%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Accueil · Fonctions Réelles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles\|← Cours 2 - Fonctions Réelles]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Exercices - Fonctions Réelles\|Exercices - Fonctions Réelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Fonctions Réelles Classiques > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Fonctions Réelles]] > [!tip] Tags #FonctionsRéelles #Exponentielle #Exp #LogarithmeNépérien #Ln #Réciproques #PropriétésAlgébriques #Équations #Inéquations #DomaineDeDéfinition #Variations #Monotonie #Limites #AsymptoteHorizontale #AsymptoteVerticale #Sin #Cos #Périodicité #Parité #Bornée #ValeursRemarquables #CercleTrigonométrique #IdentitéTrigonométrique #RacineCarrée #PointsRemarquables #ReprésentationGraphique > [!example] Contenu de ce cours > Nous allons explorer les caractéristiques clés des fonctions usuelles. Pour chacune, nous détaillerons : > - Son domaine de définition et son ensemble image. > - Ses propriétés algébriques fondamentales. > - Ses variations (croissance/décroissance). > - Ses limites aux bornes de son domaine. > - Sa représentation graphique et ses points remarquables. ## Fonctions Affines et Linéaires > [!definition] Fonctions Affines > Une **fonction affine** est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. > * $a$ est la **pente** (ou coefficient directeur). > * $b$ est l'**ordonnée à l'origine**. > > Son **domaine de définition** est $D_f = \mathbb{R}$. > Son graphe est une droite. > [!definition] Fonctions Linéaires > Une **fonction linéaire** est un cas particulier de fonction affine où $b=0$, c'est-à-dire $f(x) = ax$. > Son graphe est une droite passant par l'origine $(0,0)$. > [!note] Propriétés > * Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante. > * Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante. > * Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$). ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction affine.png]] >[!theorem] Limites >- Si $a>0$, > $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $ >- Si $a>0$, $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $ >[!Example] Exemple : >$\lim_{x \to +\infty}-2x+3=-\infty$ ## Fonctions Polynomiales > [!definition] Fonctions Polynomiales > Une **fonction polynomiale** est une fonction de la forme : > $ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $ > où $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des constantes réelles (coefficients) et $n$ est un entier naturel (degré du polynôme). > > Son domaine de définition est $D_P = \mathbb{R}$. > [!example] Cas particuliers > * **Degré 0 :** $P(x) = a_0$ (fonction constante). > * **Degré 1 :** $P(x) = a_1 x + a_0$ (fonction affine). > * **Degré 2 :** $P(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ (fonction quadratique ou trinôme du second degré). Son graphe est une parabole. > * Si $a_2 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut. > * Si $a_2 < 0$, la parabole est ouverte vers le bas. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction quadratique.png||400]] Les **limites** des fonctions polynomiales sont données par le tableau suivant : | Degré du polynôme | Signe du coefficient dominant | $\lim\limits_{x \to -\infty} P(x)$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)$ | | :---------------: | :---------------------------: | :--------------------------------: | :--------------------------------: | | Pair | $a_n > 0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | | | $a_n < 0$ | $-\infty$ | $-\infty$ | | Impair | $a_n > 0$ | $-\infty$ | $+\infty$ | | | $a_n < 0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | >[!Example] Exemple >$\lim_{x \to +\infty} 3x^3+2x^2+x+1=+\infty$ ## Fonctions Rationnelles > [!definition] Fonctions Rationnelles > Une **fonction rationnelle** est une fonction qui peut s'écrire comme le quotient de deux fonctions polynomiales : > $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $ > où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes. > > Son domaine de définition est $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$. > [!example] Exemple classique : > La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est une fonction rationnelle. > Son domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. > Son graphe est une hyperbole. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction 1 sur x.png||500]] >[!Theorem] Limites >Soit $f(x)=\frac{P(X)}{Q(X)}$ avec $n=\deg(P)$ et $m=\deg(Q)$. Pour les limites à l'infini, on peut remplacer $f(x)$ par $ f(x)\sim \frac{a_nx^n}{b_mx^m} = \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}.