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Calculer et écrire sous la forme algébrique : * $z + z'$ * $z - z'$ * $2z - 3z'$ * $zz'$ * $z^2$ **Partie 2** Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1. $z_1 = (2 + 5i) + (i + 3)$ 2. $z_2 = 4(-2 + 3i) + 3(-5 - 8i)$ 3. $z_3 = (2 - i)(3 + 8i)$ 4. $z_4 = (1 - i)\overline{(1 + i)}$ 5. $z_5 = i(1 - 3i)^2$ 6. $z_6 = (1 + i)^3$ ## Exercice 3 Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1. $z_1 = \dfrac{1}{1+i}$ 2. $z_2 = \dfrac{-4}{1+i\sqrt{3}}$ 3. $z_3 = \dfrac{1-2i}{3+i}$ 4. $z_4 = \dfrac{(3+5i)^2}{1-2i}$ 5. $z_5 = \left(\dfrac{1+i}{2-i}\right)^2 + \dfrac{3+6i}{3-4i}$ ## Exercice 4 Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : 1. $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ 2. $z_2 = 9i$ 3. $z_3 = -3$ 4. $z_4 = \dfrac{-i\sqrt{2}}{1+i}$ 5. $z_5 = \dfrac{(1+i\sqrt{3})^3}{(1-i)^5}$ 6. $z_6 = \sin x + i\cos x$ ## Exercice 5 On pose $z_1 = 4e^{i\frac{\pi}{4}}$, $z_2 = 3ie^{i\frac{\pi}{6}}$, $z_3 = -2e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Écrire sous forme exponentielle : $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_1z_2$, et $\dfrac{z_1z_2}{z_3}$. ## Exercice 6 Soit $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$, et $n \in \mathbb{N}^*$. Donner le module et un argument des nombres suivants : $z^2, \quad \overline{z}, \quad \dfrac{1}{z}, \quad -z, \quad z^n$ ## Exercice 7 On considère $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$, $z_2 = 1 + i$ et $z_3 = \dfrac{z_1}{z_2}$. 1. Écrire $z_3$ sous forme algébrique. 2. Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique. 3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$. ## Exercice 8 1. Linéariser $\sin^3(\theta)$ et $\cos^4(\theta)$. 2. Calculer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$. ## Exercice 9 Résoudre dans $\mathbb{C}$ : 1. $z + 2i = iz - 1$ 2. $(3 + 2i)(z - 1) = i$ 3. $(2 - i)z + 1 = (3 + 2i)z - i$ 4. $(4 - 2i)z^2 = (1 + 5i)z$ ## Exercice 10 Résoudre avec $z = x + iy$ : 1. $2z + i = \overline{z} + 1$ 2. $2z + \overline{z} = 2 + 3i$ 3. $2z + 2\overline{z} = 2 + 3i$ ## Exercice 11 Résoudre les équations de type racines $n$-ièmes : 1. $z^4 = -1$ 2. $z^3 = 1 + i\sqrt{3}$ ## Exercice 12 Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations du second degré : 1. $z^2 - 2z + 5 = 0$ 2. $z^2 + 3z - 4 = 0$ 3. $z^2 - 2iz - 1 + 2i = 0$ ## Exercice 13 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ : Déterminer géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : 1. $|z - 1 + i| = |z + 2 - i|$ 2. $|z + 2 + i| = 2$ 3. $|iz + 1 - i| = |z + 3|$ ## Exercice 14 En considérant les coordonnées des points du plan complexe : ![[points sur le repère.png]] 1. Donner les affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$. 2. Donner les affixes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. 3. Placer les points $E$ et $F$ d'affixes respectives $z_E = 2 + 3i$ et $z_F = -1 - i$. 