# ▷ Introduction à la Géométrie Analytique > Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] >[!tip] Tags > #Reperage #SystèmeCartésien #Points #Droites #Plans #Vecteurs #ProduitScalaire >[!note] Fil directeur >Dans ce chapitre introductif, nous allons poser les fondations : nous rappellerons et approfondirons les notions de repérage dans l'espace, nous définirons les vecteurs et leurs opérations, et nous verrons comment ces outils permettent de traduire des problèmes géométriques en problèmes algébriques, et vice-versa. >[!example] Contenu de ce cours > - Repère Cartesien > - Vecteurs (repérage et opérations) > - Changement de repères # ❶ Le Repérage Cartésien : La Pierre Angulaire de la Géométrie Analytique Bienvenue dans ce premier chapitre dédié à la **Géométrie Analytique**, une branche fondamentale des mathématiques qui établit un pont essentiel entre l'algèbre et la géométrie. En tant que futurs ingénieurs, la maîtrise de ces concepts vous sera indispensable pour modéliser et résoudre des problèmes complexes dans de nombreux domaines : mécanique, robotique, infographie, traitement du signal, et bien d'autres. La géométrie analytique repose sur une idée simple mais puissante : associer des nombres (coordonnées) à des points, permettant ainsi de décrire des figures géométriques par des équations. Le système de coordonnées le plus couramment utilisé est le système cartésien, nommé en l'honneur du philosophe et mathématicien René Descartes. ## Le Repère Cartésien dans le Plan (2D) > [!definition] Repère Cartésien du Plan > Un **repère cartésien orthogonal** (ou orthonormé) dans le plan est défini par : > 1. Une origine $O$. > 2. Deux axes perpendiculaires, l'axe des abscisses (souvent noté $Ox$) et l'axe des ordonnées (souvent noté $Oy$). > 3. Deux vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ respectivement colinéaires et de même sens que $Ox$ et $Oy$. Ces vecteurs forment une **base orthonormée directe** $(\vec{i}, \vec{j})$. > On le note souvent $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Dans un tel repère, tout point $M$ du plan est identifié de manière unique par un couple de coordonnées $(x, y)$, où $x$ est son abscisse et $y$ son ordonnée. $ \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} $ > [!example] Coordonnées et Quadrants > Le point $A(2, 3)$ se situe à 2 unités sur l'axe des abscisses et 3 unités sur l'axe des ordonnées. > Le plan est divisé en quatre quadrants : > * Quadrant I : $x > 0, y > 0$ > * Quadrant II : $x < 0, y > 0$ > * Quadrant III : $x < 0, y < 0$ > * Quadrant IV : $x > 0, y < 0$ ### Distance entre deux points Soient deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans le plan. La distance entre $A$ et $B$, notée $AB$, est donnée par la formule dérivée du théorème de Pythagore : > [!theorem] Formule de la distance en 2D > $ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $ > [!example] Calcul de distance > Soient $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$. > $ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ ### Milieu d'un segment Le milieu $M$ d'un segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne arithmétique des coordonnées de $A$ et $B$. > [!theorem] Coordonnées du milieu en 2D > Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors le milieu $M(x_M, y_M)$ a pour coordonnées : > $ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} $ ## Le Repère Cartésien dans l'Espace (3D) L'extension au cas tridimensionnel est directe. > [!definition] Repère Cartésien de l'Espace > Un **repère cartésien orthogonal** (ou orthonormé) dans l'espace est défini par : > 1. Une origine $O$. > 2. Trois axes perpendiculaires deux à deux : l'axe des abscisses ($Ox$), l'axe des ordonnées ($Oy$) et l'axe des cotes ($Oz$). > 3. Trois vecteurs unitaires $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ respectivement colinéaires et de même sens que $Ox$, $Oy$, $Oz$. Ces vecteurs forment une **base orthonormée directe** $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. > On le note $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Tout point $M$ de l'espace est identifié de manière unique par un triplet de coordonnées $(x, y, z)$. $ \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $ > [!note] Plans de coordonnées > Les trois axes définissent trois plans de coordonnées principaux : > * Le plan $(Oxy)$ ou $z=0$ > * Le plan $(Oxz)$ ou $y=0$ > * Le plan $(Oyz)$ ou $x=0$ > Ces plans divisent l'espace en huit octants. ### Distance entre deux points en 3D La formule de la distance s'étend naturellement à trois dimensions. > [!theorem] Formule de la distance en 3D > Soient $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$. La distance $AB$ est : > $ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $ ### Milieu