%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales doubles/Intégrales doubles|Accueil · Intégrales doubles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales doubles/Exercices - Intégrales doubles\|Exercices - Intégrales doubles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% >[!example] Contenu du cours Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : >- Définition d'une intégrale double >- Propriétés fondamentales des intégrales doubles >- Intégrales doubles sur un domaine rectangulaire >- Intégrales doubles sur un domaine non rectangulaire de type I ou de type II >- Intégrales doubles des fonctions sécables >- Changement de variables ## 1. Définition de l'Intégrale Double L'intégrale double est une extension naturelle de l'intégrale définie en une dimension : l'intégrale simple $\int_a^b f(x) dx$ calcule l'aire sous une courbe, tandis que l'intégrale double $\iint_D f(x,y) dxdy$ calcule le volume sous une surface $z=f(x,y)$ au-dessus d'une région $D$ du plan $xy$. > [!note] Interprétation Géométrique et Volume Net Si $f(x,y) \ge 0$ sur le domaine $D$, l'intégrale représente le volume réel du solide. Si $f(x,y)$ prend des valeurs négatives, l'intégrale représente un volume net signé, où les volumes situés sous le plan $xy$ sont comptés négativement. > [!example] Exemples d'Application >1. Volume d'un cylindre: Pour une fonction constante $f(x,y) = h\geq 0$ sur un domaine $D$, l'intégrale double est : $\iint_D h \, dxdy = h \iint_D dxdy$. Puisque $\iint_D dxdy$ représente l'aire de la région $D$ (notée $\text{Aire}(D)$), on obtient : $\iint_D h \, dxdy = h \cdot \text{Aire}(D)$. C'est exactement la formule du volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de base $D$. 2. Volume sous un paraboloïde: Pour la fonction $f(x,y) = 4 - x^2 - y^2$ sur le disque unité $D=\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \le 1 \}$, l'intégrale double $\iint_D (4 - x^2 - y^2) dxdy$ représente le volume du solide délimité par le paraboloïde $z = 4 - x^2 - y^2$ et le plan $xy$ au-dessus du disque unité. ## 2. Propriétés des Intégrales Doubles Les intégrales doubles partagent de nombreuses propriétés avec les intégrales simples, ce qui les rend maniables. ### 2.1. Linéarité > [!theorem] Linéarité > Si $f(x,y)$ et $g(x,y)$ sont intégrables sur une région $D$, et si $c_1, c_2$ sont des constantes réelles, alors : > $ \iint_D [c_1 f(x,y) + c_2 g(x,y)] dxdy = c_1 \iint_D f(x,y) dxdy + c_2 \iint_D g(x,y) dxdy. $ > Cette propriété est fondamentale car elle permet de décomposer des intégrales complexes en sommes d'intégrales plus simples. ### 2.2. Relation d'Ordre (Positivité et Monotonie) > [!theorem] Positivité et Monotonie > 1. **Positivité :** Si $f(x,y) \ge 0$ pour tout $(x,y) \in D$, alors $\iint_D f(x,y) dxdy \ge 0$. > 2. **Monotonie :** Si $f(x,y) \ge g(x,y)$ pour tout $(x,y) \in D$, alors $\iint_D f(x,y) dxdy \ge \iint_D g(x,y) dxdy$. > Ces propriétés découlent directement de l'interprétation de l'intégrale comme un volume. > [!note] Théorème de la Valeur Moyenne pour les Intégrales Doubles > Si $f$ est continue sur une région $D$ de surface $\text{Aire}(D)$, alors il existe un point $(x_0, y_0) \in D$ tel que : > $ \iint_D f(x,y) dxdy = f(x_0, y_0) \cdot \text{Aire}(D). $ > La **valeur moyenne** de $f$ sur $D$ est alors définie par : > $ f_{\text{moy}} = \frac{1}{\text{Aire}(D)} \iint_D f(x,y) dxdy.$ > Cette valeur moyenne est très utile en ingénierie pour caractériser une propriété (température moyenne, densité moyenne, etc.) sur une surface. Elle est liée à la recherche d'extremums car elle donne une "valeur représentative" de la fonction sur le domaine. ### 2.3. Additivité par Rapport au Domaine d'Intégration > [!theorem] Additivité par Rapport au Domaine d'Intégration > Si la région $D$ est l'union de deux sous-régions $D_1$ et $D_2$ qui ne se chevauchent qu'à leurs frontières (c'est-à-dire que leur intersection est de mesure nulle, par exemple une courbe), alors : > $ \iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) dxdy + \iint_{D_2} f(x,y) dxdy. $ > Cette propriété est essentielle pour intégrer sur des régions complexes en les décomposant en sous-régions plus simples (par exemple, des régions de Type I et de Type II). ### 2.4. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les Intégrales Doubles L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une inégalité fondamentale en mathématiques, qui a des applications vastes, notamment en physique et en traitement du signal. Son extension aux intégrales est la suivante : > [!theorem] Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les Intégrales Doubles > Soient $f(x,y)$ et $g(x,y)$ deux fonctions intégrables sur une région $D$. Alors : > $ \left( \iint_D f(x,y) g(x,y) dxdy \right)^2 \le \left( \iint_D f(x,y)^2 dxdy \right) \left( \iint_D g(x,y)^2 dxdy \right). $ > Cette inégalité est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes et les vecteurs. Elle est particulièrement utile pour borner des intégrales ou pour démontrer l'existence de certaines propriétés. ## 3. Intégrales Doubles sur un Domaine Rectangulaire Commençons par le cas le plus simple : l'intégration sur un domaine rectangulaire. C'est le point de départ pour comprendre la notion d'intégrale itérée. > [!definition] Intégrale double sur un rectangle > Soit $f(x,y)$ une fonction continue sur le rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$, c'est-à-dire l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $a \le x \le b$ et $c \le y \le d$. > L'intégrale double de $f$ sur $R$, notée $\iint_R f(x,y) dxdy$, représente le volume (algébrique) entre la surface $z=f(x,y)$ et le plan $xy$ au-dessus du domaine $R$. Pour calculer cette intégrale, nous utilisons le concept d'intégrales itérées. L'idée est de transformer l'intégrale double en une séquence de deux intégrales simples. > [!theorem] Théorème de Fubini (pour les rectangles) > Si $f(x,y)$ est une fonction continue sur le rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$, alors l'intégrale double peut être calculée comme une intégrale itérée : > $ \iint_R f(x,y) dx dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx $ > ou > $ \iint_R f(x,y) dx dy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy. $ > > L'ordre d'intégration peut être interchangé sans modifier le résultat, à condition que la fonction soit continue. > [!note] Interprétation du calcul itéré > Lorsque vous calculez $\int_c^d f(x,y) dy$, vous intégrez $f$ par rapport à $y$ en considérant $x$ comme une constante. Le résultat de cette intégrale est une fonction de $x$. Ensuite, vous intégrez cette fonction de $x$ par rapport à $x$. > [!example] Calcul sur un rectangle > Calculez l'intégrale double de $f(x,y) = xy^2$ sur le rectangle $R = [0,1] \times [1,2]$. > > **Solution :** > Nous pouvons choisir l'un des deux ordres d'intégration. Utilisons l'ordre $dy$ puis $dx$ : > $ \iint_R xy^2 dx dy = \int_0^1 \left( \int_1^2 xy^2 dy \right) dx. $ > > 1. **Intégrale intérieure (par rapport à $y$) :** > $ \int_1^2 xy^2 dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_1^2 = x \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = x \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7x}{3}. $ > > 2. **Intégrale extérieure (par rapport à $x$) :** > $ \int_0^1 \frac{7x}{3} dx = \frac{7}{3} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{7}{3} \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{6}. $ > > Le résultat est $\frac{7}{6}$. Vous pouvez vérifier en inversant l'ordre d'intégration. --- ## 4. Intégrales Doubles sur un Domaine Quelconque En pratique, les domaines d'intégration sont rarement des rectangles. Nous devons donc étendre les méthodes de calcul aux domaines plus généraux. Pour ce faire, nous définissons des types de domaines qui permettent une intégration itérée. > [!definition] Domaine de Type I (ou vertical simple) > Un domaine $D$ est de **type I** si il peut être décrit par : > $ D = \{ (x,y) \mid a \le x \le b, \quad g_1(x) \le y \le g_2(x) \} $ > où $g_1(x)$ et $g_2(x)$ sont des fonctions continues de $x$. > > Pour un tel domaine, l'intégrale double est calculée comme : > $ \iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy \right) dx. $ > [!definition] Domaine de Type II (ou horizontal simple) > Un domaine $D$ est de **type II** si il peut être décrit par : > $ D = \{ (x,y) \mid c \le y \le d, \quad h_1(y) \le x \le h_2(y) \} $ > où $h_1(y)$ et $h_2(y)$ sont des fonctions continues de $y$. > > Pour un tel domaine, l'intégrale double est calculée comme : > $ \iint_D f(x,y) dx dy = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dx \right) dy. $ > [!note] Stratégie de calcul > 1. **Dessinez le domaine $D$ !