# Exercices : Primitives et Intégrales Avancés
## Exercices
### Exercices de Base (Application Directe)
#### Exercice 1 : Intégration par Parties Simple
Calculer la primitive suivante :
$ \int x \cos(3x) dx $
#### Exercice 2 : Changement de Variable Simple
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx $
### Exercices de Niveau Normal (Combinaison de Concepts)
#### Exercice 3 : Décomposition en Éléments Simples
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} dx $
#### Exercice 4 : Intégration par Parties Itérée
Calculer la primitive suivante :
$ \int x^2 e^{-x} dx $
#### Exercice 5 : Changement de Variable Trigonométrique ou Hyperbolique
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx $
#### Exercice 6 : Intégrale Impropre de Première Espèce
Étudier la nature (convergence ou divergence) et, si elle converge, calculer la valeur de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx $
### Exercices Plus Élaborés (Problèmes de Réflexion)
#### Exercice 7 : Intégrale Impropre de Deuxième Espèce
Étudier la nature (convergence ou divergence) de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx $
#### Exercice 8 : Intégrale Impropre et Changement de Variable
Calculer la valeur de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx $
#### Exercice 9 : Combinaison de Techniques de Primitivation
Calculer la valeur de l'intégrale définie suivante :
$ \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx $
#### Exercice 10 : Intégrale Impropre et Relation de Récurrence (Fonction Gamma)
Soit la suite d'intégrales $I_n$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par :
$ I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx $
1. Montrer que $I_n$ converge pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. Calculer $I_0$.
3. Établir une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-1}$ pour $n \ge 1$.
4. En déduire la valeur de $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
## Corrigés Détaillés
### Correction de l'Exercice 1 : Intégration par Parties Simple
Calculer la primitive suivante :
$ \int x \cos(3x) dx $
> [!tip] Astuce
> Pour une intégration par parties de type $\int P(x) \cos(ax) dx$ ou $\int P(x) \sin(ax) dx$, il est souvent judicieux de choisir $u(x) = P(x)$ (le polynôme) et $v'(x)$ la fonction trigonométrique. Cela permet de "réduire" le degré du polynôme à chaque IPP.
On utilise la formule de l'intégration par parties :
$ \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $
Choisissons :
- $u(x) = x \implies u'(x) = 1$
- $v'(x) = \cos(3x) \implies v(x) = \frac{1}{3}\sin(3x)$
Appliquons la formule :
$ \int x \cos(3x) dx = x \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) - \int 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) dx $
$ = \frac{1}{3}x\sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) dx $
La primitive de $\sin(3x)$ est $-\frac{1}{3}\cos(3x)$.
$ = \frac{1}{3}x\sin(3x) - \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) + C $
$ \int x \cos(3x) dx = \frac{1}{3}x\sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x) + C $
> [!note] Vérification
> Pour vérifier une primitive, il suffit de la dériver.
> $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x)\right) = \frac{1}{3}\sin(3x) + x\cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x) = x\cos(3x)$. Le résultat est correct.
### Correction de l'Exercice 2 : Changement de Variable Simple
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx $
> [!tip] Astuce
> Lorsque vous voyez une expression comme $\sqrt{x}$ à la fois dans l'exposant et au dénominateur (ou sa dérivée), un changement de variable impliquant $\sqrt{x}$ est souvent efficace.
Posons le changement de variable :
$u = \sqrt{x}$
Calculons la différentielle $du$ en fonction de $dx$ :
$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$
On peut réécrire ceci comme $dx = 2\sqrt{x} du = 2u du$.
Substituons dans l'intégrale :
$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{e^u}{u} (2u du) $
$ = \int 2e^u du $
$ = 2 \int e^u du $
$ = 2e^u + C $
Enfin, nous substituons $u = \sqrt{x}$ pour revenir à la variable d'origine :
$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = 2e^{\sqrt{x}} + C $
### Correction de l'Exercice 3 : Décomposition en Éléments Simples
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} dx $
> [!definition] Décomposition en Éléments Simples (DES)
> Une fraction rationnelle $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ où $\deg(P) < \deg(Q)$ peut être décomposée en une somme d'éléments simples. Pour un facteur $(x-a)^k$ au dénominateur, on aura des termes de la forme $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$. Pour un facteur irréductible $(x^2+bx+c)^k$, on aura des termes de la forme $\frac{B_1 x + C_1}{x^2+bx+c} + \dots$.
