# Exercices - Géométrie Analytique > Page d'accueil de la compétence: [[Géométrie analytique]] > [!example] Historique des cours: > - [[Cours 1 - Géométrie analytique]] > - [[Cours 2 - Géométrie analytique]] > - [[Cours 3 - Géométrie analytique]] ## 🧠 Exercices ### Exercice 1 : Manipulation de points et vecteurs Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère les points $A(1, -2, 3)$, $B(3, 0, -1)$ et $C(-1, 4, 1)$. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2. Calculer les normes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 3. Déterminer les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[AB]$. 4. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse. 5. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. En déduire la nature de l'angle $\widehat{BAC}$. ### Exercice 2 : Équations de droites et de plans 1. **Dans le plan $\mathbb{R}^2$ :** Soient les points $P(2, -1)$ et $Q(-1, 3)$. a. Donner une équation paramétrique de la droite $D$ passant par $P$ et $Q$. b. Donner une équation cartésienne de la droite $D$. c. Déterminer le vecteur normal à la droite $D$. 2. **Dans l'espace $\mathbb{R}^3$ :** Soient les points $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, -1)$ et $C(0, 2, 0)$. a. Déterminer un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$, $B$ et $C$. b. Donner une équation cartésienne du plan $P$. c. Donner une équation paramétrique du plan $P$. ### Exercice 3 : Distances et orthogonalité 1. **Distance point-droite (2D) :** Calculer la distance du point $A(1, 2)$ à la droite $D$ d'équation cartésienne $3x - 4y + 5 = 0$. 2. **Distance point-plan (3D) :** Calculer la distance du point $B(0, 1, -1)$ au plan $P$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 3 = 0$. 3. **Orthogonalité :** Soient les vecteurs $\vec{u}(1, a, 2)$ et $\vec{v}(3, -1, a)$ dans $\mathbb{R}^3$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux. ### Exercice 4 : Produit vectoriel et aires Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère les points $A(1, 1, 0)$, $B(2, 3, -1)$ et $C(0, 2, 1)$. 1. Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC}$. 2. En déduire l'aire du triangle $ABC$. 3. Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A$, $B$ et $C$. ### Exercice 5 : Intersections d'objets géométriques 1. **Intersection de deux droites (2D) :** Déterminer le point d'intersection des droites $D_1: x - 2y + 1 = 0$ et $D_2: 2x + y - 3 = 0$. 2. **Intersection d'une droite et d'un plan (3D) :** Soit la droite $L$ définie par le système d'équations paramétriques : $ L: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ Et le plan $P$ d'équation cartésienne $x + y - z = 0$. Déterminer le point d'intersection de la droite $L$ et du plan $P$. 3. **Intersection de deux plans (3D) :** Déterminer la droite d'intersection des plans $P_1: x + y + z - 1 = 0$ et $P_2: 2x - y + 3z + 2 = 0$. ### Exercice 6 : Cercles et sphères 1. **Cercle (2D) :** Déterminer l'équation cartésienne du cercle de centre $C(1, -2)$ et de rayon $R=3$. 2. **Sphère (3D) :** Déterminer le centre et le rayon de la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0$. ### Exercice 7 : Problème de synthèse Dans l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère le plan $P$ d'équation $x - 2y + z - 4 = 0$ et le point $A(1, 1, 1)$. 1. Déterminer l'équation paramétrique de la droite $D$ passant par $A$ et orthogonale au plan $P$. 2. Déterminer les coordonnées du point $H$, projection orthogonale de $A$ sur le plan $P$. 3. Calculer la distance du point $A$ au plan $P$. 4. Le point $B(2, 0, 2)$ appartient-il au plan $P$? Justifier. ## 📝 Corrigés Détaillés ### Exercice 1 : Manipulation de points et vecteurs Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère les points $A(1, -2, 3)$, $B(3, 0, -1)$ et $C(-1, 4, 1)$. 1. **Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.