# ▷ La primitive > Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours > ## I. Définition et Notations Commençons par la définition formelle de ce qu'est une primitive. > [!definition] Définition : Primitive > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. > On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, on ait : > $ F'(x) = f(x) $ Autrement dit, trouver une primitive de $f$, c'est trouver une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. > [!example] Exemple > Soit la fonction $f(x) = 2x$. > > 1. La fonction $F_1(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)$ car $F_1'(x) = 2x$. > 2. La fonction $F_2(x) = x^2 + 5$ est aussi une primitive de $f(x)$ car $F_2'(x) = 2x$. > 3. De même, $F_3(x) = x^2 - \pi$ est une primitive de $f(x)$ car $F_3'(x) = 2x$. > > Cet exemple illustre un point crucial : une fonction n'admet pas une seule primitive, mais une infinité ! > [!note] Remarque importante sur la constante d'intégration > Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors pour toute constante réelle $C$, la fonction $G(x) = F(x) + C$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$. En effet, $G'(x) = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. > > Réciproquement, si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors leur différence $F_1 - F_2$ est une fonction constante sur $I$. > > > [!theorem] Théorème : Ensemble des primitives > > Si une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par : > > $ \{ F(x) + C \mid C \in \mathbb{R} \} $ > > où $C$ est appelée la **constante d'intégration**. **Notation :** L'ensemble des primitives de $f$ est souvent noté $\int f(x) dx$. C'est l'**intégrale indéfinie** de $f$. Le symbole $\int$ est appelé le signe somme ou signe intégral. > [!warning] Attention > Le concept de primitive est défini sur un **intervalle**. Si le domaine de définition de $f$ n'est pas un intervalle (par exemple, $\mathbb{R}^*$), alors la constante d'intégration peut être différente sur chaque intervalle composant le domaine. > Par exemple, les primitives de $f(x) = 1/x$ sur $\mathbb{R}^*$ sont de la forme : > $ F(x) = \begin{cases} \ln(x) + C_1 & \text{si } x > 0 \\ \ln(-x) + C_2 & \text{si } x < 0 \end{cases} $ > où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles qui peuvent être différentes. Cependant, dans la pratique courante, on écrit souvent $\ln|x| + C$ en sous-entendant que $C$ est la même constante sur chaque intervalle. --- ## II. Primitives Usuelles La recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation. Par conséquent, pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de "lire à l'envers" notre tableau des dérivées. > [!tip] Astuce > Pour mémoriser les primitives usuelles, il est plus efficace de connaître parfaitement le tableau des dérivées et d'en déduire les primitives par inversion. Voici un tableau récapitulatif des primitives des fonctions usuelles, où $C$ désigne une constante réelle arbitraire. | Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Conditions / Domaine | | :---------------------------------- | :------------------------ | :------------------------------------------------------------------------- | | $k$ (constante) | $kx + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \in \mathbb{R}, n \neq -1, x \in \mathbb{R}^+$ si $n \notin \mathbb{N}$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln(\lvert x \rvert)+C$ | $x \in \mathbb{R}^*$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $a^x$ ($a>0, a \neq 1$) | $\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)$ | $\tan(x) + C$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\frac{1}{\sin^2(x)} = 1+\cot^2(x)$ | $-\cot(x) + C$ | $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin(x) + C$ | $x \in ]-1, 1[$ | | $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cosh(x)$ | $\sinh(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sinh(x)$ | $\cosh(x) + C$ | $x \in \mathbb{R}$ | > [!example] Application du tableau > > 1. Une primitive de $f(x) = x^3$ est $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$. > 2. Une primitive de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ est $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$. > 3. Une primitive de $f(x) = e^x$ est $F(x) = e^x + C$. --- ## III. Propriétés des Primitives Les primitives partagent des propriétés similaires à celles des dérivées, notamment en ce qui concerne la linéarité. > [!theorem] Théorème : Linéarité de la primitivation > Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$, et soient $\lambda$ et $\mu$ deux constantes réelles. > Alors la fonction $\lambda f + \mu g$ admet des primitives sur $I$, et une primitive est donnée par : > $ \int (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int f(x) dx + \mu \int g(x) dx = \lambda F(x) + \mu G(x) + C $ > En d'autres termes : > 1. La primitive d'une somme est la somme des primitives : > $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.