%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Accueil · Intégrales rationnelles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Exercices - Intégrales rationnelles\|Exercices - Intégrales rationnelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% Après avoir exploré les méthodes fondamentales (intégration par parties, changements de variables simples) et les primitives des fonctions usuelles dans la compétence [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Primitives et intégrales]] , nous allons maintenant nous attaquer à une classe de fonctions dont la primitivation demande des outils spécifiques et puissants : les **fonctions rationnelles**. L'intégration des fonctions rationnelles, c'est-à-dire des quotients de polynômes, est une technique systématique mais qui peut être longue. Elle repose sur deux étapes clés : la division euclidienne (si nécessaire) et la décomposition en éléments simples. ## Définition > [!definition] Définition (Fonction Rationnelle) > Une fonction rationnelle $f(x)$ est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes et $Q(x) \neq 0$. ## Étape 1 : Division Euclidienne des Polynômes Si le degré du numérateur $P(x)$ est supérieur ou égal au degré du dénominateur $Q(x)$ ($\deg(P) \ge \deg(Q)$), la première étape consiste à effectuer une division euclidienne de $P(x)$ par $Q(x)$. Cela nous permet d'écrire : $P(X)= Q(X)E(X)+R(X)$ où $E(x)$ est le quotient polynomial et $R(x)$ est le reste, avec $\deg(R) < \deg(Q)$. Alors, $\frac{P(x)}{Q(x)} = E(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} $ L'intégrale devient alors : $ \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \int E(x) dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)} dx $ Nous nous concentrons ensuite sur l'intégration de la fraction propre $\frac{R(x)}{Q(x)}$. > [!example] Exemple 1 > Calculons $\int \frac{x^3 - x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} dx$. > > Le degré du numérateur (3) est supérieur au degré du dénominateur (2). Effectuons la division euclidienne : > > ``` > x^3 - x^2 + 2x - 1 | x^2 + 1 > -(x^3 + x) | x - 1 (quotient E(x)) > ----------------- > -x^2 + x - 1 > -(-x^2 - 1) > ----------------- > x (reste R(x)) > ``` > > Donc, $\frac{x^3 - x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} = (x-1) + \frac{x}{x^2+1}$. > > L'intégrale devient : > $ \int \left(x-1 + \frac{x}{x^2+1}\right) dx = \int (x-1) dx + \int \frac{x}{x^2+1} dx.$ > La première partie est simple : $\int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x$. > Pour la deuxième partie, $\int \frac{x}{x^2+1} dx$, on utilise un changement de variables : $u = x^2+1 \implies du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} du$. > $ \int \frac{1}{u} \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C_1.$ > Finalement : > $ \int \frac{x^3 - x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} dx = \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C.$ > [!example] Exemple 2 > Primitivons $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 + 1}$. > Le degré du numérateur (3) est supérieur à celui du dénominateur (2). Effectuons la division : > >``` > x^3 + 2 x^2 - x + 1 | x^2 + 1 > -(x^3 + x) | x +2 (quotient E(x)) > ----------------- > 2 x^2 -2 x + 1 > -(2x^2 +2) > ----------------- > -2x-1 (reste R(x)) > ``` > > Donc, $x^3 + 2x^2 - x + 1 = (x+2)(x^2+1) + (-2x-1)$. > Par conséquent : > $ \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 + 1} = (x+2) + \frac{-2x-1}{x^2+1} $ > > La primitive sera alors : > $ \int \left( x+2 + \frac{-2x-1}{x^2+1} \right) dx = \int (x+2) dx - \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \int \frac{1}{x^2+1} dx $ > $ = \frac{x^2}{2} + 2x - \ln(x^2+1) - \arctan(x) + C $ > Nous avons utilisé des primitives que nous allons revoir plus en détail dans la section suivante. > [!warning] Attention > La première étape est *toujours* de vérifier si la fonction rationnelle $\frac{P}{Q}$ est propre c'est à dire si $deg(P)<deg(Q)$. Si ce n'est pas le cas, la division euclidienne est obligatoire. ## Étape 2 : Décomposition en Éléments Simples (DES) Si $\deg(P) < \deg(Q)$, nous devons décomposer la fraction propre $\frac{P(x)}{Q(x)}$ en une somme d'éléments simples, dont les primitives sont connues. Cette décomposition dépend de la factorisation du dénominateur $Q(x)$ en facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$. Les facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont de deux types : 1. Facteurs linéaires de la forme $(ax+b)$. 