** > [!definition] Coordonnées d'un vecteur > Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. > - Pour $\vec{AB}$: $B(3, 0, -1)$ et $A(1, -2, 3)$. > $\vec{AB} = (3 - 1, 0 - (-2), -1 - 3) = (2, 2, -4)$. > - Pour : $C(-1, 4, 1)$ et $A(1, -2, 3)$. > $\vec{AC} = (-1 - 1, 4 - (-2), 1 - 3) = (-2, 6, -2)$. 2. **Calculer les normes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.** > [!definition] Norme d'un vecteur > Si un vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(x, y, z)$, sa norme est donnée par > $||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. >* Pour $||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. >- Pour : $||\vec{AC}|| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$. 3. **Déterminer les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[AB]$.** > [!definition] Milieu d'un segment > Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, alors le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$. * Pour $A(1, -2, 3)$ et $B(3, 0, -1)$: $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (2, -1, 1)$. 4. **Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.** > [!theorem] Condition d'alignement de points / Colinéarité de vecteurs > Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Deux vecteurs $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$ sont colinéaires s'il existe un scalaire $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$, ce qui se traduit par $\frac{x_u}{x_v} = \frac{y_u}{y_v} = \frac{z_u}{z_v}$ (si les dénominateurs sont non nuls). Nous avons $\vec{AB}(2, 2, -4)$ et $\vec{AC}(-2, 6, -2)$. Vérifions si $\vec{AB} = k \vec{AC}$ pour un certain $k$: * $2 = k(-2) \implies k = -1$ * $2 = k(6) \implies k = 1/3$ * $-4 = k(-2) \implies k = 2$ Puisque nous obtenons des valeurs de $k$ différentes ($-1 \neq 1/3 \neq 2$), les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 5. **Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. En déduire la nature de l'angle $\widehat{BAC}$.** > [!definition] Produit scalaire > Pour deux vecteurs $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$, leur produit scalaire est $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$. > Il est également défini par $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs. > [!theorem] Nature de l'angle > - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$, l'angle est aigu ($0 < \theta < \pi/2$). > - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$, l'angle est obtus ($\pi/2 < \theta < \pi$). > - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, l'angle est droit ($\theta = \pi/2$, les vecteurs sont orthogonaux). Nous avons $\vec{AB}(2, 2, -4)$ et $\vec{AC}(-2, 6, -2)$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(-2) + (2)(6) + (-4)(-2) = -4 + 12 + 8 = 16$. Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16 > 0$, l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu. ### Exercice 2 : Équations de droites et de plans 1. **Dans le plan $\mathbb{R}^2$ :** Soient les points $P(2, -1)$ et $Q(-1, 3)$. a. **Donner une équation paramétrique de la droite $D$ passant par $P$ et $Q$.** > [!definition] Équation paramétrique d'une droite > Une droite passant par un point $P_0(x_0, y_0)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(a, b)$ a pour équation paramétrique : > $ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ * Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{PQ} = (-1 - 2, 3 - (-1)) = (-3, 4)$. * En utilisant le point $P(2, -1)$ et le vecteur directeur $\vec{v}(-3, 4)$: $ D: \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -1 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ b. **Donner une équation cartésienne de la droite $D$.