%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 2 - Primitives et intégrales\|Cours 2 - Primitives et intégrales →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # ▷ Primitives et intégrales : définition et propriétés > Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Primitives et intégrales]] >[!example] Contenu du cours Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : >- Définition de la primitive et constante de primitivation >- Définition d'une intégrale définie et interprétation géométrique >- Propriétés fondamentales de l'intégrale ## I. Définition et Notations Commençons par la définition formelle de ce qu'est une primitive. > [!definition] Définition : Primitive > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. > On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, on ait : > $ F'(x) = f(x) $ Autrement dit, trouver une primitive de $f$, c'est trouver une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. > [!example] Exemple > Soit la fonction $f(x) = 2x$. > > 1. La fonction $F_1(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)$ car $F_1'(x) = 2x$. > 2. La fonction $F_2(x) = x^2 + 5$ est aussi une primitive de $f(x)$ car $F_2'(x) = 2x$. > 3. De même, $F_3(x) = x^2 - \pi$ est une primitive de $f(x)$ car $F_3'(x) = 2x$. > > Cet exemple illustre un point crucial : une fonction n'admet pas une seule primitive, mais une infinité ! > [!note] Remarque importante sur la constante d'intégration > Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors pour toute constante réelle $C$, la fonction $G(x) = F(x) + C$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$. En effet, $G'(x) = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. > > Réciproquement, si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors leur différence $F_1 - F_2$ est une fonction constante sur $I$. > > > [!theorem] Théorème : Ensemble des primitives > > Si une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par : > > $ \{ F(x) + C \mid C \in \mathbb{R} \} $ > > où $C$ est appelée la **constante d'intégration**. **Notation :** L'ensemble des primitives de $f$ est souvent noté $\int f(x) dx$. C'est l'**intégrale indéfinie** de $f$. Le symbole $\int$ est appelé le signe somme ou signe intégral. > [!warning] Attention > Le concept de primitive est défini sur un **intervalle**. Si le domaine de définition de $f$ n'est pas un intervalle (par exemple, $\mathbb{R}^*$), alors la constante d'intégration peut être différente sur chaque intervalle composant le domaine. > Par exemple, les primitives de $f(x) = 1/x$ sur $\mathbb{R}^*$ sont de la forme : > $ F(x) = \begin{cases} \ln(x) + C_1 & \text{si } x > 0 \\ \ln(-x) + C_2 & \text{si } x < 0 \end{cases} $ > où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles qui peuvent être différentes. Cependant, dans la pratique courante, on écrit souvent $\ln|x| + C$ en sous-entendant que $C$ est la même constante sur chaque intervalle. ## II. Primitives Usuelles La recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation. Par conséquent, pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de "lire à l'envers" notre tableau des dérivées. Voici un tableau récapitulatif des primitives des fonctions usuelles, où $C$ désigne une constante réelle arbitraire. | Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Conditions / Domaine | | :---------------------------------- | :------------------------ | :------------------------------------------------------------------------- | | $k$ (constante) | $kx + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \in \mathbb{R}, n \neq -1, x \in \mathbb{R}^+$ si $n \notin \mathbb{N}$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln(\lvert x \rvert)+C$ | $x \in \mathbb{R}^*$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $a^x$ ($a>0, a \neq 1$) | $\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)$ | $\tan(x) + C$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\frac{1}{\sin^2(x)} = 1+\cot^2(x)$ | $-\cot(x) + C$ | $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin(x) + C$ | $x \in ]-1, 1[$ | | $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cosh(x)$ | $\sinh(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sinh(x)$ | $\cosh(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | > [!example] Application du tableau > > 1. Une primitive de $f(x) = x^3$ est $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$. > 2. Une primitive de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ est $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$. > 3. Une primitive de $f(x) = e^x$ est $F(x) = e^x + C$. ## III. Propriétés des Primitives Les primitives partagent des propriétés similaires à celles des dérivées, notamment en ce qui concerne la linéarité. > [!theorem] Théorème : Linéarité de la primitivation > Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$, et soient $\lambda$ et $\mu$ deux constantes réelles. > Alors la fonction $\lambda f + \mu g$ admet des primitives sur $I$, et une primitive est donnée par : > $ \int (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int f(x) dx + \mu \int g(x) dx = \lambda F(x) + \mu G(x) + C $ > En d'autres termes : > 1. La primitive d'une somme est la somme des primitives : > $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.