2. Facteurs quadratiques irréductibles de la forme $(ax^2+bx+c)$ avec $\Delta = b^2-4ac < 0$. ### Cas 1 : Racines réelles simples au dénominateur Si le dénominateur $Q(x)$ a des racines réelles simples $r_1, r_2, \dots, r_m$, c'est-à-dire $Q(x) = (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_m)$, alors la décomposition est de la forme : $ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-r_1} + \frac{A_2}{x-r_2} + \dots + \frac{A_m}{x-r_m}.$ Les coefficients $A_i$ peuvent être trouvés par diverses méthodes : 1. **Méthode par identification :** Réduire au même dénominateur et identifier les coefficients des polynômes. 2. **Méthode par substitution de valeurs spécifiques :** Multiplier par $(x-r_i)$ et faire tendre $x$ vers $r_i$ (méthode d'Heaviside). > [!tip] Méthode d'Heaviside (pour racines simples) > Pour trouver le coefficient $A_i$ associé au facteur $(x-r_i)$, on multiplie la fonction rationnelle par $(x-r_i)$ et on évalue l'expression en $x=r_i$. > $ A_i = \left[ (x-r_i) \frac{P(x)}{Q(x)} \right]_{x=r_i} $ > où le terme $(x-r_i)$ est "enlevé" du dénominateur $Q(x)$ avant l'évaluation. La primitive de chaque terme est : $ \int \frac{A_i}{x-r_i} dx = A_i \cdot\ln|x-r_i| + C.$ > [!example] Exemple 1 > Calculons $\int \frac{1}{x^2-1} dx$. > > Le dénominateur se factorise en $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. > La DES est de la forme : > $ \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.$ > Multiplions par $(x-1)(x+1)$ : > $ 1 = A(x+1) + B(x-1).$ > Pour trouver $A$ et $B$ : > - Posons $x=1 \implies 1 = A(1+1) + B(1-1) \implies 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$. > - Posons $x=-1 \implies 1 = A(-1+1) + B(-1-1) \implies 1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$. > > Donc, $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$. > > L'intégrale devient : > $ \int \left(\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right) dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx $ > $ = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C $ > $ = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.$ > [!example] Exemple 2 > Primitivons $f(x) = \frac{2x+1}{x^2-x-2}$. > 1. **Vérifier si propre :** $\text{deg}(2x+1)=1$, $\text{deg}(x^2-x-2)=2$. C'est propre. > 2. **Factoriser le dénominateur :** $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Les racines sont $r_1=2$ et $r_2=-1$. > 3. **Décomposition :** > $ \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}.$ > 4. **Calcul des coefficients :** > * Pour $A$ (associé à $x-2$) : > $ A = \left[ (x-2) \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)} \right]_{x=2} = \left[ \frac{2x+1}{x+1} \right]_{x=2} = \frac{2(2)+1}{2+1} = \frac{5}{3}. $ > * Pour $B$ (associé à $x+1$) : > $ B = \left[ (x+1) \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)} \right]_{x=-1} = \left[ \frac{2x+1}{x-2} \right]_{x=-1} = \frac{2(-1)+1}{-1-2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}.$ > 5. **Intégration :** > $ \int \frac{2x+1}{x^2-x-2} dx = \int \left( \frac{5/3}{x-2} + \frac{1/3}{x+1} \right) dx $ > $ = \frac{5}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{3} \ln|x+1| + C.$ ### Cas 2 : Racines réelles multiples au dénominateur Si le dénominateur $Q(x)$ a une racine réelle $r$ de multiplicité $k$, c'est-à-dire un facteur $(x-r)^k$, alors la décomposition inclura $k$ éléments simples pour ce facteur : $ \frac{A_1}{x-r} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-r)^k}.$ Les coefficients peuvent être trouvés par : 1. **Méthode par identification.** 2. **Méthode par substitution de valeurs et/ou dérivation.** > [!tip] Méthode pour racines multiples > Pour trouver $A_k$ (le coefficient du terme le plus élevé $(x-r)^k$), on peut utiliser Heaviside : > $ A_k = \left[ (x-r)^k \frac{P(x)}{Q(x)} \right]_{x=r}.$ > Pour les coefficients $A_j$ avec $j < k$, on peut : > * Dérober $A_k$ et travailler sur $\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{A_k}{(x-r)^k}$. > * Multiplier l'équation par $(x-r)^k$, puis dériver et substituer $x=r$. > * Substituer d'autres valeurs de $x$ dans l'expression décomposée pour obtenir un système d'équations. La primitive d'un terme $\frac{A_j}{(x-r)^j}$ (pour $j \ge 2$) est : $ \int \frac{A_j}{(x-r)^j} dx = A_j \int (x-r)^{-j} dx.