** C'est l'étape la plus cruciale pour déterminer les bornes d'intégration. > 2. Déterminez si le domaine est de type I, de type II, ou les deux. > 3. Choisissez l'ordre d'intégration qui simplifie le plus le calcul (parfois un ordre est beaucoup plus simple que l'autre). > 4. Écrivez les bornes d'intégration en conséquence. > [!example] Calcul sur un domaine non rectangulaire > Calculez l'intégrale de $f(x,y) = x$ sur le domaine $D$ délimité par les courbes $y=x^2$ et $y=x$. > > **Solution :** > 1. **Dessin du domaine :** Les courbes $y=x^2$ (parabole) et $y=x$ (droite) se coupent lorsque $x^2=x$, c'est-à-dire $x^2-x=0 \implies x(x-1)=0$. Les points d'intersection sont $(0,0)$ et $(1,1)$. > Sur l'intervalle $[0,1]$, la droite $y=x$ est au-dessus de la parabole $y=x^2$. > > 2. **Description du domaine :** > Le domaine $D$ est clairement de type I : > $ D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x \} $ > > Il est aussi de type II, mais un peu plus complexe à décrire : > $ D = \{ (x,y) \mid 0 \le y \le 1, \quad y \le x \le \sqrt{y} \} $ > (car $x=y$ et $x=\sqrt{y}$ pour $x \ge 0$). > > 3. **Choix de l'ordre :** Le type I semble plus direct ici. > > 4. **Calcul :** > $ \iint_D x dx dy = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^x x dy \right) dx $ > > 1. **Intégrale intérieure (par rapport à $y$) :** > $ \int_{x^2}^x x dy = x [y]_{x^2}^x = x(x - x^2) = x^2 - x^3 $ > > 2. **Intégrale extérieure (par rapport à $x$) :** > $ \int_0^1 (x^2 - x^3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - (0) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} $ > > Le résultat est $\frac{1}{12}$. > [!theorem] Théorème de Fubini (Généralisation) > Soit $f(x,y)$ une fonction continue sur un domaine $D$. > > Si un domaine peut être décrit à la fois comme de type I et de type II, alors les deux ordres d'intégration donneront le même résultat. > [!example] Inversion de l'ordre d'intégration > Évaluez l'intégrale itérée : > $ I = \int_0^1 \int_y^1 e^{x^2} dx dy $ > > **Solution :** > Tenter d'intégrer $e^{x^2}$ par rapport à $x$ en premier est impossible avec les fonctions élémentaires. Nous devons inverser l'ordre d'intégration. > > 1. **Identifier le domaine $D$ :** > Les bornes actuelles nous donnent : > $0 \le y \le 1$ > $y \le x \le 1$ > Ceci décrit un domaine de type II. > Dessinons ce domaine : c'est un triangle délimité par $y=0$, $x=1$ et $y=x$. > > 2. **Décrire $D$ comme un domaine de type I :** > Pour un domaine de type I, nous devons fixer $x$ en premier. > $x$ varie de $0$ à $1$. > Pour une valeur donnée de $x$, $y$ varie de la borne inférieure (l'axe des $x$, $y=0$) à la borne supérieure (la droite $y=x$). > Donc, $D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le x \}$. > > 3. **Inverser l'ordre et calculer :** > $ I = \int_0^1 \int_0^x e^{x^2} dy dx $ > > 1. **Intégrale intérieure (par rapport à $y$) :** > $ \int_0^x e^{x^2} dy = e^{x^2} [y]_0^x = e^{x^2} (x - 0) = x e^{x^2} $ > > 2. **Intégrale extérieure (par rapport à $x$) :** > $ \int_0^1 x e^{x^2} dx $ > Ceci est une intégrale simple qui peut être résolue par substitution. Soit $u = x^2$, alors $du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} du$. > Quand $x=0$, $u=0$. Quand $x=1$, $u=1$. > $ \int_0^1 \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{e-1}{2} $ > > Le résultat est $\frac{e-1}{2}$. --- ## 5. Fonctions Sécables (ou à Variables Séparées) Un cas particulier qui simplifie grandement les calculs est celui des fonctions "sécables". > [!definition] Fonction sécable > Une fonction $f(x,y)$ est dite **sécable** (ou à variables séparées) si elle peut s'écrire comme un produit de deux fonctions, chacune ne