Le dénominateur est $x(x-1)^2$. Il y a un pôle simple en $x=0$ et un pôle double en $x=1$.
La forme de la décomposition est donc :
$ \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} $
Pour trouver les coefficients $A, B, C$ :
1. **Calcul de A (pôle simple $x=0$) :**
Multiplions par $x$ et évaluons en $x=0$ :
$A = \left[ \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \right]_{x=0} = \frac{0^2+1}{(0-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$
2. **Calcul de C (pôle double $x=1$) :**
Multiplions par $(x-1)^2$ et évaluons en $x=1$ :
$C = \left[ \frac{x^2+1}{x} \right]_{x=1} = \frac{1^2+1}{1} = \frac{2}{1} = 2$
3. **Calcul de B (par identification ou en donnant une valeur à x) :**
On peut multiplier l'équation par $x(x-1)^2$ :
$x^2+1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$
$x^2+1 = A(x^2-2x+1) + B(x^2-x) + Cx$
$x^2+1 = (A+B)x^2 + (-2A-B+C)x + A$
Par identification des coefficients de $x^2$ :
$1 = A+B$
Puisque $A=1$, on a $1 = 1+B \implies B=0$.
Vérifions avec le coefficient de $x$ :
$0 = -2A-B+C$
$0 = -2(1) - 0 + 2 = -2+2 = 0$. C'est cohérent.
Donc la décomposition est :
$ \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x} + \frac{0}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{1}{x} + \frac{2}{(x-1)^2} $
Maintenant, nous pouvons intégrer terme par terme :
$ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{(x-1)^2} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx + 2 \int (x-1)^{-2} dx $
$ = \ln|x| + 2 \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C $
$ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} dx = \ln|x| - \frac{2}{x-1} + C $
### Correction de l'Exercice 4 : Intégration par Parties Itérée
Calculer la primitive suivante :
$ \int x^2 e^{-x} dx $
> [!tip] Astuce
> Pour $\int P(x) e^{ax} dx$, où $P(x)$ est un polynôme de degré $n$, il faudra appliquer l'intégration par parties $n$ fois. À chaque étape, le degré du polynôme diminue.
Appliquons l'IPP une première fois :
- $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$
- $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
$ \int x^2 e^{-x} dx = x^2(-e^{-x}) - \int 2x(-e^{-x}) dx $
$ = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx $
Nous devons maintenant calculer $\int x e^{-x} dx$ en utilisant une deuxième IPP :
- $u(x) = x \implies u'(x) = 1$
- $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
$ \int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx $
$ = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx $
$ = -xe^{-x} - e^{-x} + C' $
Substituons ce résultat dans l'expression précédente :
$ \int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-xe^{-x} - e^{-x}) + C $
$ \int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C $
On peut factoriser par $-e^{-x}$ :
$ \int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C $
### Correction de l'Exercice 5 : Changement de Variable Trigonométrique ou Hyperbolique
Calculer la primitive suivante :
$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx $
> [!tip] Astuce
> Pour les intégrales contenant $\sqrt{x^2+a^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$ ou $\sqrt{a^2-x^2}$, les changements de variables trigonométriques ou hyperboliques sont très efficaces.
> - $\sqrt{a^2-x^2}$: $x = a\sin\theta$ ou $x = a\tanh\theta$
> - $\sqrt{x^2+a^2}$: $x = a\tan\theta$ ou $x = a\sinh\theta$
> - $\sqrt{x^2-a^2}$: $x = a\sec\theta$ ou $x = a\cosh\theta$
Ici, nous avons $\sqrt{x^2+1}$, donc $a=1$. Nous pouvons utiliser $x = \sinh u$.
Posons le changement de variable :
$x = \sinh u$
Alors $dx = \cosh u du$.
Substituons dans l'intégrale :
$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(\sinh u)^2+1}} \cosh u du $
On utilise l'identité hyperbolique fondamentale : $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$, d'où $\sinh^2 u + 1 = \cosh^2 u$.
Comme $\cosh u > 0$ pour tout $u \in \mathbb{R}$, $\sqrt{\sinh^2 u + 1} = \sqrt{\cosh^2 u} = \cosh u$.
