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# Exercices
## Exercice 1
Soient $P(X)=X^2+3X-2$ et $Q(X)=6X-X^2+1$. Déterminer :
1. $P+Q$
2. $3P-2Q$
3. $P^3$
4. $PQ$
5. $P(Q(X))$
## Exercice 2
Déterminer le degré et le coefficient dominant des polynômes suivants:
1. $P_1(X)=X^3-(X-2+i)^2$
2. $P_2(X)=X^3-X(X-2+i)^2$
3. $P_3(X)=(X+1)^n-(X-1)^n$ , où $n∈\mathbb{N}$
## Exercice 3
1. Trouver les polynômes $P∈\mathbb{R_1}[X]$ tels que $P(−1) = −2$ et $P(0) = 1$.
2. Trouver les polynômes $P∈\mathbb{R_2}[X]$ tels que $P(-1)=-2$ , $P(0)=1$ et $P(1)=0$.
## Exercice 4
A quelle condition sur $a$, $b$ et $c∈\mathbb{R}$ le polynôme $P(X)=X^4+aX^2+bX+c$ est divisible par $X^2+X+1$?
## Exercice 5
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$.
2. $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$.
3. $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.
## Exercice 6
Résoudre l'équation $P(X^2)=(X^2+1)P(X)$ où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\mathbb{R}[X]$.
## Exercice 7
Soient :
* $P∈\mathbb{K}[X]$
* $a$, $b∈\mathbb{K}$ avec $a \neq b$
* $R$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$.
Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.
## Exercice 8
*Les parties suivantes sont indépendantes*
1. Soit $P=-3X^2+6X-6$. Factoriser $P$ dans $\mathbb{C}$.
2. Soit $P=2X^3-2X^2-28X+48$. Montrer que $2$ est racine de $P$ puis factoriser (au maximum) $P$ dans $\mathbb{C}$.
3. Montrer que $-1$ est racine triple de $P=X^5+2X^4+2X^3+5X+2$ et factoriser $P$ dans $\mathbb{C}[X]$.
## Exercice 9
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine $1$ du polynôme $A(X)=X^5-5X^4+14X^3-22X^2+17X-5$.
## Exercice 10
Vérifier que $i$ est racine du polynôme $P(X)=X^4-5X^3+7X^2-5X+6$. En déduire la factorisation de $P$ sur $\mathbb{C}$.
# Solution
## Exercice 1
1. Somme $P+Q$ : $P(X)+Q(X)=(X^2+3X-2)+(6X-X^2+1)=(X^2-X^2)+(3X+6X)+(-2+1)=9X-1$
2. Combinaison linéaire $3P-2Q$ : $3P(X)-2Q(X)=3(X^2+3X-2)-2(6X-X^2+1)=3X^2+9X-6-12X+2X^2-2=5X^2-3X-8$
3. Produit $PQ$ : *Développons*
$P(X)Q(X)$
$=(X^2+3X-2)(-X^2+6X+1)$ $=X^2(-X^2+6X+1)+3X(-X^2+6X+1)-2(-X^2+6X+1)$=-X^4+6X^3+X^2-3X^3+18X^2+3X+2X^2-12X-2$ $=-X^4 +(6X^3-3X^3)+(X^2+18X^2+2X^2)+(3X-12X)-2$
$=-X^4+3X^3+21X^2-9X-2$
4. Cube $P^3$ : *On peut le faire en 2 étapes*
* Etape 1 : $P^2$ :
$P^2(X)=P(X)P(X)=(X^2+3X-2)(X^2+3X-2)=X^4+6X^3+X^2-12X+4$
* Etape 2 : $P^3$ :
$P^3(X)=P(X)P^2(X)=(X^2+3X-2)(X^4+6X^3+X^2-12X+4)$
*le développement est fastidieux mais réalisable en appliquant la distributivité terme a terme.*
5. Composition $P(Q(X))$ :
$P(Q(X))=(Q(X))^2+3Q(X)-2$
or $(Q(X))^2=(-X^2+6X+1)^2=X^4-12X^3+38X^2-12X+1$
et $3Q(X)=3(-X^2+6X+1)=-3X^2+18X+3$
Par suite $P(Q(X))=X^4-12X^3+38X^2-12X+1-3X^2+18X+3-2$ $=X^4-12X^3+(38X^2-3X^2)+(-12X+18X)+(1+3-2)=$ $X^4-12X^3+35X^2+6X-2$
## Exercice 2
1. On a $P_1(X)=X^3-(X-2+i)^2=X^3-X^2...$
Donc le degré est $3$ et le coefficient dominant est $1$.