4. Montrer, en utilisant un calcul, que les points $A$, $E$ et $C$ sont alignés. # Correction détaillée ## Correction de l'Exercice 1 1. Pour $z_1 = -2i + 5$ On l'écrit sous forme canonique : $z_1 = 5 - 2i$ * **Partie réelle :** $\operatorname{Re}(z_1) = 5$ * **Partie imaginaire :** $\operatorname{Im}(z_1) = -2$ * **Conjugué :** $\overline{z_1} = 5 + 2i$ 2. Pour $z_2 = 15$ C'est un nombre réel pur, que l'on peut écrire $z_2 = 15 + 0i$ : * **Partie réelle :** $\operatorname{Re}(z_2) = 15$ * **Partie imaginaire :** $\operatorname{Im}(z_2) = 0$ * **Conjugué :** $\overline{z_2} = 15$ 3. Pour $z_3 = 3i$ C'est un nombre imaginaire pur, que l'on peut écrire $z_3 = 0 + 3i$ : * **Partie réelle :** $\operatorname{Re}(z_3) = 0$ * **Partie imaginaire :** $\operatorname{Im}(z_3) = 3$ * **Conjugué :** $\overline{z_3} = -3i$ 3. Pour $z_4 = i(2 + 3i)$ Commençons par développer et simplifier pour obtenir la forme algébrique : $z_4 = 2i + 3i^2$ Comme $i^2 = -1$ : $z_4 = 2i + 3(-1) = -3 + 2i$ * **Partie réelle :** $\operatorname{Re}(z_4) = -3$ * **Partie imaginaire :** $\operatorname{Im}(z_4) = 2$ * **Conjugué :** $\overline{z_4} = -3 - 2i$ ## Correction de l'Exercice 2 **Partie 1** * **Calcul de $z + z'$ :** $z + z' = (2 + 3i) + (-5 + i) = (2 - 5) + (3 + 1)i = -3 + 4i$ * **Calcul de $z - z'$ :** $z - z' = (2 + 3i) - (-5 + i) = 2 + 3i + 5 - i = (2 + 5) + (3 - 1)i = 7 + 2i$ * **Calcul de $2z - 3z'$ :**$\begin{aligned} 2z - 3z' &= 2(2 + 3i) - 3(-5 + i) \\ &= (4 + 6i) - (-15 + 3i) \\ &= 4 + 6i + 15 - 3i \\ &= 19 + 3i \end{aligned}$ * **Calcul de $zz'$ :** $\begin{aligned} zz' &= (2 + 3i)(-5 + i) \\ &= 2(-5) + 2(i) + 3i(-5) + 3i(i) \\ &= -10 + 2i - 15i + 3i^2 \\ &= -10 - 13i + 3(-1) \\ &= -13 - 13i \end{aligned}$ * **Calcul de $z^2$ :** $\begin{aligned} z^2 &= (2 + 3i)^2 \\ &= 2^2 + 2(2)(3i) + (3i)^2 \\ &= 4 + 12i + 9i^2 \\ &= 4 + 12i - 9 \\ &= -5 + 12i \end{aligned}$ **Partie 2** 1. $z_1 = (2 + 5i) + (i + 3)$$z_1 = (2 + 3) + (5 + 1)i = 5 + 6i$ 2. $z_2 = 4(-2 + 3i) + 3(-5 - 8i)$ $\begin{aligned} z_2 &= (-8 + 12i) + (-15 - 24i) \\ &= (-8 - 15) + (12 - 24)i \\ &= -23 - 12i \end{aligned}$ 3. $z_3 = (2 - i)(3 + 8i)$ $\begin{aligned} z_3 &= 2 \times 3 + 2 \times 8i - i \times 3 - i \times 8i \\ &= 6 + 16i - 3i - 8i^2 \\ &= 6 + 13i - 8(-1) \\ &= 6 + 13i + 8 \\ &= 14 + 13i \end{aligned}$ 4. $z_4 = (1 - i)\overline{(1 + i)}$ Comme le conjugué de $1 + i$ est $\overline{1 + i} = 1 - i$ : $\begin{aligned} z_4 &= (1 - i)(1 - i) \\ &= (1 - i)^2 \\ &= 1^2 - 2i + i^2 \\ &= 1 - 2i - 1 \\ &= -2i \end{aligned}$ 5. $z_5 = i(1 - 3i)^2$ Développons d'abord l'identité remarquable : $(1 - 3i)^2 = 1^2 - 2(1)(3i) + (3i)^2 = 1 - 6i + 9i^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i$ Multiplions ensuite par $i$ : $z_5 = i(-8 - 6i) = -8i - 6i^2 = -8i - 6(-1) = 6 - 8i$ 6. $z_6 = (1 + i)^3$ Méthode par développement successif : $z_6 = (1 + i)^2(1 + i)$Comme $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ :$z_6 = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$Ou avec la formule du binôme : $(1+i)^3 = 1^3 + 3(1^2)(i) + 3(1)(i^2) + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$. ## Correction de l'exercice 3 1. Pour $z_1 = \dfrac{1}{1+i}$ On multiplie par le conjugué $(1-i)$ : $z_1 = \frac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1+1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$ 2. Pour $z_2 = \dfrac{-4}{1+i\sqrt{3}}$ On multiplie par le conjugué $(1-i\sqrt{3})$ : $z_2 = \frac{-4(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})} = \frac{-4 + 4i\sqrt{3}}{1^2 - (i\sqrt{3})^2} = \frac{-4 + 4i\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{-4 + 4i\sqrt{3}}{4} = -1 + i\sqrt{3}$ 3. Pour $z_3 = \dfrac{1-2i}{3+i}$ On multiplie par le conjugué $(3-i)$ : $z_3 = \frac{(1-2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3 - i - 6i + 2i^2}{3^2 - i^2} = \frac{3 - 7i - 2}{9 + 1} = \frac{1 - 7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$ 4. Pour $z_4 = \dfrac{(3+5i)^2}{1-2i}$ Développons d'abord le numérateur : $(3+5i)^2 = 9 + 30i + 25i^2 = 9 + 30i - 25 = -16 + 30i$ Puis multiplions par le conjugué $(1+2i)$ : $z_4 = \frac{-16 + 30i}{1 - 2i} = \frac{(-16 + 30i)(1 + 2i)}{1^2 - (2i)^2} = \frac{-16 - 32i + 30i + 60i^2}{1 + 4} = \frac{-76 - 2i}{5} = -\frac{76}{5} - \frac{2}{5}i$ 5. Pour $z_5 = \left(\dfrac{1+i}{2-i}\right)^2 + \dfrac{3+6i}{3-4i}$ - **Premier terme :** $\frac{1+i}{2-i} = \frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{1 + 3i}{5}$ $\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 = \left(\frac{1+3i}{5}\right)^2 = \frac{1 + 6i + 9i^2}{25} = \frac{-8 + 6i}{25}$ - **Deuxième terme :** $\frac{3+6i}{3-4i} = \frac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{9 + 12i + 18i + 24i^2}{9 + 16} = \frac{-15 + 30i}{25} = \frac{-3 + 6i}{5} = \frac{-15 + 30i}{25}$ - **Somme :** $z_5 = \frac{-8 + 6i}{25} + \frac{-15 + 30i}{25} = \frac{-23 + 36i}{25} = -\frac{23}{25} + \frac{36}{25}i$ ## Correction de l'Exercice 4 1. **$z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ :** $|z_1| = \sqrt{1^2 + 3} = 2 \implies z_1 = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ 2. **$z_2 = 9i$ :** $z_2 = 9e^{i\frac{\pi}{2}}$ 3. **$z_3 = -3$ :** $z_3 = 3e^{i\pi}$ 4. **$z_4 = \dfrac{-i\sqrt{2}}{1+i}$ :** Numérateur : $-i\sqrt{2} = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}$ Dénominateur : $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ $z_4 = \frac{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}} = e^{i\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = e^{-i\frac{3\pi}{4}} = e^{i\frac{5\pi}{4}}$ 5. **$z_5 = \dfrac{(1+i\sqrt{3})^3}{(1-i)^5}$ :** * $(1+i\sqrt{3})^3 = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^3 = 8e^{i\pi}$ * $1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} \implies (1-i)^5 = (\sqrt{2})^5 e^{-i\frac{5\pi}{4}} = 4\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{4}}$ $z_5 = \frac{8e^{i\pi}}{4\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{4}}} = \sqrt{2}e^{i\left(\pi + \frac{5\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}e^{i\frac{9\pi}{4}} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ 6. **$z_6 = \sin x + i\cos x$ :** En utilisant $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ et $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ :$z_6 = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = e^{i\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ ## Correction de l'Exercice 5 * $z_1 = 4e^{i\frac{\pi}{4}}$ * $z_2 = 3(e^{i\frac{\pi}{2}})(e^{i\frac{\pi}{6}}) = 3e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)} = 3e^{i\frac{2\pi}{3}}$ * $z_3 = 2(e^{i\pi})(e^{i\frac{2\pi}{3}}) = 2e^{i\left(\pi + \frac{2\pi}{3}\right)} = 2e^{i\frac{5\pi}{3}} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ * $z_1z_2 = (4 \times 3) e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 12e^{i\frac{11\pi}{12}}$ * $\dfrac{z_1z_2}{z_3} = \dfrac{12e^{i\frac{11\pi}{12}}}{2e^{i\frac{5\pi}{3}}} = 6e^{i\left(\frac{11\pi}{12} - \frac{20\pi}{12}\right)} = 6e^{-i\frac{9\pi}{12}} = 6e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ ## Correction de l'Exercice 6 * **$z^2 = r^2 e^{i(2\theta)}$** : Module = $r^2$, Argument = $2\theta \pmod{2\pi}$ * **$\overline{z} = r e^{-i\theta}$** : Module = $r$, Argument = $-\theta \pmod{2\pi}$ * **$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$** : Module = $\dfrac{1}{r}$, Argument = $-\theta \pmod{2\pi}$ * **$-z = re^{i(\theta + \pi)}$** : Module = $r$, Argument = $\theta + \pi \pmod{2\pi}$ * **$z^n = r^n e^{i(n\theta)}$** : Module = $r^n$, Argument = $n\theta \pmod{2\pi}$ ## Correction de l'Exercice 7 1. **Forme algébrique :** $z_3 = \frac{(1+i\sqrt{3})(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i + i\sqrt{3} - i^2\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 2. **Forme trigonométrique :** $z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ : $z_3 = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$ 3. **Valeurs exactes :** Par identification des parties réelles et imaginaires : $\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \implies \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \implies \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ## Correction de l'Exercice 8 1. **Linéarisation :** $\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta}}{-8i} = -\frac{1}{4}\sin(3\theta) + \frac{3}{4}\sin\theta$ $\cos^4\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^4 = \frac{e^{4i\theta} + 4e^{2i\theta} + 6 + 4e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta}}{16} = \frac{1}{8}\cos(4\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{3}{8}$ 2. **Formule de Moivre :** $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$ En développant : $\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)$ * $\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ * $\sin(3\theta) = 3(1-\sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ ## Correction de l'Exercice 9 1. $z(1-i) = -1-2i \implies z = \dfrac{-1-2i}{1-i} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i$ 2. $z-1 = \dfrac{i}{3+2i} = \dfrac{i(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\dfrac{2}{13} + \dfrac{3}{13}i \implies z = \dfrac{2}{13} + \dfrac{3}{13}i+1=\dfrac{15}{13} + \dfrac{3}{13}i$ 3. $(2-i)z-(3+2i)z=-1-i\implies(-1-3i)z = -1-i \implies z = \dfrac{-1-i}{-1-3i} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i$ 4. On distingue deux cas. D'abord, $z=0$ est une solution de l'équation. Si $z\neq 0$, $(4-2i)z = 1+5i \implies z = \dfrac{1+5i}{4-2i}=\dfrac{(1+5i)(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)} =\dfrac{4+2i+20i-10}{20}= -\dfrac{3}{10} + \dfrac{11}{10}i$ $\mathcal{S} = \left\{0 \,;\, -\frac{3}{10} + \frac{11}{10}i\right\}$ ## Correction de l'Exercice 10 1. $2(x+iy)+i = (x-iy)+1 \iff 2x + i(2y+1) = (x+1) - iy \iff \begin{cases} 2x = x+1 \\ 2y+1 = -y \end{cases} \implies z = 1 - \frac{1}{3}i$ 2. $2(x+iy) + (x-iy) = 3x + iy = 2 + 3i \implies z = \frac{2}{3} + 3i$ 3. $2z + 2\overline{z} = 4x \in \mathbb{R}$, or $2+3i \notin \mathbb{R}$ : **aucune solution ($\mathcal{S} = \emptyset$)**. ## Correction de l'Exercice 11 1. $z^4 = e^{i\pi} \implies z_k = e^{i\left(\frac{\pi +2k\pi}{4} \right)}$ pour $k \in \{0,1,2,3\}$. 