$ = \int \frac{1}{\cosh u} \cosh u du $
$ = \int 1 du $
$ = u + C $
Maintenant, nous devons revenir à la variable $x$. Si $x = \sinh u$, alors $u = \text{arsinh } x$.
$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \text{arsinh } x + C $
> [!note] Forme logarithmique de arsinh
> La fonction $\text{arsinh } x$ peut s'exprimer sous forme logarithmique : $\text{arsinh } x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$.
> Donc, la primitive est aussi :
> $ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C $
### Correction de l'Exercice 6 : Intégrale Impropre de Première Espèce
Étudier la nature (convergence ou divergence) et, si elle converge, calculer la valeur de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx $
> [!definition] Intégrale Impropres de Première Espèce
> Une intégrale $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ est dite impropre de première espèce. Elle converge si la limite $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx$ existe et est finie.
1. **Étude de la convergence :**
La fonction $f(x) = \frac{1}{x(x+1)}$ est continue et positive sur $[1, +\infty[$.
Pour $x \to +\infty$, nous avons $x(x+1) \sim x^2$.
Donc $f(x) \sim \frac{1}{x^2}$ quand $x \to +\infty$.
> [!theorem] Critère de comparaison des intégrales de Riemann
> L'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Puisque $\alpha = 2 > 1$, l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge.
Par le critère d'équivalence pour les fonctions positives, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx$ converge également.
2. **Calcul de la valeur (si elle converge) :**
Nous devons d'abord trouver une primitive de $f(x) = \frac{1}{x(x+1)}$. Utilisons la décomposition en éléments simples :
$ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} $
En multipliant par $x$ et en posant $x=0$, on trouve $A=1$.
En multipliant par $x+1$ et en posant $x=-1$, on trouve $B=-1$.
Donc :
$ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $
Calculons la primitive :
$ \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C $
Maintenant, évaluons l'intégrale impropre :
$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx $
$ = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \right]_1^b $
$ = \lim_{b \to +\infty} \left( \ln\left(\frac{b}{b+1}\right) - \ln\left(\frac{1}{1+1}\right) \right) $
Pour la limite :
$ \lim_{b \to +\infty} \frac{b}{b+1} = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{1+1/b} = 1 $
Donc, $\lim_{b \to +\infty} \ln\left(\frac{b}{b+1}\right) = \ln(1) = 0$.
$ = 0 - \ln\left(\frac{1}{2}\right) $
$ = -\ln(1) + \ln(2) = \ln(2) $
L'intégrale converge et sa valeur est $\ln(2)$.
### Correction de l'Exercice 7 : Intégrale Impropre de Deuxième Espèce
Étudier la nature (convergence ou divergence) de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx $
> [!definition] Intégrale Impropres de Deuxième Espèce
> Une intégrale $\int_a^b f(x) dx$ est dite impropre de deuxième espèce si $f(x)$ n'est pas bornée en un point $c \in [a,b]$. Si $c=a$, elle converge si $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) dx$ existe et est finie.
Le problème se situe en $x=0$, car $\ln x \to -\infty$ lorsque $x \to 0^+$.
La fonction $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ est continue sur $]0, 1]$.
Pour étudier la convergence, nous devons examiner le comportement de $f(x)$ au voisinage de $0$.
> [!note] Comportement de $\ln x$ en 0
> La fonction $\ln x$ tend vers $-\infty$ en $0^+$, mais "moins vite" que n'importe quelle puissance négative de $x$. Autrement dit, pour tout $\alpha > 0$, $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$.
Pour étudier la convergence, on peut utiliser les critères de comparaison.
Soit $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.
On sait que $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ pour tout $\alpha > 0$.
Prenons $\alpha$ tel que $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ et cherchons un $\alpha'$ pour le critère de Riemann.
Considérons $g(x) = \frac{1}{x^{1/2+\epsilon}}$ pour un $\epsilon > 0$ petit.
Calculons la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ quand $x \to 0^+$:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{x^{1/2+\epsilon}}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1/2}} \cdot x^{1/2+\epsilon} = \lim_{x \to 0^+} x^\epsilon \ln x $
Or, pour tout $\epsilon > 0$, $\lim_{x \to 0^+} x^\epsilon \ln x = 0$.
Ce critère d'équivalence ne nous donne pas directement la convergence, car la limite est 0.
Utilisons plutôt le critère de comparaison par majoration/minoration, ou le critère de Riemann avec un "petit $x^\alpha
quot; qui domine $\ln x$.
