# ▷ Les nombres réels : introduction > Page d'accueil de la compétence: [[Nombres réels]] >[!tip] Tags > #NombresRéels #Intervalles #EnsemblesNumériques #Ordre #Opérations > [!info] Fil directeur > Ce premier cours pose les fondations. Nous allons explorer la géographie des nombres : d'où viennent les nombres réels, comment ils s'organisent entre eux, comment les ordonner et comment les représenter avec la notation d'intervalles et la notion de bornes. >[!example] Contenu de ce cours > - Ensembles numériques > - Intervalles réels > - Propriétés algébriques des nombres réels > - Ordre et bornes > Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 1 - Nombres réels.pdf]] # ❶ Des Entiers aux Réels Pour comprendre les nombres réels, il faut visualiser d'où ils viennent. * **Les entiers naturels $\mathbb{N}$** : Les nombres pour compter. $ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} $ **Attention:** Ici nous considérons que $0\in \mathbb{N}$ * **Les entiers relatifs $\mathbb{Z}$** : On ajoute les opposés (les négatifs). Utile pour représenter des dettes, des températures, des altitudes. $ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $ * **Les nombres rationnels $\mathbb{Q}$** : Tous les nombres pouvant s'écrire comme une fraction de deux entiers. $ \mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \text{ | } p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^* \} \quad (\text{où } \mathbb{Z}^* \text{ est } \mathbb{Z} \text{ sans 0}) $ Exemples : $\frac{1}{2}$, $-0.75 = \frac{-3}{4}$, $5 = \frac{5}{1}$. > [!important] L'irruption des Irrationnels > Les Grecs anciens pensaient que tous les nombres étaient rationnels. La découverte de $\sqrt{2}$ (la diagonale d'un carré de côté 1) a provoqué une crise : ce nombre ne peut pas s'écrire comme une fraction ! Il est **irrationnel**. > D'autres irrationnels célèbres sont $\pi$, $e$ (le nombre d'Euler). C'est en ajoutant tous les nombres irrationnels aux nombres rationnels que l'on obtient l'ensemble des **nombres réels $\mathbb{R}$**. Visuellement, $\mathbb{R}$ correspond à **tous les points sur une droite graduée**, comblant ainsi tous les "trous". ## La hiérarchie complète $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ | Ensemble | Notation | Description | Exemples | | :------------------- | :----------- | :----------------------------------------- | :--------------------------------- | | **Entiers Naturels** | $\mathbb{N}$ | Entiers positifs ou nuls | $0, 1, 42$ | | **Entiers Relatifs** | $\mathbb{Z}$ | Tous les entiers (positifs, négatifs, nul) | $-10, 0, 15$ | | **Rationnels** | $\mathbb{Q}$ | Quotients de deux entiers | $\frac{7}{3}, -2.5, 0.333...$ | | **Réels** | $\mathbb{R}$ | Tous les points de la droite graduée | $\sqrt{2}, \pi, -5.3, \frac{1}{3}$ | ### Une image sympa pour finir ![[venn ensembles num.png]] # ❷ Ordre, Intervalles et Bornes ## Ordre et Intervalles Une propriété cruciale de $\mathbb{R}$ est qu'il est **totalement ordonné**. Pour deux réels $a$ et $b$ **distincts**, on a toujours soit $a < b$, soit $a > b$. > [!warning] Attention à la multiplication par un négatif ! > Si $a \le b$ et $c < 0$, alors l'inégalité s'inverse : $ac \ge bc$. > Exemple : $2 \le 5$, mais $2 \times (-3) \ge 5 \times (-3)$ car $-6 \ge -15$. Les **intervalles** sont des sous-ensembles "continus" de $\mathbb{R}$ : | Notation | Type | Définition | Représentation sur la droite | | :------------------ | :----------------- | :------------------------------------------ | :--------------------------- | | $[a, b]$ | Fermé | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ | `●─────●` | | $]a, b[$ ou $(a,b)$ | Ouvert | $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ | `○─────○` | | $[a, b[$ ou $[a,b)$ | Semi-ouvert | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$ | `●─────○` | | $[a, +\infty[$ | Non borné à droite | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$ | `●────────> ` | | $]-\infty, b[$ | Non borné à gauche | $\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}$ | `<────────○` | ![[droite des réels.png]] ## Bornes d'un ensemble : Majorants, Minorants, Supremum et Infimum > [!definition] Définitions des bornes > Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. > - Un nombre réel $M$ est un **majorant** de $A$ si, pour tout $x \in A$, on a $x \le M$. Si un tel $M$ existe, l'ensemble $A$ est dit **majoré**. > - Un nombre réel $m$ est un **minorant** de $A$ si, pour tout $x \in A$, on a $x \ge m$. Si un tel $m$ existe, l'ensemble $A$ est dit **minoré**. > - Un ensemble est **borné** s'il est à la fois majoré et minoré. Le **supremum** (borne supérieure) est le *plus petit des majorants*. L'**infimum** (borne inférieure) est le *plus grand des minorants*. > [!tip] Supremum vs Maximum, Infimum vs Minimum > - Si le supremum d'un ensemble $A$ **appartient** à $A$, on l'appelle aussi le **maximum** de $A$, noté $\max(A)$. > - Si l'infimum d'un ensemble $A$ **appartient** à $A$, on l'appelle aussi le **minimum** de $A$, noté $\min(A)$. > > Un ensemble peut avoir un supremum sans avoir de maximum ! > [!example]- Exemples illustratifs > > 1. **Soit l'intervalle fermé $A = [2, 10]$** > - Majorants : $10, 11, 42, ...$ > - Minorants : $2, 0, -5, ...$ > - Le plus petit des majorants est $10$. Donc $\sup(A) = 10$. Comme $10 \in A$, on a aussi $\max(A) = 10$. > - Le plus grand des minorants est $2$. Donc $\inf(A) = 2$. Comme $2 \in A$, on a aussi $\min(A) = 2$. > > 2. **Soit l'intervalle ouvert $B = ]-1, 5[$** > - Majorants : $5, 6, 100, ...$ > - Minorants : $-1, -2, -100, ...$ > - Le plus petit des majorants est $5$. Donc $\sup(B) = 5$. Mais $5 \notin B$, donc $B$ **n'a pas de maximum**. > - Le plus grand des minorants est $-1$. Donc $\inf(B) = -1$. Mais $-1 \notin B$, donc $B$ **n'a pas de minimum**. Cette distinction est fondamentale en analyse pour étudier le comportement des fonctions près des bornes de leur domaine de définition. # ❸ Propriétés Algébriques et Ordre des Opérations Les nombres réels forment un **corps commutatif**. Cela signifie qu'ils respectent des règles de calcul bien connues. > [!tip]+ Les règles du jeu > > | Propriété | Addition (+) | Multiplication (×) | > | :--- | :--- | :--- | > | **Commutativité** | $a+b = b+a$ | $a \times b = b \times a$ | > | **Associativité** | $(a+b)+c = a+(b+c)$ | $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ | > | **Élément neutre** | $a+0 = a$ | $a \times 1 = a$ | > | **Élément inverse** | $a + (-a) = 0$ (l'opposé) | $a \times \frac{1}{a} = 1$ (l'inverse, si $a \neq 0$) | > | **Distributivité** | $k \times (a+b) = k \times a + k \times b$ | | Ces propriétés justifient les **règles de priorité** des opérations : 1. **Parenthèses** (calculer l'intérieur en premier) 2. **Puissances** (et racines) 3. **Multiplication et Division** (de gauche à droite) 4. **Addition et Soustraction** (de gauche à droite) > [!example] Application des priorités > **Exemple 1 :** $A = 7 + 3 \times 5$ > La multiplication est prioritaire sur l'addition. > $A = 7 + (3 \times 5) = 7 + 15 = 22$. (Et non $(7+3)\times 5=50$) > > **Exemple 2 :** $B = 3 + 2 \times (5 - 1)^2$ > 1. **Parenthèses** : $(5 - 1) = 4$. L'expression devient $B = 3 + 2 \times 4^2$. > 2. **Puissance** : $4^2 = 16$. L'expression devient $B = 3 + 2 \times 16$. > 3. **Multiplication** : $2 \times 16 = 32$. L'expression devient $B = 3 + 32$. > 4. **Addition** : $B = 35$. # ➡ C'est la fin Dans le prochain cours, nous utiliserons ces bases pour maîtriser les outils de calcul essentiels des nombres réels - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Nombres réels]] - Page d'accueil de la compétence: [[Nombres réels]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `02-Septembre-2025`