# Présentation de la compétence > [!summary] Objectifs > Maîtriser la structure de $\mathbb{R}$, ses sous-ensembles, l’ordre, les notations d’intervalles, les opérations et les simplifications usuelles (valeur absolue, puissances, racines, fractions, logarithmes/exponentielles) --- # Introduction aux nombres réels > [!info] Fil directeur > Comprendre où se placent les réels dans la hiérarchie des ensembles numériques et savoir reconnaître/nommer les principaux sous-ensembles. ## Ensembles numériques réelles > [!definition] Définitions > > - $\mathbb{N}$ : **nombres naturels** (0,1,2,3, $\cdots$) > > - $\mathbb{Z}$ : **entiers relatifs** ($\cdots,−2,−1,0,1,2,\cdots$) > > - $\mathbb{Q}$ : **rationnels** (fractions $\tfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0$). > > - $\mathbb{R}$ : **réels** (droite réelle : rationnels $\cup$ irrationnels). > > - Irrationnels : réels **non rationnels** (ex. $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$). > **Inclusions** : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ > [!example] Exemples à classer > $2,\ -5,\ \tfrac{7}{3},\ 0,\ -\tfrac{8}{5},\ \sqrt{2},\ \pi,\ 1{,}4142135\dots$ **Tableau repère** | Type | Exemples | Commentaire | | ------------ | ------------------------------------------- | --------------------------------- | | $\mathbb{N}$ | $0,1,2,10$ | Entiers positifs et zero | | $\mathbb{Z}$ | $-3,0,7$ | Entiers positifs/négatifs et zero | | $\mathbb{Q}$ | $\tfrac{7}{3},-\tfrac{8}{5},2=\tfrac{2}{1}$ | Décimaux finis et périodiques | | $\mathbb{I}$ | $\sqrt{2},\pi,e$ | Décimaux non périodiques. | ## Droite réelle et intuition > [!note] Idée clé > Tout réel correspond à un **point** sur la droite réelle. Les irrationnels comblent les « trous » laissés par $\mathbb{Q}$. - **Densité** de $\mathbb{Q}$ : entre deux réels distincts $a<b$, il existe **toujours** un rationnel. - **Ordre total** : pour $a,b\in\mathbb{R}$, exactement l’une des relations $a<b$, $a=b$, $a>b$ est vraie. > [!tip] Bon réflexe > Écrire des **schémas** sur la droite pour comparer, localiser des intervalles et nombres et visualiser des solutions. --- # Propriétés des réels ## Ordre > [!definition] Ordre sur $\mathbb{R}$ > Pour $a,b,c\in\mathbb{R}$ : > > - **Compatibilité** : > - si $a\le b$ alors $a+c\le b+c$ > - si $a\le b$ et $c\ge0$ alors $ac\le bc$. > > - **Changement de signe** : > - si $a\le b$ et $c<0$ alors $ac\ge bc$ (sens inversé). > > - **Carrés** : > $a^2\ge0$ ; si $0\le a\le b$ alors $a^2\le b^2$. > [!warning] Pièges > Multiplier par un **négatif** inverse l’inégalité ; élever au carré peut **perdre le signe**. ## Valeur absolue > [!definition] Valeur absolue > $|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\ge0,\ -x & \text{si } x<0.\end{cases}$ > > **Interprétation** : distance de $x$ à 0 sur la droite réelle. **Propriétés** : - $|xy|=|x|.|y|$, \quad $\left|\tfrac{x}{y}\right|=\tfrac{|x|}{|y|}$ (si $y\ne0$), \quad $|x^n|=|x|^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. - **Inégalité triangulaire** : $|x+y|\le |x|+|y|$. > [!example] Exemples > $|{-7}|=7$, $|3-5|=2$, $|2+(-5)|\le |2|+|{-5}|=7$. ## Intervalles et notations **Types d’intervalles** : - Ouverts $(a,b)={x\in\mathbb{R}\mid a<x<b}$ - Fermés $[a,b]={x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b}$ - Semi-ouverts $[a,b)$ ou $(a,b]$ - Infinis $(-\infty,b),\ (a,+\infty)$ > [!example] Opérations sur intervalles > $[1,4)\cap(2,6]=(2,4)$ ; \quad $[1,4)\cup(2,6]=[1,6]$ **sauf** trou en 4 (vérifier finement!). ## 2.4 Bornes, majorants/minorants > [!definition] Bornes > Un ensemble $A\subset\mathbb{R}$ est **majoré** s’il existe $M$ tel que $\forall a\in A,\ a\le M$. **Minoré** s’il existe $m$ tel que $\forall a\in A,\ a\ge m$. **Borné** si majoré et minoré. > [!note]- Optionnel (aperçu) > **Supremum/Infimum** : plus petite borne supérieure / plus grande borne inférieure. Notions utiles pour l’analyse (à revoir dans « Fonctions réelles »). --- # Opérations et calculs ## 3.1 Rappels algébriques - **Associativité/Commutativité** : addition et multiplication sur $\mathbb{R}$. - **Distributivité** : $a(b+c)=ab+ac$. - **Priorités** : puissances $\to$ produits/quotients $\to$ sommes/différences. ## 3.2 Puissances > [!theorem] Règles de puissances (bases $a>0$, $a\ne1$ ; exposants $m,n\in\mathbb{Z}$) > $a^m a^n = a^{m+n}$ ; \quad $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ; \quad $(a^m)^n=a^{mn}$ ; \quad $(ab)^n=a^n b^n$. **Exposants rationnels** (avec $a>0$) : $a^{\tfrac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$. ## 3.3 Racines - $\sqrt{a}\ge0$ définie pour $a\ge0$, et $\sqrt{ab}=\sqrt{a},\sqrt{b}$ pour $a,b\ge0$. - $\sqrt{\tfrac{a}{b}}=\tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a\ge0$, $b>0$. ## 3.4 Logarithmes et exponentielles (aperçu) > [!definition] Définition > Pour $a>0$, $a\ne1$ : $\log_a$ est l’inverse de $x\mapsto a^x$. > > Cas particuliers : $\ln=\log_e$ (base $e\approx2{,}718$), $\log=\log_{10}$. **Règles** (domaines : arguments gt;0$) : - $\log_a(xy)=\log_a x + \log_a y$ ; $\log_a\left(\tfrac{x}{y}\right)=\log_a x - \log_a y$ ; $\log_a(x^r)=r,\log_a x$. - Changement de base : $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$. **Exponentielle** : $a^{x+y}=a^x a^y$ ; $a^{0}=1$ ; $a^{-x}=\tfrac{1}{a^x}$. ## 3.5 Fractions - **Réduction** : $\tfrac{ap}{aq}=\tfrac{p}{q}$ si $a\ne0$ ; simplifier par le **PGCD**. - **Somme** : $\tfrac{p}{q}+\tfrac{r}{s}=\tfrac{ps+rq}{qs}$. - **Produit** : $\tfrac{p}{q}\cdot\tfrac{r}{s}=\tfrac{pr}{qs}$. - **Quotient** : $\tfrac{p}{q}\div\tfrac{r}{s}=\tfrac{p}{q}\cdot\tfrac{s}{r}$ (si $r\ne0$). > [!warning] Zéros interdits > Denominateur $\neq0$ ; attention aux simplifications « sauvages » (on ne simplifie pas des **sommes** au numérateur/denominateur). --- # Simplifications — Méthodes et réflexes > [!tip] Boîte à outils > > 1. **Factoriser** (mise en évidence, identités remarquables) > 2. **Rationaliser** un dénominateur > 3. **Gérer les puissances** > 4. **Travailler avec $|\cdot|$ par cas** > 5. **Utiliser log/exp** pour transformer des produits en sommes. > ## 4.1 Factorisation & identités - Mise en évidence : $ax+ay=a(x+y)$ - Identités : - $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ - $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ > [!example] Exemple > - $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$ > - $4x+4=4(x+1)$. ## 4.2 Rationalisation > [!definition] Principe > Multiplier par le **conjugué** pour éliminer une racine au dénominateur. **Ex.** $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$. ## 4.3 Valeur absolue — Résolution par cas - $|x-a|=b\ (b\ge0)\ \Leftrightarrow\ x=a\pm b$. - $|x-a|\le b\ \Leftrightarrow\ a-b\le x\le a+b$ ; \quad $|x-a|\ge b\ \Leftrightarrow\ x\le a-b$ ou $x\ge a+b$. ## 4.4 Log/exp — Réécritures utiles - $\ln(x^\alpha)=\alpha\ln x$ ; \quad $a^x=e^{x\ln a}$ ; \quad $\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$. ## 4.5 Check-list de simplification - Priorités opératoires respectées - Factorisation tentée ? identités remarquables ? - Dénominateurs **non