** > [!definition] Équation cartésienne d'une droite > Une droite de vecteur directeur $\vec{v}(a, b)$ a un vecteur normal $\vec{n}(-b, a)$ ou $(b, -a)$. Son équation cartésienne est de la forme $Ax + By + C = 0$, où $(A, B)$ sont les coordonnées d'un vecteur normal. * À partir de l'équation paramétrique, on peut isoler $t$: $t = \frac{x-2}{-3}$ et $t = \frac{y+1}{4}$. Donc, $\frac{x-2}{-3} = \frac{y+1}{4}$. $4(x-2) = -3(y+1)$ $4x - 8 = -3y - 3$ $4x + 3y - 5 = 0$. C'est l'équation cartésienne de la droite $D$. > [!tip] Autre méthode > Un vecteur directeur est $\vec{v}(-3, 4)$. Un vecteur normal est $\vec{n}(4, 3)$. > L'équation cartésienne est de la forme $4x + 3y + C = 0$. > Pour trouver $C$, on utilise un point de la droite, par exemple $P(2, -1)$: > $4(2) + 3(-1) + C = 0 \implies 8 - 3 + C = 0 \implies 5 + C = 0 \implies C = -5$. > D'où $4x + 3y - 5 = 0$. c. **Déterminer le vecteur normal à la droite $D$.** * À partir de l'équation cartésienne $4x + 3y - 5 = 0$, les coefficients de $x$ et $y$ donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal. Un vecteur normal à $D$ est $\vec{n}(4, 3)$. 2. **Dans l'espace $\mathbb{R}^3$ :** Soient les points $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, -1)$ et $C(0, 2, 0)$. a. **Déterminer un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$, $B$ et $C$.** > [!theorem] Vecteur normal à un plan > Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Si un plan est défini par trois points non alignés $A, B, C$, alors les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont des vecteurs directeurs. Leur produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC}$ est un vecteur normal au plan. * Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$: $\vec{AB} = (2-1, 1-0, -1-1) = (1, 1, -2)$. $\vec{AC} = (0-1, 2-0, 0-1) = (-1, 2, -1)$. * Calculons le produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$: $ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-1) - (-2)(2) \\ (-2)(-1) - (1)(-1) \\ (1)(2) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 4 \\ 2 + 1 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $ * Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}(3, 3, 3)$. On peut simplifier ce vecteur en $\vec{n'}(1, 1, 1)$ car tout multiple non nul d'un vecteur normal est aussi un vecteur normal. b. **Donner une équation cartésienne du plan $P$.** > [!definition] Équation cartésienne d'un plan > Un plan de vecteur normal $\vec{n}(A, B, C)$ a pour équation cartésienne $Ax + By + Cz + D = 0$. * En utilisant le vecteur normal $\vec{n'}(1, 1, 1)$, l'équation du plan est de la forme $1x + 1y + 1z + D = 0$, soit $x + y + z + D = 0$. * Pour trouver $D$, on utilise un point du plan, par exemple $A(1, 0, 1)$: $1 + 0 + 1 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$. * L'équation cartésienne du plan $P$ est $x + y + z - 2 = 0$. c. **Donner une équation paramétrique du plan $P$.** > [!definition] Équation paramétrique d'un plan > Un plan passant par un point $P_0(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v}(v_x, v_y, v_z)$ a pour équation paramétrique : > $ \begin{cases} x = x_0 + u_x t + v_x s \\ y = y_0 + u_y t + v_y s \\ z = z_0 + u_z t + v_z s \end{cases}, \quad t, s \in \mathbb{R} $ * Nous pouvons utiliser le point $A(1, 0, 1)$ et les vecteurs directeurs $\vec{AB}(1, 1, -2)$ et $\vec{AC}(-1, 2, -1)$. $ P: \begin{cases} x = 1 + t - s \\ y = 0 + t + 2s \\ z = 1 - 2t - s \end{cases}, \quad t, s \in \mathbb{R} $ (On peut omettre le 0 dans l'équation de $y$). ### Exercice 3 : Distances et orthogonalité 1. **Distance point-droite (2D) :** Calculer la distance du point $A(1, 2)$ à la droite $D$ d'équation cartésienne $3x - 4y + 5 = 0$. > [!theorem] Distance d'un point à une droite (2D) > La distance du point $A(x_A, y_A)$ à la droite $D$ d'équation $ax + by + c = 0$ est donnée par la formule : > $ d(A, D) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $ * Ici, $A(1, 2)$ et $D: 3x - 4y + 5 = 0$. Donc $x_A=1$, $y_A=2$, $a=3$, $b=-4$, $c=5$. * $d(A, D) = \frac{|3(1) - 4(2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|0|}{\sqrt{25}} = \frac{0}{5} = 0$. * La distance est 0. Cela signifie que le point $A(1, 2)$ appartient à la droite $D$. Vérifions : $3(1) - 4(2) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0$. C'est correct. 