Considérons la fonction $h(x) = \frac{1}{x^{1/2+\epsilon}}$ pour $\epsilon$ suffisamment petit.
On sait que $\ln x \to -\infty$ en $0^+$. La fonction $f(x)$ est négative sur $]0,1[$.
Il est plus simple d'étudier $\int_0^1 -\frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$ (qui est positive).
Pour tout $\alpha > 0$, on sait que $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$.
Cela signifie que pour $x$ suffisamment proche de $0$, $|x^\alpha \ln x| < 1$, donc $|\ln x| < x^{-\alpha}$.
Alors, pour $x$ proche de $0$ :
$ \left| \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right| = \frac{|\ln x|}{\sqrt{x}} < \frac{x^{-\alpha}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2+\alpha}} $
Nous voulons que l'intégrale de comparaison $\int_0^1 \frac{1}{x^{1/2+\alpha}} dx$ converge.
D'après le critère de Riemann pour les intégrales de deuxième espèce, $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ converge si et seulement si $p < 1$.
Nous devons donc choisir $\alpha$ tel que $1/2 + \alpha < 1$.
Par exemple, si on prend $\alpha = 1/4$, alors $1/2 + 1/4 = 3/4 < 1$.
Donc, pour $x$ suffisamment petit, $\left| \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right| < \frac{1}{x^{3/4}}$.
L'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^{3/4}} dx$ converge.
Par le critère de comparaison (convergence absolue), l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx$ converge absolument, et donc converge.
> [!note] Important
> La convergence absolue implique la convergence. Ici, on a montré que $\int_0^1 \left| \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right| dx$ converge.
### Correction de l'Exercice 8 : Intégrale Impropre et Changement de Variable
Calculer la valeur de l'intégrale impropre suivante :
$ \int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx $
> [!warning] Attention
> Avant de calculer, il faut toujours vérifier la convergence de l'intégrale impropre.
1. **Étude de la convergence :**
La fonction $f(x) = \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est continue et positive sur $[0, +\infty[$.
Pour $x \to +\infty$, le numérateur est $x$ et le dénominateur est de l'ordre de $(x^2)^2 = x^4$.
Donc $f(x) \sim \frac{x}{x^4} = \frac{1}{x^3}$ quand $x \to +\infty$.
L'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx$ converge car $3 > 1$.
Par le critère d'équivalence, $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ converge.
2. **Calcul de la valeur :**
Nous allons utiliser un changement de variable.
Posons $u = 1+x^2$.
Alors $du = 2x dx$, ce qui signifie $x dx = \frac{1}{2} du$.
Changeons les bornes :
- Si $x=0$, $u = 1+0^2 = 1$.
- Si $x \to +\infty$, $u \to 1+(+\infty)^2 = +\infty$.
L'intégrale devient :
$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} u^{-2} du $
Calculons cette intégrale impropre :
$ \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \int_1^b u^{-2} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_1^b $
$ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^b $
$ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) $
$ = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) $
Puisque $\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{b} = 0$, nous obtenons :
$ = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} $
L'intégrale impropre converge et sa valeur est $\frac{1}{2}$.
### Correction de l'Exercice 9 : Combinaison de Techniques de Primitivation
Calculer la valeur de l'intégrale définie suivante :
$ \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx $
> [!tip] Astuce
> Lorsque vous avez des fonctions trigonométriques, cherchez si une partie de l'expression est la dérivée d'une autre. Ici, $\cos x$ est la dérivée de $\sin x$.
Posons le changement de variable :
$u = \sin x$
Alors $du = \cos x dx$.
Changeons les bornes de l'intégrale :
- Si $x=0$, $u = \sin(0) = 0$.
- Si $x=\pi/2$, $u = \sin(\pi/2) = 1$.
L'intégrale devient :
$ \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du $
> [!note] Primitive de $\frac{1}{1+u^2}$
> La primitive de $\frac{1}{1+u^2}$ est $\arctan u$.
$ = \left[ \arctan u \right]_0^1 $
$ = \arctan(1) - \arctan(0) $
$ = \frac{\pi}{4} - 0 $
$ = \frac{\pi}{4} $
### Correction de l'Exercice 10 : Intégrale Impropre et Relation de Récurrence (Fonction Gamma)
Soit la suite d'intégrales $I_n$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par :
$ I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx $
#### 1. Montrer que $I_n$ converge pour tout $n \in \mathbb{N}$.
L'intégrale est impropre en $+\infty$. La fonction $f(x) = x^n e^{-x}$ est continue et positive sur $[0, +\infty[$.
