%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Intégrales impropres|Accueil · Intégrales impropres]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Exercices - Intégrales impropres\|Exercices - Intégrales impropres →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% Jusqu'à présent, vous avez étudié les intégrales définies sur des intervalles fermés et bornés $[a, b]$, pour des fonctions $f$ continues (ou du moins bornées et intégrables) sur cet intervalle. Le calcul de $\int_a^b f(x) dx$ représente alors l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$. Cependant, de nombreuses situations en sciences de l'ingénieur nous amènent à considérer des intégrales pour lesquelles ces conditions ne sont pas remplies : 1. L'intervalle d'intégration est infini, par exemple $[a, +\infty[$, $]-\infty, b]$ ou $]-\infty, +\infty[$. 2. La fonction $f(x)$ n'est pas bornée sur l'intervalle d'intégration, présentant une **asymptote verticale** en un point de l'intervalle ou à l'une de ses bornes. Ces intégrales, qui étendent la notion d'intégrale définie, sont appelées **intégrales impropres** ou **intégrales généralisées**. Leur calcul, ou du moins l'étude de leur **convergence**, repose fondamentalement sur la notion de **limite**. # I. Intégrales Impropres de Première Espèce (Bornes Infinies) Une intégrale est dite de première espèce si l'intervalle d'intégration est infini. ## Définition et Convergence > [!definition] Intégrale impropre de première espèce > Soit $f$ une fonction continue sur $[a, +\infty[$. L'intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ est définie par : > $ \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{M \to +\infty} \int_a^M f(x) dx $ > - Si cette limite existe et est finie, on dit que l'intégrale **converge**. Sa valeur est égale à cette limite. > - Si cette limite est infinie ou n'existe pas, on dit que l'intégrale **diverge**. De manière similaire, nous définissons les autres cas : > [!definition] Autres cas d'intégrales de première espèce > 1. Pour $f$ continue sur $]-\infty, b]$ : > $ \int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{M \to -\infty} \int_M^b f(x) dx $ > 2. Pour $f$ continue sur $]-\infty, +\infty[$ : > $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx $ > où $c$ est un réel quelconque. L'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ converge si et seulement si *les deux* intégrales du membre de droite convergent. La valeur de $c$ n'affecte pas la convergence ni la valeur de l'intégrale totale si elle converge. > [!warning] Attention > Pour le cas $]-\infty, +\infty[$, il est incorrect d'écrire $\lim_{M \to +\infty} \int_{-M}^M f(x) dx$ comme définition de la convergence, car cette limite peut exister (et être finie) même si l'intégrale diverge. Par exemple, $\int_{-\infty}^{+\infty} x dx$ diverge, mais $\lim_{M \to +\infty} \int_{-M}^M x dx = \lim_{M \to +\infty} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-M}^M = \lim_{M \to +\infty} \left( \frac{M^2}{2} - \frac{(-M)^2}{2} \right) = 0$. ## Exemples Fondamentaux ### Exemple 1 : Intégrale de référence $1/x^p$ sur $[1, +\infty[$ > [!example] Proposition : >L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ converge si et seulement si $p > 1$. > [!example] Démonstration : > Étudions la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ pour $p \in \mathbb{R}$. > > 1. **Cas $p=1$ :** > $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to +\infty} \int_1^M \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to +\infty} [\ln|x|]_1^M = \lim_{M \to +\infty} (\ln M - \ln 1) = \lim_{M \to +\infty} \ln M = +\infty $ > L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ **diverge**. > > 2. **Cas $p \neq 1$ :** > $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \lim_{M \to +\infty} \int_1^M x^{-p} dx = \lim_{M \to +\infty} \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_1^M = \lim_{M \to +\infty} \left( \frac{M^{1-p}}{1-p} - \frac{1^{1-p}}{1-p} \right) $ > - Si $1-p < 0$ (c'est-à-dire $p > 1$), alors $\lim_{M \to +\infty} M^{1-p} = 0$. > Dans ce cas, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = 0 - \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p-1}$. L'intégrale **converge**. > > - Si $1-p > 0$ (c'est-à-dire $p < 1$), alors $\lim_{M \to +\infty} M^{1-p} = +\infty$. > Dans ce