# ▷︎ Outils de calcul et intersections entre objets géométriques > Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] >[!tip] Tags > #Reperage #SystèmeCartésien #Points #Droites #Plans #Vecteurs #ProduitScalaire >[!note] Fil directeur > Ce troisième et dernier chapitre de notre module se focalise sur l'exploitation de ces représentations pour *calculer* des grandeurs géométriques et *déterminer* les relations spatiales entre ces objets. Il s'agit de passer de la simple description à l'analyse et à la résolution de problèmes concrets. Nous allons développer une "boîte à outils" mathématique essentielle pour tout ingénieur : comment calculer des distances, des angles, et surtout, comment trouver les points, droites ou plans d'intersection entre différentes figures géométriques. >[!example] Contenu de ce cours > * Maîtriser le calcul de distances entre points, droites et plans. > * Déterminer les angles entre vecteurs, droites et plans. > * Apprendre les méthodes systématiques pour trouver les intersections entre divers objets géométriques (droite-droite, droite-plan, plan-plan, etc.). > * Développer une approche rigoureuse de résolution de problèmes géométriques par le calcul. # ❶ Rappels et Outils Fondamentaux du Calcul Vectoriel Avant de plonger dans les calculs spécifiques, rappelons quelques outils vectoriels essentiels qui seront nos piliers pour la suite. > [!note] Rappel : Représentation des objets > * Un **point** $A$ est représenté par ses coordonnées $(x_A, y_A)$ en 2D ou $(x_A, y_A, z_A)$ en 3D. > * Un **vecteur** $\vec{u}$ est représenté par ses composantes $(u_x, u_y)$ en 2D ou $(u_x, u_y, u_z)$ en 3D. > * Une **droite** peut être définie par un point et un vecteur directeur, ou par deux points. > * Un **plan** (en 3D) peut être défini par un point et deux vecteurs directeurs, ou par un point et un vecteur normal. ## Opérations Vectorielles Clés ### Produit Scalaire Le produit scalaire est un outil fondamental pour calculer des longueurs et des angles. > [!definition] Produit Scalaire > Soient deux vecteurs $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ dans $\mathbb{R}^3$. Leur produit scalaire est défini par : > $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z $ > En 2D, la formule est similaire avec seulement deux composantes. > > Une autre définition importante, liée aux angles, est : > $ \vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\theta) $ > où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > [!note] Propriétés du Produit Scalaire > * $\vec{u} \cdot \vec{u} = \| \vec{u} \|^2$ > * $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires), à moins que l'un des vecteurs soit nul. ### Produit Vectoriel (en 3D uniquement) Le produit vectoriel est spécifique à l'espace tridimensionnel et est crucial pour trouver des vecteurs normaux ou calculer des aires. > [!definition] Produit Vectoriel > Soient deux vecteurs $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ dans $\mathbb{R}^3$. Leur produit vectoriel est le vecteur $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ dont les composantes sont : > $ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_y v_z - u_z v_y \\ u_z v_x - u_x v_z \\ u_x v_y - u_y v_x \end{pmatrix} $ > > Le vecteur $\vec{w}$ est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$. Son sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou de la main droite). Sa norme est : > $ \| \vec{u} \times \vec{v} \| = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \sin(\theta) $ > où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Cette norme représente l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > [!note] Propriétés du Produit Vectoriel > * $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. > * $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ (anti-commutativité). ## Calcul des Distances ### Distance entre deux points C'est la formule la plus basique, dérivée du théorème de Pythagore. > [!definition] Distance entre deux points $A$ et $B$ > Soient $A=(x_A, y_A, z_A)$ et $B=(x_B, y_B, z_B)$. La distance $AB$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$: > $ d(A,B) = \| \vec{AB} \| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $ > En 2D, on omet la composante $z$. ### Distance d'un point à une droite #### En 2D > [!definition] Distance d'un point $P(x_0, y_0)$ à une droite $D$ (2D) > Si la droite $D$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, la distance du point $P(x_0, y_0)$ à la droite $D$ est donnée par : > $ d(P, D) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $ #### En 3D La méthode générale consiste à projeter orthogonalement le point sur la droite. > [!tip] Méthode pour la distance d'un point $P$ à une droite $D$ (3D) > 1. Soit $D$ définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$. > 2. Le point $H$ de la droite $D$ le plus proche de $P$ est la projection orthogonale de $P$ sur $D$. > 3. Le vecteur $\vec{PH}$ doit être orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite. Donc $\vec{PH} \cdot \vec{u} = 0$. > 4. Tout point $M$ sur $D$ peut s'écrire $M = A + t\vec{u}$ pour un certain $t \in \mathbb{R}$. > 5. On cherche $H = A + t_0\vec{u}$ tel que $\vec{PH} \cdot \vec{u} = 0$. > 6. $\vec{PH} = \vec{AH} - \vec{AP} = t_0\vec{u} - \vec{AP}$. > 7. $(t_0\vec{u} - \vec{AP}) \cdot \vec{u} = 0 \implies t_0(\vec{u} \cdot \vec{u}) - (\vec{AP} \cdot \vec{u}) = 0$. > 8. On en déduit $t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{\| \vec{u} \|^2}$. > 9. Une fois $t_0$ trouvé, on calcule les coordonnées de $H$, puis la distance $d(P, D) = d(P, H) = \| \vec{PH} \|$. > > Une formule alternative utilisant le produit vectoriel est : > $ d(P, D) = \frac{\| \vec{AP} \times \vec{u} \|}{\| \vec{u} \|} $ > où $A$ est un point de la droite $D$ et $\vec{u}$ est son vecteur directeur. ### Distance d'un point à un plan (en 3D) > [!definition] Distance d'un point $P(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $\mathcal{P}$ > Si le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$, la distance du point $P(x_0, y_0, z_0)$ au plan $\mathcal{P}$ est donnée par : > $ d(P, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $ > Le vecteur $\vec{n} = (a, b, c)$ est un vecteur normal au plan. > [!example] Exemple de calcul de distance point-plan > Calculez la distance du point $P(1, 2, -1)$ au plan $\mathcal{P}: 2x - y + 3z - 4 = 0$. > > **Solution :** > En utilisant la formule : > $d(P, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - (2) + 3(-1) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}}$ > $d(P, \mathcal{P}) = \frac{|2 - 2 - 3 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 9}}$ > $d(P, \mathcal{P}) = \frac{|-7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ### Distance entre deux droites (en 3D) * **Droites parallèles :** La distance est la distance d'un point de l'une à l'autre droite. * **Droites sécantes :** La distance est nulle. * **Droites gauches :** C'est le cas le plus complexe. > [!tip] Méthode pour la distance entre deux droites gauches $D_1$ et $D_2$ > Soient $D_1$ définie par $A_1$ et $\vec{u_1}$, et $D_2$ définie par $A_2$ et $\vec{u_2}$. > 1. Le vecteur $\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}$ est un vecteur normal commun aux deux droites. > 2. La distance entre les deux droites gauches est la projection orthogonale du vecteur $\vec{A_1A_2}$ sur le vecteur normal $\vec{n}$. > 3. La formule est : > $ d(D_1, D_2) = \frac{|(\vec{A_1A_2}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{\| \vec{u_1} \times \vec{u_2} \|} $ > Le numérateur est la valeur absolue du produit mixte des trois vecteurs. ## Calcul des Angles Les angles sont généralement déterminés à l'aide du produit scalaire, qui relie l'angle entre deux vecteurs à leurs composantes. ### Angle entre deux vecteurs > [!definition] Angle $\theta$ entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ > À partir de la définition du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\theta)$, on obtient : > $ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \| \vec{v} \|} $ > L'angle $\theta$ est alors $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \| \vec{v} \|}\right)$. Par convention, on choisit généralement $\theta \in [0, \pi]$. ### Angle entre deux droites L'angle entre deux droites est l'angle aigu entre leurs vecteurs directeurs. > [!definition] Angle entre deux droites $D_1$ et $D_2$ > Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ les vecteurs directeurs des droites $D_1$ et $D_2$. L'angle $\theta$ entre les droites est donné par : > $ \cos(\theta) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{\| \vec{u_1} \| \| \vec{u_2} \|} $ > On prend la valeur absolue du produit scalaire pour garantir un angle aigu $\theta \in [0, \pi/2]$. ### Angle entre deux plans (en 3D) L'angle entre deux plans est l'angle aigu entre leurs vecteurs normaux. > [!definition] Angle entre deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ > Soient $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ les vecteurs normaux aux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. L'angle $\theta$ entre les plans est donné par : > $ \cos(\theta) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\| \vec{n_1} \| \| \vec{n_2} \|} $ > Encore une fois, on prend la valeur absolue pour obtenir l'angle aigu $\theta \in [0, \pi/2]$. ### Angle entre une droite et un plan (en 3D) C'est un cas un peu particulier. L'angle $\phi$ entre une droite $D$ et un plan $\mathcal{P}$ n'est *pas* l'angle entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Si $\theta$ est l'angle entre le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite et le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, alors l'angle $\phi$ que nous cherchons est $\phi = \pi/2 - \theta$. > [!definition] Angle entre une droite $D$ et un plan $\mathcal{P}$ > Soient $\vec{u}$ le vecteur directeur de la droite $D$ et $\vec{n}$ le vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. L'angle $\phi$ entre la droite et le plan est donné par : > $ \sin(\phi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{\| \vec{u} \| \| \vec{n} \|} $ > L'angle $\phi$ est dans l'intervalle $[0, \pi/2]$. # ❷ Intersections entre Objets Géométriques Linéaires La détermination des intersections est l'un des problèmes les plus courants en géométrie analytique. La stratégie générale consiste à exprimer les objets géométriques sous forme d'équations (cartésiennes ou paramétriques) et à **résoudre le système d'équations** résultant. Le type de solution (aucune, unique, infinie) indiquera la nature de l'intersection. > [!note] Rappel sur les systèmes d'équations linéaires > La résolution de systèmes d'équations linéaires est un prérequis fondamental. Les méthodes comme la substitution, la combinaison linéaire, ou l'utilisation de matrices (méthode de Gauss-Jordan) sont essentielles ici. ## Intersection Droite - Droite Le comportement d'intersection dépend de la dimension de l'espace. ### En 2D (Plan) Deux droites $D_1$ et $D_2$ dans un plan peuvent être : * **Sécantes en un point unique :** Si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. * **Parallèles distinctes :** Si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et qu'elles n'ont aucun point commun. Aucune intersection. * **Confondue :** Si elles sont identiques (vecteurs directeurs colinéaires et un point commun). Infinité de points d'intersection. > [!tip] Méthode pour l'intersection de deux droites en 2D > Représentez les deux droites par leurs équations cartésiennes : > $D_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ > $D_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ > > Résolvez le système linéaire de deux équations à deux inconnues $(x, y)$: > $ \begin{cases} a_1x + b_1y = -c_1 \\ a_2x + b_2y = -c_2 \end{cases} $ > * Si le système a une solution unique, c'est le point d'intersection. > * Si le système n'a pas de solution, les droites sont parallèles distinctes. > * Si le système a une infinité de solutions, les droites sont confondues. > [!example] Intersection de droites en 2D > Trouvez l'intersection des droites $D_1: x - 2y + 1 = 0$ et $D_2: 3x + y - 4 = 0$. > > **Solution :** > On résout le système : > $ \begin{cases} x - 2y = -1 \quad (L_1) \\ 3x + y = 4 \quad (L_2) \end{cases} $ > De $(L_2)$, $y = 4 - 3x$. Substituons dans $(L_1)$: > $x - 2(4 - 3x) = -1$ > $x - 8 + 6x = -1$ > $7x = 7 \implies x = 1$ > > En substituant $x=1$ dans $y = 4 - 3x$: > $y = 4 - 3(1) = 1$ > > Le point d'intersection est $(1, 1)$. ### En 3D (Espace) En 3D, les possibilités sont plus nombreuses : * **Sécantes en un point unique :** Si elles se croisent. * **Parallèles distinctes :** Si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et qu'elles n'ont aucun point commun. * **Confondue :** Si elles sont identiques. * **Gauches :** Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes. Aucune intersection. > [!tip] Méthode pour l'intersection de deux droites en 3D > Représentez les deux droites par leurs équations paramétriques : > $D_1: \vec{P_1}(t) = \vec{A_1} + t\vec{u_1}$ > $D_2: \vec{P_2}(s) = \vec{A_2} + s\vec{u_2}$ > > Pour trouver un point d'intersection, on cherche $t$ et $s$ tels que $\vec{P_1}(t) = \vec{P_2}(s)$, ce qui conduit à un système de 3 équations à 2 inconnues : > $ \begin{cases} x_1 + t u_{1x} = x_2 + s u_{2x} \\ y_1 + t u_{1y} = y_2 + s u_{2y} \\ z_1 + t u_{1z} = z_2 + s u_{2z} \end{cases} $ > > 1. **Résolvez les deux premières équations** pour $t$ et $s$. > 2. **Vérifiez si ces valeurs de $t$ et $s$ satisfont la troisième équation.