# ▷ Outils de calcul et simplifications > Page d'accueil de la compétence: [[Nombres réels]] >[!tip] Tags > #NombresRéels #Puissances #Racines #Simplifications #ValeurAbsolue > [!info] Fil directeur > Maintenant que les bases sont posées, nous allons nous équiper de la "boîte à outils" de l'ingénieur. Ce cours se concentre sur les opérations et fonctions essentielles pour manipuler et simplifier les expressions numériques : valeur absolue, puissances, racines, et logarithmes. >[!example] Contenu de ce cours > - Valeur absolue > - Puissances et racines > - Logarithmes et exponentielles > - Simplifications > Consultez et/ou téléchargez ce cours en PDF: [[Cours 2 - Nombres réels.pdf]] # ❶ La Valeur Absolue La valeur absolue d'un nombre représente sa "grandeur" sans tenir compte de son signe. > [!definition] Définition: Soit $x\in\mathbb{R}$, > > - **Algébrique :** > $ |x| = \begin{cases} > x & \text{si } x \geq 0 \\ > -x & \text{si } x < 0 > \end{cases} $ > > - **Géométrique :** > - $|x|$ est la **distance** entre le point $x$ et l'origine $0$ sur la droite réelle. > - $|a - b|$ est la **distance** entre les points $a$ et $b$. **Propriétés utiles :** 1. $|x| \geq 0$ 2. $|x \times y| = |x| \times |y|$ 3. $|x + y| \leq |x| + |y|$ (**Inégalité triangulaire**) > [!example]+ Application > Une roche a une densité nominale de $d_0 = 2.7$. La mesure $d$ est considérée acceptable si l'écart ne dépasse pas $0.1$, ce qui s'écrit : $|d - 2.7| \leq 0.1$. > > Cela signifie que la distance entre $d$ et $2.7$ doit être inférieure ou égale à $0.1$. > > On résout : $-0.1 \leq d - 2.7 \leq 0.1 \iff 2.6 \leq d \leq 2.8$. > > L'intervalle de densité acceptable est donc $[2.6, 2.8]$. # ❷ Les Puissances et les Racines ## Puissances > [!tip] Propriétés des Puissances > Pour $a \in \mathbb{R}$ et $n, m \in \mathbb{Z}$ : > 1. **Produit :** $a^n \times a^m = a^{n+m}$ > 2. **Quotient :** $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (pour $a \neq 0$) > 3. **Puissance de puissance :** $(a^n)^m = a^{n \times m}$ > 4. **Puissance d'un produit :** $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ > 5. **Cas particuliers :** $a^1 = a$, $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$), $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ > [!warning] Piège classique des parenthèses > $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ > mais > $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ ## Racines n-ièmes > [!tip] Propriétés des Racines > La **racine n-ième** d'un réel positif $a$, notée $\sqrt[n]{a}$, est l'unique nombre positif $x$ tel que $x^n = a$. > > **Lien fondamental avec les puissances :** $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ > > Pour $a, b \ge 0$ : > 1. $\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ > 2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (pour $b \neq 0$) > 3. $\sqrt{a^2} = |a|$ (Attention au signe !) **Exemple de simplification :** Simplifier $B = \sqrt{75} - 2\sqrt{27}$ Il faut "sortir" les carrés parfaits de la racine, nous avons : - $75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3$ - $27 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3$ Donc, $ B = \sqrt{5^2 \times 3} - 2\sqrt{3^2 \times 3} = \sqrt{5^2}\sqrt{3} - 2\sqrt{3^2}\sqrt{3} $ $ B = 5\sqrt{3} - 2 \times 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (5-6)\sqrt{3} = -\sqrt{3} $ # ❸ Les Logarithmes et Exponentielles Le logarithme est l'opération **inverse** de l'exponentiation. C'est un outil très puissant pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant et pour manipuler des grandeurs sur des échelles très différentes (pH, décibels, etc.). > [!tip] Définition et Propriétés du Logarithme Népérien ($\ln$) > Pour tout $x > 0$, le logarithme népérien de $x$, noté $\ln(x)$, est l'unique nombre $y$ tel que $e^y = x$. > > **Relation fondamentale :** $y = \ln(x) \iff x = e^y$ > > Pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{R}$ : > 1. **Log d'un produit :** $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ > 2. **Log d'un quotient :** $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ > 3. **Log d'une puissance :** $\ln(a^n) = n \times \ln(a)$ > 4. **Cas particuliers :** $\ln(e) = 1$, $\ln(1) = 0$ > [!alert] Domaine de définition > Le logarithme n'est défini que pour les nombres **strictement positifs** ! Ainsi $\ln(x)$ n'existe pas si $x \le 0$. **Exemple d'application :** Résoudre l'équation $3 \times 5^x = 12$. $ 5^x = \frac{12}{3} = 4 $ On applique le logarithme népérien aux deux membres pour "faire descendre" l'exposant $x$ : $ \ln(5^x) = \ln(4) \implies x \ln(5) = \ln(4) $ $ x = \frac{\ln(4)}{\ln(5)} \approx 0.861 $ # ❹ Check-list de Simplification > [!summary] Méthodes et Réflexes > Face à une expression complexe, voici une check-list à suivre : > 1. **Priorités opératoires** : Sont-elles respectées ? (Parenthèses d'abord !) > 2. **Factoriser** : Y a-t-il un facteur commun ou une identité remarquable ($a^2-b^2$, $(a \pm b)^2$) ? > 3. **Gérer les puissances** : Regrouper les termes de même base ($a^n a^m = a^{n+m}$). > 4. **Gérer les fractions** : Mettre au même dénominateur pour les sommes, simplifier les facteurs communs. > 5. **Rationaliser un dénominateur** : Multiplier par l'expression conjuguée pour éliminer une racine (ex: multiplier $\frac{1}{\sqrt{a}-b}$ par $\frac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{a}+b}$). > 6. **Utiliser log/exp** : Pour transformer des produits en sommes ou pour isoler une inconnue en exposant. > 7. **Vérifier les domaines** : Le dénominateur est-il non nul ? L'argument d'un log est-il positif ? Celui d'une racine est-il positif ? # ➡️ C'est la fin > Nous avons tout ce qu'il faut, passons aux exercices ! - Cours précèdent: [[Cours 1 - Nombres réels]] - Prochain cours: [[Exercices - Nombres réels]] - Page d'accueil de la compétence: [[Nombres réels]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `09-Septembre-2025`