$ On retombe alors sur l'étude des limites d'une fonction polynomiale. >[!Example] Exemple >$\lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x+1}{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2}{x}=\lim_{x \to +\infty}2x=+\infty$ ## Fonctions Puissance > [!definition] Fonctions Puissance > Une **fonction puissance** est une fonction de la forme $f(x) = x^\alpha$, où $\alpha$ est un nombre réel. > > Le domaine de définition dépend de $\alpha$ : > * Si $\alpha$ est un entier positif, $f(x) = x^n$, alors $D_f = \mathbb{R}$. > * Si $\alpha$ est un entier négatif, $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, alors $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. > * Si $\alpha$ est un nombre rationnel, $f(x) = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$. > - Si $q$ est pair, $D_f=\mathbb{R}^+=[0;+\infty[$. > - Si $q$ est impair, $D_f = \mathbb{R}$. > * Si $\alpha$ est un nombre réel non rationnel (ex: $x^{\sqrt{2}}$), la fonction est généralement définie pour $x > 0$. > [!example] Cas particuliers > * $f(x) = x^2$ (parabole). > * $f(x) = x^3$ (cubique). > * $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ (hyperbole). > * $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ (voir section suivante). ## La Fonction Racine Carrée > [!definition] Définition : Fonction Racine Carrée > La fonction racine carrée, notée $\sqrt{x}$, est définie pour tout réel $x \ge 0$. Elle associe à $x$ le nombre réel positif $y$ tel que $y^2 = x$. > $ y = \sqrt{x} \iff y^2 = x \quad \text{et} \quad y \ge 0 $ ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\sqrt{}} = [0, +\infty[$. * **Ensemble image :** $[0, +\infty[$ (les valeurs de $\sqrt{x}$ sont toujours positives ou nulles). * **Variations :** La fonction racine carrée est **strictement croissante** sur $[0, +\infty[$. * **Limites :** * $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ * $\sqrt{0} = 0$ > [!warning] Attention au Domaine de Définition ! > La condition $x \ge 0$ est cruciale. Une expression comme $\sqrt{x-3}$ n'est définie que si $x-3 \ge 0$, c'est-à-dire $x \ge 3$. > [!theorem] Propriétés Algébriques de la Racine Carrée > Pour tous réels $a \ge 0$ et $b \ge 0$: > 1. $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ > 2. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $b > 0$) > 3. $\sqrt{a^2} = |a|$ (attention, ce n'est pas toujours $a$ ! Si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$). Pour $a \ge 0$, on a $\sqrt{a^2} = a$. > [!example] Simplification et résolution > **Simplification :** Simplifier $\sqrt{12}$. > $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. > > **Équation :** Résoudre $\sqrt{x+1} = 3$. > Domaine de définition : $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. > On élève au carré les deux côtés (opération non équivalente, il faudra vérifier la solution) : > $(\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \implies x+1 = 9 \implies x = 8$. > Vérification : $\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$. La solution $x=8$ est valide. ### Représentation Graphique Le graphique de $y = \sqrt{x}$ commence à l'origine $(0,0)$ et s'élève de plus en plus lentement. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/racine carrée.png||519]] ## La Fonction Exponentielle > [!definition] Définition : Fonction Exponentielle > La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction unique $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qui satisfait les conditions suivantes : > 1. $f(0) = 1$ > 2. $f(x+y) = f(x)f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ (propriété fondamentale de l'exponentielle). > > Le nombre $e$ est une constante mathématique fondamentale, approximativement égale à $2.71828$. ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\exp} = \mathbb{R}$ (elle est définie pour tout nombre réel). * **Ensemble image :** $\mathbb{R}^{+*}$ (l'ensemble des nombres réels strictement positifs). Cela signifie que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Variations :** La fonction exponentielle est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$. * **Limites :** * $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ * $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (l'axe des abscisses est une asymptote horizontale en $-\infty$). > [!theorem] Propriétés Algébriques de l'Exponentielle > Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$: > 1. $e^{a+b} = e^a e^b$ > 2. $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ > 3. $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ > 4. $(e^a)^n = e^{na}$ > 5. $e^0 = 1$ > 6. $e^1 = e$ > [!example] Résolution d'équations et inéquations > **Équation :** Résoudre $e^{2x+1} = e^5$. > Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante (donc injective), on a : > $2x+1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. > > **Inéquation :** Résoudre $e^{x^2} < e^{x+2}$. > Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on peut comparer les exposants : > $x^2 < x+2 \implies x^2 - x - 2 < 0$. > Les racines de $x^2 - x - 2 = 0$ sont $x=-1$ et $x=2$. > Le trinôme est négatif entre ses racines, donc l'ensemble des solutions est $S= ]-1, 2[$. ### Représentation Graphique Le graphique de $y = e^x$ passe par les points $(0,1)$ et $(1,e)$. Il est toujours au-dessus de l'axe des abscisses et monte de plus en plus vite vers $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/exponentielle.png|584]] ## La Fonction Logarithme Népérien (ln) La fonction logarithme népérien est la "réciproque" de la fonction exponentielle. > [!definition] Définition : Fonction Logarithme Népérien > La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est la **réciproque** de la fonction exponentielle. > Cela signifie que pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : > $ y = \ln(x) \iff x = e^y $ ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\ln} = \mathbb{R}^{+*} = ]0, +\infty[$. * **Ensemble image :** $\mathbb{R}$ (elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle). * **Variations :** La fonction logarithme népérien est **strictement croissante** sur $]0, +\infty[$. * **Limites :** * $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ * $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (l'axe des ordonnées est une asymptote verticale en $0^+$). > [!theorem] Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien > Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n$: > 1. $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ > 2. $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ > 3. $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ > 4. $\ln(a^n) = n \ln(a)$ > 5. $\ln(1) = 0$ > 6. $\ln(e) = 1$ > 7. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$. > 8. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. > [!note] Logarithme de base $b$ > Le logarithme népérien est le logarithme de base $e$. Il existe aussi le logarithme décimal (base 10), noté $\log(x)$, et le logarithme de base $b$, noté $\log_b(x)$. La relation est $\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$. > [!example] Résolution d'équations et inéquations > **Équation :** Résoudre $\ln(x-1) = 2$. > D'abord, le domaine de définition : $x-1 > 0 \implies x > 1$. Donc, $D_f=]1;+\infty[$. > On applique l'exponentielle des deux côtés : > $e^{\ln(x-1)} = e^2 \implies x-1 = e^2 \implies x = 1+e^2$. > Puisque $1+e^2 > 1$, la solution est valide. > > **Inéquation :** Résoudre $\ln(2x) \le \ln(x+3)$. > Domaine de définition : $2x > 0 \implies x > 0$ et $x+3 > 0 \implies x > -3$. Donc $D_f=]0;+\infty[$. > Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, on peut comparer les arguments : > $2x \le x+3 \implies x \le 3$. > En combinant avec le domaine de définition, l'ensemble des solutions est $S=]0, 3]$. ### Représentation Graphique Le graphique de $y = \ln(x)$ passe par les points $(1,0)$ et $(e,1)$. Il est toujours à droite de l'axe des ordonnées et monte de plus en plus lentement vers $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction ln.png|618]] > [!tip] Symétrie entre $\exp$ et $\ln$ > Les graphes de $y=e^x$ et $y=\ln(x)$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$. C'est une propriété générale des fonctions réciproques. > [!note] Croissances Comparées > Pour $\alpha > 0, \beta > 0$: > $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0 $ > $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{e^{\beta x}} = 0 $ > En résumé, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. > $ \ln(x) \ll x^\alpha \ll e^{\beta x} \quad \text{quand } x \to +\infty $ ## La fonction Sinus > [!definition] Définition : Fonction Sinus > La fonction sinus, notée $\sin(x)$, associe à chaque réel $x$ (représentant un angle en radians) l'ordonnée du point sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle. ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\sin} = \mathbb{R}$. * **Ensemble image :** $[-1, 1]$. La valeur de $\sin(x)$ est toujours comprise entre $-1$ et $1$. * **Périodicité :** La fonction sinus est **périodique de période $2\pi$**. Cela signifie que $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Parité :** La fonction sinus est **impaire**. Cela signifie que $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Son graphe est symétrique par rapport à l'origine. * **Variations (sur une période $[0, 2\pi]$) :** * Croissante sur $[0, \pi/2]$ * Décroissante sur $[\pi/2, 3\pi/2]$ * Croissante sur $[3\pi/2, 2\pi]$ > [!note] Valeurs Remarquables > | $x$ (rad) | $0$ | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | > | :-------: | :-: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :---: | :------: | :----: | > | $\sin(x)$ | $0$ | $1/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{3}/2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | >[!theorem] Limites >- Lorsque $x$ tend vers l'infini, les valeurs de $\sin(x)$ continuent à osciller entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une nombre unique. Donc, les limites de $\sin(x)$ en $\pm\infty$ n'existe pas. > >- Lorsque $x$ tend vers $0$, >$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ ### Représentation Graphique Le graphe de $y = \sin(x)$ est une onde sinusoïdale, passant par l'origine $(0,0)$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction sinus.png|697]] ## La Fonction Cosinus > [!definition] Définition : Fonction Cosinus > La fonction cosinus, notée $\cos(x)$, associe à chaque réel $x$ (représentant un angle en radians) l'abscisse du point sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle. #### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_{\cos} = \mathbb{R}$. * **Ensemble image :** $[-1, 1]$. La valeur de $\cos(x)$ est toujours comprise entre $-1$ et $1$. * **Périodicité :** La fonction cosinus est **périodique de période $2\pi$**. Cela signifie que $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Parité :** La fonction cosinus est **paire**. Cela signifie que $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. * **Variations (sur une période $[0, 2\pi]$) :** * Décroissante sur $[0, \pi]$ * Croissante sur $[\pi, 2\pi]$ > [!note] Valeurs