2. On a $P_2(X)=X^3-X(X-2+i)^2$
Or $(X-2+i)^2=X^2+2(-2+i)X+...$
Alors $X(X-2+i)^2=X(X^2+2(-2+i)X+...)=X^3+2(-2+i)X^2+...$
Par suite $P_2(X)=X^3-X^3-2(-2+i)X^2-...=-2(-2+i)X^2-...$
Donc le degré est $2$ et le coefficient dominant est $-2(-2+i)=4-2i$.
3. On a $P_3(X)=(X+1)^n-(X-1)^n$, où $n\in\mathbb{N}$.
On utilise le Binôme de Newton: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}a^{n-k}b^k=a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2+...$
* $(X+1)^n=X^n+C_{n}^{1}X^{n-1}1^1+...$
* $(X-1)^n=X^n+C_{n}^{1}X^{n-1}(-1)^1+...$
Par suite $P_3(X)=2C_{n}^{1}X^{n-1}+...=2nX^{n-1}+...$
Donc le degré est $n-1$ et le coefficient dominant est $2n$.
## Exercice 3
1. On cherche un polynôme de degré au plus $1$, donc de la forme : $P(X)=aX+b$
On utilise les conditions données : $P(-1)=-a+b=-2$ et $P(0)=b=1$
On en déduit $b=1$. On remplace dans la première équation on obtient $a=3$
Donc le polynôme est $P(X)=3X+1$
2. On cherche un polynôme de degré au plus $2$, donc de la forme : $P(X)=aX^2+bX+c$
On utilise les conditions données :
$P(-1)=a-b+c=-2$ et $P(0)=c=1$ et $P(1)=a+b+c=0$
On en déduit $c=1$. On remplace dans la première et la troisième équation on obtient $a-b=-3$ et $a+b=-1$.
On additionne les deux équations : $(a-b)+(a+b)=-3-1$ donc $2a=-4$ alors $a=-2$
On remplace $a=-2$ dans $a+b=-1$ on obtient $b=1$
Donc le polynôme est $P(X)=-2X^2+X+1$
## Exercice 4
La division Euclidienne de $P(X)$ par $Q(X)$ donne le résultat suivant
$X^4+aX^2+bX+c=(X^2+X+1)(X^2-X+a)+[(b+1-a)X+(c-a)]$
On sait que $P(X)$ est divisible par $Q(X)$ si le reste de la division est nul. Ceci implique que
$b+1-a=0$ et $c-a=0$
Alors $c=a$ et $b=a-1$
## Exercice 5
1. Division de $X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7$ par $X^2 + 3X - 1$
```text
X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7 | X^2 + 3X - 1
-(X^4 + 3X^3 - X^2) | ------------------
-------------------- | X^2 + 2X + 7 (quotient)
2X^3 + 13X^2 + 19X
-(2X^3 + 6X^2 - 2X)
---------------------
7X^2 + 21X - 7
-(7X^2 + 21X - 7)
-----------------
0 (reste)
```
**Résultat :** $X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7 = (X^2 + 3X - 1)(X^2 + 2X + 7) + 0$
2. Division de $X^4 - 4X^3 - 9X^2 + 27X + 38$ par $X^2 - X - 7$
```text
X^4 - 4X^3 - 9X^2 + 27X + 38 | X^2 - X - 7
-(X^4 - X^3 - 7X^2) | ------------------
--------------------- | X^2 - 3X - 5 (quotient)
-3X^3 - 2X^2 + 27X
-(-3X^3 + 3X^2 + 21X)
----------------------
-5X^2 + 6X + 38
-(-5X^2 + 5X + 35)
-------------------
X + 3 (reste)
```
**Résultat :** $X^4 - 4X^3 - 9X^2 + 27X + 38 = (X^2 - X - 7)(X^2 - 3X - 5) + (X + 3)$
3. Division de $X^5 - X^2 + 2$ par $X^2 + 1$
```text
X^5 + 0X^4 + 0X^3 - X^2 + 0X + 2 | X^2 + 1
-(X^5 + X^3) | --------------
------------------- | X^3 - X - 1 (quotient)
-X^3 - X^2 + 0X
-(-X^3 - X)
------------------
-X^2 + X + 2
-(-X^2 - 1)
----------------
X + 3 (reste)
```
**Résultat :** $X^5 - X^2 + 2 = (X^2 + 1)(X^3 - X - 1) + (X + 3)$
## Exercice 6
Le polynôme nul est évidemment solution. Sinon, si $P$ est solution, alors on a
$2 \deg(P)= \deg(P)+2$
ce qui prouve que $\deg(P)$ doit être égal à $2$.