** > * Si oui, il y a un point d'intersection (droites sécantes). Substituez $t$ (ou $s$) dans l'équation paramétrique correspondante pour trouver le point. > * Si non, les droites sont gauches (si non parallèles) ou parallèles distinctes (si parallèles). Pour distinguer parallèles distinctes et gauches, vérifiez si les vecteurs directeurs sont colinéaires. ## Intersection Droite - Plan (en 3D) Une droite $D$ et un plan $\mathcal{P}$ peuvent être : * **Sécants en un point unique :** Le cas le plus courant. * **Parallèles et distincts :** La droite ne coupe pas le plan. Aucune intersection. * **La droite est contenue dans le plan :** Infinité de points d'intersection. > [!tip] Méthode pour l'intersection d'une droite et d'un plan > 1. Représentez la droite $D$ par son équation paramétrique : > $D: \begin{cases} x = x_0 + tu_x \\ y = y_0 + tu_y \\ z = z_0 + tu_z \end{cases}$ > 2. Représentez le plan $\mathcal{P}$ par son équation cartésienne : > $\mathcal{P}: ax + by + cz + d = 0$ > 3. **Substituez les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan :** > $a(x_0 + tu_x) + b(y_0 + tu_y) + c(z_0 + tu_z) + d = 0$ > Développez et regroupez les termes en $t$: > $(au_x + bu_y + cu_z)t + (ax_0 + by_0 + cz_0 + d) = 0$ > Ceci est une équation linéaire en $t$. > > 4. **Analysez le résultat :** > * **Si $(au_x + bu_y + cu_z) \neq 0$ :** Il y a une solution unique pour $t$. La droite et le plan sont sécants en un point. Substituez la valeur de $t$ dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection. > * **Si $(au_x + bu_y + cu_z) = 0$ :** (Cela signifie que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, donc la droite est parallèle au plan). > * **Et $(ax_0 + by_0 + cz_0 + d) = 0$ :** L'équation devient $0 = 0$. La droite est contenue dans le plan (infinité de solutions). > * **Et $(ax_0 + by_0 + cz_0 + d) \neq 0$ :** L'équation devient $0 = \text{constante non nulle}$. Pas de solution. La droite est parallèle au plan et distincte. ## Intersection Plan - Plan (en 3D) Deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ peuvent être : * **Sécants selon une droite :** Le cas le plus courant, si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. * **Parallèles distincts :** Si leurs vecteurs normaux sont colinéaires et qu'ils n'ont aucun point commun. Aucune intersection. * **Confondus :** Si leurs équations sont proportionnelles. Infinité de points d'intersection (le plan lui-même). > [!theorem] Intersection de deux plans sécants > L'intersection de deux plans sécants dans $\mathbb{R}^3$ est toujours une droite. > [!tip] Méthode pour l'intersection de deux plans > Représentez les deux plans par leurs équations cartésiennes : > $\mathcal{P}_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ > $\mathcal{P}_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ > > On cherche les points $(x, y, z)$ qui satisfont simultanément ces deux équations. C'est un système de 2 équations à 3 inconnues. > > 1. **Vérifiez la colinéarité des vecteurs normaux :** $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$. > * Si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires, les plans sont parallèles (distincts ou confondus). > * Si non colinéaires, les plans sont sécants et leur intersection est une droite. > > 2. **Résolvez le système pour trouver la droite d'intersection :** > Puisqu'il y a 3 inconnues et 2 équations, on peut exprimer deux variables en fonction de la troisième (qui deviendra le paramètre $t$ de la droite). > Par exemple, on peut choisir $z=t$. Ensuite, résolvez le système de 2 équations à 2 inconnues $(x, y)$ en fonction de $t$. > $ \begin{cases} a_1x + b_1y = -c_1t - d_1 \\ a_2x + b_2y = -c_2t - d_2 \end{cases} $ > La solution donnera des expressions pour $x(t)$ et $y(t)$, qui, avec $z=t$, formeront l'équation paramétrique de la droite d'intersection. > [!example] Intersection de deux plans > Trouvez l'intersection des plans $\mathcal{P}_1: x + y - z = 1$ et $\mathcal{P}_2: 2x - y + 3z = 2$. > > **Solution :** > Les vecteurs normaux sont $\vec{n_1}=(1, 1, -1)$ et $\vec{n_2}=(2, -1, 3)$. Ils ne sont pas colinéaires (par exemple, $1/2 \neq 1/(-1)$), donc les plans sont sécants selon une droite. > > On pose $z=t$. Le système devient : > $ \begin{cases} x + y = 1 + t \quad (L_1) \\ 2x - y = 2 - 3t \quad (L_2) \end{cases} $ > > Additionnons $(L_1)$ et $(L_2)$: > $(x+y) + (2x-y) = (1+t) + (2-3t)$ > $3x = 3 - 2t \implies x = 1 - \frac{2}{3}t$ > > Substituons $x$ dans $(L_1)$: > $(1 - \frac{2}{3}t) + y = 1 + t$ > $y = 1 + t - (1 - \frac{2}{3}t)$ > $y = t + \frac{2}{3}t = \frac{5}{3}t$ > > L'équation paramétrique de la droite d'intersection est : > $ D: \begin{cases} x = 1 - \frac{2}{3}t \\ y = \frac{5}{3}t \\ z = t \end{cases} $ > On peut aussi l'écrire sous forme vectorielle : $\vec{P}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2/3 \\ 5/3 \\ 1 \end{pmatrix}$. # ❸ Intersections avec des Quadriques (Sphères, Cylindres, Cônes...) Les quadriques sont des surfaces de degré 2. Les intersections impliquant des quadriques conduisent généralement à des systèmes d'équations non linéaires. ## Droite - Sphère (en 3D) L'intersection d'une droite et d'une sphère peut être : * **Deux points distincts :** La droite coupe la sphère. * **Un point unique (tangence) :** La droite est tangente à la sphère. * **Aucun point :** La droite ne coupe pas la sphère. > [!tip] Méthode pour l'intersection d'une droite et d'une sphère > 1. Représentez la droite $D$ par son équation paramétrique : > $D: \begin{cases} x = x_0 + tu_x \\ y = y_0 + tu_y \\ z = z_0 + tu_z \end{cases}$ > 2. Représentez la sphère $S$ par son équation cartésienne (centrée en $C(x_c, y_c, z_c)$ de rayon $R$): > $S: (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = R^2$ > 3. **Substituez les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation de la sphère.** > Vous obtiendrez une équation quadratique en $t$ de la forme $At^2 + Bt + C = 0$. > 4. **Résolvez cette équation quadratique pour $t$ :** > * **Deux solutions réelles distinctes ($ \Delta > 0 $):** Deux points d'intersection. > * **Une solution réelle double ($ \Delta = 0 $):** Un point d'intersection (tangence). > * **Aucune solution réelle ($ \Delta < 0 $):** Pas d'intersection. > 5. Substituez les valeurs de $t$ trouvées dans les équations paramétriques de la droite pour obtenir les coordonnées des points d'intersection. > [!warning] Complexité des intersections avec les quadriques > Les intersections avec d'autres quadriques (cylindres, cônes, paraboloïdes, hyperboloïdes) suivent le même principe de substitution, mais les équations résultantes peuvent être plus complexes à résoudre ou à interpréter. Les intersections de deux quadriques (par exemple, deux sphères) peuvent donner des courbes plus complexes (par exemple, un cercle). ## Plan - Sphère (en 3D) L'intersection d'un plan et d'une sphère peut être : * **Un cercle :** Si la distance du centre de la sphère au plan est inférieure au rayon. * **Un point :** Si la distance est égale au rayon (plan tangent). * **Aucune intersection :** Si la distance est supérieure au rayon. > [!tip] Méthode pour l'intersection d'un plan et d'une sphère > 1. Calculez la distance $d$ du centre $C$ de la sphère au plan $\mathcal{P}$. > 2. Comparez $d$ au rayon $R$ de la sphère. > * **Si $d > R$ :** Pas d'intersection. > * **Si $d = R$ :** Intersection en un point unique (le plan est tangent à la sphère). Ce point est la projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan. > * **Si $d < R$ :** L'intersection est un cercle. > * Le centre du cercle est la projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan. > * Le rayon du cercle $r$ est donné par $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. # ➡️ C'est la fin Ce chapitre a complété notre exploration de la géométrie analytique en vous fournissant les outils essentiels pour manipuler et analyser les objets géométriques dans l'espace. Nous avons vu comment calculer des distances et des angles, des grandeurs fondamentales pour comprendre les relations spatiales. Plus important encore, nous avons développé des méthodes systématiques pour déterminer les points, droites ou courbes d'intersection entre ces objets. Ces compétences sont non seulement cruciales pour la suite de vos études en mathématiques appliquées, mais elles sont également directement transférables à de nombreuses disciplines de l'ingénierie. Que vous travailliez sur la modélisation 3D, la robotique, la vision par ordinateur ou la mécanique des solides, vous utiliserez constamment ces concepts. --- - Cours précèdent: [[Cours 2 - Géométrie analytique]] - Prochain cours: [[Exercices - Géométrie analytique]] - Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `28-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]