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Ici, $\alpha = 2$. Comme $2 > 1$, le cours nous dit que l'intégrale converge. **Calcul de la valeur :** Calculons la limite de l'intégrale sur un intervalle fini $[1, b]$ : $ \lim_{b \to +\infty} \int_1^b x^{-2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b $ $ = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \lim_{b \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) $ Puisque $\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{b} = 0$, la valeur est $1$. L'intégrale converge vers **1**. 2. $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ **Étude de la convergence :** C'est une intégrale de Riemann avec $\alpha = \frac{1}{2}$. Comme $\alpha \leq 1$, l'intégrale diverge vers $+\infty$. **Justification par le calcul :** $ \lim_{b \to +\infty} \int_1^b x^{-1/2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} [2\sqrt{x}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 2) = +\infty $ L'intégrale est **divergente**. 3. $\int_1^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx$ **Étude de la convergence :** Pour $x$ grand, on nous donne l'indication $\ln(x) \leq x$. Cependant, pour être plus précis, on sait que $\ln(x)$ croît beaucoup moins vite que n'importe quelle puissance positive de $x$. On peut dire que $\frac{\ln(x)}{x^2} \leq \frac{x^{0,5}}{x^2} = \frac{1}{x^{1,5}}$ pour $x$ assez grand. Comme $1,5 > 1$, l'intégrale converge par comparaison. **Calcul de la valeur (par Intégration Par Parties) :** Posons $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ et $dv = \frac{1}{x^2} dx \implies v = -\frac{1}{x}$. $ \int \frac{\ln(x)}{x^2} dx = \left[ -\frac{\ln(x)}{x} \right] - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} $ Calculons la limite : $ \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{\ln(x)+1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{\ln(b)+1}{b} - (-1) \right) $ Par croissance comparée, $\lim_{b \to +\infty} \frac{\ln(b)}{b} = 0$. Il reste donc $0 + 1 = 1$. L'intégrale converge vers **1**. 4. $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} \, dx$ **Étude de la convergence :** Au voisinage de $+\infty$, $\frac{1}{x^2+1} \sim \frac{1}{x^2}$. Comme $2 > 1$, l'intégrale converge. **Calcul de la valeur :** La primitive de $\frac{1}{x^2+1}$ est $\arctan(x)$. $ \lim_{b \to +\infty} [\arctan(x)]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (\arctan(b) - \arctan(1)) $ On sait que $\lim_{b \to +\infty} \arctan(b) = \frac{\pi}{2}$ et $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. La valeur est $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. 5. $\int_0^{+\infty} e^{-2x} \, dx$ **Étude de la convergence :** C'est une intégrale d'une fonction exponentielle décroissante, elle converge car l'exposant est négatif ($-2 < 0$). **Calcul de la valeur :** $ \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-2x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_0^b = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{2}e^{-2b} - (-\frac{1}{2}) \right) $ Comme $\lim_{b \to +\infty} e^{-2b} = 0$, il reste $\frac{1}{2}$. La valeur est **1/2**. 6. $ \int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx $ **Étude de la convergence :** La fonction $f(x) = \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est continue et positive sur $[0, +\infty[$. Pour $x \to +\infty$, le numérateur est $x$ et le dénominateur est de l'ordre de $(x^2)^2 = x^4$. Donc $f(x) \sim \frac{x}{x^4} = \frac{1}{x^3}$ quand $x \to +\infty$. L'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx$ converge car $3 > 1$. Par le critère d'équivalence, $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ converge. **Calcul de la valeur :** Nous allons utiliser un changement de variable. Posons $u = 1+x^2$. Alors $du = 2x dx$, ce qui signifie $x dx = \frac{1}{2} du$. Changeons les bornes : - Si $x=0$, $u = 1+0^2 = 1$. - Si $x \to +\infty$, $u \to 1+(+\infty)^2 = +\infty$. L'intégrale devient : $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} u^{-2} du $ Calculons cette intégrale impropre : $ \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \int_1^b u^{-2} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_1^b $ $ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^b $ $ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) $ $ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) $ Puisque $\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{b} = 0$, nous obtenons : $ = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} $ L'intégrale impropre converge et sa valeur est $\frac{1}{2}$. 