2. **Distance point-plan (3D) :** Calculer la distance du point $B(0, 1, -1)$ au plan $P$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 3 = 0$. > [!theorem] Distance d'un point à un plan (3D) > La distance du point $A(x_A, y_A, z_A)$ au plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule : > $ d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $ * Ici, $B(0, 1, -1)$ et $P: 2x - y + 2z - 3 = 0$. Donc $x_B=0$, $y_B=1$, $z_B=-1$, $a=2$, $b=-1$, $c=2$, $d=-3$. * $d(B, P) = \frac{|2(0) - 1(1) + 2(-1) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|0 - 1 - 2 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-6|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$. * La distance du point $B$ au plan $P$ est $2$. 3. **Orthogonalité :** Soient les vecteurs $\vec{u}(1, a, 2)$ et $\vec{v}(3, -1, a)$ dans $\mathbb{R}^3$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux. > [!theorem] Condition d'orthogonalité > Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. * Calculons le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (a)(-1) + (2)(a) = 3 - a + 2a = 3 + a$. * Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux, il faut que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. $3 + a = 0 \implies a = -3$. * Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si $a = -3$. ### Exercice 4 : Produit vectoriel et aires Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère les points $A(1, 1, 0)$, $B(2, 3, -1)$ et $C(0, 2, 1)$. 1. **Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC}$.** * D'abord, calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$: $\vec{AB} = (2-1, 3-1, -1-0) = (1, 2, -1)$. $\vec{AC} = (0-1, 2-1, 1-0) = (-1, 1, 1)$. * Ensuite, calculons le produit vectoriel: $ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) - (-1)(1) \\ (-1)(-1) - (1)(1) \\ (1)(1) - (2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 1 - 1 \\ 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $ * Le produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC}$ est $(3, 0, 3)$. 2. **En déduire l'aire du triangle $ABC$.** > [!theorem] Aire d'un triangle avec le produit vectoriel > L'aire d'un triangle $ABC$ est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deux de ses côtés issus du même sommet, par exemple $Aire(ABC) = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}||$. * Calculons la norme du vecteur $\vec{AB} \times \vec{AC} = (3, 0, 3)$: $||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. * L'aire du triangle $ABC$ est $\frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \frac{1}{2} (3\sqrt{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. 3. **Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A$, $B$ et $C$.** * Le vecteur $\vec{AB} \times \vec{AC} = (3, 0, 3)$ est un vecteur normal au plan. On peut utiliser le vecteur $\vec{n}(1, 0, 1)$ (en divisant par 3) pour simplifier les calculs. * L'équation du plan est de la forme $1x + 0y + 1z + D = 0$, soit $x + z + D = 0$. * Utilisons le point $A(1, 1, 0)$ pour trouver $D$: $1 + 0 + D = 0 \implies D = -1$. * L'équation cartésienne du plan est $x + z - 1 = 0$. ### Exercice 5 : Intersections d'objets géométriques 1. **Intersection de deux droites (2D) :** Déterminer le point d'intersection des droites $D_1: x - 2y + 1 = 0$ et $D_2: 2x + y - 3 = 0$. > [!tip] Méthode > Pour trouver le point d'intersection de deux droites, il faut résoudre le système d'équations linéaires formé par leurs équations cartésiennes. Nous devons résoudre le système : $ \begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \quad (L_1) \\ 2x + y - 3 = 0 \quad (L_2) \end{cases} $ * De $(L_1)$, on peut exprimer $x = 2y - 1$. * Substituons cette expression de $x$ dans $(L_2)$: $2(2y - 1) + y - 3 = 0$ $4y - 2 + y - 3 = 0$ $5y - 5 = 0$ $5y = 5 \implies y = 1$. * Maintenant, trouvons $x$ en utilisant $x = 2y - 1$: $x = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$. * Le point d'intersection est $(1, 1)$. 