$ > 2. La primitive d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la primitive de la fonction : > $\int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx.$ > [!example] Exemple d'application de la linéarité > Calculons une primitive de $h(x) = 3x^2 - 5\sin(x) + 2$. > > D'après la propriété de linéarité : > $ \int (3x^2 - 5\sin(x) + 2) dx = 3 \int x^2 dx - 5 \int \sin(x) dx + \int 2 dx $ > En utilisant les primitives usuelles : > $ = 3 \left(\frac{x^3}{3}\right) - 5 (-\cos(x)) + 2x + C $ > $ = x^3 + 5\cos(x) + 2x + C $ > On peut vérifier ce résultat en dérivant $F(x) = x^3 + 5\cos(x) + 2x + C$ : > $F'(x) = 3x^2 + 5(-\sin(x)) + 2 = 3x^2 - 5\sin(x) + 2 = h(x)$. Le calcul est correct. > [!theorem] Théorème : Primitivation d'une fonction composée avec une fonction affine > Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ des constantes réelles avec $a \neq 0$. > Alors la fonction $x \mapsto f(ax+b)$ admet une primitive sur tout intervalle où $ax+b$ est dans $I$, donnée par : > $ \int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C $ > [!example] Exemple d'application de la composition affine > > 1. Calculer une primitive de $f(x) = \cos(2x+3)$. > On sait qu'une primitive de $\cos(u)$ est $\sin(u)$. Ici $u = 2x+3$, donc $a=2$. > $ \int \cos(2x+3) dx = \frac{1}{2} \sin(2x+3) + C $ > 2. Calculer une primitive de $g(x) = e^{-x+1}$. > On sait qu'une primitive de $e^u$ est $e^u$. Ici $u = -x+1$, donc $a=-1$. > $ \int e^{-x+1} dx = \frac{1}{-1} e^{-x+1} + C = -e^{-x+1} + C $ > [!warning] Attention > Contrairement à la dérivation, il n'existe **pas** de règle simple pour la primitive d'un produit ou d'un quotient de fonctions. > Par exemple, $\int f(x)g(x) dx \neq \int f(x) dx \times \int g(x) dx$. > Des techniques plus avancées comme l'**intégration par parties** (pour les produits) ou les **changements de variable** (pour certaines compositions) seront étudiées dans le chapitre suivant pour traiter ces cas. --- ## IV. Techniques de Recherche de Primitives (par reconnaissance de formes) Au-delà des primitives usuelles et de la linéarité, une méthode très courante consiste à reconnaître des formes de fonctions qui sont la dérivée d'une fonction composée. C'est l'inverse de l'application de la règle de dérivation en chaîne. > [!tip] Astuce : Reconnaître les formes $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc. > En identifiant une partie de la fonction comme la dérivée d'une autre partie, on peut souvent ramener la primitivation à une forme usuelle. Voici les formes les plus courantes à reconnaître : | Forme de $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Conditions | | :-------------------------- | :----------------------------- | :------------ | | $u'(x) [u(x)]^n$ | $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | | $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln(\lvert u(x) \rvert)+C$ | $u(x) \neq 0$ | | $u'(x) e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} + C$ | | | $u'(x) \cos(u(x))$ | $\sin(u(x)) + C$ | | | $u'(x) \sin(u(x))$ | $-\cos(u(x)) + C$ | | | $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ | $2\sqrt{u(x)} + C$ | $u(x) > 0$ | | $\frac{u'(x)}{1+[u(x)]^2}$ | $\arctan(u(x)) + C$ | | > [!example] Exemples de recherche par reconnaissance > > 1. Calculer une primitive de $f(x) = (2x+1)(x^2+x+5)^3$. > Posons $u(x) = x^2+x+5$. Alors $u'(x) = 2x+1$. > La fonction $f(x)$ est de la forme $u'(x) [u(x)]^3$. > Une primitive est donc $\frac{[u(x)]^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x^2+x+5)^4}{4} + C$. > 2. Calculer une primitive de $g(x) = \frac{3x^2+2}{x^3+2x-1}$. > Posons $u(x) = x^3+2x-1$. Alors $u'(x) = 3x^2+2$. > La fonction $g(x)$ est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$. > Une primitive est donc $\ln|u(x)| + C = \ln|x^3+2x-1| + C$. > > 3. Calculer une primitive de $h(x) = x e^{x^2}$. > On cherche une forme $u'(x)e^{u(x)}$. > Posons $u(x) = x^2$. Alors $u'(x) = 2x$. > On a $h(x) = \frac{1}{2} (2x) e^{x^2} = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$. > En utilisant la linéarité, une primitive est $\frac{1}{2} e^{u(x)} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$. > > 4. Calculer une primitive de $k(x) = \frac{1}{\sqrt{4x-3}}$. > On cherche une forme $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$. > Posons $u(x) = 4x-3$. Alors $u'(x) = 4$. > On a $k(x) = \frac{1}{4} \frac{4}{\sqrt{4x-3}} = \frac{1}{4} \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$. > Une primitive est $\frac{1}{4} (2\sqrt{u(x)}) + C = \frac{1}{2}\sqrt{4x-3} + C$. # ➡️ C'est la fin --- - Cours précèdent: `cours-de-départ` - Prochain cours: [[Cours 2 - Primitives et intégrales]] - Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]