7. $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx $ **Étude de la convergence :** La fonction $f(x) = \frac{1}{x(x+1)}$ est continue et positive sur $[1, +\infty[$. Pour $x \to +\infty$, nous avons $x(x+1) \sim x^2$. Donc $f(x) \sim \frac{1}{x^2}$ quand $x \to +\infty$. Puisque $\alpha = 2 > 1$, l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge. Par le critère d'équivalence pour les fonctions positives, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx$ converge également. **Calcul de la valeur (si elle converge) :** Nous devons d'abord trouver une primitive de $f(x) = \frac{1}{x(x+1)}$. Utilisons la décomposition en éléments simples : $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} $ En multipliant par $x$ et en posant $x=0$, on trouve $A=1$. En multipliant par $x+1$ et en posant $x=-1$, on trouve $B=-1$. Donc : $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $ Calculons la primitive : $ \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C $ Maintenant, évaluons l'intégrale impropre : $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx $ $ = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \right]_1^b $ $ = \lim_{b \to +\infty} \left( \ln\left(\frac{b}{b+1}\right) - \ln\left(\frac{1}{1+1}\right) \right) $ Pour la limite : $ \lim_{b \to +\infty} \frac{b}{b+1} = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{1+1/b} = 1 $ Donc, $\lim_{b \to +\infty} \ln\left(\frac{b}{b+1}\right) = \ln(1) = 0$. $ = 0 - \ln\left(\frac{1}{2}\right) $ $ = -\ln(1) + \ln(2) = \ln(2) $ L'intégrale converge et sa valeur est $\ln(2)$. ## Correction de l'Exercice 2 $ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^3} \, dx $ **Étude de la convergence :** La fonction $f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^3}$ est continue et positive sur $[1, +\infty[$. On utilise l'encadrement $0 \leq \sin^2(x) \leq 1$. On en déduit que pour tout $x \geq 1$ : $ 0 \leq \frac{\sin^2(x)}{x^3} \leq \frac{1}{x^3} $ L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx$ est une intégrale de Riemann convergente car $\alpha = 3 > 1$. Par le théorème de comparaison pour les fonctions positives, l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^3} dx$ **converge**. --- ## Correction de l'Exercice 3 : 1. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ **Étude de la convergence :** C'est une intégrale de Riemann de deuxième espèce (problème en 0) de la forme $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$. Ici $\alpha = \frac{1}{3}$. Pour les intégrales en 0, il y a convergence si $\alpha < 1$. Comme $1/3 < 1$, l'intégrale converge. **Calcul de la valeur :** $ \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 x^{-1/3} dx = \lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{3}{2}x^{2/3} \right] _a^1 = \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{3}{2}(1)^{2/3} - \frac{3}{2}a^{2/3} \right) = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} $ La valeur est **1,5**. 2. $\int_0^1 \frac{1-\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx$ **Étude de la convergence :** La fonction $f(x) = \frac{1-\cos(x)}{\sqrt{x}}$ est continue sur $]0, 1]$. Étudions le problème en 0. En utilisant l'indication (développement limité), on sait que $1-\cos(x) \sim \frac{x^2}{2}$ quand $x \to 0$. Donc : $ f(x) \sim \frac{x^2/2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{2 - 0,5} = \frac{1}{2} x^{1,5} $ Quand $x \to 0$, $f(x)$ tend vers 0. La fonction est donc prolongeable par continuité en 0. Toute fonction continue sur un segment $[0, 1]$ est intégrable. L'intégrale est **convergente**. --- ## Correction de l'Exercice 4 1. $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^{2/3}(1+x^2)} \, dx$ **Étude de la convergence :** On doit séparer l'intégrale en deux parties, par exemple sur $]0, 1]$ et $[1, +\infty[$. - **En 0 :** $f(x) = \frac{1}{x^{2/3}(1+x^2)} \sim \frac{1}{x^{2/3}}$. C'est une intégrale de Riemann convergente ($\alpha = 2/3 < 1$). - **En $+\infty$ :** $f(x) \sim \frac{1}{x^{2/3} \cdot x^2} = \frac{1}{x^{8/3}}$. C'est une intégrale de Riemann convergente ($\alpha = 8/3 > 1$). Comme les deux bornes convergent, l'intégrale sur $]0, +\infty[$ **converge**. 2. $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x^3)} \, dx$ **Étude de la convergence :** - **En 0 :** $f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}}$. Converge car $\alpha = 1/2 < 1$ (Riemann en 0). - **En $+\infty$ :** $f(x) \sim \frac{1}{x^{1/2} \cdot x^3} = \frac{1}{x^{3,5}}$. Converge car $\alpha = 3,5 > 1$ (Riemann à l'infini). L'intégrale est donc **convergente**. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Intégrales impropres|Accueil · Intégrales impropres]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales impropres/Cours 1 - Intégrales impropres\|← Cours 1 - Intégrales impropres]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%