Remarquables (à connaître !) > | $x$ (rad) | $0$ | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | > | :-------: | :-: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :---: | :------: | :----: | > | $\cos(x)$ | $1$ | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1/2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | >[!theorem] Limites >- Lorsque $x$ tend vers l'infini, les valeurs de $\cos(x)$ continuent à osciller entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une nombre unique. Donc, les limites de $\cos(x)$ en $\pm\infty$ n'existe pas. > >- Lorsque $x$ tend vers $0$, >$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ #### Représentation Graphique Le graphe de $y = \cos(x)$ est une onde cosinusoïdale, passant par $(0,1)$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction cosinus.png|697]] > [!theorem] Relation Fondamentale de la Trigonométrie > Pour tout réel $x$: > $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $ ## La fonction Tangente > [!definition] Fonction Tangente > La **fonction tangente** est définie par $f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ### Caractéristiques Principales * **Domaine de définition :** $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid \cos(x) \neq 0\}$. $ D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $ * **Ensemble image :** $\mathbb{R}$. * **Périodicité :** La fonction tangente est **périodique de période $\pi$**. Cela signifie que $\tan(x+\pi) = \tan(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * **Parité :** La fonction tangente est **impaire**. Cela signifie que $\tan(-x) = -\tan(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Son graphe est symétrique par rapport à l'origine. * **Variations :** La fonction tangente est croissante sur une période $[-\pi/2, \pi/2]$. >[!theorem] Limites >- Limite **à gauche et à droite de $\pi/2$** : >$\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}\tan(x)=+\infty\quad \text{et} \quad \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^+}\tan(x)=-\infty$ >Par périodicité, le même comportement se reproduit en tout point $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. >D'où l'existence d'une asymptote verticale $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$. >- Lorsque $x$ tend vers $0$, >$\lim_{x \to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1$ ### Représentation graphique ![[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Ressources Fonctions Réelles/fonction tangente.png|654]] # Synthèse et Comparaison des Fonctions Classiques Pour récapituler et mieux visualiser les différences et similitudes entre ces fonctions fondamentales, voici un tableau comparatif : | Caractéristique | $f(x) = e^x$ | $f(x) = \ln(x)$ | $f(x) = \sin(x)$ | $f(x) = \cos(x)$ | $f(x) = \sqrt{x}$ | | :--------------------- | :----------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------- | :--------------------------------------------- | :---------------------------------------- | | **Domaine $D_f$** | $\mathbb{R}$ | $]0, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $[0, +\infty[$ | | **Image $I_f$** | $]0, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $[0, +\infty[$ | | **Parité** | Ni paire, ni impaire | Ni paire, ni impaire | Impaire | Paire | Ni paire, ni impaire | | **Périodicité** | Non | Non | $2\pi$ | $2\pi$ | Non | | **Variations** | Strictement croissante | Strictement croissante | Périodique | Périodique | Strictement croissante | | **Limites Clés** | $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ <br> $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ | $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ <br> $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ | Bornée entre -1 et 1 | Bornée entre -1 et 1 | $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ | | **Points Clés Graph.** | $(0,1)$, $(1,e)$ | $(1,0)$, $(e,1)$ | $(0,0)$, $(\pi/2,1)$, $(\pi,0)$, $(3\pi/2,-1)$ | $(0,1)$, $(\pi/2,0)$, $(\pi,-1)$, $(3\pi/2,0)$ | $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$ | | **Asymptotes** | $y=0$ en $-\infty$ | $x=0$ en $0^+$ | Non | Non | Non | | | | | | | | # ➡️ C'est la fin Félicitations ! Vous avez maintenant une compréhension approfondie des fonctions réelles classiques. Vous avez exploré leurs définitions rigoureuses, leurs propriétés fondamentales, leurs comportements aux limites et leurs représentations graphiques. Ces fonctions sont les briques élémentaires de l'analyse mathématique et constituent des outils indispensables pour tout futur ingénieur. --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles|Cours 2 - Fonctions Réelles]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Exercices - Fonctions Réelles|Exercices - Fonctions Réelles]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Fonctions Réelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `15-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Fonctions Réelles|Accueil · Fonctions Réelles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Cours 2 - Fonctions Réelles\|← Cours 2 - Fonctions Réelles]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Fonctions Réelles/Exercices - Fonctions Réelles\|Exercices - Fonctions Réelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%