# 📝 Nombres Réels : Exercices > Page d'accueil de la compétence: [[Nombres réels]] > [!note] Consignes > Essayez de résoudre chaque exercice par vous-même avant de cliquer sur la correction. La rédaction de la solution est aussi importante que le résultat final. Portez une attention particulière aux conditions d'existence (dénominateurs non nuls, arguments des racines et logarithmes, etc.). > [!example] Historique des cours > - [[Cours 1 - Nombres réels]] > - [[Cours 2 - Nombres réels]] > Consultez et/ou téléchargez cette liste d'exercices en PDF: [[Exercices - Nombres réels.pdf]] # ❶ Bases et Fondamentaux **Exercice 1 : Classification** Classer les nombres suivants dans le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$) auquel ils appartiennent : $-7$ ; $42$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\pi-1$ ; $-2.5$. > [!success]- Correction (cliquer) > - $-7 \in \mathbb{Z}$ > - $42 \in \mathbb{N}$ > - $\frac{9}{4} \in \mathbb{Q}$ > - $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$ > - $\pi-1$ est irrationnel, donc il appartient à $\mathbb{R}$ (mais pas à $\mathbb{Q}$). > - $-2.5 = -\frac{5}{2} \in \mathbb{Q}$ **Exercice 2 : Opérations sur les fractions** Calculer et simplifier : $A = \frac{5}{6} - \frac{7}{4}$ et $B = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}$. > [!success]- Correction (cliquer) > - $A = \frac{5 \times 2}{12} - \frac{7 \times 3}{12} = \frac{10 - 21}{12} = -\frac{11}{12}$ > - $B = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{3 \times 4}{3 \times 5} = \frac{4}{5}$ **Exercice 3 : Intervalles** Donner sous forme d'intervalle la solution de l'inéquation : $|x - 3| \le 2$. > [!success]- Correction (cliquer) > L'inéquation $|x - 3| \le 2$ signifie que la distance entre $x$ et $3$ est inférieure ou égale à $2$. > Cela se traduit par : > $-2 \le x - 3 \le 2$ > On ajoute 3 à chaque membre : > $-2 + 3 \le x \le 2 + 3$ > $1 \le x \le 5$ > La solution est l'intervalle $S = [1, 5]$. # ❷ Maîtrise des Outils **Exercice 4 : Simplification de puissances** Simplifier l'expression $C = \frac{(a^3 \times b^{-2})^2}{a^4 \times b^{-5}}$ (avec $a, b \neq 0$). > [!success]- Correction (cliquer) > $ > C = \frac{(a^3)^2 \times (b^{-2})^2}{a^4 \times b^{-5}} = \frac{a^{3 \times 2} \times b^{-2 \times 2}}{a^4 \times b^{-5}} = \frac{a^6 \times b^{-4}}{a^4 \times b^{-5}} > $ > $ > C = a^{6-4} \times b^{-4 - (-5)} = a^2 \times b^{-4+5} = a^2 b^1 = a^2b > $ **Exercice 5 : Simplification de racines** Calculer et simplifier $D = 3\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$. > [!success]- Correction (cliquer) > On décompose chaque nombre sous la racine pour faire apparaître des carrés parfaits : > - $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ > - $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ > - $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ > Donc : > $ > D = 3 \times (5\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} > $ > $ > D = (15 - 3 + 2)\sqrt{2} = 14\sqrt{2} > $ **Exercice 6 : Rationalisation** Écrire l'expression $E = \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ sans racine au dénominateur. > [!success]- Correction (cliquer) > On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur, qui est $3 + \sqrt{5}$. > $ > E = \frac{4}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} > $ > $ > E = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5} > $ **Exercice 7 : Équation avec logarithme** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+2) + \ln(x) = \ln(3)$. > [!success]- Correction (cliquer) > **1. Domaine de définition :** > Il faut que les arguments des logarithmes soient strictement positifs : > $x+2 > 0 \implies x > -2$ > $x > 0$ > La condition la plus restrictive est $x > 0$. On cherche donc une solution dans $]0, +\infty[$. > > **2. Résolution :** > $\ln(x+2) + \ln(x) = \ln((x+2)x) = \ln(x^2 + 2x)$ > L'équation devient : $\ln(x^2 + 2x) = \ln(3)$ > Comme la fonction $\ln$ est bijective, on a : > $x^2 + 2x = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$ > C'est un polynôme du second degré. Le discriminant $\Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$. > Les racines sont : > $x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ > $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ > > **3. Vérification :** > $x_1 = -3$ n'est pas dans le domaine de définition $]0, +\infty[$, donc on l'exclut. > $x_2 = 1$ est dans le domaine de définition. > La seule solution est $S = \{1\}$. # ❸ Problèmes de Synthèse **Exercice 8 : Inéquation avec valeur absolue** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $|5 - 2x| > 3$. > [!success]- Correction (cliquer) > L'inéquation $|5 - 2x| > 3$ signifie que la distance entre $5$ et $2x$ est strictement supérieure à $3$. > Cela se traduit par deux cas distincts : > 1. $5 - 2x > 3 \implies -2x > 3 - 5 \implies -2x > -2 \implies x < 1$ (on divise par -2, donc on change le sens de l'inégalité). > 2. $5 - 2x < -3 \implies -2x < -3 - 5 \implies -2x < -8 \implies x > 4$. > > La solution est la réunion des deux intervalles : $S = ]-\infty, 1[ \cup ]4, +\infty[$. **Exercice 9 : Modélisation en Agronomie** La concentration $C$ d'un produit dans le sol (en mg/kg) en fonction du temps $t$ (en jours) après épandage suit le modèle : $C(t) = 150 \times e^{-0.05 t}$. Au bout de combien de jours la concentration sera-t-elle inférieure à 10 mg/kg ? > [!success]- Correction (cliquer) > On cherche $t$ tel que $C(t) < 10$. > $ > 150 \times e^{-0.05 t} < 10 > $ > $ > e^{-0.05 t} < \frac{10}{150} = \frac{1}{15} > $ > On applique le logarithme népérien, qui est une fonction strictement croissante (donc elle ne change pas le sens de l'inégalité) : > $ > \ln(e^{-0.05 t}) < \ln(\frac{1}{15}) > $ > $ > -0.05 t < -\ln(15) > $ > On multiplie par $-1$ (ce qui inverse l'inégalité) : > $ > 0.05 t > \ln(15) > $ > $ > t > \frac{\ln(15)}{0.05} > $ > Avec $\ln(15) \approx 2.708$, on a $t > \frac{2.708}{0.05} \approx 54.16$. > La concentration sera inférieure à 10 mg/kg après environ 54.2 jours. # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]] - Dernière MAJ: `09-Septembre-2025`