# Exercices – Nombre d’or et cercle trigonométrique **Objectifs pédagogiques** - Manipuler des constructions dynamiques (points, segments, polygones, arcs). - Utiliser la barre d’entrée pour définir des constantes et des expressions (en radians/degrés). - Lier une construction géométrique à une fonction analytique. ## Activité 1 — Spirale « d’or » à partir de $\varphi$ **Rappels.** $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\qquad\text{et}\qquad \varphi^2=\varphi+1,;; \varphi-1=\frac{1}{\varphi}.$ ### A. Mise en place 1. **Définir $,\varphi,$** Dans la barre d’entrée : `phi = (1 + sqrt(5)) / 2` 2. **Créer un carré de côté $,\varphi,$** - Placer $A=(0,0)$ et $B=(phi,0)$. - Outil **Polygone régulier** → sélectionner $A$ puis $B$, entrer **4** (ou utiliser l’outil **Carré** avec le segment $AB$). Vous obtenez le carré $ABCD$. ### B. Insérer un **rectangle d’or** à l’intérieur > Idée : exploiter $,\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi},$. On inscrit un rectangle de hauteur $1$ et de largeur $,\varphi,$ dans le grand carré ($\varphi>1$). 3. **Tracer la bande de hauteur $1$** - Créer la droite $y=1$ (barre d’entrée : `y = 1`). - Définir $E=(0,1)$ et $F=(phi,1)$. - Outil **Polygone** → construire le rectangle $A(0,0)$–$B(phi,0)$–$F(phi,1)$–$E(0,1)$ (votre **rectangle d’or** interne). ### C. Subdivision en carrés (pas à pas) 4. **Premier carré $S_1$ de côté $1$** - Outil **Carré** → côté $[AE]$. Obtenez le carré $AEGH$ (côté $1$) dans l’angle bas-gauche. 5. **Deuxième carré $S_2$ de côté $\varphi-1$** - Le rectangle restant à droite de $S_1$ a dimensions $(\varphi-1)\times 1$. - Outil **Carré** → construire le carré accolé au premier dans la bande restante. 6. **Itération** - Répéter : dans le **rectangle restant**, placer le plus grand carré possible le long du **côté le plus court**. L’orientation alterne (on « tourne » dans le sens anti-horaire). - Réaliser **4 à 6 itérations**. > Astuce : créer un **curseur** `n` (entier, 1→6) et afficher les carrés $S_k$ conditionnellement via la propriété _Condition pour afficher l’objet_ (par ex. `$k \le n). ### D. Tracer la « spirale d’or » (arc par arc) 7. **Arcs de quart de cercle** Pour chaque carré $S_k$, tracer un **arc de $90^\circ$** reliant deux sommets successifs, **centré** au sommet interne (celui au contact du carré précédent). - Outil **Arc (Centre–Point–Angle)** (ou **Arc passant par 3 points**). - Enchaîner les arcs dans l’ordre de la subdivision pour obtenir une spirale logarithmique **approchée**. ### E. Pour aller plus loin (optionnel) - Remplacer les arcs par un **Locus** d’un point s’éloignant selon $r=a,\varphi^{\theta/(\pi/2)}.$ - Étiqueter les côtés des carrés : $1,;\varphi-1,;2-\varphi=\tfrac{1}{\varphi^2},\ldots$ et mesurer les **rapports** successifs (convergence vers $\varphi$). **Livrable attendu (A1)** : figure GeoGebra avec le carré de côté $\varphi$, le rectangle d’or interne, $4$–$6$ carrés imbriqués et la spirale (arcs), noms d’objets propres, axes/grille maîtrisés. --- ## Activité 2 — Cercle trigonométrique, radians ↔ degrés, et $,\sin(x)$ ### A. Mise en place 1. **Repère et cercle unité** - Conserver les axes. - Placer l’origine $O=(0,0)$. - Outil **Cercle (Centre–Rayon)** → centre $O$, rayon **1** (cercle trigonométrique). 2. **Curseur en radians** - Outil **Curseur** → nom : `x`, type **Nombre**, intervalle $[-2\pi,,2\pi]$, pas $0{,}01$. - Dans la barre d’entrée : `P = (cos(x), sin(x))` (point mobile sur le cercle). ### B. Lier géométrie et analyse 3. **Projection verticale (définition de $\sin$)** - Droite perpendiculaire à l’axe des abscisses par $P$ ; intersection $H$ avec $Ox$. - Segments $OP$ et $PH$ (triangle rectangle ; la longueur $PH=\sin(x)$). 4. **Fonction sinus et point image** - Barre d’entrée : `f(t) = sin(t)` - Créer `M = (x, f(x))` (point lié au graphe $y=\sin(x)$). - (Option) Activer **Trace** sur $M$ et **Animer** `x`. ### C. Affichage dynamique radians & degrés 5. **Conversion degrés** - Barre d’entrée : `xDeg = round(x * 180 / pi, 1)` 6. **Texte dynamique sur la figure** - Outil **Insérer texte** (cocher _LaTeX_) et saisir : `$\alpha = $ x $ \text{ rad} = $ xDeg $^\circ (ou `Text("\alpha = " + x + " rad = " + xDeg + "°", P, true)` pour l’attacher à $P$). 7. **Angle orienté (vérification)** - Barre d’entrée : `alpha = Angle((1,0), P, O)` (selon la version, l’angle est en degrés). - Comparer `alpha` et $xDeg$. ### D. Soins de présentation & variantes - Masquer les noms superflus, harmoniser couleurs/épaisseurs (cercle, triangle, point $M$). - Graduer l’axe $x$ en multiples de $\pi$ ; afficher $x=\pm\frac{\pi}{2},\ \pm\pi,\ \ldots$ - Construire de même $\cos(x)$ (projection horizontale) ; afficher $\tan(x)$ là où elle est définie. - (Option) Afficher la flèche $\vec{OP}$ et la **mesure d’arc** $x$ sur le cercle (outil **Arc** de $0$ à $P$). **Livrable attendu (A2)** : figure GeoGebra avec le cercle unité, $P=(\cos x,\sin x)$, le triangle $OPH$, le texte dynamique affichant **en même temps** $x$ en radians et en degrés, et le point $M=(x,\sin x)$ sur $y=\sin x$. --- ## Critères d’évaluation (A1 & A2) - **Exactitude géométrique** : constructions rigoureuses (carrés, arcs, projections, cercle unité). - **Paramétrisation** : constantes/curseurs pertinents (`phi`, `x`). - **Lisibilité** : noms/objets organisés, axes/grilles maîtrisés, couleurs cohérentes. - **Dynamique** : dépendances correctes (le mouvement de `x` met à jour tous les objets). - **Interprétation** : court commentaire reliant la construction à la théorie (propriétés de $\varphi$, définition géométrique de $\sin$). > **Conseil pratique** : conservez deux fichiers `.ggb` distincts (A1 et A2) et exportez des captures pour votre compte-rendu. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]