# Fonctions Réelles : Exercices > Page d'accueil de la compétence: [[Fonctions Réelles]] > [!note] Consignes > Essayez de résoudre chaque exercice sans regarder le corrigé. Une fois que vous avez terminé (ou que vous êtes bloqué), comparez votre solution avec celle fournie. L'objectif est de comprendre le raisonnement, pas seulement d'obtenir la bonne réponse. > > Ce document est structuré pour vous accompagner dans l'approfondissement des notions de **limites, continuité et des propriétés des fonctions réelles classiques**. Nous avons supposé que vous maîtrisez déjà les **nombres réels, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que les bases de la trigonométrie**. Ces prérequis seront fréquemment sollicités. Par ailleurs, ces exercices vous prépareront idéalement à l'étude des **dérivées**, qui constitue la prochaine étape logique dans l'analyse des fonctions. > [!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Fonctions Réelles]] > - [[Cours 2 - Fonctions Réelles]] > - [[Cours 3 - Fonctions Réelles]] # 📚 Exercices : Fonctions Réelles ## Exercice 1 : Fondamentaux des Fonctions Déterminez l'ensemble de définition, étudiez la parité et la périodicité (si applicable) des fonctions suivantes : 1. $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ 2. $g(x) = \sin(3x) + \cos(x)$ 3. $h(x) = \ln(x^2+4)$ ## Exercice 2 : Calcul de Limites Calculez les limites suivantes : 1. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ 2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-2x+1}{2x^3+5}$ 3. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}$ 4. $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - x)$ ## Exercice 3 : Continuité et Prolongement 1. Soit la fonction $f$ définie par : $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-8}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\ k & \text{si } x = 2 \end{cases} $ Déterminez la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x=2$. 2. Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ pour $x \neq 0$. Peut-on prolonger $g$ par continuité en $x=0$ ? Si oui, définissez ce prolongement. ## Exercice 4 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Montrez que l'équation $e^x = \frac{1}{x}$ admet une unique solution dans l'intervalle $\mathbb{R}^{+*}$. ## Exercice 5 : Étude de Fonction (sans dérivée) Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$. 1. Déterminez l'ensemble de définition de $f$. 2. Calculez les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 3. Déduisez-en l'existence d'asymptotes (verticales et horizontales). 4. Déterminez les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ avec les axes du repère. 5. Étudiez le signe de $f(x)$. 6. Esquissez l'allure de la courbe de $f$ en vous basant sur les informations précédentes. # 📝 Corrigés Détaillés ## Correction Exercice 1 : Fondamentaux des Fonctions ### 1. $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ > [!definition] Ensemble de définition > L'ensemble de définition d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie. > Pour les fonctions rationnelles, le dénominateur ne doit pas être nul. > Pour les fonctions avec racines carrées, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. **Ensemble de définition $D_f$ :** Pour que $f(x)$ soit définie, deux conditions doivent être remplies : 1. L'expression sous la racine carrée doit être strictement positive (car la racine est au dénominateur) : $x^2-1 > 0$. 2. On résout l'inéquation $x^2-1 > 0 \iff (x-1)(x+1) > 0$. Un tableau de signes montre que cette inéquation est vérifiée pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. Donc, $D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. **Parité :** > [!definition] Parité d'une fonction > Une fonction $f$ est **paire** si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. > Une fonction $f$ est **impaire** si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. > Si $D_f$ n'est pas symétrique par rapport à l'origine, la fonction n'est ni paire ni impaire. 1. **Vérifions la symétrie du domaine :** Si $x \in D_f$, alors $x < -1$ ou $x > 1$. Si $x < -1$, alors $-x > 1$, donc $-x \in D_f$. Si $x > 1$, alors $-x < -1$, donc $-x \in D_f$. Le domaine $D_f$ est symétrique par rapport à l'origine. 2. **Calculons $f(-x)$ :** $ f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2-1}} = \frac{-x}{\sqrt{x^2-1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = -f(x) $ Puisque $f(-x) = -f(x)$, la fonction $f$ est **impaire**. **Périodicité :** La fonction $f$ n'est pas une fonction trigonométrique et ne présente pas de schéma répétitif évident. Elle n'est **pas périodique**. ### 2. $g(x) = \sin(3x) + \cos(x)$ **Ensemble de définition $D_g$ :** Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont définies sur tout $\mathbb{R}$. Par conséquent, $D_g = \mathbb{R}$. **Parité :** 1. **Vérifions la symétrie du domaine :** $D_g = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à l'origine. 