%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 1 - Primitives et intégrales\|← Cours 1 - Primitives et intégrales]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Exercices - Primitives et intégrales\|Exercices - Primitives et intégrales →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Primitives et intégrales : IPP et changement de variable >[!example] Contenu du cours Dans ce cours, nous abordons les notions suivantes : > - Intégration par parties > - Changement de variable Ce chapitre est conçu pour vous doter des outils essentiels pour aborder une classe plus large de fonctions. Nous allons approfondir deux méthodes fondamentales : 1. **L'Intégration par Parties (IPP)** : Une technique élégante dérivée de la règle de dérivation d'un produit, permettant de transformer une intégrale difficile en une intégrale plus gérable. 2. **Le Changement de Variables** : Une méthode puissante qui simplifie l'intégrande en substituant une partie de l'expression par une nouvelle variable, souvent en s'appuyant sur la règle de dérivation en chaîne. # Intégration par Parties (IPP) L'intégration par parties est une technique fondamentale qui découle directement de la règle de dérivation d'un produit de fonctions. Elle permet de transformer une intégrale en une autre, potentiellement plus simple à calculer. ## Dérivation d'un produit Soient $u(x)$ et $v(x)$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. La dérivée de leur produit est donnée par : $ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ En intégrant les deux membres de cette égalité par rapport à $x$, nous obtenons : $ \int (u(x)v(x))' dx = \int u'(x)v(x) dx + \int u(x)v'(x) dx $ Le membre de gauche est simplement $u(x)v(x)$ (à une constante près). On peut donc réarranger l'équation pour isoler l'une des intégrales : $ u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) dx + \int u(x)v'(x) dx $ ## Formule d'Intégration par Parties > [!theorem] Théorème (Formule d'intégration par parties) > Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$. Alors : > $ \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $ > Pour les intégrales définies sur un intervalle $[a, b]$ : > $ \int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx $ > où $[u(x)v(x)]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$. ## Stratégie de choix pour $u(x)$ et $v'(x)$ Le succès de l'IPP dépend crucialement du bon choix des fonctions $u(x)$ et $v'(x)$. L'objectif est de rendre l'intégrale $\int u'(x)v(x) dx$ plus simple à calculer que l'intégrale de départ $\int u(x)v'(x) dx$. > [!note] Remarque (Règle heuristique de choix : LIATE/ILATE) > Une règle empirique souvent utile pour choisir $u(x)$ est l'ordre **LIATE** (ou ILATE) : > > 1. **L**ogarithmique : $\ln(x)$, $\log_b(x)$ > 2. **I**nverse trigonométrique : $\arcsin(x)$, $\arctan(x)$ > 3. **A**lgébrique : $x^n$, polynômes > 4. **T**rigonométrique : $\sin(x)$, $\cos(x)$ > 5. **E**xponentielle : $e^x$, $a^x$ > > La fonction qui apparaît le plus tôt dans cette liste est généralement un bon candidat pour $u(x)$, car sa dérivée $u'(x)$ est souvent plus simple, ou elle se "simplifie" dans le processus. La fonction restante sera $v'(x)$. > [!example] Exemple 1 (IPP simple) > Calculons $\int x e^x dx$. > > En suivant la règle LIATE : $x$ est Algébrique (A), $e^x$ est Exponentielle (E). A vient avant E. > Choisissons : > - $u(x) = x \implies u'(x) = 1$ > - $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$ > > En appliquant la formule d'IPP : > $ \int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx $ > $ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C $ > $ \int x e^x dx = e^x(x-1) + C $ > [!example] Exemple 2 (IPP simple) > Calculer $\int \ln(x) dx$. > > 4. **Choix de $u$ et $v'$ :** > * On peut écrire $\ln(x)$ comme $1 \cdot \ln(x)$. > * Selon LIATE, $\ln(x)$ est logarithmique (L) et $1$ est algébrique (A). L vient avant A. > * On choisit donc $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$. > 5. **Calcul de $u'$ et $v$ :** > * $u'(x) = \frac{1}{x}$ > * $v(x) = \int 1 dx = x$ > 6. **Application de la formule :** > $ \int \ln(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $ > $ = \ln(x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx $ > $ = x \ln(x) - \int 1 dx $ > $ = x \ln(x) - x + C $ > [!example] Exemple 3 (IPP itérative) > Calculons $\int x^2 \cos(x) dx$. > > $x^2$ est Algébrique (A), $\cos(x)$ est Trigonométrique (T). A vient avant T. > Première IPP : > - $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$ > - $v'(x) = \cos(x) \implies v(x) = \sin(x)$ > > $ \int x^2 \cos(x) dx = x^2 \sin(x) - \int 2x \sin(x) dx $ > La nouvelle intégrale $\int 2x \sin(x) dx$ nécessite une deuxième IPP. > Pour $\int 2x \sin(x) dx$ : > - $u(x) = 2x \implies u'(x) = 2$ > - $v'(x) = \sin(x) \implies v(x) = -\cos(x)$ > > $ \int 2x \sin(x) dx = 2x(-\cos(x)) - \int 2(-\cos(x)) dx $ > $ \int 2x \sin(x) dx = -2x \cos(x) + 2 \int \cos(x) dx $ > $ \int 2x \sin(x) dx = -2x \cos(x) + 2 \sin(x) + C_1 $ > > En substituant ce résultat dans l'équation de la première IPP : > $ \int x^2 \cos(x) dx = x^2 \sin(x) - (-2x \cos(x) + 2 \sin(x)) + C $ > $ \int x^2 \cos(x) dx = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C $ > [!example] Exemple 4 (IPP "circulaire" ou pour retrouver la fonction de départ) > Calculons $\int e^x \sin(x) dx$. > > Il n'y a pas de choix évident avec LIATE car E et T sont proches. Essayons : > Première IPP : > - $u(x) = \sin(x) \implies u'(x) = \cos(x)$ > - $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$ > > $ I = \int e^x \sin(x) dx = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) dx $ > La nouvelle intégrale $\int e^x \cos(x) dx$ nécessite une deuxième IPP. > Pour $\int e^x \cos(x) dx$ : > - $u(x) = \cos(x) \implies u'(x) = -\sin(x)$ > - $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$ > > $ \int e^x \cos(x) dx = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) dx $ > $ \int e^x \cos(x) dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) dx $ > > On remarque que la dernière intégrale est l'intégrale de départ $I$. > En substituant dans la première équation : > $ I = e^x \sin(x) - (e^x \cos(x) + I) $ > $ I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) - I $ > Maintenant, nous pouvons résoudre pour $I$ : > $ 2I = e^x (\sin(x) - \cos(x)) $ > $ I = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C $ > [!warning] Attention (Pièges courants) > * **Mauvais choix de $u$ et $v'$** : Un mauvais choix peut rendre la nouvelle intégrale plus complexe. Par exemple, si vous choisissez $u(x) = e^x$ et $v'(x) = x$ dans $\int x e^x dx$, vous obtiendrez $x^2/2 e^x - \int x^2/2 e^x dx$, ce qui est plus compliqué. > * **Oublier le signe moins** : La formule contient un signe moins crucial. > * **Oublier la constante d'intégration** : Pour les primitives, n'oubliez jamais le $+C$. > * **Erreurs de calcul** : La dérivation de $u$ et la primitivation de $v'$ doivent être exactes. # Changement de Variables Le changement de variables est une technique puissante qui permet de simplifier une intégrale en la transformant en une nouvelle intégrale avec une nouvelle variable. Cette méthode est l'équivalent de la règle de dérivation en chaîne pour l'intégration. ## Règle de dérivation en chaîne Soit $F$ une fonction dérivable et $g$ une fonction dérivable. La dérivée de la fonction composée $F(g(x))$ est : $ (F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) $ Si $F'(u) = f(u)$, alors $f(g(x))g'(x)$ est la dérivée de $F(g(x))$. Par conséquent, la primitive de $f(g(x))g'(x)$ est $F(g(x))$. ## Formule de Changement de Variables > [!theorem] Théorème (Formule de changement de variables pour les primitives) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $J$, et soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ telle que $g(I) \subseteq J$. Alors, pour calculer $\int f(g(x))g'(x) dx$, on peut poser $u = g(x)$. > Dans ce cas, $du = g'(x) dx$. L'intégrale devient : > $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $ > Après avoir calculé la primitive en $u$, on substitue $u$ par $g(x)$ pour retrouver la primitive en $x$. > [!note] Remarque (Changement de bornes pour les intégrales définies) > Pour une intégrale définie $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx$, le changement de variables $u = g(x)$ implique également un changement des bornes d'intégration : > $ \int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $ > C'est un point crucial à ne pas oublier pour les intégrales définies. ## Stratégie pour le Changement de Variables 1. **Identifier une partie de l'intégrande** dont la dérivée apparaît (ou peut être facilement ajustée pour apparaître) dans le reste de l'intégrande. C'est souvent une fonction "intérieure" d'une fonction composée. 2. **Poser $u$ égal à cette partie**. 3. **Calculer $du$** en dérivant $u$ par rapport à $x$ et en multipliant par $dx$ (c'est-à-dire $du = u'(x) dx$). 4. **Substituer** toutes les occurrences de $x$ et $dx$ par des expressions en $u$ et $du$. 5. **Calculer la nouvelle intégrale** en $u$. 