# ▷︎ Les principaux objets géométriques > Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] >[!tip] Tags > #Reperage #SystèmeCartésien #Points #Droites #Plans #Vecteurs #ProduitScalaire >[!note] Fil directeur >Il s'agit maintenant de construire à partir de ces briques élémentaires (points et vecteurs) les formes géométriques plus complexes qui peuplent notre espace : les droites, les plans, les cercles, et d'autres courbes remarquables comme les coniques. Pour chacun de ces objets, nous allons établir leur **représentation analytique**, c'est-à-dire l'équation ou le système d'équations qui les caractérise. Cette traduction de la géométrie en algèbre est la pierre angulaire de la géométrie analytique et nous permettra, dans le chapitre 3, d'étudier leurs interactions et propriétés de manière systématique. >[!example] Contenu de ce cours > - Définir et représenter analytiquement les points, droites et plans dans l'espace 2D et 3D. > - Calculer des distances et des milieux. > - Identifier les propriétés de parallélisme et d'orthogonalité pour ces objets. > - Reconnaître et caractériser les principales coniques (cercle, ellipse, hyperbole, parabole) par leurs équations canoniques. # ❶ (Révison) Le Point : L'objet fondamental Le point est l'entité géométrique la plus élémentaire. Il représente une position sans dimension. ## Coordonnées d'un point > [!definition] Point en 2D et 3D > Dans un repère cartésien : > - Un point $M$ dans le plan (2D) est défini par ses deux coordonnées $(x, y)$. > - Un point $M$ dans l'espace (3D) est défini par ses trois coordonnées $(x, y, z)$. > [!example] Exemple > - Le point $A(2, -3)$ est dans le plan. > - Le point $B(1, 0, 5)$ est dans l'espace. ## Distance entre deux points La distance entre deux points est une application directe du théorème de Pythagore. > [!theorem] Formule de la distance > Soient deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans le plan. La distance entre $A$ et $B$, notée $AB$ ou $d(A, B)$, est donnée par : > $ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $ > > Soient deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ dans l'espace. La distance entre $A$ et $B$ est donnée par : > $ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $ > [!example] Exemple: Calcul de distance > Calculons la distance entre $A(1, 2, 3)$ et $B(4, -2, 1)$ : > $ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (-2-2)^2 + (1-3)^2} $ > $ AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} $ ## Point Moyen (Milieu) d'un segment Le milieu d'un segment est le point situé à égale distance des deux extrémités du segment. > [!definition] Coordonnées du milieu > Soient deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans le plan. Les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ sont : > $ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) $ > > Soient deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ dans l'espace. Les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ sont : > $ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) $ # ❷ La Droite : Une direction et un point Une droite est un ensemble infini de points alignés. Elle peut être définie de plusieurs manières analytiques. ## Droites dans le plan (2D) ### Équation cartésienne > [!definition] Équation cartésienne d'une droite (2D) > Toute droite $D$ dans le plan peut être représentée par une équation de la forme : > $ ax + by + c = 0 $ > où $a, b, c$ sont des constantes réelles, avec $(a, b) \ne (0, 0)$. > > - Un vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un **vecteur normal** à la droite $D$ (il est orthogonal à la droite). > - Un vecteur $\vec{u}(-b, a)$ (ou $(b, -a)$) est un **vecteur directeur** de la droite $D$ (il est parallèle à la droite). > [!example] Droite par son équation cartésienne > La droite d'équation $2x - 3y + 6 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(2, -3)$ et pour vecteur directeur $\vec{u}(3, 2)$. ### Équation réduite (ou explicite) Si $b \ne 0$, l'équation cartésienne peut être réécrite sous la forme $y = mx + p$. > [!definition] Équation réduite d'une droite (2D) > Pour une droite non verticale, l'équation réduite est : > $ y = mx + p $ > où $m$ est la **pente** (ou coefficient directeur) de la droite, et $p$ est l'**ordonnée à l'origine** (l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des $y$). > > - Si $b=0$, la droite est verticale et son équation est de la forme $x = k$. > [!note] Pente et angle > La pente $m$ est liée à l'angle $\alpha$ que fait la droite avec l'axe des abscisses par la relation $m = \tan(\alpha)$. Ce lien utilise la trigonométrie, un de vos pré-requis ! ### Équation paramétrique Une droite peut aussi être définie par un point par lequel elle passe et un vecteur qui lui donne sa direction. > [!definition] Équation paramétrique d'une droite (2D) > Soit une droite $D$ passant par un point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(u_x, u_y)$. Tout point $M(x, y)$ sur la droite $D$ vérifie : > $ \begin{cases} x = x_A + t \cdot u_x \\ y = y_A + t \cdot u_y \end{cases} $ > où $t \in \mathbb{R}$ est un paramètre. > [!example] Passage d'une forme à l'autre > Soit la droite $D$ d'équation $y = -2x + 1$. > - Équation cartésienne : $2x + y - 1 = 0$. > - Un point sur la droite : Si $x=0$, $y=1$, donc $A(0, 1)$. > - Un vecteur directeur : $\vec{u}(1, -2)$ (car $m = -2 = \frac{-2}{1}$). > - Équation paramétrique : > $ \begin{cases} x = 0 + t \cdot 1 \\ y = 1 + t \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} x = t \\ y = 1 - 2t \end{cases} $ ### Conditions de parallélisme et d'orthogonalité (2D) > [!theorem] Parallélisme et orthogonalité des droites (2D) > Soient deux droites $D_1$ et $D_2$ d'équations réduites $y = m_1x + p_1$ et $y = m_2x + p_2$. > - $D_1 \parallel D_2 \iff m_1 = m_2$. > - $D_1 \perp D_2 \iff m_1 m_2 = -1$ (si aucune des droites n'est verticale ou horizontale). > > Si les droites sont données par leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ou leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ : > - $D_1 \parallel D_2 \iff \vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires (ou $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires). > - $D_1 \perp D_2 \iff \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$ (produit scalaire nul, voir chapitre 1) ou $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. ### Distance d'un point à une droite (2D) > [!theorem] Distance d'un point à une droite (2D) > La distance d'un point $M_0(x_0, y_0)$ à une droite $D$ d'équation $ax + by + c = 0$ est donnée par : > $ d(M_0, D) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $ ## Droites dans l'espace (3D) Dans l'espace 3D, l'équation réduite n'existe plus. On privilégie les équations paramétriques. ### Équation paramétrique > [!definition] Équation paramétrique d'une droite (3D) > Soit une droite $D$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$. Tout point $M(x, y, z)$ sur la droite $D$ vérifie : > $ \begin{cases} x = x_A + t \cdot u_x \\ y = y_A + t \cdot u_y \\ z = z_A + t \cdot u_z \end{cases} $ > où $t \in \mathbb{R}$ est un paramètre. > [!example] Droite en 3D > La droite passant par $A(1, 0, -2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, -1, 2)$ a pour équations paramétriques : > $ \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -t \\ z = -2 + 2t \end{cases} $ ### Équations cartésiennes (système) Une droite en 3D peut aussi être vue comme l'intersection de deux plans. Nous aborderons plus en détail les intersections dans le chapitre 3. > [!note] Droite comme intersection de plans > Une droite dans l'espace est l'ensemble des points $(x, y, z)$ qui vérifient simultanément les équations de deux plans sécants : > $ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} $ > C'est un système de deux équations linéaires à trois inconnues. ### Distance d'un point à une droite (3D) Le calcul de la distance d'un point à une droite en 3D est plus complexe que dans le plan et implique souvent le produit vectoriel. > [!theorem] Distance d'un point à une droite (3D) > La distance d'un point $M_0$ à une droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est donnée par : > $ d(M_0, D) = \frac{\|\vec{AM_0} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} $ > où $\wedge$ désigne le produit vectoriel et $\|\cdot\|$ la norme du vecteur. (Le produit vectoriel sera revu en détail dans le chapitre 3). # ❸ Le Plan : Une surface plane dans l'espace (3D) Le plan est l'analogue 3D de la droite en 2D. Il est défini par trois points non alignés, ou par un point et un vecteur normal. ## Équation cartésienne d'un plan > [!definition] Équation cartésienne d'un plan (3D) > Tout plan $P$ dans l'espace peut être représenté par une équation de la forme : > $ ax + by + cz + d = 0 $ > où $a, b, c, d$ sont des constantes réelles, avec $(a, b, c) \ne (0, 0, 0)$. > > - Un vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un **vecteur normal** au plan $P$ (il est orthogonal à tous les vecteurs contenus dans le plan). > [!example] Plan par son équation cartésienne > Le plan d'équation $x + 2y - z + 5 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(1, 2, -1)$. ## Définition d'un plan Un plan est entièrement déterminé par : 1. **Trois points non alignés :** $A, B, C$. 