2. **Intersection d'une droite et d'un plan (3D) :** Soit la droite $L$ définie par le système d'équations paramétriques : $ L: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ Et le plan $P$ d'équation cartésienne $x + y - z = 0$. Déterminer le point d'intersection de la droite $L$ et du plan $P$. > [!tip] Méthode > Pour trouver l'intersection d'une droite paramétrique et d'un plan cartésien, substituez les expressions paramétriques de $x, y, z$ de la droite dans l'équation cartésienne du plan. Cela vous donnera une équation en $t$. * Substituons les expressions de $x, y, z$ de la droite $L$ dans l'équation du plan $P$: $(1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) = 0$. * Simplifions l'équation: $1 + t + 2 - t - 3 - 2t = 0$ $(1 + 2 - 3) + (t - t - 2t) = 0$ $0 - 2t = 0$ $-2t = 0 \implies t = 0$. * Maintenant, substituons $t=0$ dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection: $x = 1 + 0 = 1$ $y = 2 - 0 = 2$ $z = 3 + 2(0) = 3$. * Le point d'intersection est $I(1, 2, 3)$. 3. **Intersection de deux plans (3D) :** Déterminer la droite d'intersection des plans $P_1: x + y + z - 1 = 0$ et $P_2: 2x - y + 3z + 2 = 0$. > [!tip] Méthode > L'intersection de deux plans non parallèles est une droite. Cette droite est définie par le système des deux équations cartésiennes des plans. On peut exprimer deux variables en fonction d'une troisième (le paramètre) pour obtenir l'équation paramétrique de la droite. Nous devons résoudre le système : $ \begin{cases} x + y + z = 1 \quad (L_1) \\ 2x - y + 3z = -2 \quad (L_2) \end{cases} $ * Ajoutons $(L_1)$ et $(L_2)$ pour éliminer $y$: $(x + y + z) + (2x - y + 3z) = 1 + (-2)$ $3x + 4z = -1 \quad (L_3)$. * De $(L_3)$, on peut exprimer $x$ en fonction de $z$: $3x = -1 - 4z \implies x = -\frac{1}{3} - \frac{4}{3}z$. * Maintenant, substituons cette expression de $x$ dans $(L_1)$ pour trouver $y$ en fonction de $z$: $(-\frac{1}{3} - \frac{4}{3}z) + y + z = 1$ $y = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3}z - z$ $y = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}z$. * Posons $z = t$ (le paramètre). * L'équation paramétrique de la droite d'intersection est : $ D: \begin{cases} x = -\frac{1}{3} - \frac{4}{3}t \\ y = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ > [!note] Vecteur directeur de la droite d'intersection > Le vecteur directeur de la droite d'intersection est orthogonal aux vecteurs normaux des deux plans. Il peut être obtenu par le produit vectoriel des vecteurs normaux. > $\vec{n_1}(1, 1, 1)$ et $\vec{n_2}(2, -1, 3)$. > $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (1)(-1) \\ (1)(2) - (1)(3) \\ (1)(-1) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1 \\ 2-3 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$. > Les coefficients de $t$ dans l'équation paramétrique, $(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 1)$, sont bien colinéaires à $(4, -1, -3)$ (en multipliant par $-1/3$). ### Exercice 6 : Cercles et sphères 1. **Cercle (2D) :** Déterminer l'équation cartésienne du cercle de centre $C(1, -2)$ et de rayon $R=3$. > [!definition] Équation d'un cercle > L'équation cartésienne d'un cercle de centre $(x_C, y_C)$ et de rayon $R$ est $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2$. * Avec $C(1, -2)$ et $R=3$: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. * C'est l'équation cartésienne du cercle. On peut aussi la développer : $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 9$ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$. 