%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Accueil · Intégrales rationnelles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Cours 1 - Intégrales rationnelles\|← Cours 1 - Intégrales rationnelles]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Exercices >[!warning] Attention Il est fortement recommandé de travailler tous les exemples du cours avant d’aborder les exercices suivants. ## Exercice 1 : Division euclidienne Effectuer la division euclidienne du polynômes $P(X)$ par $Q(X)$ dans les cas suivants : 1. $P(X) = X^3 - 3X^2$, $Q(X) = X^2 - X + 2$ 2. $P(X)=-16X^4-64X^2-X-100$, $Q(X)=4X^2+4X+10$ 3. $P(X)=X^4+6X^2-2X+5$, $Q(X)=X^3-X^2+4X-4$ ## Exercice 2 : Racines réelles simples Calculer les primitives suivantes. 1. $I=\int \frac{1}{x^2-4}\,dx$ 2. $I=\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$ 3. $I=\int \frac{2x-1}{x^2-9}\,dx$ ## Exercice 3 : Racines multiples Calculer les primitives suivantes. 1. $I=\int \frac{1}{x(x-1)^2}\,dx$ 2. $I=\int \frac{x+4}{x(x+1)^2}dx$ 3. $I=\int \frac{2x+3}{(x-1)^3}dx$ ## Exercice 4 : Facteurs quadratiques irréductibles 1. $I=\int \frac{x}{x^2+4}\,dx$ 2. $I=\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx$ 3. $I=\int \frac{2x+3}{x^2+6x+13}\,dx$ # Corrigés Détaillés ## Correction de l'Exercice 1 1. $P(X) = X^3 - 3X^2$ par $Q(X) = X^2 - X + 2$ ```text X^3 - 3X^2 + 0x + 0 | X^2 - X + 2 -(X^3 - X^2 + 2x) | X - 2 (quotient E(x)) ------------------- -2X^2 - 2x + 0 -(-2X^2 + 2x - 4) ----------------- -4X + 4 (reste R(x)) ``` 2. $P(X) = -16X^4 - 64X^2 - X - 100$ par $Q(X) = 4X^2 + 4X + 10$ ```text -16X^4 + 0X^3 - 64X^2 - X - 100 | 4X^2 + 4X + 10 -(-16X^4 - 16X^3 - 40X^2) | -4X^2 + 4X - 10 (quotient E(x)) --------------------------------- 16X^3 - 24X^2 - X - 100 -(16X^3 + 16X^2 + 40X) -------------------------- -40X^2 - 41X - 100 -(-40X^2 - 40X - 100) --------------------- -X (reste R(x)) ``` 3. $P(X) = X^4 + 6X^2 - 2X + 5$ par $Q(X) = X^3 - X^2 + 4X - 4$ ```text X^4 + 0X^3 + 6X^2 - 2X + 5 | X^3 - X^2 + 4X - 4 -(X^4 - X^3 + 4X^2 - 4X) | X + 1 (quotient E(x)) -------------------------- X^3 + 2X^2 + 2X + 5 -(X^3 - X^2 + 4X - 4) ---------------------- 3X^2 - 2X + 9 (reste R(x)) ``` **Synthèse des résultats** 1. **Cas 1 :** $X^3 - 3X^2 = (X^2 - X + 2)(X - 2) + (-4X + 4)$ 2. **Cas 2 :** $-16X^4 - 64X^2 - X - 100 = (4X^2 + 4X + 10)(-4X^2 + 4X - 10) - X$ 3. **Cas 3 :** $X^4 + 6X^2 - 2X + 5 = (X^3 - X^2 + 4X - 4)(X + 1) + (3X^2 - 2X + 9)$ ## Correction de l'Exercice 2 1. $I=\int \frac{1}{x^2-4}\,dx$ On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ On cherche la décomposition en éléments simples (DES) : $\frac{1}{(x-2)(x+2)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$ **Méthode d'Heaviside :** $A=\left[\frac{1}{x+2}\right]_{x=2}=\frac{1}{4}, \qquad B=\left[\frac{1}{x-2}\right]_{x=-2}=-\frac{1}{4}$ Donc : $\frac{1}{x^2-4} =\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4(x+2)}$ Ainsi : $I=\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{4}\ln|x+2|+C$ $\boxed{ I=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C }$ 2. $I=\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$ On pose : $\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ **Heaviside :** $A=\left[\frac{3x+1}{x+2}\right]_{x=1} =\frac{4}{3}, \qquad B=\left[\frac{3x+1}{x-1}\right]_{x=-2} =\frac{5}{3}$ D'où : $I=\frac{4}{3}\int\frac{1}{x-1}dx+\frac{5}{3}\int\frac{1}{x+2}dx$$\boxed{ I=\frac{4}{3}\ln|x-1|+\frac{5}{3}\ln|x+2|+C }$ 3. $I=\int \frac{2x-1}{x^2-9}\,dx$ $x^2-9=(x-3)(x+3)$ On écrit : $\frac{2x-1}{(x-3)(x+3)} =\frac{A}{x-3} +\frac{B}{x+3}$ $A=\left[\frac{2x-1}{x+3}\right]_{x=3} =\frac{5}{6}, \qquad B=\left[\frac{2x-1}{x-3}\right]_{x=-2} =\frac{7}{6}$ Alors : $\boxed{ I=\frac{5}{6}\ln|x-3| +\frac{7}{6}\ln|x+3| +C }$ ## Correction de l'Exercice 3 1. $I=\int \frac{1}{x(x-1)^2}\,dx$ **DES :** $\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x-1} +\frac{C}{(x-1)^2}$ Après multiplication par $x(x-1)^2$ : $1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx$ - En prenant $x=0$ : $A=1$ - En prenant $x=1$ : $C=1$ - En prenant $x=2$ : $1=1+2B+2 \implies B=-1$ Donc : $\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1} +\frac{1}{(x-1)^2}$ Intégration : $I=\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C$ $\boxed{ I=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right| -\frac{1}{x-1} +C }$ 2. $I=\int \frac{x+4}{x(x+1)^2}dx$ On cherche : $\frac{x+4}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{(x+1)^2}$ Après multiplication : $x+4=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$ - $x=0 \implies A=4$ - $x=-1 \implies -1+4=C(-1) \implies C=-3$ - $x=1 \implies 5=16+2B-3 \implies B=-4$ Donc : $\frac{x+4}{x(x+1)^2} = \frac{4}{x}-\frac{4}{x+1} -\frac{3}{(x+1)^2}$ $\boxed{ I= 4\ln|x| -4\ln|x+1| +\frac{3}{x+1} +C }$ 3. $I=\int \frac{2x+3}{(x-1)^3}dx$ **Poser la forme de la décomposition** Lorsque le dénominateur possède une racine multiple (ici $x=1$ de multiplicité 3), la décomposition s'écrit sous la forme : $\frac{2x+3}{(x-1)^3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-1)^3}$ **Déterminer les coefficients ($A, B, C$)** Il existe deux méthodes principales. Ici, la plus rapide est le **changement de variable local** ou la division selon les puissances croissantes, mais restons sur l'identification classique. **Méthode par substitution :** On multiplie tout par $(x-1)^3$ : $2x+3 = A(x-1)^2 + B(x-1) + C$ $2x+3 = A(x^2 - 2x + 1) + Bx - B + C$ $2x+3 = Ax^2 + (B - 2A)x + (A - B + C)$ **Identification des coefficients :** En comparant les termes de gauche et de droite : 1. **Termes en $x^2$ :** $A = 0$ (car il n'y a pas de $x^2$ à gauche). 2. **Termes en $x$ :** $B - 2A = 2 \implies B - 0 = 2 \implies B = 2$. 3. **Termes constants :** $A - B + C = 3 \implies 0 - 2 + C = 3 \implies C = 5$. On obtient donc la décomposition suivante : $\frac{2x+3}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{5}{(x-1)^3}$ **Calcul de la primitive** On intègre maintenant chaque terme séparément : $I = \int \left( \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{5}{(x-1)^3} \right) dx$ En utilisant la formule $\int \frac{1}{u^n} du = \frac{-1}{(n-1)u^{n-1}}$ : - $\int \frac{2}{(x-1)^2} dx = 2 \left( \frac{-1}{x-1} \right) = -\frac{2}{x-1}$ - $\int \frac{5}{(x-1)^3} dx = 5 \left( \frac{-1}{2(x-1)^2} \right) = -\frac{5}{2(x-1)^2}$ $\boxed{ I = -\frac{2}{x-1} - \frac{5}{2(x-1)^2} + C }$ >[!note] Note astucieuse Dans ce cas précis, on aurait pu aller plus vite en écrivant le numérateur en fonction de $(x-1)$ : $2x + 3 = 2(x - 1 + 1) + 3 = 2(x-1) + 2 + 3 = 2(x-1) + 5$ Alors : $\frac{2x+3}{(x-1)^3} = \frac{2(x-1) + 5}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{5}{(x-1)^3}$ Cette astuce évite de résoudre un système d'équations ! ## Correction de l'Exercice 4 1. $I=\int \frac{x}{x^2+4}\,dx$ Posons $u=x^2+4$, alors $du=2x\,dx$. Donc : $I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$ $\boxed{ I=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C }$ 2. $I=\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx$ Le dénominateur vaut $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$. Posons $u=x+1$, alors : $I=\int \frac{u}{u^2+4}\,du = \frac{1}{2}\ln(u^2+4)+C$ $\boxed{ I=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5)+C }$ 3. $I=\int \frac{2x+3}{x^2+6x+13}\,dx$ **Complétons le carré :** $x^2+6x+13=(x+3)^2+4$. **Réécrivons le numérateur :** $2x+3=(2x+6)-3$. $I = \int \frac{2x+6}{(x+3)^2+4}dx - 3\int \frac{dx}{(x+3)^2+4}$ - Pour la première intégrale ($u = \text{dénominateur}$), on obtient : $\ln((x+3)^2+4)$. - Pour la seconde, on utilise la forme $\int \frac{1}{v^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan(v/a)$ : $\int \frac{1}{(x+3)^2+2^2}dx = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)$ $\boxed{ I= \ln(x^2+6x+13) -\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x+3}{2}\right) +C }$ # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `06-Novembre-2026` - Rédigé par: [[Elie NAKHLE]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Accueil · Intégrales rationnelles]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Cours 1 - Intégrales rationnelles\|← Cours 1 - Intégrales rationnelles]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%