$ En posant $u=x-r, du= dx$: $ = A_j \int u^{-j} du = A_j \frac{u^{-j+1}}{-j+1} + C = \frac{A_j}{(1-j)(x-r)^{j-1}} + C.$ > [!example] Exemple 1 > Calculons $\int \frac{x+2}{x(x-1)^2} dx$. > > Le dénominateur est $x(x-1)^2$. > La DES est de la forme : > $ \frac{x+2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}.$ > Multiplions par $x(x-1)^2$ : > $ x+2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx.$ > - Posons $x=0 \implies 2 = A(-1)^2 + 0 + 0 \implies A = 2$. > - Posons $x=1 \implies 1+2 = 0 + 0 + C(1) \implies C = 3$. > - Pour trouver $B$, on peut identifier les coefficients ou poser une autre valeur de $x$, par ex. $x=2$ : > $2+2 = A(2-1)^2 + B(2)(2-1) + C(2)$ > $4 = A(1) + B(2)(1) + 2C$ > $4 = 2 + 2B + 2(3)$ > $4 = 2 + 2B + 6$ > $4 = 8 + 2B \implies 2B = -4 \implies B = -2$. > > Donc, $\frac{x+2}{x(x-1)^2} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2}$. > > L'intégrale est : > $ \int \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2}\right) dx.$ > $ = 2 \ln|x| - 2 \ln|x-1| + 3 \int (x-1)^{-2} dx.$ > $ = 2 \ln|x| - 2 \ln|x-1| + 3 \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C.$ > $ = 2 \ln\left|\frac{x}{x-1}\right| - \frac{3}{x-1} + C.$ > [!example] Exemple 2 > Primitivons $f(x) = \frac{x+1}{x^3-x^2}$. > 1. **Propre :** Oui ($\text{deg}(1) < \text{deg}(2)$). > 2. **Factoriser :** $x^3-x^2 = x^2(x-1)$. Racines : $r_1=0$ (multiplicité 2) et $r_2=1$ (multiplicité 1). > 3. **Décomposition :** > $ \frac{x+1}{x^2(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1}.$ > 4. **Calcul des coefficients :** > * Pour $B$ (associé à $x^2$) : > $ B = \left[ x^2 \frac{x+1}{x^2(x-1)} \right]_{x=0} = \left[ \frac{x+1}{x-1} \right]_{x=0} = \frac{0+1}{0-1} = -1.$ > * Pour $C$ (associé à $x-1$) : > $ C = \left[ (x-1) \frac{x+1}{x^2(x-1)} \right]_{x=1} = \left[ \frac{x+1}{x^2} \right]_{x=1} = \frac{1+1}{1^2} = 2.$ > * Pour $A$ (méthode d'identification ou substitution) : > Multiplions par $x^2(x-1)$ : $x+1 = A x(x-1) + B(x-1) + C x^2$. > On connaît $B=-1$ et $C=2$. > $x+1 = A x(x-1) -1(x-1) + 2 x^2$ > $x+1 = Ax^2 - Ax - x + 1 + 2x^2$ > $x+1 = (A+2)x^2 + (-A-1)x + 1$ > En identifiant les coefficients des puissances de $x$ : > Pour $x^2$: $0 = A+2 \implies A=-2$. > (Vérification pour $x$: $1 = -A-1 = -(-2)-1 = 2-1 = 1$. C'est bon.) > Donc : > $ \frac{x+1}{x^2(x-1)} = -\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1}.$ > 5. **Intégration :** > $ \int \left( -\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1} \right) dx = -2 \ln|x| - \left(-\frac{1}{x}\right) + 2 \ln|x-1| + C $ > $ = -2 \ln|x| + \frac{1}{x} + 2 \ln|x-1| + C.$ ### Cas 3 : Facteurs irréductibles du second degré simples Si $Q(x)$ a un facteur $(ax^2+bx+c)$ avec $\Delta < 0$, la DES inclut un terme de la forme $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$. L'intégration de tels termes nécessite souvent de compléter le carré au dénominateur et d'utiliser les primitives de $\frac{1}{u^2+k^2}$ et $\frac{u}{u^2+k^2}$. > [!note] Remarque (Primitives de base pour les formes quadratiques) > Deux primitives sont fondamentales ici : > 1. $\int \frac{1}{u^2+a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C.$ > 2. $\int \frac{u}{u^2+a^2} du = \frac{1}{2} \ln(u^2+a^2) + C.$ > [!example] Exemple 1 > Primitivons $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)}$. > 3. **Propre :** Oui. > 4. **Factoriser :** $Q(x) = x(x^2+1)$. La racine réelle est $r_1=0$. Le facteur $x^2+1$ est irréductible ($\Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4 < 0$). > 5. **Décomposition :** > $ \frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}.$ > 6. **Calcul des coefficients :** Pour $A$ (associé à $x$) : > $ A = \left[ x \frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)} \right]_{x=0} = \left[ \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \right]_{x=0} = \frac{0^2+0+1}{0^2+1} = 1.$ >Pour $B$ et $C$ (méthode d'identification) : > $ \frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} $ > Réduisons au même dénominateur : > $ \frac{1(x^2+1) + (Bx+C)x}{x(x^2+1)} = \frac{x^2+1 + Bx^2+Cx}{x(x^2+1)} = \frac{(1+B)x^2 + Cx + 1}{x(x^2+1)}.$ > En identifiant les numérateurs : > $x^2+x+1 = (1+B)x^2 + Cx + 1.