Maintenant si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors $P(X^2)=aX^4+bX^2+c$ et $(X^2+1)P(X)=aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c$
On en déduit que $b=0$ puis que $a+c=0$.
Les solutions sont donc de la forme $P(X)=a(X^2-1), a\in \mathbb{R}$ .
## Exercice 7
On remarque que $R$ est de degré au plus $1$ et s'écrit donc $R(X)=\alpha X+\beta$.
Evaluons la relation $P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta$
en $a$ et en $b$. On trouve le système $
\begin{cases}
\alpha a+\beta=P(a)\\
\alpha b+\beta=P(b)
\end{cases}
$**Étape 1 : Trouver $\alpha$**
Pour trouver $\alpha$, nous allons éliminer $\beta$. Pour cela, on soustrait l'équation $(2)$ de l'équation $(1)$ :
$
(\alpha a + \beta) - (\alpha b + \beta) = P(a) - P(b)
$
En simplifiant, les $\beta$ s'annulent :
$
\alpha a - \alpha b = P(a) - P(b)
$
On factorise par $\alpha$ :
$
\alpha (a - b) = P(a) - P(b)
$
Il ne reste plus qu'à diviser par $(a - b)$ (en supposant $a \neq b$) :
$
\alpha = \frac{P(a) - P(b)}{a - b}
$
**Étape 2 : Trouver $\beta$**
Pour trouver $\beta$, on remplace $\alpha$ par son expression dans la première équation : $\alpha a+\beta=P(a)$.
On obtient : $\beta=P(a)-\alpha a=P(a)-\frac{P(a) - P(b)}{a - b}a$$\beta=\frac{(a-b)P(a)-(P(a)-P(b))a}{a-b}$
$
\beta = \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}
$
**Conclusion**
Nous avons bien retrouvé les deux solutions présentées dans ton document :
$
\alpha = \frac{P(a) - P(b)}{a - b} \quad \text{et} \quad \beta = \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}
$
## Exercice 8
1. Factoriser $P = -3X^2 + 6X - 6$ dans $\mathbb{C}[X]$
Pour factoriser ce trinôme du second degré, cherchons ses racines en résolvant $P(X) = 0$.
On peut d'abord simplifier en factorisant par $-3$ :
$P(X) = -3(X^2 - 2X + 2)$
Calculons le discriminant $\Delta$ de $X^2 - 2X + 2$ :
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$
Puisque $\Delta < 0$, les racines sont complexes conjuguées :
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2i$
$z_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$
$z_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$
**Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ :**
$P(X) = -3(X - (1 - i))(X - (1 + i)) = -3(X - 1 + i)(X - 1 - i)$
2. Factoriser $P = 2X^3 - 2X^2 - 28X + 48$ dans $\mathbb{R}[X]$
**Vérification que 2 est racine :**
$P(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 - 28(2) + 48=0$
Donc **2 est bien racine**, et $P$ est divisible par $(X - 2)$.
**Division euclidienne :**
Divisons $2X^3 - 2X^2 - 28X + 48$ par $(X - 2)$ :
```text
2X^3 - 2X^2 - 28X + 48 | X - 2
-(2X^3 - 4X^2) | --------------
--------------- | 2X^2 + 2X - 24
2X^2 - 28X
-(2X^2 - 4X)
-------------
-24X + 48
-(-24X + 48)
------------
0
```
On a $P(X) = (X - 2)(2X^2 + 2X - 24) = 2(X - 2)(X^2 + X - 12)$.
**Factorisation du trinôme $X^2 + X - 12$ :**
On calcule $\Delta$ et on trouve les deux racines $3$ et $-4$.
$X^2 + X - 12 = (X - 3)(X + 4)$
**Factorisation finale dans $\mathbb{R}[X]$ :**
$P(X) = 2(X - 2)(X - 3)(X + 4)$
3. Racine triple de $P = X^5 + 2X^4 + 2X^3 + 4X^2 + 5X + 2$
Pour montrer que $-1$ est une racine triple, nous devons vérifier que $P(-1) = 0$, $P'(-1) = 0$, $P''(-1) = 0$ et $P^{(3)}\neq0$.
- **Valeur de $P(-1)$ :**
$P(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^4 + 2(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 2 - 2 + 4 - 5 + 2 = 0$.
- **Dérivée $P'(X) = 5X^4 + 8X^3 + 6X^2 + 8X + 5$ :**
$P'(-1) = 5(1) + 8(-1) + 6(1) + 8(-1) + 5 = 5 - 8 + 6 - 8 + 5 = 0$.