2. $z^3 = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \implies z_k = \sqrt[3]{2}e^{i\left(\frac{\pi/3+2k\pi}{3} \right)}$ pour $k \in \{0, 1, 2\}$. ## Correction de l'Exercice 12 1. $z^2 - 2z + 5 = 0$ * **Discriminant :**$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$ * **Racines :**$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$ * **Solutions :** $\mathcal{S} = \{1 - 2i \,;\, 1 + 2i\}$ 2. $z^2 + 3z - 4 = 0$ * **Discriminant :** $\Delta = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$ * **Racines :** $z_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$ * **Solutions :** $\mathcal{S} = \{-4 \,;\, 1\}$ 5. $z^2 - 2iz - 1 + 2i = 0$ * **Discriminant :** $\Delta = (-2i)^2 - 4(1)(-1 + 2i) = -4 + 4 - 8i = -8i$ * **Recherche des racines carrées de $\Delta$ :** Posons $\delta = a + ib$ tel que $\delta^2 = \Delta = -8i$. $\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 & \text{(partie réelle)} \\ 2ab = -8 & \text{(partie imaginaire)} \\ a^2 + b^2 = |\Delta| = 8 & \text{(module)} \end{cases}$En additionnant la 1ère et la 3ème équation : $2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$De $2ab = -8$, on déduit que $a$ et $b$ sont de signes contraires : - Si $a = 2$, alors $b = -2 \implies \delta = 2 - 2i$ - Si $a = -2$, alors $b = 2 \implies \delta = -2 + 2i$ * **Racines de l'équation :** $z_1 = \frac{2i + (2 - 2i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$z_2 = \frac{2i - (2 - 2i)}{2} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$**Solutions :** $\mathcal{S} = \{1 \,;\, -1 + 2i\}$ ## Correction de l'Exercice 13 1. $|z - 1 + i| = |z + 2 - i|$ On factorise par le signe moins : $|z - (1 - i)| = |z - (-2 + i)|$Soient les points $A$ d'affixe $z_A = 1 - i$ et $B$ d'affixe $z_B = -2 + i$. L'équation s'écrit : $AM = BM$**L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$.** 2. $|z + 2 + i| = 2$ $|z - (-2 - i)| = 2$Soit le point $A$ d'affixe $z_A = -2 - i$. L'équation s'écrit $AM = 2$**L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A(-2, -1)$ et de rayon $R = 2$.** 3. $|iz + 1 - i| = |z + 3|$ On met $i$ en facteur à gauche : $|i(z - i - 1)| = |z - (-3)| \iff |i| \cdot |z - (1 + i)| = |z - (-3)|$ Comme $|i| = 1$ : $|z - (1 + i)| = |z - (-3)|$Soient $A(1 + i)$ et $B(-3)$. L'égalité s'écrit $AM = BM$**L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$.** ## Correction de l'Exercice 14 1. Affixes des points * $z_A = 4 + 2i$ * $z_B = 6i$ * $z_C = -2 + 5i$ * $z_D = 1 - 2i$ 2. Affixes des vecteurs * **Vecteur $\vec{AB}$ :** $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = 6i - (4 + 2i) = -4 + 4i$ * **Vecteur $\vec{BC}$ :** $z_{\vec{BC}} = z_C - z_B = (-2 + 5i) - 6i = -2 - i$ 3. Coordonnées des points $E$ et $F$ * Pour $z_E = 2 + 3i \implies E(2, 3)$ * Pour $z_F = -1 - i \implies F(-1, -1)$ 4. Alignement des points $A$, $E$ et $C$ Calculons les affixes des vecteurs $\vec{AE}$ et $\vec{AC}$ : * $z_{\vec{AE}} = z_E - z_A = (2 + 3i) - (4 + 2i) = -2 + i$ * $z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = (-2 + 5i) - (4 + 2i) = -6 + 3i$On remarque que : $-6 + 3i = 3(-2 + i)$Ce qui donne :$z_{\vec{AC}} = 3 \, z_{\vec{AE}} \iff \vec{AC} = 3\vec{AE}$Les vecteurs $\vec{AE}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, **donc les points $A$, $E$ et $C$ sont bien alignés**. # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `27-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Nombres complexes|Accueil · Nombres complexes]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Nombres complexes/Cours 1 - Nombres complexes\|← Cours 1 - Nombres complexes]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%