2. **Un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires :** $A$ et $\vec{u}, \vec{v}$. 3. **Un point et un vecteur normal :** $A$ et $\vec{n}$. > [!tip] Comment trouver l'équation d'un plan > - **Avec un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ :** > L'équation du plan est $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$. > - **Avec trois points non alignés $A, B, C$ :** > 1. Calculer deux vecteurs directeurs du plan, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. > 2. Le vecteur normal $\vec{n}$ est orthogonal à ces deux vecteurs. On peut le trouver en calculant leur produit vectoriel : $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$. > 3. Utiliser un des points (par exemple $A$) et le vecteur normal $\vec{n}$ pour écrire l'équation du plan. ## Conditions de parallélisme et d'orthogonalité (3D) > [!theorem] Parallélisme et orthogonalité des plans (3D) > Soient deux plans $P_1$ et $P_2$ de vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$. > - $P_1 \parallel P_2 \iff \vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires. > - $P_1 \perp P_2 \iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. > > Pour une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}$ : > - $D \parallel P \iff \vec{u} \cdot \vec{n} = 0$. > - $D \perp P \iff \vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires. ## Distance d'un point à un plan (3D) > [!theorem] Distance d'un point à un plan (3D) > La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par : > $ d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $ ## IV. Les Coniques : Des courbes remarquables (en 2D) Les coniques sont des courbes planes obtenues par l'intersection d'un cône double (deux cônes opposés par le sommet) avec un plan. Selon l'inclinaison du plan par rapport à l'axe du cône, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. > [!note] Équation générale des coniques > L'équation générale d'une conique dans le plan est une équation polynomiale du second degré de la forme : > $ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $ > L'étude du terme $Bxy$ (terme croisé) permet de déterminer l'orientation de la conique. Dans ce chapitre, nous nous concentrerons sur les formes canoniques (axes alignés avec les axes de coordonnées), où $B=0$. ## Le Cercle > [!definition] Cercle > Un cercle est l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé **centre**. Cette distance est le **rayon** du cercle. ### Équation cartésienne > [!theorem] Équation canonique d'un cercle > L'équation d'un cercle de centre $C(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ est : > $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $ > [!example] Cercle > Le cercle de centre $(1, -2)$ et de rayon $3$ a pour équation : > $ (x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2 \implies (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 $ > En développant, on obtient l'équation générale : $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 9 \implies x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$. ### Équation paramétrique > [!theorem] Équation paramétrique d'un cercle > L'équation paramétrique d'un cercle de centre $C(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ est : > $ \begin{cases} x = x_0 + R \cos(\theta) \\ y = y_0 + R \sin(\theta) \end{cases} $ > où $\theta \in [0, 2\pi[$ est le paramètre angulaire (ceci fait appel à vos connaissances en trigonométrie !). ## L'Ellipse > [!definition] Ellipse > Une ellipse est l'ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes, appelés **foyers** ($F_1, F_2$), est constante ($2a$). ### Équation canonique > [!theorem] Équation canonique d'une ellipse > Pour une ellipse centrée à l'origine $(0,0)$ avec ses axes alignés avec les axes de coordonnées : > $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ > où $a > 0$ et $b > 0$. > - Si $a > b$, l'axe principal est horizontal (grand axe de longueur $2a$, petit axe de longueur $2b$). Les foyers sont sur l'axe des $x$ en $(\pm c, 0)$ avec $c^2 = a^2 - b^2$. > - Si $b > a$, l'axe principal est vertical (grand axe de longueur $2b$, petit axe de longueur $2a$). Les foyers sont sur l'axe des $y$ en $(0, \pm c)$ avec $c^2 = b^2 - a^2$. > [!example] Ellipse > L'équation $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ représente une ellipse centrée à l'origine. Ici $a^2=25 \implies a=5$ et $b^2=9 \implies b=3$. L'axe principal est horizontal. ### Équation