$ > 2. La primitive d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la primitive de la fonction : > $\int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx.$ > [!example] Exemple d'application de la linéarité > Calculons une primitive de $h(x) = 3x^2 - 5\sin(x) + 2$. > > D'après la propriété de linéarité : > $ \int (3x^2 - 5\sin(x) + 2) dx = 3 \int x^2 dx - 5 \int \sin(x) dx + \int 2 dx $ > En utilisant les primitives usuelles : > $ = 3 \left(\frac{x^3}{3}\right) - 5 (-\cos(x)) + 2x + C $ > $ = x^3 + 5\cos(x) + 2x + C $ > On peut vérifier ce résultat en dérivant $F(x) = x^3 + 5\cos(x) + 2x + C$ : > $F'(x) = 3x^2 + 5(-\sin(x)) + 2 = 3x^2 - 5\sin(x) + 2 = h(x)$. Le calcul est correct. > [!theorem] Théorème : Primitivation d'une fonction composée avec une fonction affine > Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ des constantes réelles avec $a \neq 0$. > Alors la fonction $x \mapsto f(ax+b)$ admet une primitive sur tout intervalle où $ax+b$ est dans $I$, donnée par : > $ \int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C $ > [!example] Exemple d'application de la composition affine > > 1. Calculer une primitive de $f(x) = \cos(2x+3)$. > On sait qu'une primitive de $\cos(u)$ est $\sin(u)$. Ici $u = 2x+3$, donc $a=2$. > $ \int \cos(2x+3) dx = \frac{1}{2} \sin(2x+3) + C $ > 2. Calculer une primitive de $g(x) = e^{-x+1}$. > On sait qu'une primitive de $e^u$ est $e^u$. Ici $u = -x+1$, donc $a=-1$. > $ \int e^{-x+1} dx = \frac{1}{-1} e^{-x+1} + C = -e^{-x+1} + C $ > [!warning] Attention > Contrairement à la dérivation, il n'existe **pas** de règle simple pour la primitive d'un produit ou d'un quotient de fonctions. > Par exemple, $\int f(x)g(x) dx \neq \int f(x) dx \times \int g(x) dx$. > Des techniques plus avancées comme l'**intégration par parties** (pour les produits) ou les **changements de variable** (pour certaines compositions) seront étudiées dans le chapitre suivant pour traiter ces cas. ## IV. L'Intégrale Définie : Définition et Interprétation Géométrique ### Définition de l'intégrale définie > [!definition] Intégrale Définie (Intégrale de Riemann) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. L'**intégrale définie** de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro (ou le nombre de subdivisions tend vers l'infini) : > $ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $ > Où $x_i = a + i \Delta x$ et $\Delta x = \frac{b-a}{n}$=pas de la subdivision. > > - $a$ est la **borne inférieure** de l'intégration. > - $b$ est la **borne supérieure** de l'intégration. > - $f(x)$ est la **fonction à intégrer** (ou intégrand). > - $dx$ indique que l'intégration se fait par rapport à la variable $x$. ![[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Ressources - Primitives et intégrales/intégrale de riemann.png||300]] > [!note] Existence de l'intégrale > Pour les fonctions continues sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$, l'intégrale de Riemann existe toujours. En pratique, on utilise le théorème suivant pour le calcul des intégrales. > [!theorem] Théorème Fondamental de l'Analyse > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, et soit $F$ n'importe quelle primitive de $f$ sur $[a, b]$. Alors : > $ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $ > [!example] Exemple 1 : > Calculons $\int_1^2 x^2 dx$. > - Une primitive de $f(x) = x^2$ est $F(x) = \frac{x^3}{3}$. > - Appliquons la formule : > $ \int_1^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $ > [!example] Exemple 2 : > Calculer $\int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$. > - Une primitive de $f(x) = \cos(x)$ est $F(x) = \sin(x)$. > - Appliquons la formule : > $ \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx = [\sin(x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $ ### Interprétation Géométrique > [!tip] L'intégrale comme aire > Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ représente l'**aire de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=a$ et $x=b$**. > > Si $f(x)$ prend des valeurs négatives sur $[a, b]$, l'intégrale représente une **aire algébrique** : > - Les régions où $f(x) > 0$ contribuent positivement à l'intégrale. > - Les régions où $f(x) < 0$ contribuent négativement à l'intégrale. > > Ainsi, $\int_a^b f(x) dx$ est la somme des aires des régions au-dessus de l'axe des $x$ moins la somme des aires des régions en dessous de l'axe des $x$. > [!example] Interprétation avec des aires négatives > Soit $f(x) = x$ sur l'intervalle $[-1, 1]$. > - Sur $[-1, 0]$, $f(x)$ est négative. L'aire du triangle sous l'axe est $A_1 = \frac{1 \times 1}{2} = 0.5$. La contribution à l'intégrale sera $-0.5$. > - Sur $[0, 1]$, $f(x)$ est positive. L'aire du triangle au-dessus de l'axe est $A_2 = \frac{1 \times 1}{2} = 0.5$. La contribution à l'intégrale sera $+0.5$. > L'intégrale $\int_{-1}^1 x dx = -0.5 + 0.5 = 0$. > ![[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Ressources - Primitives et intégrales/aire algébrique.png||500]] > En calculant l'intégrale en utilisant le théorème fondamental de l'analyse, on obtient $\int_{-1}^1 x dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=\frac12-\frac12=0$ ## V. Propriétés Fondamentales de l'Intégrale Les intégrales définies possèdent plusieurs propriétés importantes qui facilitent leur manipulation et leur calcul. ### 1. Linéarité > [!theorem] Propriété de Linéarité > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$, et $\lambda, \mu$ deux constantes réelles. Alors : > 1. **Additivité :** $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ > 2. **Homogénéité :** $\int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx$ > > Ces deux propriétés peuvent être combinées : > $ \int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx + \mu \int_a^b g(x) dx $ > [!example] Application de la linéarité > Calculer $\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx$. > En utilisant la linéarité : > $\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx = 3 \int_0^1 x^2 dx + 2 \int_0^1 x dx$. > (Nous verrons comment calculer ces intégrales dans la section suivante). ### 2. Inversion des bornes > [!theorem] Inversion des bornes > $ \int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx $ > > Si $a=b$, alors $\int_a^a f(x) dx = 0$. (L'aire sous un point est nulle). ### 3. Relation de Chasles (Additivité par rapport à l'intervalle) > [!theorem] Relation de Chasles > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a, b, c$. Alors : > $ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $ > > Cette propriété est très utile pour découper un intervalle d'intégration, par exemple si la fonction change de définition ou de signe. ### 4. Propriétés d'ordre (Positivité et Croissance) > [!theorem] Positivité de l'intégrale > Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \ge 0 $ > > Si $f(x) \le 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \le 0 $ > [!theorem] Croissance de l'intégrale > Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx $ > [!warning] Attention > L'intégrale d'une fonction positive n'est pas toujours strictement positive. Par exemple, $\int_0^1 0 dx = 0$. > Si $f(x) > 0$ sur $[a, b]$ et $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx > 0$. ### 5. Intégrales de fonctions paires et impaires sur un intervalle symétrique Ces propriétés sont des raccourcis précieux pour le calcul d'intégrales sur des intervalles de la forme $[-a, a]$. > [!definition] Fonctions paires et impaires > - Une fonction $f$ est **paire** si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de son domaine (ex: $x^2, \cos(x)$). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. > - Une fonction $f$ est **impaire** si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de son domaine (ex: $x^3, \sin(x)$). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. > [!theorem] Intégrales de fonctions paires/impaires > Soit $f$ une fonction continue sur $[-a, a]$ : > 1. Si $f$ est **paire** : $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ > 2. Si $f$ est **impaire** : $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ > [!example] Application de la parité > - $\int_{-1}^1 x^3 dx = 0$ car $f(x) = x^3$ est impaire. > - $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$. ### 6. Valeur Moyenne d'une Fonction L'intégrale permet également de définir la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. > [!definition] Valeur Moyenne d'une Fonction > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ avec $a < b$. La **valeur moyenne** de $f$ sur $[a, b]$, notée $\bar{f}$ ou $\mu$, est donnée par : > $ \bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $ > [!note] Interprétation Géométrique > La valeur moyenne $\bar{f}$ est la hauteur d'un rectangle de base $(b-a)$ qui aurait la même aire que la région sous la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$. > Aire sous $f$ = $\int_a^b f(x) dx$ > Aire du rectangle = $\bar{f} \times (b-a)$ > Donc, $\int_a^b f(x) dx = \bar{f} (b-a)$. > [!theorem] Théorème de la Valeur Moyenne pour les Intégrales > Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$, alors il existe au moins un point $c \in [a, b]$ tel que : > $ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $ > Autrement dit, la fonction atteint sa valeur moyenne à un certain point de l'intervalle. > [!example] Calcul de la valeur moyenne > Calculons la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[1, 2]$. > On a déjà calculé $\int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3}$. > L'intervalle est $[1, 2]$, donc $b-a = 2-1 = 1$. > $ \bar{f} = \frac{1}{1} \int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3} $ > Il existe donc un $c \in [1, 2]$ tel que $c^2 = \frac{7}{3}$, soit $c = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1.527$. Ce $c$ est bien dans l'intervalle $[1, 2]$. # ➡️ C'est la fin --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 2 - Primitives et intégrales|Cours 2 - Primitives et intégrales]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Primitives et intégrales]] - Page d'accueil du domaine: [[Analyse et Données/Mathématiques/Mathématiques|Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 2 - Primitives et intégrales\|Cours 2 - Primitives et intégrales →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%