- **Dérivée seconde $P''(X) = 20X^3 + 24X^2 + 12X + 8$ :**
$P''(-1) = 20(-1) + 24(1) + 12(-1) + 8 = -20 + 24 - 12 + 8 = 0$.
- **Dérivée d'ordre 3 $P^{(3)}(X)=60X^2+48X+12$ :**
$P^{(3)}(-1)=60-48+12=24\neq0$
$-1$ est donc une **racine triple**. $P$ est divisible par $(X + 1)^3 = X^3 + 3X^2 + 3X + 1$.
**Factorisation :**
Effectuons la division de $P(X)$ par $(X + 1)^3$ :
```text
X^5 + 2X^4 + 2X^3 + 4X^2 + 5X + 2 | X^3 + 3X^2 + 3X + 1
-(X^5 + 3X^4 + 3X^3 + X^2) | -------------------
--------------------------- | X^2 - X + 2
- X^4 - X^3 + 3X^2 + 5X
-(- X^4 - 3X^3 - 3X^2 - X)
---------------------------
2X^3 + 6X^2 + 6X + 2
-(2X^3 + 6X^2 + 6X + 2)
-----------------------
0
```
On a $P(X) = (X + 1)^3 (X^2 - X + 2)$.
Factorisons $X^2 - X + 2$ dans $\mathbb{C}$ : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = -7$.
Racines : $z = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$.
**Factorisation finale dans $\mathbb{C}[X]$ :**
$P(X) = (X + 1)^3 \left(X - \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}\right) \left(X - \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}\right)$
## Exercice 9
* $A(1)=0$
* $A'(X)=5X^4-20X^3+42X^2-44X+17$
* $A'(1)=0$
* $A^{(2)}(X)=20X^3-84X-44$
* $A^{(2)}(1)=0$
* $A^{(3)}(X)=60X^2-84$
* $A^{(3)}(1)=24\neq0$
Donc la racine $1$ est d'ordre de multiplicité $3$.
## Exercice 10
Soit le polynôme :
$P(X) = X^4 - 5X^3 + 7X^2 - 5X + 6$
1. Vérification que $i$ est racine de $P$
Pour vérifier que $i$ est une racine, nous calculons $P(i)$ en utilisant les puissances de $i$ :
- $i^1 = i$
- $i^2 = -1$
- $i^3 = -i$
- $i^4 = 1$
Substituons $X$ par $i$ dans $P(X)$ :
$P(i) = i^4 - 5i^3 + 7i^2 - 5i + 6$
$P(i) = 1 - 5(-i) + 7(-1) - 5i + 6$
$P(i) = 1 + 5i - 7 - 5i + 6$
Regroupons les termes réels et les termes imaginaires :
$P(i) = (1 - 7 + 6) + (5i - 5i)$
$P(i) = 0 + 0 = 0$
**Conclusion :** $P(i) = 0$, donc **$i$ est bien une racine de $P$**.
2. Déduction de la factorisation de $P$ sur $\mathbb{C}$
**Étape A : Identification d'une deuxième racine**
Le polynôme $P(X)$ est à **coefficients réels**. Or, si un nombre complexe $z$ est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors son conjugué $\bar{z}$ est aussi racine.
Puisque $i$ est racine, alors **$-i$ est également racine** de $P$.
Le polynôme est donc divisible par :
$(X - i)(X - (-i)) = (X - i)(X + i) = X^2 + 1$
**Étape B : Division euclidienne**
Divisons $P(X)$ par $(X^2 + 1)$ pour trouver le quotient :
```text
X^4 - 5X^3 + 7X^2 - 5X + 6 | X^2 + 1
-(X^4 + X^2) | --------------
------------------- | X^2 - 5X + 6
- 5X^3 + 6X^2 - 5X
-(- 5X^3 - 5X)
--------------------
6X^2 + 6
-(6X^2 + 6)
----------------
0
```
On obtient alors : $P(X) = (X^2 + 1)(X^2 - 5X + 6)$.
**Étape C : Factorisation finale**
Il reste à factoriser le trinôme du second degré $X^2 - 5X + 6$.
Cherchons deux nombres dont la somme est $5$ et le produit est $6$. Ces nombres sont $2$ et $3$.
$X^2 - 5X + 6 = (X - 2)(X - 3)$
Nous pouvons maintenant écrire la factorisation complète de $P(X)$ dans $\mathbb{C}$ en décomposant aussi $X^2 + 1$ :
$P(X) = (X - i)(X + i)(X - 2)(X - 3)$
**Racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ :** $\mathcal{S} = \{i, -i, 2, 3\}$
# 🗓️ Historique
- Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]]
- Dernière MAJ: `24-juillet-2026`
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