6. **Substituer $u$ par son expression en $x$** pour obtenir le résultat final (pour les primitives). > [!warning] Changement des bornes pour les intégrales définies > Si vous effectuez un changement de variable pour une intégrale **définie** $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx$, vous **devez** changer les bornes d'intégration. > * Si $x=a$, alors $u = g(a)$. > * Si $x=b$, alors $u = g(b)$. > L'intégrale devient alors $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$. Cela évite l'étape de re-substitution. > [!example] Exemple 1 (Changement de variable simple) > Calculons $\int (2x+1)^3 dx$. > > Posons $u = 2x+1$. > Alors $du = 2 dx \implies dx = \frac{1}{2} du$. > > L'intégrale devient : > $ \int u^3 \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int u^3 du $ > $ = \frac{1}{2} \left(\frac{u^4}{4}\right) + C $ > $ = \frac{u^4}{8} + C $ > En substituant $u$ par $2x+1$ : > $ = \frac{(2x+1)^4}{8} + C $ > [!example] Exemple 2 (Changement de variable avec ajustement de constante) > Calculons $\int x \sqrt{x^2+1} dx$. > > Posons $u = x^2+1$. > Alors $du = 2x dx$. Nous avons $x dx$ dans l'intégrale, donc $x dx = \frac{1}{2} du$. > > L'intégrale devient : > $ \int \sqrt{u} \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du $ > $ = \frac{1}{2} \left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + C $ > $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C $ > $ = \frac{1}{3} u^{3/2} + C $ > En substituant $u$ par $x^2+1$ : > $ = \frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + C $ > [!example] Exemple 3 (Changement de variable trigonométrique implicite) > Calculons $\int \frac{\cos(\ln x)}{x} dx$. > > Posons $u = \ln x$. > Alors $du = \frac{1}{x} dx$. > > L'intégrale devient : > $ \int \cos(u) du $ > $ = \sin(u) + C $ > En substituant $u$ par $\ln x$ : > $ = \sin(\ln x) + C $ > [!tip] Astuce : Reconnaître les formes $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc. > En identifiant une partie de la fonction comme la dérivée d'une autre partie, on peut souvent ramener la primitivation à une forme usuelle. Voici les formes les plus courantes à reconnaître : | Forme de $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Conditions | | :-------------------------- | :----------------------------- | :------------ | | $u'(x) [u(x)]^n$ | $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | | $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln(\lvert u(x) \rvert)+C$ | $u(x) \neq 0$ | | $u'(x) e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} + C$ | | | $u'(x) \cos(u(x))$ | $\sin(u(x)) + C$ | | | $u'(x) \sin(u(x))$ | $-\cos(u(x)) + C$ | | | $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ | $2\sqrt{u(x)} + C$ | $u(x) > 0$ | | $\frac{u'(x)}{1+[u(x)]^2}$ | $\arctan(u(x)) + C$ | | > [!example] Exemples de recherche par reconnaissance > > 1. Calculer une primitive de $f(x) = (2x+1)(x^2+x+5)^3$. > Posons $u(x) = x^2+x+5$. Alors $u'(x) = 2x+1$. > La fonction $f(x)$ est de la forme $u'(x) [u(x)]^3$. > Une primitive est donc $\frac{[u(x)]^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x^2+x+5)^4}{4} + C$. > 2. Calculer une primitive de $g(x) = \frac{3x^2+2}{x^3+2x-1}$. > Posons $u(x) = x^3+2x-1$. Alors $u'(x) = 3x^2+2$. > La fonction $g(x)$ est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$. > Une primitive est donc $\ln|u(x)| + C = \ln|x^3+2x-1| + C$. > > 3. Calculer une primitive de $h(x) = x e^{x^2}$. > On cherche une forme $u'(x)e^{u(x)}$. > Posons $u(x) = x^2$. Alors $u'(x) = 2x$. > On a $h(x) = \frac{1}{2} (2x) e^{x^2} = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$. > En utilisant la linéarité, une primitive est $\frac{1}{2} e^{u(x)} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$. > > 4. Calculer une primitive de $k(x) = \frac{1}{\sqrt{4x-3}}$. > On cherche une forme $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$. > Posons $u(x) = 4x-3$. Alors $u'(x) = 4$. > On a $k(x) = \frac{1}{4} \frac{4}{\sqrt{4x-3}} = \frac{1}{4} \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$. > Une primitive est $\frac{1}{4} (2\sqrt{u(x)}) + C = \frac{1}{2}\sqrt{4x-3} + C$. # ➡️ C'est la fin ! ## Résumé du cours ![[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Ressources - Primitives et intégrales/Primitives et intégrales.pdf]] * **L'Intégration par Parties** est votre alliée quand vous avez un produit de fonctions, transformant $\int u v' dx$ en $uv - \int u' v dx$. Le choix judicieux de $u$ et $v'$ est la clé du succès. * **Le Changement de Variables** est une méthode de simplification, où la substitution $u=g(x)$ et $du=g'(x)dx$ peut transformer une intégrale complexe $\int f(g(x))g'(x) dx$ en une plus simple $\int f(u) du$. --- - Cours précèdent: [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 1 - Primitives et intégrales|Cours 1 - Primitives et intégrales]] - Prochain cours: [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Exercices - Primitives et intégrales|Exercices - Primitives et intégrales]] - Page d'accueil de la compétence: [[Analyse et Données/Mathématiques/Intégrales rationnelles/Intégrales rationnelles|Intégrales rationnelles]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 1 - Primitives et intégrales\|← Cours 1 - Primitives et intégrales]] | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Exercices - Primitives et intégrales\|Exercices - Primitives et intégrales →]] | > |:---|---:| %% nav-fin %%