nuls** vérifiés - Racines/valeurs absolues traitées **par cas** si nécessaire - Log/exp : domaines (gt;0$) respectés --- # 5. Exercices guidés (avec corrigé détaillé) > [!note] Mode d’emploi > Chaque exercice propose un **pas-à-pas**. Lisez l’indice, tentez, puis déroulez la solution. ### Exercice G1 — Classer des nombres Classer par ensemble le multiset ${, -4,\ 0,\ 2,\ \tfrac{7}{3},\ -\tfrac{5}{2},\ \sqrt{3},\ \pi,}$. > [!hint]- Indice > Distinguer entiers, rationnels (fractions), irrationnels. > [!success]- Correction > $\mathbb{N}:{0,2}$ ; $\mathbb{Z}:{-4,0,2}$ ; $\mathbb{Q}:{2,\tfrac{7}{3},-\tfrac{5}{2},-4,0}$ ; Irrationnels : ${\sqrt{3},\pi}$ ; tous sont dans $\mathbb{R}$. --- ### Exercice G2 — Intervalles Donner $[1,4)\cap(2,6]$ et $[1,4)\cup(2,6]$. > [!hint]- Indice > Représenter sur une droite. > [!success]- Correction > $[1,4)\cap(2,6]=(2,4)$ ; $[1,4)\cup(2,6]=[1,6]$ **sans** 4 (donc $[1,6]\setminus{4}$). --- ### Exercice G4 — Puissances Simplifier $\dfrac{a^5b^{-2}}{a^2b^{-4}}$ (avec $a,b\ne0$). > [!hint]- Indice > Réunir les exposants d’une même base. > [!success]- Correction > $a^{5-2}b^{(-2)-(-4)}=a^3b^{2}=a^3b^2$. --- ### Exercice G5 — Racines & rationalisation Simplifier $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ puis rationaliser $\dfrac{3}{2+\sqrt{2}}$. > [!success]- Correction > $\sqrt{12}/\sqrt{3}=\sqrt{4}=2$. \quad $\dfrac{3}{2+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{3(2-\sqrt{2})}{4-2}=\tfrac{3}{2}(2-\sqrt{2})=3-\tfrac{3}{2}\sqrt{2}$. --- ### Exercice G6 — Logarithmes Simplifier $\ln\left(\dfrac{25,x^3}{5,\sqrt{x}}\right)$ pour $x>0$. > [!success]- Correction > $\ln 25 - \ln 5 + 3\ln x - \tfrac{1}{2}\ln x = \ln\tfrac{25}{5} + \tfrac{5}{2}\ln x = \ln 5 + \tfrac{5}{2}\ln x$. --- ### Exercice G7 — Valeur absolue par cas Simplifier $\dfrac{|x|}{x}$ en distinguant les cas. > [!success]- Correction > Si $x>0$, $\dfrac{|x|}{x}=1$ ; si $x<0$, $\dfrac{|x|}{x}=-1$ ; indéfini en $x=0$. --- ### Exercice G8 — Bornes Montrer que $A={\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^*}$ est borné et déterminer un majorant/minorant. > [!success]- Correction > $0<\tfrac{1}{n}\le1$ pour tout $n\ge1$. Donc **minoré** par $0$ et **majoré** par $1$. --- ## `06_exercices_eleves.md` # 6. Exercices (corrigés cachés) > [!note] Consignes > Tenter sans dérouler les corrections. Rédiger clairement et **vérifier les domaines** (dénominateurs, $\log$, racines…). ## A — Bases **E1.** Classer : ${, -7,\ 3,\ 0,\ \tfrac{9}{4},\ -\tfrac{11}{3},\ \sqrt{5},}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\mathbb{N}:{0,3}$ ; $\mathbb{Z}:{-7,0,3}$ ; $\mathbb{Q}:{-7,3,0,\tfrac{9}{4},-\tfrac{11}{3}}$ ; Irrationnels : ${\sqrt{5}}$. **E2.** Écrire l’intervalle solution de $|x+1|<3$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $-3<x+1<3\ \Rightarrow\ -4<x<2$. **E3.** Calculer : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}$ ; $\ \dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{5}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\tfrac{2}{3}+\tfrac{5}{6}=\tfrac{4}{6}+\tfrac{5}{6}=\tfrac{9}{6}=\tfrac{3}{2}$ ; $\ \tfrac{7}{10}-\tfrac{3}{5}=\tfrac{7}{10}-\tfrac{6}{10}=\tfrac{1}{10}$. **E4.** Simplifier $\sqrt{45}$ et $\dfrac{\sqrt{27}}{3}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$ ; $\dfrac{\sqrt{27}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$. **E5.** Réécrire sans valeur absolue : $|2x-1|$ par cas. > [!tip]- Correction (cliquer) > $|2x-1|=\begin{cases}2x-1 & \text{si } x\ge \tfrac{1}{2},\ 1-2x & \text{si } x<\tfrac{1}{2}.