$ > Par identification des coefficients : > * Coeff de $x^2$: $1 = 1+B \implies B=0$. > * Coeff de $x$: $1 = C \implies C=1$. > * Terme constant: $1 = 1$ (vérifié). > Donc : > $ \frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{0x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2+1}. $ > 7. **Intégration :** > $ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2+1} \right) dx = \ln|x| + \arctan(x) + C.$ > [!example] Exemple 2 > Calculons $\int \frac{x+1}{x^2+4x+5} dx$. > > Le dénominateur $x^2+4x+5$ a $\Delta = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$, il est donc irréductible. > Nous allons le décomposer en complétant le carré : $x^2+4x+5 = (x^2+4x+4) + 1 = (x+2)^2 + 1$. > > L'intégrale devient $\int \frac{x+1}{(x+2)^2+1} dx$. > > Pour intégrer cette forme, nous voulons faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur, ou une constante. > La dérivée de $(x+2)^2+1$ est $2(x+2) = 2x+4$. > > Réécrivons le numérateur : $x+1 = \frac{1}{2}(2x+4) - 1$. > > $ \int \frac{\frac{1}{2}(2x+4) - 1}{(x+2)^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{(x+2)^2+1} dx - \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx.$ > > Pour la première intégrale, posons $u = (x+2)^2+1 \implies du = 2(x+2) dx = (2x+4) dx$. > $ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln((x+2)^2+1) + C_1.$ > > Pour la deuxième intégrale, posons $v = x+2 \implies dv = dx$. > $ \int \frac{1}{v^2+1} dv = \arctan(v) + C_2 = \arctan(x+2) + C_2.$ > > En combinant les résultats : > $ \int \frac{x+1}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C.$ ### Cas 4 : Facteurs Irréductibles du Second Degré Multiples Si $Q(x)$ a un facteur $(ax^2+bx+c)^k$ (avec $k \ge 2$), la DES inclut $k$ termes de la forme : $ \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots + \frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}.$ L'intégration de ces termes est plus complexe et peut impliquer des formules de récurrence ou des techniques de substitution trigonométrique avancées. Ces cas sont généralement abordés dans un cours de niveau supérieur ou avec des outils de calcul formel. > [!warning] Attention (Cas multiples sont plus complexes) > Les facteurs quadratiques irréductibles multiples sont les plus difficiles à intégrer et peuvent nécessiter des réductions par IPP ou des substitutions trigonométriques. Pour ce cours, l'accent est mis sur la compréhension des principes de la DES pour les cas simples et linéaires/quadratiques non répétés. ## Synthèse de la méthode d'intégration des fonctions rationnelles > [!tip] Astuce (Procédure générale pour $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$) > 1. **Vérifier les degrés** : Si $\deg(P) \ge \deg(Q)$, effectuer la **division euclidienne** pour obtenir $E(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, où $\deg(R) < \deg(Q)$. Intégrer $E(x)$ séparément. > 2. **Factoriser le dénominateur** $Q(x)$ en facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$ (termes $(x-r)^k$ et $(x^2+px+q)^j$). > 3. **Décomposer en éléments simples (DES)** la fraction propre $\frac{R(x)}{Q(x)}$ (ou $\frac{P(x)}{Q(x)}$ si $\deg(P) < \deg(Q)$). > * Pour chaque $(x-r)^k$, inclure $\frac{A_1}{x-r} + \dots + \frac{A_k}{(x-r)^k}$. > * Pour chaque $(x^2+px+q)^j$, inclure $\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q} + \dots + \frac{B_jx+C_j}{(x^2+px+q)^j}$. > 4. Déterminer les valeurs des coefficients $A_i, B_i, C_i$ par identification, substitution de valeurs judicieuses (réelles ou complexes), ou méthode d'Heaviside. > 5. **Intégrer chaque élément simple** séparément. Les primitives seront des logarithmes, des puissances ou des arc-tangentes. # Résumé du cours ![[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/ressources - Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles.pdf]] # ➡️ C'est la fin ! - Cours précèdent: `Cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Exercices - Intégrales rationnelles|Exercices - Intégrales rationnelles]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Intégrales rationnelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `06-Novembre-2026` - Rédigé par: [[Elie NAKHLE]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Accueil · Intégrales rationnelles]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Exercices - Intégrales rationnelles\|Exercices - Intégrales rationnelles →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%