Pour étudier la convergence en $+\infty$, nous utilisons le critère de comparaison.
On sait que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$. Autrement dit, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$.
Plus précisément, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un $M > 0$ tel que pour $x > M$, $x^n e^{-x} < \frac{1}{x^2}$ (par exemple, en utilisant $\lim_{x \to +\infty} x^{n+2} e^{-x} = 0$).
En effet, pour $x$ suffisamment grand, $e^x > x^{n+2}$, donc $x^n e^{-x} < \frac{x^n}{x^{n+2}} = \frac{1}{x^2}$.
L'intégrale $\int_M^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge (intégrale de Riemann avec $\alpha=2 > 1$).
Par le critère de comparaison, $\int_M^{+\infty} x^n e^{-x} dx$ converge.
Puisque $\int_0^M x^n e^{-x} dx$ est une intégrale d'une fonction continue sur un intervalle borné, elle est finie.
Donc, $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx$ converge pour tout $n \in \mathbb{N}$.
#### 2. Calculer $I_0$.
Pour $n=0$, l'intégrale devient :
$ I_0 = \int_0^{+\infty} x^0 e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} e^{-x} dx $
$ I_0 = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-x} dx $
$ = \lim_{b \to +\infty} \left[ -e^{-x} \right]_0^b $
$ = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} - (-e^{-0})) $
$ = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + 1) $
Puisque $\lim_{b \to +\infty} e^{-b} = 0$, on a :
$ I_0 = 0 + 1 = 1 $
#### 3. Établir une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-1}$ pour $n \ge 1$.
Nous allons utiliser l'intégration par parties pour relier $I_n$ à $I_{n-1}$.
Soit $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx$. On applique l'IPP sur $\int_0^b x^n e^{-x} dx$.
Choisissons :
- $u(x) = x^n \implies u'(x) = nx^{n-1}$
- $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
$ \int_0^b x^n e^{-x} dx = \left[ -x^n e^{-x} \right]_0^b - \int_0^b nx^{n-1}(-e^{-x}) dx $
$ = (-b^n e^{-b} - (-0^n e^{-0})) + n \int_0^b x^{n-1} e^{-x} dx $
$ = -b^n e^{-b} + n \int_0^b x^{n-1} e^{-x} dx $
Maintenant, prenons la limite quand $b \to +\infty$ :
$ I_n = \lim_{b \to +\infty} (-b^n e^{-b}) + n \lim_{b \to +\infty} \int_0^b x^{n-1} e^{-x} dx $
On sait que $\lim_{b \to +\infty} b^n e^{-b} = 0$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances).
Et $\lim_{b \to +\infty} \int_0^b x^{n-1} e^{-x} dx = I_{n-1}$.
Donc :
$ I_n = 0 + n I_{n-1} $
La relation de récurrence est $I_n = n I_{n-1}$ pour $n \ge 1$.
#### 4. En déduire la valeur de $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Nous avons $I_0 = 1$ et $I_n = n I_{n-1}$.
Calculons les premiers termes :
- $I_1 = 1 \cdot I_0 = 1 \cdot 1 = 1$
- $I_2 = 2 \cdot I_1 = 2 \cdot 1 = 2$
- $I_3 = 3 \cdot I_2 = 3 \cdot 2 = 6$
- $I_4 = 4 \cdot I_3 = 4 \cdot 6 = 24$
On reconnaît la factorielle.
Pour un $n \ge 1$ quelconque :
$I_n = n I_{n-1}$
$I_{n-1} = (n-1) I_{n-2}$
...
$I_1 = 1 \cdot I_0$
En multipliant toutes ces égalités :
$I_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 \cdot I_0$
Puisque $I_0 = 1$, on a :
$ I_n = n! $
Pour tout $n \in \mathbb{N}$.
> [!theorem] Fonction Gamma
> L'intégrale $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx$ est une forme particulière de la fonction Gamma d'Euler, notée $\Gamma(z)$. Plus précisément, pour $n \in \mathbb{N}$, on a $\Gamma(n+1) = n!$. Cet exercice est une démonstration de cette propriété pour les entiers naturels.