paramétrique > [!theorem] Équation paramétrique d'une ellipse > Pour une ellipse centrée à l'origine avec ses axes alignés : > $ \begin{cases} x = a \cos(\theta) \\ y = b \sin(\theta) \end{cases} $ > où $\theta \in [0, 2\pi[$. ## L'Hyperbole > [!definition] Hyperbole > Une hyperbole est l'ensemble des points du plan dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes, appelés **foyers** ($F_1, F_2$), est constante ($2a$). ### Équation canonique > [!theorem] Équation canonique d'une hyperbole > Pour une hyperbole centrée à l'origine $(0,0)$ avec ses axes alignés avec les axes de coordonnées : > 1. **Hyperbole d'axe transverse horizontal :** > $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ > Les foyers sont sur l'axe des $x$ en $(\pm c, 0)$ avec $c^2 = a^2 + b^2$. Les asymptotes sont $y = \pm \frac{b}{a}x$. > 2. **Hyperbole d'axe transverse vertical :** > $ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $ > Les foyers sont sur l'axe des $y$ en $(0, \pm c)$ avec $c^2 = a^2 + b^2$. Les asymptotes sont $y = \pm \frac{b}{a}x$. > [!example] Hyperbole > L'équation $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$ représente une hyperbole centrée à l'origine, d'axe transverse horizontal. Ici $a^2=16 \implies a=4$ et $b^2=4 \implies b=2$. Les asymptotes sont $y = \pm \frac{2}{4}x = \pm \frac{1}{2}x$. ### Équation paramétrique (pour l'hyperbole d'axe transverse horizontal) > [!theorem] Équation paramétrique d'une hyperbole > $ \begin{cases} x = a \cosh(t) \\ y = b \sinh(t) \end{cases} \quad \text{ou} \quad \begin{cases} x = a \sec(\theta) \\ y = b \tan(\theta) \end{cases} $ > où $t \in \mathbb{R}$ ou $\theta \in [0, 2\pi[ \setminus \{\pi/2, 3\pi/2\}$ (pour la seconde forme). > Les fonctions hyperboliques $\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ et $\sinh(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ sont souvent utilisées. ## La Parabole > [!definition] Parabole > Une parabole est l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé **foyer** ($F$) et d'une droite fixe appelée **directrice** ($D$). ### Équation canonique > [!theorem] Équation canonique d'une parabole > Pour une parabole de sommet à l'origine $(0,0)$ : > 1. **Ouvrant vers le haut ou le bas :** > $ x^2 = 4py $ > - Si $p > 0$, elle s'ouvre vers le haut. Foyer $F(0, p)$, directrice $y = -p$. > - Si $p < 0$, elle s'ouvre vers le bas. Foyer $F(0, p)$, directrice $y = -p$. > 2. **Ouvrant vers la droite ou la gauche :** > $ y^2 = 4px $ > - Si $p > 0$, elle s'ouvre vers la droite. Foyer $F(p, 0)$, directrice $x = -p$. > - Si $p < 0$, elle s'ouvre vers la gauche. Foyer $F(p, 0)$, directrice $x = -p$. > [!example] Parabole > L'équation $y^2 = 8x$ est une parabole. En comparant à $y^2 = 4px$, on a $4p=8 \implies p=2$. Elle s'ouvre vers la droite, son foyer est $F(2, 0)$ et sa directrice est $x = -2$. # ➡️ C'est la fin Dans ce chapitre, nous avons méthodiquement exploré les représentations analytiques des principaux objets géométriques. Nous avons vu comment un simple point peut être caractérisé par des coordonnées, et comment des ensembles de points formant des droites, des plans ou des coniques peuvent être décrits par des équations cartésiennes ou paramétriques. | Objet Géométrique | Dimension | Représentation(s) Analytique(s) Clé(s) | | :---------------- | :-------- | :------------------------------------------------ | | **Point** | 2D / 3D | Coordonnées $(x, y)$ ou $(x, y, z)$ | | **Droite** | 2D | $ax+by+c=0$, $y=mx+p$, paramétrique | | **Droite** | 3D | Paramétrique, intersection de 2 plans | | **Plan** | 3D | $ax+by+cz+d=0$ | | **Cercle** | 2D | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$, paramétrique | | **Ellipse** | 2D | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, paramétrique | | **Hyperbole** | 2D | $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, paramétrique | | **Parabole** | 2D | $y^2=4px$ ou $x^2=4py$ | Dans le prochain chapitre, "Outils de calcul et intersections entre objets géométriques", nous mettrons en pratique ces représentations pour étudier les relations mutuelles entre ces objets : comment déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondues, comment calculer leurs points d'intersection, ou encore comment trouver la distance entre eux. Nous approfondirons également l'utilisation du produit scalaire et du produit vectoriel pour ces analyses. --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Géométrie analytique]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Géométrie analytique]] - Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]