 2. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $b > 0$) > 3. $\sqrt{a^2} = |a|$ (attention, ce n'est pas toujours $a$ ! Si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$). Pour $a \ge 0$, on a $\sqrt{a^2} = a$. > [!example] Simplification et résolution > **Simplification :** Simplifier $\sqrt{12}$. > $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. > > **Équation :** Résoudre $\sqrt{x+1} = 3$. > Domaine de définition : $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. > On élève au carré les deux côtés (opération non équivalente, il faudra vérifier la solution) : > $(\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \implies x+1 = 9 \implies x = 8$. > Vérification : $\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$. La solution $x=8$ est valide. ## Représentation Graphique Le graphique de $y = \sqrt{x}$ commence à l'origine $(0,0)$ et s'élève de plus en plus lentement. C'est la moitié supérieure d'une parabole "couchée" $x=y^2$. ``` Graphique schématique de $y=\sqrt{x}$: ^ y | 2 -+ . | . 1 -+ . | . 0 +-.---.--.--.--.--.--.--.---> x 0 1 2 3 4 ``` # Synthèse et Comparaison des Fonctions Classiques Pour récapituler et mieux visualiser les différences et similitudes entre ces fonctions fondamentales, voici un tableau comparatif : | Caractéristique | $f(x) = e^x$ | $f(x) = \ln(x)$ | $f(x) = \sin(x)$ | $f(x) = \cos(x)$ | $f(x) = \sqrt{x}$ | | :------------------- | :----------------------- | :----------------------- | :----------------------- | :----------------------- | :----------------------- | | **Domaine $D_f$** | $\mathbb{R}$ | $]0, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $[0, +\infty[$ | | **Image $I_f$** | $]0, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $[0, +\infty[$ | | **Parité** | Ni paire, ni impaire | Ni paire, ni impaire | Impaire | Paire | Ni paire, ni impaire | | **Périodicité** | Non | Non | $2\pi$ | $2\pi$ | Non | | **Variations** | Strictement croissante | Strictement croissante | Périodique (voir §IV.B) | Périodique (voir §IV.C) | Strictement croissante | | **Limites Clés** | $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ <br> $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ | $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ <br> $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ | Bornée entre -1 et 1 | Bornée entre -1 et 1 | $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ | | **Points Clés Graph.** | $(0,1)$, $(1,e)$ | $(1,0)$, $(e,1)$ | $(0,0)$, $(\pi/2,1)$, $(\pi,0)$, $(3\pi/2,-1)$ | $(0,1)$, $(\pi/2,0)$, $(\pi,-1)$, $(3\pi/2,0)$ | $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$ | | **Asymptotes** | $y=0$ en $-\infty$ | $x=0$ en $0^+$ | Non | Non | Non | > [!note] Importance en Ingénierie > * **Exponentielle/Logarithme :** Modélisation de la croissance démographique, désintégration radioactive, charge/décharge de condensateurs, échelles logarithmiques (sonore, Richter). > * **Sinus/Cosinus :** Description des ondes (sonores, électromagnétiques), oscillations mécaniques, courants alternatifs, analyse de Fourier. > * **Racine Carrée :** Calcul de distances, normes de vecteurs, résolution de problèmes géométriques et physiques (temps de chute, vitesse). # ➡️ C'est la fin Félicitations ! Vous avez maintenant une compréhension approfondie des fonctions réelles classiques. Vous avez exploré leurs définitions rigoureuses, leurs propriétés fondamentales, leurs comportements aux limites et leurs représentations graphiques. Ces fonctions sont les briques élémentaires de l'analyse mathématique et constituent des outils indispensables pour tout futur ingénieur. Maîtriser ces concepts est une étape cruciale. N'hésitez pas à revoir les propriétés, à tracer les graphes et à résoudre de nombreux exercices pour solidifier vos acquis. La pratique est la clé de la compréhension. Dans les chapitres suivants, nous exploiterons ces connaissances pour introduire des outils d'analyse encore plus puissants, comme les **dérivées**, qui nous permettront d'étudier avec une précision inégalée les variations, les extrema et les comportements locaux de ces fonctions et de bien d'autres. --- - Cours précèdent: [[Cours 2 - Fonctions Réelles]] - Prochain cours: [[Exercices - Fonctions Réelles]] - Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `28-Août-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]