%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Polynômes|Accueil · Polynômes]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Exercices - Polynômes\|Exercices - Polynômes →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Polynômes : introduction > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Polynômes|Polynômes]] ## 1. Définition d'un polynôme >[!note] Définition Un polynôme $P$ à une variable $X$ est une expression de la forme : $P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ Les $a_i$ sont les **coefficients** appartenant à $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}$ est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathbb{K}[X]$. Si tous les $a_i = 0$, $P$ est le **polynôme nul**, noté $0$. > [!EXAMPLE] Exemples et Contre-exemples > - **Polynôme** : $P(X) = 4X^3 - \sqrt{2}X + \frac{1}{2}$. Les coefficients peuvent être n'importe quel nombre réel ou complexe. > - **NON Polynôme** : $f(X) = 2X^2 + \frac{1}{X}$ (car $X^{-1}$ n'est pas autorisé) ou $g(X) = \sin(X)$. ## 2. Opérations sur les polynômes Soit $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$. On notera $P(X)=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q(X)=\sum_{k=0}^mb_kX^k.$ On suppose que $n>m$ pour simplifier le calcul. ### Somme de deux Polynômes La somme des deux polynômes $P$ et $Q$ est donnée par : $(P+Q)(X)=P(X)+Q(X)=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)X^k$ Ce qui signifie que la somme se fait coefficient par coefficient. >[!example] Exemple > Soient $P(X)=-X^2+2X+3$ et $Q(X)=3X^2+X+5$. La somme de $P$ et $Q$ est $(P+Q)(X)=(-1+3)X^2+(2+1)X+(3+5)=2X^2+3X+8$ ### Multiplication par un scalaire Soit $\lambda\in\mathbb{K}$. La multiplication de $P$ par $\lambda$ est donnée par : $ (\lambda P)(X)=\lambda P(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ >[!example] Exemple >Soient $P(X)=3X^2-7X+3$ et $\lambda=-2$. Alors $\lambda P (X)=-2 (3X^2-7X+3)=-6X^2+14X-6$. ### Produit de deux polynômes La produit de $P$ et $Q$ est donnée par : $(PQ)(X)=P(X)Q(X)=\sum_{k=0}^{n+m} d_kX^k$ où $d_k=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$ Pratiquement, il n'est pas nécessaire de retenir cette formule, mais il faut savoir que la produit de deux polynômes se fait par distributivité. >[!example] Exemple > Soient $P(X)=-X^2+2X+3$ et $Q(X)=3X^2+X+5$. Le produit de $P$ et $Q$ est $(PQ)(X)=(-X^2+2X+3)(3X^2+X+5)$ $(PQ)(X)=-3X^4-X^3-5X^2+6X^3+2X^2+10X+9X^2+3X+15$ $(PQ)(X)=-3X^4+5X^3+6X^2+13X+15 $ ## 3. Degré et coefficient dominant >[!note] Définition >* **Le degré** ($\deg P$) : Le plus grand entier $n$ tel que $a_n \neq 0$. >* **Coefficient dominant** : Le coefficient $a_n$ de la plus haute puissance. >* **Polynôme unitaire** : Si $a_n = 1$. >[!example ] Exemples : >- Soit $P(X)=X^2+3X-1$. Le degré de $P$ est $2$ et le coefficient dominant est $1$ (polynôme unitaire). >- Soit $Q(X)= 5X^3+X$. Le degré de $Q$ est $3$ et le coefficient dominant est $5$. > [!note] Propriétés des degrés > - $\deg(\lambda P)=\deg(P)$ > - $\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q$ > - $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$ > [!EXAMPLE] Exemples > Soit $P(X) = 2X^2 + 3$ et $Q(X) = -2X^2 + X$. > - **Somme :** $\deg(P) = 2$ et $\deg(Q) = 2$ donc la somme des degrés est $4$. > Pourtant, $P(X) + Q(X) = X + 3$. Le degré de la somme est $1$. > C'est pourquoi on utilise une inégalité ($\leq$) pour la somme. > - **Produit :** $(PQ)(X)=-4X^4+2X^3-6X^2+3X$ alors $\deg(P\times Q)=4=\deg(P)+\deg(Q)$. ## 4. Divisibilité et Division Euclidienne ### Divisibilité >[!note] Définition On dit qu'un polynôme $B$ divise $A$ s'il existe un polynôme $Q$ tel que $A=B\times Q$. On dit alors que $A$ est un multiple de $B$ et on note $B|A$. >[!example] Exemple >Le polynôme $B=X-1$ divise le polynôme $A=X^2-1$ car $X^2-1=(X-1)(X+1)$ c'est à dire il existe $Q=X+1$ tel que $A=B\times Q$ . ### Théorème de la Division Euclidienne >[!theorem] Théorème Pour deux polynômes $A$ et $B$ ($B \neq 0$), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que : $A = BQ + R \quad \text{avec} \quad \deg R < \deg B$ On appelle $Q$ le quotient de la division et $R$ son reste. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Ressources_Polynômes/division euclidienne.png||400]] > [!EXAMPLE] Exemple > Divisons $A = X^3 - 2X^2 + 3X - 5$ par $B = X - 2$. > >```text >X^3 - 2X^2 + 3X - 5 | X - 2 >-(X^3 - 2X^2) | X^2 + 3 (quotient E(x)) >------------------- > 0X^2 + 3X - 5 > -(3X - 6) > --------- > 1 (reste R(x)) >``` > **Résultat :** $X^3 - 2X^2 + 3X - 5 = (X - 2)(X^2 + 3) + 1$. >[!Note] Propriétés Si le reste de la division de $A$ par $B$ est nul alors $B$ divise $A$. >[!example] Exemple >Divisons $A = X^2 - 1$ par $B = X - 1$. >``` >X² - 1 | X - 1 >-(X² - X) | X + 1 (quotient E(x)) >--------- > X - 1 > -(X - 1) > ------- > 0 (reste R(x)) > ``` Le résultat est alors $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1) + 0$. Le reste est nul et $B|A$. ## 5. Racines et Multiplicité ### Racine >[!note] Définition $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$. >[!example] Exemple Soit $P(X)=X^2+2X-3$. $\alpha=1$ est une racine de $P$ car $P(1)=1^2+2\times 1-3=0$ >[!Theorem] Théorème $\alpha$ est racine de $P \iff (X - \alpha)$ divise $P$. >[!example] Exemple >Dans l'exemple précédent, on avait $\alpha=1$ racine de $P(X)=X^2+2X-3$. Ce qui implique d'après le théorème que $X-1$ divise $X^2+2X-3$. >Vérifions le en démontrant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-1$ est nul. > >``` >X² + 2X - 3 | X - 1 >-(X² - X) | X + 3 (quotient E(x)) >---------- > 3X - 3 > -(3X - 3) > -------- > 0 (reste R(x)) >``` ### Multiplicité >[!note] Définition On dit que $\alpha$ est une racine de multiplicité $k$ si $(X - \alpha)^k$ divise $P$ mais $(X - \alpha)^{k+1}$ ne le divise pas. Cela veut dire qu'il existe $Q$ tel que $P(X)=(X-\alpha)^kQ(X)$ avec $Q(\alpha)\neq 0$. >[!example] Nomenclature >- Une racine de multiplicité 1 est dite simple. >- Une racine de multiplicité 2 est dite double. > [!NOTE] Caractérisation par les dérivées > $\alpha$ est racine de multiplicité $k$ si : > $P(\alpha) = 0$ $P'(\alpha) = 0$ $\vdots$ $P^{(k-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(k)}(\alpha) \neq 0$. > [!EXAMPLE] Exemple > Soit $P(X) = X^3 - X^2 - X + 1$. > - $P(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ (1 est racine). > - $P'(X) = 3X^2 - 2X - 1 \implies P'(1) = 3 - 2 - 1 = 0$. > - $P''(X) = 6X - 2 \implies P''(1) = 4 \neq 0$. > **Conclusion :** $1$ est une racine **double** (multiplicité 2). On peut écrire $P(X) = (X-1)^2(X+1)$. ## 6. Factorisation dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{R}$ ### Dans $\mathbb{R}$ (Nombres Réels) Les polynômes irréductibles sont de deux types : 1. Les polynômes de **degré 1** : $(X - a)$. 2. Les polynômes de **degré 2** avec $\Delta < 0$ : $(aX^2 + bX + c)$. > [!EXAMPLE] Exemple > Soit $P(X) = X^4 - 1$. > - **Étape 1 (Identité remarquable)** : $(X^2 - 1)(X^2 + 1)$. > - **Étape 2 (Factorisation dans $\mathbb{R}$)** : > - le facteur $X^2-1$ peut être factorisé en $(X - 1)(X + 1)$ > - le facteur $(X^2 + 1)$ est irréductible ($\Delta=-4<0$) > >Donc, $P(X) = X^4 - 1=(X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)$. ### Dans $\mathbb{C}$ (Nombres Complexes) Tout polynôme de degré $n \geq 1$ est **scindé**, c'est-à-dire qu'il n'y a que des facteurs de degré 1. $P(X) = a_n (X - \alpha_1)^{k_1} (X - \alpha_2)^{k_2} \dots$ > [!EXAMPLE] Exemple > - Exemple 1 : $P(X) = X^2 + 9$. > $\Delta=-36<0$ > Dans $\mathbb{R}$ : il est irréductible ($\Delta < 0$). > Dans $\mathbb{C}$ : on utilise $i^2 = -1$ alors $\Delta=36i^2$. Donc, le polynôme admet deux racines complexes $\alpha_1=\frac{0-6i}{2}=-3i$ et $\alpha_2=\frac{0+6i}{2}=+3i$. Ce qui implique que $P(X) =(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)= (X + 3i)(X - 3i)$ qui est un polynôme scindé dans $\mathbb{C}$. > - Exemple 2 : $P(X) = X^4 - 1$. > La factorisation de ce polynôme dans $\mathbb{R}$ a donné $P(X) = X^4 - 1=(X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)$. Dans $\mathbb{C}$, le terme $X^2+1$ peut factorisé en $(X-i)(X+i)$ ce qui donne un polynôme scindé $P(X)=(X - 1)(X + 1)(X + 1)(X-1)=(X-1)^2(X+1)^2.$ # ➡ C'est la fin - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Exercices - Polynômes|Exercices - Polynômes]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Polynômes|Polynômes]] # 🗓️ Historique - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] - Dernière MAJ: `24-juillet-2026` %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Polynômes|Accueil · Polynômes]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Polynômes/Exercices - Polynômes\|Exercices - Polynômes →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%