2. **Sphère (3D) :** Déterminer le centre et le rayon de la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0$. > [!definition] Équation d'une sphère > L'équation cartésienne d'une sphère de centre $(x_C, y_C, z_C)$ et de rayon $R$ est $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2$. > [!tip] Méthode > Pour trouver le centre et le rayon à partir de l'équation développée, utilisez la méthode de complétion du carré pour chaque variable. * Regroupons les termes en $x$, $y$, $z$: $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + (z^2 - 2z) - 2 = 0$. * Complétons les carrés : * $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$. * $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 3^2 = (y + 3)^2 - 9$. * $z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1^2 = (z - 1)^2 - 1$. * Substituons ces expressions dans l'équation de la sphère : $((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) + ((z - 1)^2 - 1) - 2 = 0$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 - 4 - 9 - 1 - 2 = 0$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 - 16 = 0$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 16$. * En comparant avec l'équation standard, on identifie : * Centre $C(x_C, y_C, z_C) = (2, -3, 1)$. * Rayon $R^2 = 16 \implies R = \sqrt{16} = 4$. ### Exercice 7 : Problème de synthèse Dans l'espace $\mathbb{R}^3$, on considère le plan $P$ d'équation $x - 2y + z - 4 = 0$ et le point $A(1, 1, 1)$. 1. **Déterminer l'équation paramétrique de la droite $D$ passant par $A$ et orthogonale au plan $P$.** > [!theorem] Droite orthogonale à un plan > Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. * Le vecteur normal au plan $P: x - 2y + z - 4 = 0$ est $\vec{n}(1, -2, 1)$. * Ce vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $D$. * La droite $D$ passe par le point $A(1, 1, 1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}(1, -2, 1)$. * Son équation paramétrique est : $ D: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $ 2. **Déterminer les coordonnées du point $H$, projection orthogonale de $A$ sur le plan $P$.** > [!tip] Méthode > Le point $H$ est l'intersection de la droite $D$ (passant par $A$ et orthogonale à $P$) et du plan $P$. * Nous avons l'équation paramétrique de $D$ et l'équation cartésienne de $P$. Substituons les coordonnées de $D$ dans $P$: $(1 + t) - 2(1 - 2t) + (1 + t) - 4 = 0$. * Développons et simplifions: $1 + t - 2 + 4t + 1 + t - 4 = 0$ $(1 - 2 + 1 - 4) + (t + 4t + t) = 0$ $-4 + 6t = 0$ $6t = 4 \implies t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. * Maintenant, substituons $t = \frac{2}{3}$ dans les équations paramétriques de $D$ pour trouver les coordonnées de $H$: $x_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$ $y_H = 1 - 2\left(\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3-4}{3} = -\frac{1}{3}$ $z_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$. * Le point $H$ est $\left(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$. 3. **Calculer la distance du point $A$ au plan $P$.** > [!note] Deux méthodes > 1. Utiliser la formule de distance point-plan (vue en Ex3.2). > 2. Calculer la distance entre le point $A$ et sa projection orthogonale $H$, c'est-à-dire $||\vec{AH}||$. * **Méthode 1 (formule) :** $A(1, 1, 1)$ et $P: x - 2y + z - 4 = 0$. $d(A, P) = \frac{|1(1) - 2(1) + 1(1) - 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2 + 1 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. * **Méthode 2 (distance $AH$) :** $A(1, 1, 1)$ et $H\left(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$. $\vec{AH} = \left(\frac{5}{3} - 1, -\frac{1}{3} - 1, \frac{5}{3} - 1\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$. $||\vec{AH}|| = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. * Les deux méthodes donnent le même résultat. La distance est $\frac{2\sqrt{6}}{3}$. 4. **Le point $B(2, 0, 2)$ appartient-il au plan $P$? Justifier.** > [!tip] Vérification d'appartenance > Un point appartient à un plan si ses coordonnées satisfont l'équation cartésienne du plan. * Substituons les coordonnées de $B(2, 0, 2)$ dans l'équation du plan $P: x - 2y + z - 4 = 0$: $(2) - 2(0) + (2) - 4 = 2 - 0 + 2 - 4 = 4 - 4 = 0$. * Puisque l'équation est vérifiée ($0 = 0$), le point $B(2, 0, 2)$ appartient bien au plan $P$. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]