dépendant que d'une seule variable : > $ f(x,y) = g(x)h(y) $ > où $g(x)$ est une fonction de $x$ seulement et $h(y)$ est une fonction de $y$ seulement. > [!theorem] Intégrale d'une fonction sécable sur un rectangle > Si $f(x,y) = g(x)h(y)$ est une fonction sécable et que le domaine d'intégration est un rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$, alors l'intégrale double se factorise en un produit de deux intégrales simples : > $ \iint_R g(x)h(y) dx dy = \left( \int_a^b g(x) dx \right) \left( \int_c^d h(y) dy \right) $ > > **Démonstration :** > En utilisant le théorème de Fubini : > $ \iint_R g(x)h(y) dx dy = \int_a^b \left( \int_c^d g(x)h(y) dy \right) dx $ > Puisque $g(x)$ est une constante par rapport à l'intégration en $y$ : > $ = \int_a^b g(x) \left( \int_c^d h(y) dy \right) dx $ > L'intégrale $\int_c^d h(y) dy$ est une constante par rapport à $x$. On peut donc la sortir de la deuxième intégrale : > $ = \left( \int_c^d h(y) dy \right) \left( \int_a^b g(x) dx \right) $ > Ce qui démontre la propriété. > [!example] Intégrale d'une fonction sécable > Calculez l'intégrale double de $f(x,y) = x \cos(y)$ sur le rectangle $R = [0,1] \times [0, \pi/2]$. > > **Solution :** > La fonction $f(x,y) = x \cos(y)$ est sécable avec $g(x) = x$ et $h(y) = \cos(y)$. Le domaine est un rectangle. > > $ \iint_R x \cos(y) dx dy = \left( \int_0^1 x dx \right) \left( \int_0^{\pi/2} \cos(y) dy \right) $ > > 1. **Première intégrale :** > $ \int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} $ > > 2. **Deuxième intégrale :** > $ \int_0^{\pi/2} \cos(y) dy = [\sin(y)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $ > > 3. **Produit :** > $ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $ > > Le résultat est $\frac{1}{2}$. > [!warning] Condition d'application > Cette simplification ne s'applique que si la fonction est sécable **ET** le domaine d'intégration est un **rectangle**. Pour un domaine non rectangulaire, même avec une fonction sécable, vous devrez utiliser les méthodes d'intégration itérée sur des domaines de type I ou II. --- ## 6. Changement de Variables dans les Intégrales Doubles Tout comme en une dimension, un changement de variables peut transformer une intégrale difficile sur un domaine complexe en une intégrale plus simple sur un nouveau domaine. > [!theorem] Formule de changement de variables > Soit $D$ un domaine dans le plan $xy$ et $f(x,y)$ une fonction continue sur $D$. > Soit une transformation $T$ qui mappe un domaine $D'$ du plan $uv$ vers $D$ du plan $xy$, définie par : > $ x = x(u,v) \quad \text{et} \quad y = y(u,v) $ > Si cette transformation est différentiable, inversible (sauf peut-être sur la frontière) et que son Jacobien est non nul, alors : > $ \iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du dv $ > [!definition] Jacobien > Le Jacobien de la transformation $T$ est le déterminant de la matrice jacobienne des dérivées partielles : > $ J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} $ > La valeur absolue du Jacobien ($|J|$) est le facteur d'échelle par lequel l'aire est modifiée par la transformation. C'est l'analogue du terme $|dx/du|$ pour les intégrales simples. > [!tip] Étapes pour un changement de variables > 1. **Définir la transformation :** Choisissez une transformation $x=x(u,v), y=y(u,v)$ qui simplifie l'intégrande ou le domaine. > 2. **Calculer le Jacobien :** Déterminez $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$. > 3. **Transformer le domaine $D$ :** Déterminez le nouveau domaine $D'$ dans le plan $uv$ qui correspond à $D$. C'est souvent l'étape la plus délicate, nécessitant de réécrire les équations des frontières de $D$ en termes de $u$ et $v$. > 4. **Transformer l'intégrande :** Remplacez $x$ et $y$ par leurs expressions en $u$ et $v$ dans $f(x,y)$. > 5. **Écrire la nouvelle intégrale :** Assemblez le tout en utilisant la formule du changement de variables. > 6. **Calculer l'intégrale :** Évaluez la nouvelle intégrale sur $D'$. ### 6.1. Coordonnées Polaires Les coordonnées polaires sont le changement de variables le plus courant en intégration double, particulièrement utile