# Exercices : Nombres Réels > [!info] Instructions > - Lisez attentivement chaque question. > - Le barème total est sur **20 points**. > - La difficulté est progressive pour vous permettre de valider les connaissances étape par étape. > - Détaillez vos calculs lorsque cela est nécessaire. --- **Question 1 (2 points) :** Pour chaque nombre de la liste suivante, indiquez le plus petit ensemble numérique ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, ou $\mathbb{R}$) auquel il appartient. | Nombre | Plus petit ensemble | | :------------- | :------------------ | | $-12$ | | | $\sqrt{7}$ | | | $\frac{28}{7}$ | | | $3.14$ | | --- **Question 2 (2 points) :** Calculez l'expression suivante en respectant scrupuleusement l'ordre des opérations : $ A = 10 - 2 \times (3 + 1)^2 $ --- **Question 3 (2 points) :** Pour chacun des ensembles suivants, donnez (s'ils existent) le supremum, l'infimum, le maximum et le minimum. 1. $I_1 = [-4, 10]$ 2. $I_2 = ]-5, 3]$ --- **Question 4 (2 points) :** Simplifiez l'expression suivante au maximum : $ B = 2\sqrt{75} - 4\sqrt{12} $ --- **Question 5 (2 points) :** En utilisant les propriétés des puissances, simplifiez l'expression suivante (on suppose que $x$ et $y$ sont non nuls) : $ C = \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^2}{x^5 \cdot y^{-8}} $ --- **Question 6 (2 points) :** Résolvez l'inéquation $|x - 4| \le 3$ et donnez la solution sous forme d'un intervalle. --- **Question 7 (2 points) :** Simplifiez l'expression suivante, sachant que $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs : $ D = \sqrt{\frac{a^5 b^3}{a b^7}} $ --- **Question 8 (2 points) :** En utilisant les propriétés du logarithme népérien, exprimez $E$ en fonction de $\ln(x)$, $\ln(y)$ et $\ln(z)$ (avec $x,y,z > 0$) : $ E = \ln\left( \frac{\sqrt{x} \cdot y^4}{z^2} \right) $ --- **Question 9 (2 points) :** Résolvez l'équation suivante d'inconnue $t \in \mathbb{R}$ : $ 5e^{2t-1} = 45 $ --- **Question 10 (2 points) :** Simplifiez l'expression suivante en rationalisant le dénominateur : $ F = \frac{12}{3 - \sqrt{3}} $ --- > [!success]- Corrigé > > **Question 1 :** > | Nombre | Plus petit ensemble | Justification | > |:---|:---|:---| > | $-12$ | $\mathbb{Z}$ | C'est un entier négatif. | > | $\sqrt{7}$ | $\mathbb{R}$ | La racine d'un nombre non parfait est irrationnelle. | > | $\frac{28}{7}$ | $\mathbb{N}$ | Car $\frac{28}{7} = 4$, qui est un entier naturel. | > | $3.14$ | $\mathbb{Q}$ | $3.14 = \frac{314}{100}$, c'est une fraction. | > > **Question 2 :** > 1. Parenthèses : $(3+1) = 4$ > 2. Puissance : $4^2 = 16$ > 3. Multiplication : $2 \times 16 = 32$ > 4. Soustraction : $10 - 32 = -22$ > $ A = -22 $ > > **Question 3 :** > a) Pour $I_1 = [-4, 10]$ : > - $\inf(I_1) = -4$, $\min(I_1) = -4$ > - $\sup(I_1) = 10$, $\max(I_1) = 10$ > b) Pour $I_2 = ]-5, 3]$ : > - $\inf(I_2) = -5$, mais il n'y a **pas de minimum**. > - $\sup(I_2) = 3$, $\max(I_2) = 3$ > > **Question 4 :** > $ B = 2\sqrt{25 \times 3} - 4\sqrt{4 \times 3} = 2 \times 5\sqrt{3} - 4 \times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ > > **Question 5 :** > $ C = \frac{(x^2)^2 \cdot (y^{-3})^2}{x^5 \cdot y^{-8}} = \frac{x^4 \cdot y^{-6}}{x^5 \cdot y^{-8}} = x^{4-5} \cdot y^{-6 - (-8)} = x^{-1} \cdot y^2 = \frac{y^2}{x} $ > > **Question 6 :** > $|x-4| \le 3 \iff -3 \le x-4 \le 3$. > En ajoutant 4 à chaque membre : $-3+4 \le x \le 3+4 \iff 1 \le x \le 7$. > La solution est l'intervalle $S = [1, 7]$. > > **Question 7 :** > $ D = \sqrt{a^{5-1} b^{3-7}} = \sqrt{a^4 b^{-4}} = \sqrt{\frac{a^4}{b^4}} = \frac{\sqrt{a^4}}{\sqrt{b^4}} $ > Comme $a, b > 0$, on a $\sqrt{a^4} = a^2$ et $\sqrt{b^4} = b^2$. > $ D = \frac{a^2}{b^2} $ > > **Question 8 :** > $ E = \ln(\sqrt{x} \cdot y^4) - \ln(z^2) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(y^4) - \ln(z^2) $ > $ E = \ln(x^{1/2}) + 4\ln(y) - 2\ln(z) = \frac{1}{2}\ln(x) + 4\ln(y) - 2\ln(z) $ > > **Question 9 :** > $ 5e^{2t-1} = 45 \iff e^{2t-1} = \frac{45}{5} = 9 $ > On applique le logarithme népérien : > $ \ln(e^{2t-1}) = \ln(9) \iff 2t-1 = \ln(9) $ > $ 2t = 1 + \ln(9) \implies t = \frac{1 + \ln(9)}{2} $ > > **Question 10 :** > On multiplie par l'expression conjuguée du dénominateur, qui est $3 + \sqrt{3}$ : > $ F = \frac{12}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{12(3 + \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{12(3 + \sqrt{3})}{6} $ > On simplifie par 6 : > $ F = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} $