\end{cases}$ ## B — Intermédiaire **E6.** Donner $(-\infty,3]\cap(1,5)$ et $(-\infty,3]\cup(1,5)$. > [!tip]- Correction (cliquer) > Intersection : $(1,3]$ ; Union : $(-\infty,5)$. **E7.** Simplifier $\dfrac{a^3b^{-1}}{a^{-2}b^4}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $a^{3-(-2)}b^{(-1)-4}=a^{5}b^{-5}=\dfrac{a^{5}}{b^{5}}$. **E8.** Rationaliser $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > Multiplier par le conjugué : $\dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$. **E9.** Simplifier $\ln\left(\dfrac{\sqrt{x},y^3}{10}\right)$ (domaines?). > [!tip]- Correction (cliquer) > $\tfrac{1}{2}\ln x + 3\ln y - \ln 10$ ; domaines : $x>0$, $y>0$. **E10.** Résoudre $|x-4|\ge3$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $x\le1$ ou $x\ge7$. **E11.** Montrer que $B={\tfrac{2n-1}{n}\mid n\ge1}$ est majoré et trouver un majorant simple. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\tfrac{2n-1}{n}=2-\tfrac{1}{n}<2$ donc majoré par 2. **E12.** Écrire $\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x+1}$ sous un seul quotient simplifié. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\dfrac{5(x+1)-3x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+5}{x(x+1)}$ (domaines : $x\ne0,-1$). ## C — Avancé **E13.** Simplifier $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ ($a,b>0$, $a\ne b$). > [!tip]- Correction (cliquer) > Mettre au même dénominateur ou poser $X=\sqrt{a}$, $Y=\sqrt{b}$. On obtient $\dfrac{(X+Y)^2+(X-Y)^2}{X^2-Y^2}=\dfrac{2X^2+2Y^2}{a-b}=\dfrac{2(a+b)}{a-b}$. **E14.** Pour $x>0$, simplifier $\log_{10}!(100x^{3/2})-\log_{10}!(\sqrt[4]{x})$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\log_{10}100 + \tfrac{3}{2}\log_{10}x - \tfrac{1}{4}\log_{10}x = 2 + \tfrac{5}{4}\log_{10}x$. **E15.** Écrire sans racine au dénominateur : $\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $\dfrac{\sqrt{6}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt{18}}{4-3}=2\sqrt{6}-3\sqrt{2}$. **E16.** Résoudre $\big|,\tfrac{2x-1}{x+2},\big|<1$ (domaine?). > [!tip]- Correction (cliquer) > Domaine : $x\ne-2$. Inequation équivalente à $-1<\tfrac{2x-1}{x+2}<1$. Traiter par cas selon le signe de $x+2$ ou multiplier par $(x+2)^2>0$ : $|(2x-1)|<|x+2|\ \Leftrightarrow\ (2x-1)^2<(x+2)^2 \Rightarrow 4x^2-4x+1 < x^2+4x+4 \Rightarrow 3x^2-8x-3<0$. Racines : $x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+36}}{6}=\dfrac{8\pm10}{6}\Rightarrow x\in(-\tfrac{1}{3},3)$, en excluant $x=-2$ (déjà hors intervalle). Solution : $(-\tfrac{1}{3},3)$. **E17.** Déterminer le signe de $\dfrac{x-2}{x^2-4}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Tableau de signes : zéros en $-2$ et $2$ ; signe final $\dfrac{+}{+}$ sur $(-\infty,-2)$, $\dfrac{-}{-}$ sur $(-2,2)$, $\dfrac{+}{+}$ sur $(2,+\infty)$ donc **positif** hors $(-2,2)$. **E18.** Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}$, $|x|\le \sqrt{x^2+1}$. > [!tip]- Correction (cliquer) > $x^2\le x^2+1$ puis racine (fonction croissante sur $[0,+\infty)$). **E19.** Pour $a>0$, montrer que $\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ge2$. > [!tip]- Correction (cliquer) > AM-GM : $\sqrt{a}+\tfrac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{a}}}=2$ ; égalité pour $a=1$. **E20.** Bonus — Encadrement Montrer que pour $n\ge1$, $\ \dfrac{n}{n+1}\le\ln(1+n)-\ln n\le\dfrac{1}{n}$ (idée : $\ln$ croissante, $\int!\dfrac{1}{x},dx$) — _Aperçu pour curieux_. > [!note]- Indication > Utiliser la croissance de $\ln$ et l’encadrement d’aires sous $\tfrac{1}{x}$. ``