pour les domaines circulaires ou annuels, ou lorsque l'intégrande contient des termes $x^2+y^2$. La transformation des coordonnées cartésiennes $(x,y)$ aux coordonnées polaires $(r,\theta)$ est donnée par : $ x = r \cos \theta $ $ y = r \sin \theta $ où $r \ge 0$ est la distance à l'origine et $\theta \in [0, 2\pi)$ est l'angle avec l'axe des $x$ positifs. Calculons le Jacobien de cette transformation : $ \frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin \theta $ $ \frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta $ Le Jacobien est : $ J = \det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix} = (\cos \theta)(r \cos \theta) - (-r \sin \theta)(\sin \theta) $ $ J = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r $ Puisque $r \ge 0$, la valeur absolue du Jacobien est simplement $r$. Ainsi, l'élément d'aire $dx dy$ devient $r dr d\theta$ en coordonnées polaires. > [!example] Passage aux coordonnées polaires > Calculez l'intégrale de $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ sur le disque unitaire $D = \{ (x,y) \mid x^2+y^2 \le 1 \}$. > > **Solution :** > 1. **Transformation :** $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. > 2. **Jacobien :** $|J| = r$. > 3. **Domaine $D'$ :** Le disque $x^2+y^2 \le 1$ se traduit en coordonnées polaires par $r^2 \le 1$, donc $0 \le r \le 1$. Pour couvrir tout le disque, l'angle $\theta$ doit varier de $0$ à $2\pi$. > Donc $D' = \{ (r,\theta) \mid 0 \le r \le 1, \quad 0 \le \theta \le 2\pi \}$. C'est un rectangle dans le plan $r\theta$. > 4. **Intégrande transformée :** $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)} = e^{-((r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2)} = e^{-(r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta)} = e^{-r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = e^{-r^2}$. > 5. **Nouvelle intégrale :** > $ \iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \iint_{D'} e^{-r^2} r dr d\theta $ > $ = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r e^{-r^2} dr d\theta $ > > 6. **Calcul :** > 1. **Intégrale intérieure (par rapport à $r$) :** > Soit $u = -r^2$, alors $du = -2r dr \implies r dr = -\frac{1}{2} du$. > Quand $r=0$, $u=0$. Quand $r=1$, $u=-1$. > $ \int_0^1 r e^{-r^2} dr = \int_0^{-1} e^u \left( -\frac{1}{2} \right) du = -\frac{1}{2} [e^u]_0^{-1} = -\frac{1}{2} (e^{-1} - e^0) = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{e} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) $ > > 2. **Intégrale extérieure (par rapport à $\theta$) :** > $ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) d\theta = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) (2\pi - 0) = \pi \left( 1 - \frac{1}{e} \right) $ > > Le résultat est $\pi \left( 1 - \frac{1}{e} \right)$. ## Conclusion Ce chapitre vous a introduit aux fondements des intégrales doubles. Vous avez appris leur définition comme limite de sommes de Riemann, leur signification géométrique en termes de volume, et surtout, comment les calculer efficacement grâce au théorème de Fubini en identifiant correctement les bornes d'intégration pour les régions de Type I et Type II. Les propriétés de linéarité, de monotonie, d'additivité et l'inégalité de Cauchy-Schwarz sont des outils puissants pour manipuler et comprendre ces intégrales. Nous avons aussi exploré des techniques avancées comme le changement de variables (coordonnées polaires, etc.) pour simplifier le calcul des intégrales doubles sur des domaines spécifiques. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `12-Octobre-2026` - Rédigé par: [[Elie NAKHLE]] --- # Ressources complémentaires : ### Cours : https://drive.google.com/file/d/15fbbBkROCC_tjQa4YqPIEUFVd0FBfGp7 ### Vidéo: Le cours en 10 minutes + exercices <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/PyiEqcrnsYQ?si=bwhyoUG2hTsqE2_G" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales doubles/Intégrales doubles|Accueil · Intégrales doubles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales doubles/Exercices - Intégrales doubles\|Exercices - Intégrales doubles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%