cas, l'intégrale **diverge**. > > **Conclusion :** L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ converge si et seulement si $p > 1$. ### Exemple 2 : Intégrale de l'exponentielle $e^{-ax}$ sur $[0;+\infty[$ > [!example] Proposition : L'intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ converge si et seulement si $a > 0$. > [!example] Démonstration : > Étudions la convergence de $\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ pour $a \in \mathbb{R}$. > > 1. **Cas $a=0$ :** $\int_0^{+\infty} 1 dx = \lim_{M \to +\infty} [x]_0^M = \lim_{M \to +\infty} M = +\infty$. L'intégrale **diverge**. > > 2. **Cas $a \neq 0$ :** > $ \int_0^{+\infty} e^{-ax} dx = \lim_{M \to +\infty} \int_0^M e^{-ax} dx = \lim_{M \to +\infty} \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_0^M = \lim_{M \to +\infty} \left( -\frac{1}{a} e^{-aM} - (-\frac{1}{a} e^0) \right) $ > $= \lim_{M \to +\infty} \left( - \frac{1}{a} e^{-aM} +\frac{1}{a}\right) $ > - Si $a > 0$, alors $\lim_{M \to +\infty} e^{-aM} = 0$. > Dans ce cas, $\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx = \frac{1}{a}$. L'intégrale **converge**. > - Si $a < 0$, alors $\lim_{M \to +\infty} e^{-aM} = +\infty$. > Dans ce cas, l'intégrale **diverge**. > > **Conclusion :** L'intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ converge si et seulement si $a > 0$. ## Critères de Convergence (pour fonctions positives) Pour des fonctions dont le signe est constant (généralement positives) sur l'intervalle d'intégration, il est souvent possible de déterminer la convergence sans calculer l'intégrale explicitement, en comparant la fonction à une autre fonction dont la convergence de l'intégrale est connue. > [!theorem] Théorème de comparaison par inégalité > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a, +\infty[$. > 1. Si $0 \le f(x) \le g(x)$ pour tout $x \ge a$ : > - Si $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ converge. > - Si $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ diverge, alors $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ diverge. > 2. Si $f(x) \ge g(x) \ge 0$ pour tout $x \ge a$ : > - Si $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ diverge, alors $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ diverge. > - Si $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ converge, alors $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ converge. > [!theorem] Théorème de comparaison par équivalence > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a, +\infty[$. > Si $f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} g(x)$ (c'est-à-dire $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$), alors les intégrales $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ et $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ sont de même nature (convergent ou divergent simultanément). > [!note] Remarque importante > Ces critères de comparaison sont extrêmement puissants. Ils nécessitent que les fonctions soient de signe constant (positives est le cas le plus courant) au voisinage de la borne "problématique". > [!example] Application des critères de comparaison > Étudions la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} dx$. > > La fonction $f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2}$ est positive sur $[1, +\infty[$. > On sait que $0 \le \sin^2(x) \le 1$ pour tout $x$. > Donc, $0 \le \frac{\sin^2(x)}{x^2} \le \frac{1}{x^2}$ pour tout $x \ge 1$. > > L'intégrale de référence $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ est une intégrale de Riemann généralisée avec $p=2$. Puisque $p=2 > 1$, cette intégrale **converge**. > > Par le critère de comparaison par inégalité, comme $0 \le f(x) \le g(x)$ avec $\int g(x) dx$ convergente, alors $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} dx$ **converge**. > [!example] Application du critère d'équivalence > Étudions la convergence de $\int_2^{+\infty} \frac{x+1}{x^3-1} dx$. > > La fonction $f(x) = \frac{x+1}{x^3-1}$ est positive pour $x \ge 2$. > Au voisinage de $+\infty$ : > $x+1 \underset{x \to +\infty}{\sim} x$ > $x^3-1 \underset{x \to +\infty}{\sim} x^3$ > Donc, $f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$. > > L'intégrale de référence $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ est une intégrale de Riemann généralisée avec $p=2$. Puisque $p=2 > 1$, cette intégrale **converge**. > > Par le critère de comparaison par équivalence, l'intégrale $\int_2^{+\infty} \frac{x+1}{x^3-1} dx$ **converge**. # II. Intégrales Impropres de Deuxième Espèce (Fonction Non Bornée) Une intégrale est dite de deuxième espèce si la fonction présente une singularité (une asymptote verticale) à l'intérieur ou aux bornes de l'intervalle d'intégration, qui lui-même est borné. ## Définition et Convergence Considérons une fonction $f$ continue sur $]a, b]$ mais non bornée au voisinage de $a$. Le point $a$ est un **point singulier**. > [!definition] Intégrale impropre de deuxième espèce (singularité en $a$) > Soit $f$ une fonction continue sur $]a, b]$ et non bornée au voisinage de $a$. L'intégrale impropre $\int_a^b f(x) dx$ est définie par : > $ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) dx $ > - Si cette limite existe et est finie, on dit que l'intégrale **converge**. Sa valeur est égale à cette limite. > - Si cette limite est infinie ou n'existe pas, on dit que l'intégrale **diverge**. De manière similaire, nous définissons les autres cas : > [!definition] Autres cas d'intégrales de deuxième espèce > 1. Pour $f$ continue sur $[a, b[$ et non bornée au voisinage de $b$ : > $ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} f(x) dx $ > 2. Pour $f$ continue sur $[a, b]$ mais présentant une singularité en $c \in ]a, b[$ : > $ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $ > L'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ converge si et seulement si *les deux* intégrales du membre de droite convergent. ## Exemples Fondamentaux ### Exemple 1 : Intégrale de référence $1/x^p$ sur $]0, 1]$ > [!example] Proposition : L'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ converge si et seulement si $p < 1$. > [!example] Démonstration : > Étudions la convergence de $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ pour $p \in \mathbb{R}$. La singularité est en $x=0$. > > 1. **Cas $p=1$ :** > $ \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{0+\epsilon}^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln|x|]_{\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} (\ln 1 - \ln \epsilon) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-\ln \epsilon) = +\infty $ > L'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ **diverge**. > > 2. **Cas $p \neq 1$ :** > $ \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 x^{-p} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_{\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( \frac{1^{1-p}}{1-p} - \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p} \right) $ > - Si $1-p > 0$ (c'est-à-dire $p < 1$), alors $\lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon^{1-p} = 0$. > Dans ce cas, $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{1-p}$. L'intégrale **converge**. > - Si $1-p < 0$ (c'est-à-dire $p > 1$), alors $\lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon^{1-p} = +\infty$. > Dans ce cas, l'intégrale **diverge**. > > **Conclusion :** L'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ converge si et seulement si $p < 1$. ### Exemple 2 : Intégrale du logarithme $\ln(x)$ sur $]0, 1]$ > [!example] Proposition : L'intégrale $\int_0^1 \ln(x) dx$ converge. > [!example] Démonstration : > Étudions la convergence de $\int_0^1 \ln(x) dx$. La singularité est en $x=0$. > > $ \int_0^1 \ln(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \ln(x) dx $ > On utilise une intégration par parties : $\int \ln(x) dx = x \ln(x) - x$. > > $ \lim_{\epsilon \to 0^+} [x \ln(x) - x]_{\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} ((1 \cdot \ln 1 - 1) - (\epsilon \ln \epsilon - \epsilon)) $ > $ = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-1 - \epsilon \ln \epsilon + \epsilon) $ > On sait que $\lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \ln \epsilon = 0$. > > Donc, $\int_0^1 \ln(x) dx = -1 - 0 + 0 = -1$. L'intégrale **converge**. ## Critères de Convergence (pour fonctions positives) Les critères de comparaison sont similaires à ceux de la première espèce, mais l'étude se fait cette fois au voisinage du point singulier. > [!theorem] Théorème de comparaison par inégalité (singularité en $a$) > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $]a, b]$. > 1. Si $0 \le