d'un segment en 3D (Point moyen) De même, la formule du milieu s'étend. > [!theorem] Coordonnées du milieu en 3D > Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, alors le milieu $M(x_M, y_M, z_M)$ a pour coordonnées : > $ x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_M = \frac{z_A + z_B}{2} $ # ❷ Vecteurs dans un Repère Cartésien Les vecteurs sont des outils fondamentaux en géométrie analytique, permettant de représenter des déplacements, des forces, des vitesses, etc. Ils possèdent une direction, un sens et une magnitude (longueur). ## Définition et Représentation > [!definition] Vecteur > Un **vecteur** $\vec{u}$ est caractérisé par : > 1. Une direction (celle de la droite qui le porte). > 2. Un sens (parmi les deux possibles sur cette droite). > 3. Une norme (ou magnitude, sa longueur). > > Dans un repère cartésien, un vecteur $\vec{u}$ est représenté par ses **composantes** (ou coordonnées). > * En 2D : $\vec{u} = (x_u, y_u)$ > * En 3D : $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ Un vecteur peut être défini à partir de deux points. Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ sont deux points, le vecteur $\vec{AB}$ a pour composantes : $ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) $ > [!note] Vecteur position > Le vecteur $\vec{OM}$ reliant l'origine $O$ au point $M(x, y, z)$ est appelé **vecteur position** du point $M$. Ses composantes sont simplement les coordonnées du point $M$, c'est-à-dire $\vec{OM} = (x, y, z)$. ## Opérations sur les Vecteurs Les opérations vectorielles se font composante par composante. ### Égalité de vecteurs Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes sont égales. $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$. $\vec{u} = \vec{v} \iff x_u = x_v, y_u = y_v, z_u = z_v$. ### Addition et soustraction vectorielle > [!theorem] Addition/Soustraction de vecteurs > Si $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$, alors : > $ \vec{u} + \vec{v} = (x_u + x_v, y_u + y_v, z_u + z_v) $ > $ \vec{u} - \vec{v} = (x_u - x_v, y_u - y_v, z_u - z_v) $ ### Multiplication par un scalaire > [!theorem] Multiplication d'un vecteur par un scalaire > Si $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $k$ est un scalaire (un nombre réel), alors : > $ k\vec{u} = (kx_u, ky_u, kz_u) $ > [!note] Vecteurs colinéaires > Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un scalaire $k \neq 0$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction. ### Norme (longueur) d'un vecteur La norme d'un vecteur $\vec{u}$ est sa longueur, notée $||\vec{u}||$. Elle est calculée comme la distance entre son point d'origine et son point d'extrémité. > [!theorem] Norme d'un vecteur > Si $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$, alors : > $ ||\vec{u}|| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2} $ > > Un **vecteur unitaire** est un vecteur dont la norme est égale à 1. > [!example] Calcul de norme et vecteur unitaire > Soit $\vec{u} = (3, -4, 0)$. > $\lVert \vec{u} \rVert= \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. > Le vecteur unitaire $\vec{e_u}$ dans la direction de $\vec{u}$ est : > $\vec{e_u} = \frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u} = \frac{1}{5}(3, -4, 0) = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}, 0\right)$. ## Produit Scalaire Le produit scalaire est une opération fondamentale qui prend deux vecteurs et renvoie un scalaire. Il est intimement lié à l'angle entre les vecteurs. > [!definition] Produit Scalaire > Soient deux vecteurs $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$. > Le produit scalaire, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, peut être défini de deux manières équivalentes : > 1. **Définition algébrique (par les composantes) :** > $ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v $ > 2. **Définition géométrique (par les normes et l'angle) :** > $ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta) $ > où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > [!theorem] Propriétés du produit scalaire > * **Commutativité :** $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ > * **Distributivité :** $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ > * **Homogénéité :** $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ > * **Produit scalaire d'un vecteur par lui-même :** $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$ ### Angle entre deux vecteurs La définition géométrique du produit scalaire permet de calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs non nuls : $ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} $ > [!example] Calcul d'angle > Soient $\vec{u} = (1, 1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1, 