2. **Calculons $g(-x)$ :** $ g(-x) = \sin(3(-x)) + \cos(-x) = \sin(-3x) + \cos(x) $ > [!note] Rappel Trigonométrique > La fonction $\sin$ est impaire : $\sin(-u) = -\sin(u)$. > La fonction $\cos$ est paire : $\cos(-u) = \cos(u)$. > $ g(-x) = -\sin(3x) + \cos(x) $ > Comparons $g(-x)$ avec $g(x)$ et $-g(x)$ : > $g(-x) \neq g(x)$ (à cause du $-\sin(3x)$). > $g(-x) \neq -g(x) = -(\sin(3x) + \cos(x)) = -\sin(3x) - \cos(x)$ (à cause du $+\cos(x)$). > La fonction $g$ n'est **ni paire ni impaire**. **Périodicité :** > [!definition] Périodicité d'une fonction > Une fonction $f$ est **périodique** s'il existe un réel $T > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$, $x+T \in D_f$ et $f(x+T) = f(x)$. $T$ est appelé période. La plus petite période positive est appelée période fondamentale. 1. La fonction $\sin(3x)$ a pour période $T_1 = \frac{2\pi}{3}$. 2. La fonction $\cos(x)$ a pour période $T_2 = 2\pi$. La fonction $g(x)$ est périodique de période le plus petit commun multiple (PPCM) de $T_1$ et $T_2$. $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ et $T_2 = 2\pi = 3 \times \frac{2\pi}{3}$. Le PPCM de $\frac{2\pi}{3}$ et $2\pi$ est $2\pi$. Vérifions : $g(x+2\pi) = \sin(3(x+2\pi)) + \cos(x+2\pi) = \sin(3x+6\pi) + \cos(x+2\pi) = \sin(3x) + \cos(x) = g(x)$. La fonction $g$ est **périodique de période $2\pi$**. ### 3. $h(x) = \ln(x^2+4)$ **Ensemble de définition $D_h$ :** > [!note] Fonction logarithme > La fonction $\ln(u)$ est définie si et seulement si $u > 0$. Pour que $h(x)$ soit définie, il faut que $x^2+4 > 0$. Puisque $x^2 \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $x^2+4 \ge 4$. Donc $x^2+4$ est toujours strictement positif. L'ensemble de définition est $D_h = \mathbb{R}$. **Parité :** 1. **Vérifions la symétrie du domaine :** $D_h = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à l'origine. 2. **Calculons $h(-x)$ :** $ h(-x) = \ln((-x)^2+4) = \ln(x^2+4) = h(x) $ Puisque $h(-x) = h(x)$, la fonction $h$ est **paire**. **Périodicité :** La fonction $h$ n'est **pas périodique**. La fonction $\ln(u)$ n'est pas périodique et $x^2+4$ n'introduit pas de périodicité. ## Correction Exercice 2 : Calcul de Limites ### 1. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ > [!warning] Forme Indéterminée > Lorsque la substitution directe de la valeur limite conduit à une expression comme $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$, on parle de forme indéterminée (FI). Il faut alors manipuler l'expression. Si on substitue $x=3$, on obtient $\frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}$, ce qui est une forme indéterminée. Nous pouvons factoriser le numérateur en utilisant l'identité $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. $ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} $ Pour $x \neq 3$, on peut simplifier par $(x-3)$ : $ \lim_{x \to 3} (x+3) $ Maintenant, on peut substituer $x=3$ : $ 3+3 = 6 $ Donc, $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6$. ### 2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-2x+1}{2x^3+5}$ Si on substitue $x \to +\infty$, on obtient $\frac{+\infty}{+\infty}$, ce qui est une forme indéterminée. > [!theorem] Limite d'une fonction rationnelle à l'infini > La limite d'une fonction rationnelle (rapport de deux polynômes) lorsque $x \to \pm\infty$ est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. On identifie les termes de plus haut degré au numérateur ($x^3$) et au dénominateur ($2x^3$). $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-2x+1}{2x^3+5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2x^3} $ On peut simplifier par $x^3$ (pour $x \neq 0$) : $ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $ Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-2x+1}{2x^3+5} = \frac{1}{2}$. ### 3. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}$ Si on substitue $x=0$, on obtient $\frac{\tan(0)}{0} = \frac{0}{0}$, ce qui est une forme indéterminée. > [!theorem] Limites trigonométriques usuelles > Des limites à connaître par cœur : > $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ > $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ On peut réécrire $\tan(x)$ comme $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ : $ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x \cos(x)} $ Nous pouvons séparer cette limite en un produit de limites connues : $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \times \frac{1}{\cos(x)} \right) $ Calculons chaque partie : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ (limite usuelle). $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$. Par le produit des limites : $ 1 \times 1 = 1 $ Donc, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$. ### 4. $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - x)$ Si on substitue $x \to +\infty$, on obtient $\sqrt{+\infty} - (+\infty) = +\infty - \infty$, ce qui est une forme indéterminée. Pour les formes indéterminées de type $\infty - \infty$ impliquant des racines carrées, on utilise souvent la technique de la **multiplication par la quantité conjuguée**. $ \sqrt{A} - B = \frac{(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)}{\sqrt{A}+B} = \frac{A-B^2}{\sqrt{A}+B} $ Ici, $A = x^2+3x$ et $B = x$. $ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x} - x)(\sqrt{x^2+3x} + x)}{\sqrt{x^2+3x} + x} $ $ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x} $ Maintenant, on a une forme $\frac{\infty}{\infty}$. On va factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Au numérateur : $3x$. Au dénominateur : Dans $\sqrt{x^2+3x}$, on peut factoriser $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2(1+\frac{3}{x})} = \sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{3}{x}}$. Pour $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $\sqrt{x^2} = x$. $ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1\right)} $ On peut simplifier par $x$ (pour $x \neq 0$) : $ \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1} $ Lorsque $x \to +\infty$, $\frac{3}{x} \to 0$. Donc, $\sqrt{1+\frac{3}{x}} \to \sqrt{1+0} = 1$. $ \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2} $ Donc, $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - x) = \frac{3}{2}$. ## Correction Exercice 3 : Continuité et Prolongement ### 1. Continuité d'une fonction définie par morceaux > [!definition] Continuité en un point > Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si les trois conditions suivantes sont remplies : > 1. $f(a)$ est défini. > 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe. > 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Pour que $f$ soit continue en $x=2$, il faut que $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. D'après la définition de $f$, $f(2) = k$. Nous devons calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to 2$ pour $x \neq 2$ : $ \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2} $ Si on substitue $x=2$, on obtient $\frac{2^3-8}{2-2} = \frac{0}{0}$, une forme indéterminée. Nous pouvons factoriser le numérateur en utilisant l'identité $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Ici, $a=x$ et $b=2$, donc $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. $ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} $ Pour $x \neq 2$, on peut simplifier par $(x-2)$ : $ \lim_{x \to 2} (x^2+2x+4) $ Maintenant, on peut substituer $x=2$ : $ 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 $ Pour que $f$ soit continue en $x=2$, il faut que $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$. Donc, $k = 12$. ### 2. Prolongement par continuité > [!definition] Prolongement par continuité > Si une fonction $f$ n'est pas définie en $a$, mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ (où $L$ est un réel fini), alors on peut prolonger $f$ par continuité en $a$ en définissant une nouvelle fonction $\tilde{f}$ telle que : > $ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in D_f \\ L & \text{si } x = a \end{cases} $ La fonction $g(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ n'est pas définie en $x=0$ car $\frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$. Nous devons calculer $\lim_{x \to 0} g(x)$. $ \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ Nous savons que pour tout réel $u$, $-1 \le \sin(u) \le 1$. Donc, pour $x \neq 0$, nous avons $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$. Multiplions cette inégalité par $x$. Il faut distinguer les cas $x > 0$ et $x < 0$. **Cas 1 : $x > 0$** $ -x \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x $ **Cas 2 : $x < 0$** $ x \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le -x $ (L'ordre des inégalités est inversé car on multiplie par un nombre négatif.) Dans les deux cas, on a une situation où $x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ est encadré par des fonctions qui tendent vers 0 quand $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} (-x) = 0$ $\lim_{x \to 0} (x) = 0$ $\lim_{x \to 0} (-x) = 0$ > [!theorem] Théorème des Gendarmes (ou d'encadrement) > Si pour tout $x$ dans un intervalle autour de $a$ (sauf peut-être en $a$), on a $h(x) \le f(x) \le g(x)$, et si $\lim_{x \to a} h(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = L$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$. En combinant les deux cas (ou en utilisant la valeur absolue $|x|$), on peut écrire : $ -|x| \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le |x| $ Puisque $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$ et $\lim_{x \to 0} (|x|) = 0$, d'après le théorème des gendarmes, $ \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 $ Puisque la limite existe et est finie ($L=0$), la fonction $g$ peut être prolongée par continuité en $x=0$. Le prolongement $\tilde{g}$ est défini par : $ \tilde{g}(x) = \begin{cases} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases} $ ## Correction Exercice 4 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) > [!theorem] Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$. > [!theorem] Corollaire du TVI (pour l'existence et unicité d'une racine) > Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $x \in [a,b]$. > Pour prouver l'existence d'une racine, on cherche $k=0$ et on vérifie que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés. L'équation à résoudre est $e^x = \frac{1}{x}$. Pour étudier cette équation, nous allons définir une nouvelle fonction $f(x) = e^x - \frac{1}{x}$. Les solutions de l'équation initiale sont les racines de $f(x)=0$. **1. Domaine d'étude :** L'énoncé demande une solution dans $\mathbb{R}^{+*}$, c'est-à-dire $x \in ]0, +\infty[$. Sur cet intervalle, la fonction $e^x$ est définie et continue, et la fonction $\frac{1}{x}$ est définie et continue. Donc, $f(x) = e^x - \frac{1}{x}$ est **continue sur $]0, +\infty[$**. **2. Étude de la stricte monotonie de $f$ :** Pour étudier la stricte monotonie sans utiliser les dérivées (qui est une compétence future), nous pouvons analyser le comportement des fonctions composantes. * La fonction $e^x$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. * La fonction $\frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$. Donc, $-\frac{1}{x}$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. La somme de deux fonctions strictement croissantes est une fonction strictement croissante. Donc, $f(x) = e^x - \frac{1}{x}$ est **strictement croissante sur $]0, +\infty[$**. > [!note] Remarque > Si les dérivées étaient autorisées, on calculerait $f'(x) = e^x + \frac{1}{x^2}$. Pour $x \in ]0, +\infty[$, $e^x > 0$ et $\frac{1}{x^2} > 0$, donc $f'(x) > 0$. Cela confirme que $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. **3. Calcul des limites aux bornes de l'intervalle :** * **Limite quand $x \to 0^+$ :** $\lim_{x \to 0^+} e^x = e^0 = 1$. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$. Donc, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (e^x - \frac{1}{x}) = 1 - (+\infty) = -\infty$. * **Limite quand $x \to +\infty$ :** $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x - \frac{1}{x}) = +\infty - 0 = +\infty$. **4. Application du Corollaire du TVI :** Nous avons montré que : * $f$ est continue sur $]0, +\infty[$. * $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. * $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Puisque $0$ est compris entre $-\infty$ et $+\infty$, d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ (ou $e^x = \frac{1}{x}$) admet une **unique solution** dans l'intervalle $]0, +\infty[$. ## Correction Exercice 5 : Étude de Fonction (sans dérivée) Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$. ### 1. Ensemble de définition de $f$ > [!definition] Fonction rationnelle > Une fonction rationnelle est le rapport de deux polynômes. Elle est définie partout où son dénominateur n'est pas nul. Le dénominateur de $f(x)$ est $x-1$. Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que $x-1 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 1$. Donc, l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[$. ### 2. Calcul des limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition Les bornes de $D_f$ sont $-\infty$, $1^-$ (approche de 1 par valeurs inférieures), $1^+$ (approche de 1 par valeurs supérieures) et $+\infty$. * **Limite quand $x \to -\infty$ :** C'est une fonction rationnelle. On prend le rapport des termes de plus haut degré. $ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to -\infty} 2 = 2 $ * **Limite quand $x \to +\infty$ :** De même, $ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2 = 2 $ * **Limite quand $x \to 1^-$ :** Quand $x \to 1^-$, le numérateur $2x+1 \to 2(1)+1 = 3$. Le dénominateur $x-1 \to 0$. Puisque $x \to 1^-$, cela signifie que $x < 1$, donc $x-1 < 0$. Le dénominateur tend vers $0$ par valeurs négatives ($0^-$). $ \lim_{x \to 1^-} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{3}{0^-} = -\infty $ * **Limite quand $x \to 1^+$ :** Quand $x \to 1^+$, le numérateur $2x+1 \to 3$. Le dénominateur $x-1 \to 0$. Puisque $x \to 1^+$, cela signifie que $x > 1$, donc $x-1 > 0$. Le dénominateur tend vers $0$ par valeurs positives ($0^+$). $ \lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{3}{0^+} = +\infty $ ### 3. Déduction des asymptotes > [!definition] Asymptotes > * **Asymptote verticale (AV) :** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale. > * **Asymptote horizontale (AH) :** Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel fini), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale. D'après les limites calculées : * Puisque $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, la droite d'équation **$x=1$ est une asymptote verticale** à la courbe de $f$. * Puisque $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, la droite d'équation **$y=2$ est une asymptote horizontale** à la courbe de $f$. ### 4. Points d'intersection avec les axes du repère * **Intersection avec l'axe des ordonnées (axe y) :** Cela se produit lorsque $x=0$. Calculons $f(0)$. $f(0) = \frac{2(0)+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1$. Le point d'intersection est $(0, -1)$. * **Intersection avec l'axe des abscisses (axe x) :** Cela se produit lorsque $f(x)=0$. $\frac{2x+1}{x-1} = 0 \iff 2x+1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\frac{1}{2}$. Le point d'intersection est $(-\frac{1}{2}, 0)$. ### 5. Étude du signe de $f(x)$ Pour étudier le signe de $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$, nous allons étudier le signe du numérateur et du dénominateur séparément, puis construire un tableau de signes. * **Signe de $2x+1$ :** $2x+1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$. $2x+1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$. $2x+1 < 0 \iff x < -\frac{1}{2}$. * **Signe de $x-1$ :** $x-1 = 0 \iff x = 1$. $x-1 > 0 \iff x > 1$. $x-1 < 0 \iff x < 1$. **Tableau de signes :** | $x$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{2}$ | $1$ | $+\infty$ | | :-------------- | :-------: | :---------------------: | :-------------: | :-------: | | Signe de $2x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | Signe de $x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Signe de $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $\|$ | | | | (racine) | (valeur interdite)| | > [!note] Interprétation du tableau de signes > * $f(x) > 0$ pour $x \in ]-\infty, -\frac{1}{2}[ \cup ]1, +\infty[$. > * $f(x) = 0$ pour $x = -\frac{1}{2}$. > * $f(x) < 0$ pour $x \in ]-\frac{1}{2}, 1[$. ### 6. Esquisse de la courbe de $f$ En utilisant toutes les informations recueillies : * **Asymptote verticale :** $x=1$. La courbe s'approche de cette droite en allant vers $-\infty$ à gauche et vers $+\infty$ à droite. * **Asymptote horizontale :** $y=2$. La courbe s'approche de cette droite quand $x \to \pm\infty$. * **Points d'intersection :** $(0, -1)$ et $(-\frac{1}{2}, 0)$. * **Signe de $f(x)$ :** * Pour $x < -\frac{1}{2}$, $f(x) > 0$. * Pour $-\frac{1}{2} < x < 1$, $f(x) < 0$. * Pour $x > 1$, $f(x) > 0$. L'allure de la courbe est celle d'une hyperbole. > [!example] Esquisse Graphique (description textuelle) > 1. Tracez les asymptotes : la droite verticale $x=1$ et la droite horizontale $y=2$. > 2. Placez les points d'intersection : $(0, -1)$ et $(-\frac{1}{2}, 0)$. > 3. **Pour $x \in ]-\infty, 1[$ :** > - La courbe vient de l'asymptote horizontale $y=2$ par le haut (car $f(x) > 0$ pour $x < -\frac{1}{2}$). > - Elle coupe l'axe des abscisses en $(-\frac{1}{2}, 0)$. > - Elle coupe l'axe des ordonnées en $(0, -1)$. > - Elle descend vers $-\infty$ en s'approchant de l'asymptote verticale $x=1$. > 4. **Pour $x \in ]1, +\infty[$ :** > - La courbe vient de $+\infty$ en s'approchant de l'asymptote verticale $x=1$. > - Elle reste au-dessus de l'axe des abscisses (car $f(x) > 0$). > - Elle se rapproche de l'asymptote horizontale $y=2$ par le haut. Ceci est une description textuelle. Dans un environnement graphique (par exemple [[Geogebra 1]]), vous verriez clairement les deux branches de l'hyperbole. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `04-Août-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]