f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in ]a, b]$ : > - Si $\int_a^b g(x) dx$ converge, alors $\int_a^b f(x) dx$ converge. > - Si $\int_a^b f(x) dx$ diverge, alors $\int_a^b g(x) dx$ diverge. > 2. Si $f(x) \ge g(x) \ge 0$ pour tout $x \in ]a, b]$ : > - Si $\int_a^b g(x) dx$ diverge, alors $\int_a^b f(x) dx$ diverge. > - Si $\int_a^b f(x) dx$ converge, alors $\int_a^b g(x) dx$ converge. > [!theorem] Théorème de comparaison par équivalence (singularité en $a$) > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $]a, b]$. > Si $f(x) \underset{x \to a^+}{\sim} g(x)$ (c'est-à-dire $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$), alors les intégrales $\int_a^b f(x) dx$ et $\int_a^b g(x) dx$ sont de même nature. > [!tip] Astuce : Comportement local > Pour les intégrales de deuxième espèce, l'étude de la convergence se concentre sur le comportement de la fonction *au voisinage du point singulier*. On cherche souvent un équivalent de la forme $\frac{C}{(x-a)^p}$ (si singularité en $a$) ou $\frac{C}{(b-x)^p}$ (si singularité en $b$). > [!example] Application des critères > Étudions la convergence de $\int_0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx$. > > La fonction $f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}$ est continue sur $]0, 1]$ et positive sur cet intervalle (car $\cos(x) > 0$ pour $x \in ]0, 1]$). La singularité est en $x=0$. > > Au voisinage de $x=0^+$ : > $\cos(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} 1$. > Donc, $f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}}$. > > L'intégrale de référence $\int_0^1 \frac{1}{x^{1/2}} dx$ est une intégrale de Riemann généralisée avec $p=1/2$. Puisque $p=1/2 < 1$, cette intégrale **converge**. > > Par le critère de comparaison par équivalence, l'intégrale $\int_0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx$ **converge**. # III. Intégrales Impropres de Troisième Espèce (Mélange) > [!definition] Intégrales de troisième espèce > Une intégrale est dite de troisième espèce si elle présente à la fois des bornes infinies et/ou des points singuliers à l'intérieur de l'intervalle d'intégration. > Pour étudier sa convergence, on la décompose en une somme d'intégrales de première ou deuxième espèce. L'intégrale globale converge si et seulement si *toutes* les intégrales de la décomposition convergent. > [!example] Décomposition d'une intégrale de troisième espèce > Étudions la convergence de $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$. > > Cette intégrale présente deux problèmes : > 1. Une singularité en $x=0$ (car $\sqrt{x}$ est au dénominateur). > 2. Une borne infinie en $+\infty$. > > On peut la découper en deux intégrales, par exemple en $x=1$ (tout point $c > 0$ convient) : > $ \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx + \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx $ > > - **Étude de $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ (intégrale impropre de deuxième espèce) :** > Pour $x \to 0^+$ : $1+x \underset{x \to 0^+}{\sim} 1$. > Donc, $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}}$. > Comme $p=1/2 < 1$, l'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ **converge**. > > - **Étude de $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ (intégrale impropre de première espèce) :** > Pour $x \to +\infty$ : $\sqrt{x}(1+x) = x^{1/2}(1+x) = x^{1/2} + x^{3/2} \underset{x \to +\infty}{\sim} x^{3/2}$. > Donc, $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x^{3/2}}$. > Comme $p=3/2 > 1$, l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ **converge**. > > Puisque les deux parties convergent, l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ **converge**. # Résumé du cours ![[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/ressources - Intégrales impropres/Intégrales impropres.pdf]] # ➡️ C'est la fin ! --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Exercices - Intégrales impropres|Exercices - Intégrales impropres]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Intégrales impropres|Intégrales impropres]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Intégrales impropres|Accueil · Intégrales impropres]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Exercices - Intégrales impropres\|Exercices - Intégrales impropres →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%