1)$. > $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1$. > $||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. > $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. > $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. > Donc, $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ radians (ou $60^\circ$). ### Condition d'orthogonalité Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul. > [!theorem] Condition d'orthogonalité > $ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $ ## Produit Vectoriel (en 3D) Le produit vectoriel est une opération spécifique aux vecteurs en 3D. Il prend deux vecteurs et renvoie un *vecteur* qui est orthogonal aux deux vecteurs d'origine. > [!definition] Produit Vectoriel > Soient $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$ deux vecteurs de l'espace. > Le produit vectoriel, noté $\vec{u} \times \vec{v}$, est le vecteur dont les composantes sont : > $ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} y_u z_v - z_u y_v \\ z_u x_v - x_u z_v \\ x_u y_v - y_u x_v \end{pmatrix} $ > > Géométriquement, $\vec{u} \times \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, dont le sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou de la main droite) par rapport à la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. > Sa norme est donnée par : > $ ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta) $ > où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > [!note] Interprétation géométrique du produit vectoriel > La norme du produit vectoriel $||\vec{u} \times \vec{v}||$ représente l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > [!theorem] Propriétés du produit vectoriel > * **Anti-commutativité :** $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ > * **Colinéarité :** $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$. > * **Distributivité :** $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ > [!warning] Attention > Le produit vectoriel n'est défini qu'en 3D (et en 7D, mais ce n'est pas au programme ici). Il n'existe pas d'équivalent direct en 2D. # ❸ Changements de Repères (Aperçu) Le choix du repère peut grandement simplifier l'expression des équations géométriques. Il est souvent nécessaire de passer d'un repère à un autre par des transformations. Nous n'aborderons ici qu'un bref aperçu. ## Translation d'Origine Considérons un point $M$ dont les coordonnées sont $(x, y)$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Si nous choisissons une nouvelle origine $O'(x_0, y_0)$ et que les axes restent parallèles aux axes d'origine, les nouvelles coordonnées $(x', y')$ de $M$ dans le repère $(O'; \vec{i}, \vec{j})$ sont données par : > [!theorem] Formules de translation > $ x' = x - x_0 $ > $ y' = y - y_0 $ > Ou de manière équivalente : > $ x = x' + x_0 $ > $ y = y' + y_0 $ > Ces formules s'étendent naturellement à la 3D. ## Rotation d'Axes (en 2D) Si l'origine reste la même, mais que les axes du nouveau repère $(O; \vec{i}', \vec{j}')$ sont tournés d'un angle $\alpha$ par rapport aux axes du repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées d'un point $M(x, y)$ dans le repère d'origine et $(x', y')$ dans le nouveau repère sont liées par les formules de rotation : > [!theorem] Formules de rotation (2D) > $ x' = x \cos(\alpha) + y \sin(\alpha) $ > $ y' = -x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha) $ > > Inversement : > $ x = x' \cos(\alpha) - y' \sin(\alpha) $ > $ y = x' \sin(\alpha) + y' \cos(\alpha) $ > [!note] Intérêt des changements de repères > Les changements de repères sont cruciaux pour simplifier l'étude de certains objets géométriques. Par exemple, l'équation d'une ellipse peut être très complexe dans un repère arbitraire, mais devient très simple si l'on choisit un repère aligné avec ses axes de symétrie. # ➡️ C'est la fin > [!tip] Ce qu'il faut retenir > * Tout point est repéré par ses coordonnées $(x,y)$ ou $(x,y,z)$. > * La distance et le milieu se calculent simplement avec les coordonnées. > * Les vecteurs ont des composantes et représentent direction et magnitude. > * Les opérations vectorielles (addition, scalaire) se font composante par composante. > * Le produit scalaire donne un nombre et permet de calculer les angles et l'orthogonalité. > * Le produit vectoriel (en 3D) donne un vecteur orthogonal aux deux de départ. Dans le prochain chapitre, **"Les principaux objets géométriques"**, nous utiliserons ces fondations pour décrire et manipuler des objets plus complexes comme les droites, les plans, les cercles et les sphères, en exprimant leurs propriétés par des équations. Vous verrez comment les vecteurs et les coordonnées deviennent indispensables pour définir et caractériser ces objets dans l'espace. --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Géométrie analytique]] - Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]