%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Nombres complexes|Accueil · Nombres complexes]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Exercices - Nombres complexes\|Exercices - Nombres complexes →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Nombres complexes > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Nombres complexes|Nombres complexes]] >[!example] Contenu de ce cours > - L'ensemble $\mathbb{C}$ > - Représentation dans le plan complexe > - Conjugué d'un nombre complexe > - Module et argument > - Forme trigonométrique et forme exponentielle > - Application à la géométrie > - Racines $n^{ièmes}$ de l'unité > - Résolution d'équations du second degré ## Introduction Historique Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle lorsqu’un italien **Gerolamo Cardano** (1501-1576), au nom francisé de Jérôme Cardan, introduit $\sqrt{-15}$ pour résoudre des équations du troisième degré. En 1572, **Rafaele Bombelli** publie *"Algebra"*, où il présente des nombres de la forme $a+ b\sqrt{-1}$. À cette époque, on manipule ces racines d’entiers négatifs sans les considérer comme de « vrais » nombres ; on les dit « imaginaires ». La notation $i$ apparaît en 1777 avec **Leonhard Euler**. Au XIXe siècle, **Gauss** puis **Hamilton** posent les structures de l’ensemble $\mathbb{C}$. On qualifie les anciens nombres de « réels » par opposition à ces nouvelles créations de l’esprit. ## I. L'ensemble $\mathbb{C}$ ### Définition > [!definition] Définition > Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$, appelé **ensemble des nombres complexes** qui possède les propriétés suivantes : > - $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$. > - Dans $\mathbb{C}$, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$. > - Il existe dans $\mathbb{C}$ un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$. > - Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de manière unique sous la forme $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels. >[!example] Exemples : $3 + 4i$ ; $-2 - i$ ; $\frac{i}{3}$ sont des complexes. Les réels $0$, $-2$ ou $\sqrt{3}$ sont également des complexes. ### Vocabulaire - L'écriture $a + ib$ est appelée la **forme algébrique** de $z$. - $a$ est la **partie réelle** : $Re(z) = a$. - $b$ est la **partie imaginaire** : $Im(z) = b$. **Remarques :** - Si $b = 0$, $z$ est un **réel**. - Si $a = 0$, $z$ est un **imaginaire pur**. >[!example] Exemples >Trouvons la forme algébrique des nombres complexes suivants : >- **Soit $z_1=3-5i-(3i-4)$.** > On simplifie $z_1=3-5i-3i+4=7-8i$. C'est la forme algébrique de $z_1$. La partie réelle est $Re(z_1)=7$ et la partie imaginaire est $Im(z_1)=-8$. > >- **Soit $z_2=(3-2i)(-1+5i)$.** > On développe $z_2=-3+15i+2i-10i^2$ or $i^2=-1$ alors $z_2=-3+15i+2i+10=7+17i$. Ce qui donne $Re(z_2)=7$ et $Im(z_2)=17$. > >- **Soit $z_3=(2i)^{17}$.** > On décompose la puissance comme suit $17=2\times 8 +1$. Par suite, $z_3=2^{17}i^{17}=2^{17}(i)^{2\times 8 +1}=131\, 072 \times (i^2)^{8}\times i=131\, 072 \times (-1)^8\times i=131\, 072 \,i$. Le nombre complexe $z_3$ est un imaginaire pur parce que sa partie réelle est nulle. > >- **Soit $z_4=(2-3i)^2$.** > On applique l'identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ : $z_4=4-12i+(3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i-9=-5-12i$. ### Égalité de deux complexes > [!note] Propriétés > - Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. > - Un nombre complexe est nul si et seulement si $Re(z) = 0$ et $Im(z) = 0$. ## II. Conjugué d'un nombre complexe ### Définition > [!definition] Définition > Soit $z = a + ib$. On appelle **conjugué de $z$**, le nombre noté $\bar{z}$, égal à $a - ib$. >[!example] Exemples >- Le conjugué de $z=5-7i$ est $\overline{z}=\overline{5-7i}=5+7i$. >- Le conjugué de $i$ est $-i$. >- Le conjugué de $8$ est $8$. ### Propriétés des conjugués Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n \in \mathbb{N}^*$ : - $\overline{\overline{z}} = z$ - $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$ - $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z}'$ - $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ - $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar{z}}$ et $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}'}$ ### Caractérisation des réels et imaginaires purs - $z$ est réel $\iff z = \bar{z}$ - $z$ est imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$ - $z \bar{z} = a^2 + b^2$ (Propriété fondamentale pour rendre réel un dénominateur) >[!example] Exemple 1 : >Trouvons la forme algébrique des nombres complexes suivants : >- Soit $z_1=\frac{1}{4-2i}$. On multiplie la fraction par le conjugué du dénominateur : $z_1=\frac{1\times(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)}=\frac{4+2i}{16+4}=\frac{4+2i}{20}=\frac{4}{20}+\frac{2}{20}i=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}i$ >- Soit $z_6=\frac{1+i}{2-i}$. On procède de la même façon : >$z_6=\frac{1+i}{2-i}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2+i+2i-i^2}{4+1}=\frac{1+3i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$ >[!example] Exemple 2 : Trouvons le conjugué des nombres complexes suivants : >- Soit $z_1=(7-i)(2-i)$. Le conjugué de $z_1$ est $\overline{z_1}=\overline{(7-i)(2-i)}=\overline{7-i}\times\overline{2-i}=(7+i)(2+i)=14+7i+2i+i^2=13+9i$ >- Soit $z_2=\frac{3-4i}{i}$. Le conjugué de $z_2$ est $\overline{z_2}=\overline{(\frac{3-4i}{i})}=\frac{\overline{3-4i}}{\overline{i}}=\frac{3+4i}{-i}=\frac{(3+4i)\times i}{-i\times i}=\frac{3i-4}{1}=-4+3i$ >[!example] Exemple >Résoudre l'équation $5z-3=\overline{z}+2$ >L'équation relie $z$ et son conjugué $\overline{z}$. On pose $z=a+ib$. L'équation s'écrit alors : >$5(a+ib)-3=a-ib+2$ >$ 5a+5ib-3-a+ib-2=0$ >$ 4a+6ib-5=0$ >$(4a-5)+6ib=0$ >Un nombre complexe $z$ est nul si $Re(z)=0$ et $Im(z)=0$. Alors, >$4a-5=0$ et $6b \implies a=5/4$ et $b=0$. >Donc, $z=5/4$. ## III. Représentation dans le plan complexe ### Définition >[!définition] Définition Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$. >- À tout nombre complexe $z = a + ib$, on associe le point $M(a; b)$ appelé **image** de $z$. >- $z$ est appelé **affixe** du point $M$, noté $M(z)$. >[!example] Exemple > Le nombre complexe $z=3+2i$ est l'affixe du point $M$ du plan de coordonnées $(3,2)$. > > ![[représentation graphique d'un nombre complexe.png||400]] ### Propriétés géométriques - Le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour affixe $z_N - z_M$ où $z_N$ est l'affixe du point $N$ et $z_M$ est celui du point $M$. **Exemple** Soit $M$ d'affixe $z_M=1+2i$ et $N$ d'affixe $z_N=4-3i$. Le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour affixe $z=z_N-z_M=4-3i-(1+2i)=3-5i$. - Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour affixe $z_I = \frac{z_M + z_N}{2}$. **Exemple** L'affixe de $I$ milieu de $M(1,2)$ et $N(4,-5)$ est $z_I=\frac{1+2i+4-5i}{2}=\frac{5-3i}{2}$. Donc les coordonnées de $I$ sont $(\frac{5}{2},\frac{-3}{2})$. ![[affixe du milieu .png||250]] - Les images de $z$ et $\bar{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels. **Exemple** $M(1,2)$ et $N(1,-2)$ sont deux points d'affixes conjugués, symétriques par rapport à l'axe des réels. ![[représentation d'un conjugué.png||250]] ## IV. Module et argument ### Module > [!definition] Définition > Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. > Géométriquement, $|z| = OM$. ![[module.png||300]] **Propriétés :** - $|z|^2 = z \bar{z}$ - $|z| = |\bar{z}| = |-z|$ - $|z z'| = |z| \times |z'|$ - $|z^n| = |z|^n$ - $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ >[!example] Exemples : >- $|3-2i|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$ >- $|\sqrt{5}+i|=\sqrt{(\sqrt{5})^2+1^2}=\sqrt{5+1}=\sqrt{6}$ >- $|\overline{-3i}|=|-3i|=|-3i||i|=3\times 1=3$ >- $|\frac{3i}{(\sqrt{5}+i)^2}|=\frac{|3i|}{|(\sqrt{5}+i)^2|}=\frac{3}{|\sqrt{5}+i|^2}=\frac{3}{(\sqrt{6})^2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ### Argument > [!definition] Définition > Soit $M(z)$ avec $z \neq 0$. L'**argument** de $z$, noté $arg(z)$, est une mesure en radians de l'angle $(\vec{u}; \overrightarrow{OM})$. ![[argument.png||250]] **Propriétés :** - $z$ est un nombre réel $\iff arg(z)= 0\quad [\pi]$ - $z$ est un nombre complexe $\iff arg(z)=\frac{\pi}{2} \quad [\pi]$ - $arg(\bar{z}) = -arg(z) \quad [2\pi]$ - $arg(-z) = arg(z) + \pi \quad [2\pi]$ - $arg(z z') = arg(z) + arg(z') \quad [2\pi]$ - $arg(z^n) = n \times arg(z) \quad [2\pi]$ - $arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) - arg(z') \quad [2\pi]$ - $arg(\frac{1}{z})=-arg(z)$ ## V. Forme trigonométrique ### Définition > [!definition] Définition > Tout complexe $z \neq 0$ peut s'écrire : > $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{avec } r=|z| \quad \text{et}\quad \theta = arg(z)$ > C'est la **forme trigonométrique**. On a les relations : $a = |z| \cos \theta$ et $b = |z| \sin \theta$. >[!example] Exemples : Conversion de la forme trigonométrique en algébrique Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : >- $z_{1} = 3(\cos \pi + i \sin \pi)$ **Solution :** On sait que $\cos \pi = -1$ et $\sin \pi = 0$. $z_{1} = 3(-1 + i \times 0)$ $z_{1} = -3$ >- $z_{2} = \sqrt{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ **Solution :** On sait que $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$. $z_{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \left(-\frac{1}{2}\right) \right)$ $z_{2} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ $z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ >[!example] Exemples : Conversion de la forme algébrique en trigonométrique Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique >- $z_{3} = -5i$ **Solution :** > * **Module :** $|z_{3}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ > * **Argument :** $z_{3}$ est un imaginaire pur négatif, donc son argument est $-\frac{\pi}{2}$ (ou $\frac{3\pi}{2}$). >$z_{3} = 5 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$ >- $z_{4} = \sqrt{3} + i$ **Solution :** > * **Module :** $|z_{4}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ > * **Argument ($\theta$) :** On cherche $\theta$ tel que : >$\cos \theta = \frac{\text{partie réelle}}{\text{module}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ >$\sin \theta = \frac{\text{partie imaginaire}}{\text{module}} = \frac{1}{2}$ >Cela correspond à $\theta = \frac{\pi}{6}$. > >Donc, >$z_{4} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$ ### Rappel de quelques formules trigonométriques #### Formules d'addition - $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ - $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ - $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ - $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ >[!example] Exemples : >- Calcul de $\cos \frac{5 \pi}{12}$ >$\begin{aligned} \cos \frac{5 \pi}{12} &= \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$ >- Calcul de $\sin \frac{5 \pi}{12}$ $\begin{aligned} \sin \frac{5 \pi}{12} &= \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$ #### Formules de duplication - $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ - $\sin(2a) = 2 \cos a \sin a$ >[!example] Exemples : Calculer $\cos \frac{\pi}{8}$ et $\sin \frac{\pi}{8}$ **Correction** On utilise la formule de duplication du cosinus : $\cos(2a) = 2 \cos^2(a) - 1$. En prenant $a = \frac{\pi}{8}$, on a : $\cos \frac{\pi}{4} = \cos \left(2 \times \frac{\pi}{8}\right) = 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1$ **Calcul de $\cos \frac{\pi}{8}$ :** D'après l'équation précédente : $\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left(1 + \cos \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ Et donc : $\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ car $\cos \frac{\pi}{8}$ est positif (puisque $\frac{\pi}{8}$ est dans le premier quadrant). **Calcul de $\sin \frac{\pi}{8}$ :** On utilise la relation fondamentale $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$ : $\sin^2 \frac{\pi}{8} = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 - \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{4 - (2 + \sqrt{2})}{4} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ Et donc : $\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ car $\sin \frac{\pi}{8}$ est positif. ## VI. Forme exponentielle ### Définition >[!definition] Définition Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Tout complexe $z \neq 0$ s'écrit sous sa **forme exponentielle** : $z = r e^{i\theta} \quad \text{où } r = |z| \text{ et } \theta = arg(z)$ **Valeurs particulières :** $e^{i\pi} = -1$ ; $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ ; $e^{i0} = 1$. >[!example] Exemple : Algébrique -> Exponentielle > Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : >- **$z_1 = -2i$** > **Module :** $|z_1| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$ **Argument :** Le point associé est situé sur la partie négative de l'axe des ordonnées (l'axe imaginaire pur), donc : $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ **Conclusion :** $z_1 = 2e^{-i\frac{\pi}{2}}$ >- **$z_2 = -3$** > **Module :** $|z_2| = |-3| = 3$ **Argument :** Le point associé est situé sur la partie négative de l'axe des abscisses (l'axe réel), donc : $\arg(z_2) = \pi \pmod{2\pi}$ **Conclusion :** $z_2 = 3e^{i\pi}$ >- **$z_3 = \sqrt{3} - 3i$** >**Module :** $|z_3| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ **Argument :** On factorise par le module : $z_3 = 2\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{3}}i \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)$ On cherche $\theta$ tel que : $\begin{cases} \cos\theta = \frac{1}{2} \\ \sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \implies \theta = -\frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$ **Conclusion :** $z_3 = 2\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{3}}$ >[!example] Exemple : Exponentielle -> Algébrique Écrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : >- **$z_4 = e^{i\frac{\pi}{6}}$** > On utilise la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ : $z_4 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ $z_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ >- **$z_5 = 4e^{i\frac{\pi}{4}}$** > $z_5 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$ $z_5 = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $z_5 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ ### Propriétés Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ , - $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ - $\frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ - $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ - $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ > [!example] Exemple > Soit $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$. > Donner la forme exponentielle de $iz$, $i\overline{z}$ et $-\frac{2i}{z}$. > **Forme exponentielle de $iz$ :** $iz = e^{i\frac{\pi}{2}} \times 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ $iz = 2e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)} =2e^{i\frac{5\pi}{6}}$ **Forme exponentielle de $i\overline{z}$ :** Comme $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$, on a : $\overline{z} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ Alors : $i\overline{z} = e^{i\frac{\pi}{2}} \times 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ $i\overline{z} = 2e^{i\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{6}}$ **Forme exponentielle de $-\frac{2i}{z}$ :** On écrit le numérateur sous forme exponentielle : $-2i = 2e^{-i\frac{\pi}{2}}$ On effectue le quotient : $-\frac{2i}{z} = \frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}$ $-\frac{2i}{z} = \frac{2}{2} e^{i\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)}=e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ ### Formules de Moivre et d'Euler - **Moivre :** $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ soit $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$. - **Euler :** $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad ; \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ >[!example] Exemple : Linéarisation >Linéariser l'expression $\cos^3(x)$. Cela consiste à ramener l'expression comme somme d'expressions du type $\cos(ax)$ et $\sin(ax)$. On applique la formule d'Euler : $\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3$ $= \frac{1}{8}\left((e^{ix})^3 + 3(e^{ix})^2 e^{-ix} + 3e^{ix}(e^{-ix})^2 + (e^{-ix})^3\right),$ en appliquant la formule du binôme de Newton pour développer. Soit encore : $\begin{aligned} \cos^3 x &= \frac{1}{8}\left(e^{3ix} + 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} + e^{-3ix}\right) \\ &= \frac{1}{8}\left(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}\right) \\ &= \frac{1}{8}(\cos 3x + i\sin 3x + 3\cos x + 3i\sin x + 3\cos x - 3i\sin x + \cos 3x - i\sin 3x) \\ &= \frac{1}{8}(\cos 3x + 3\cos x + 3\cos x + \cos 3x) \\ &= \frac{1}{8}(2\cos 3x + 6\cos x) \\ &= \frac{1}{4}(\cos 3x + 3\cos x) \end{aligned}$ ## VII. Applications à la géométrie Soient $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ : - Distance $AB = |b - a|$ - Angle $(\vec{u}; \overrightarrow{AB}) = arg(b - a) \quad [2\pi]$ - Angle $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) = arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right) \quad [2\pi]$ >[!example] Exemple : On donne trois points $A$, $B$ et $C$ d'affixes : >* $z_A = -2 - i$ >* $z_B = 1 - 2i$ >* $z_C = -1 + 2i$ > **Démontrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$** Pour prouver que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, calculons les longueurs des côtés $AB$ et $AC$ : Calcul de la distance $AB$ : $AB = |z_B - z_A|$ $z_B - z_A = (1 - 2i) - (-2 - i) = 1 - 2i + 2 + i = 3 - i$ $AB = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ Calcul de la distance $AC$ : $AC = |z_C - z_A|$ $z_C - z_A = (-1 + 2i) - (-2 - i) = -1 + 2i + 2 + i = 1 + 3i$ $AC = |1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ Puisque $AB = AC = \sqrt{10}$, **le triangle $ABC$ est isocèle en $A$**. > >**Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$** L'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est donné par l'argument du quotient $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ : $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ Calcul et simplification du quotient : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 3i}{3 - i}$ Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $(3 + i)$ : $\frac{1 + 3i}{3 - i} = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}$ $\frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2}$ Comme $i^2 = -1$ : $\frac{3 + 10i - 3}{9 - (-1)} = \frac{10i}{10} = i$ Calcul de l'angle : $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \arg(i) = \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ L'angle $\widehat{BAC}$ est donc un angle droit ($\frac{\pi}{2}\text{ rad} = 90^\circ$). Par conséquent, **le triangle $ABC$ est rectangle en $A$**. ## VIII. Racines n-ièmes ### Racines n-ièmes de l'unité >[!example] Définition > Une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe $z$ vérifiant $z^n=1$ avec $n\in\mathbb{N}^*$. > [!theorem] Théorème > L'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines n-ièmes de l'unité ($z^n = 1$) possède exactement $n$ racines : > $w_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$ Géométriquement, elles forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité. - **n=3 :** Triangle équilatéral (racines $w_0=1, w_1=j, w_2=j^2$ avec $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$). ![[racines 3ème de l'unité.png||300]] - **n=4 :** Carré (racines $w_0=1, w_1=i, w_2=-1, w_3=-i$). ![[racines 4ème de l'unité.png||300]] >[!example] Exemple : >Résoudre dans $\mathbb{C}$ : >Résolution de $(z - 1)^3 = 1$ L'équation signifie que $(z - 1)$ est une racine 3-ième de l'unité (racine cubique de $1$). >1. **Recherche des racines 3-ièmes :** $z - 1 = e^{i\frac{2k\pi}{3}} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2\}$ >2. **Calcul des trois valeurs possibles :** > - Pour $k = 0$ : > $z - 1 = e^0 = 1 \implies z = 1 + 1 = 2$ > - Pour $k = 1$ : > $z - 1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} \implies z = 1 + e^{i\frac{2\pi}{3}}$ > - Pour $k = 2$ : > $z - 1 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}} \implies z = 1 + e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ >1. **Ensemble des solutions :** $\mathcal{S} = \left\{ 2 \,;\, 1 + e^{i\frac{2\pi}{3}} \,;\, 1 + e^{-i\frac{2\pi}{3}} \right\}$ ### Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque Soit $a\in\mathbb{C}^*$. On cherche les solutions de $z^n=a$. Les étapes à faire sont les suivantes : 1. Ecrire $a$ sous forme exponentielle : $a=\rho e^{i\alpha}$ avec $\rho=|a|$ et $\alpha=\arg(a)$. 2. Poser $z=r e^{i\theta}$ et substituer : $r^ne^{in\theta}=\rho e^{i\alpha}$. 3. Identifier : $r=\rho^{1/n}$ et $\theta=\frac{\alpha+2k\pi}{n}$ , $k\in\mathbb{Z}$. 4. Lister les $n$ solutions distinctes : $z_k=\rho^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}, \quad k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ >[!example] Exemple : Racines cubiques de -8 >1. $-8 = 8e^{i\pi}$donc $\rho = 8$ et $\alpha = \pi$. >2. $r^3e^{i3\theta}= 8e^{i\pi}$ >3. $r = 8^{1/3} = 2$ et $\theta_k = \frac{\pi + 2k\pi}{3}$. >4. $z_0 = 2e^{i\pi/3} = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$ $z_1 = 2e^{i\pi} = -2$ $z_2 = 2e^{5i\pi/3} = 1 - i\sqrt{3}$ ## IX. Résolution des équations du second degré Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$). Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$. - **Si $\Delta > 0$ :** Deux racines réelles $z_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. - **Si $\Delta = 0$ :** Une racine réelle $z_0 = -\frac{b}{2a}$. - **Si $\Delta < 0$ :** Deux racines complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ **Somme et Produit :** La somme $S$ et le produit $P$ des racines d'une équation du second degré sont donnés par : $S = z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $P = z_1 z_2 = \frac{c}{a}$. >[!example] Exemples Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : a) $z^2 + 5 = 0$ b) $z^2 + 3z + 4 = 0$ **Correction** **a) $z^2 + 5 = 0$** On isole $z^2$ : $z^2 = -5$ Comme on travaille dans les nombres complexes, on peut remplacer $-1$ par $i^2$ : $z^2 = 5i^2$ Donc : $z = i\sqrt{5} \quad \text{ou} \quad z = -i\sqrt{5}$ Les solutions sont donc $i\sqrt{5}$ et $-i\sqrt{5}$. **b) $z^2 + 3z + 4 = 0$** On calcule le discriminant $\Delta$ du trinôme avec $a=1$, $b=3$, $c=4$ : $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7$ $\Delta < 0$, donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :$\begin{aligned} z_1 &= \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} & z_2 &= \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\ z_1 &= \frac{-3 + i\sqrt{7}}{2} & z_2 &= \frac{-3 - i\sqrt{7}}{2} \\ z_1 &= -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i & z_2 &= -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i \end{aligned}$ # ➡ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Exercices - Nombres complexes|Exercices - Nombres complexes]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Nombres complexes|Nombres complexes]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `27-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Nombres complexes|Accueil · Nombres complexes]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Exercices - Nombres complexes\|Exercices - Nombres complexes →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%