# ▷ L'intégrale > Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours ## I. Rappels sur les Primitives Avant de plonger dans les intégrales, rappelons brièvement la notion de primitive, qui est un pré-requis essentiel. > [!definition] Primitive > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$. > [!note] Unicité à une constante près > Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute autre primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. > On note souvent l'ensemble des primitives de $f$ par $\int f(x) dx$. C'est ce qu'on appelle l'**intégrale indéfinie**. **Exemple :** Si $f(x) = x^2$, alors $F(x) = \frac{x^3}{3}$ est une primitive de $f$ car $F'(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2$. Toutes les primitives de $f(x) = x^2$ sont de la forme $\frac{x^3}{3} + C$. --- ## II. L'Intégrale Définie : Définition et Interprétation Géométrique L'intégrale définie est le concept central de ce chapitre. Elle permet de calculer l'aire sous une courbe, entre autres applications. ### 1. Problème de l'aire et sommes de Riemann Imaginons que nous voulions calculer l'aire sous la courbe d'une fonction $f$ positive sur un intervalle $[a, b]$. L'idée intuitive est d'approximer cette aire par une somme d'aires de rectangles. 1. **Subdivision de l'intervalle :** On divise l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur égale $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. 2. **Construction de rectangles :** Sur chaque sous-intervalle $[x_i, x_{i+1}]$, on construit un rectangle dont la hauteur est donnée par la valeur de la fonction en un point de cet intervalle (par exemple, au début $f(x_i)$, à la fin $f(x_{i+1})$, ou au milieu). 3. **Somme des aires :** L'aire totale est alors approximée par la somme des aires de ces rectangles. > [!example] Approximation de l'aire > Pour une fonction $f$ positive sur $[a, b]$, si on utilise la hauteur $f(x_i)$ (point gauche de chaque sous-intervalle), la somme des aires des rectangles est : > $ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $ > Où $x_i = a + i \Delta x$. C'est une **somme de Riemann gauche**. > On peut aussi utiliser $f(x_{i+1})$ pour les **sommes de Riemann droites**, ou d'autres points. > [!note] L'idée clé > Plus le nombre de subdivisions $n$ est grand (et donc $\Delta x$ est petit), meilleure est l'approximation de l'aire sous la courbe. L'intégrale est la limite de ces sommes lorsque $n \to \infty$. ### 2. Définition de l'intégrale définie > [!definition] Intégrale Définie (Intégrale de Riemann) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. L'**intégrale définie** de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro (ou le nombre de subdivisions tend vers l'infini) : > $ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $ > Où $x_i = a + i \Delta x$ et $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. > > - $a$ est la **borne inférieure** de l'intégration. > - $b$ est la **borne supérieure** de l'intégration. > - $f(x)$ est la **fonction à intégrer** (ou intégrand). > - $dx$ indique que l'intégration se fait par rapport à la variable $x$. > [!note] Existence de l'intégrale > Pour les fonctions continues sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$, l'intégrale de Riemann existe toujours. ### 3.a. Première forme du TFA (Fonction de borne supérieure) > [!theorem] Théorème Fondamental de l'Analyse (Partie 1) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tout $a \in I$, la fonction $F$ définie par : > $ F(x) = \int_a^x f(t) dt $ > est une primitive de $f$ sur $I$. Autrement dit, $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$. > [!note] Explication > Cette partie du théorème nous dit que l'opération d'intégration "annule" l'opération de dérivation (au sens où la dérivée d'une intégrale est la fonction originale). Elle garantit l'existence d'une primitive pour toute fonction continue. ### 3.b. Deuxième forme du TFA (Formule de Newton-Leibniz) C'est la forme la plus utilisée pour le calcul pratique. > [!theorem] Théorème Fondamental de l'Analyse (Partie 2 - Formule de Newton-Leibniz) > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, et soit $F$ n'importe quelle primitive de $f$ sur $[a, b]$. Alors : > $ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $ > [!tip] Comment appliquer la formule de Newton-Leibniz > 1. Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$. (La constante $C$ n'est pas nécessaire car elle s'annule : $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$). > 2. Évaluer cette primitive aux bornes supérieure ($b$) et inférieure ($a$). > 3. Soustraire la valeur à la borne inférieure de la valeur à la borne supérieure. > [!example] Calcul d'intégrale avec le TFA > Calculons $\int_1^2 x^2 dx$. > - Une primitive de $f(x) = x^2$ est $F(x) = \frac{x^3}{3}$. > - Appliquons la formule : > $ \int_1^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $ > [!example] Autre exemple > Calculer $\int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$. > - Une primitive de $f(x) = \cos(x)$ est $F(x) = \sin(x)$. > - Appliquons la formule : > $ \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx = [\sin(x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $ ### 4. Interprétation Géométrique > [!tip] L'intégrale comme aire > Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ représente l'**aire de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=a$ et $x=b$**. > > Si $f(x)$ prend des valeurs négatives sur $[a, b]$, l'intégrale représente une **aire algébrique** : > - Les régions où $f(x) > 0$ contribuent positivement à l'intégrale. > - Les régions où $f(x) < 0$ contribuent négativement à l'intégrale. > > Ainsi, $\int_a^b f(x) dx$ est la somme des aires des régions au-dessus de l'axe des $x$ moins la somme des aires des régions en dessous de l'axe des $x$. > [!example] Interprétation avec des aires négatives > Soit $f(x) = x$ sur l'intervalle $[-1, 1]$. > - Sur $[-1, 0]$, $f(x)$ est négative. L'aire du triangle sous l'axe est $A_1 = \frac{1 \times 1}{2} = 0.5$. La contribution à l'intégrale sera $-0.5$. > - Sur $[0, 1]$, $f(x)$ est positive. L'aire du triangle au-dessus de l'axe est $A_2 = \frac{1 \times 1}{2} = 0.5$. La contribution à l'intégrale sera $+0.5$. > L'intégrale $\int_{-1}^1 x dx = -0.5 + 0.5 = 0$. --- ## III. Propriétés Fondamentales de l'Intégrale Les intégrales définies possèdent plusieurs propriétés importantes qui facilitent leur manipulation et leur calcul. ### 1. Linéarité > [!theorem] Propriété de Linéarité > Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$, et $\lambda, \mu$ deux constantes réelles. Alors : > 1. **Additivité :** $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ > 2. **Homogénéité :** $\int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx$ > > Ces deux propriétés peuvent être combinées : > $ \int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx + \mu \int_a^b g(x) dx $ > [!example] Application de la linéarité > Calculer $\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx$. > En utilisant la linéarité : > $\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx = 3 \int_0^1 x^2 dx + 2 \int_0^1 x dx$. > (Nous verrons comment calculer ces intégrales dans la section suivante). ### 2. Inversion des bornes > [!theorem] Inversion des bornes > $ \int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx $ > > Si $a=b$, alors $\int_a^a f(x) dx = 0$. (L'aire sous un point est nulle). ### 3. Relation de Chasles (Additivité par rapport à l'intervalle) > [!theorem] Relation de Chasles > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a, b, c$. Alors : > $ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $ > > Cette propriété est très utile pour découper un intervalle d'intégration, par exemple si la fonction change de définition ou de signe. ### 4. Propriétés d'ordre (Positivité et Croissance) > [!theorem] Positivité de l'intégrale > Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \ge 0 $ > > Si $f(x) \le 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \le 0 $ > [!theorem] Croissance de l'intégrale > Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : > $ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx $ > [!warning] Attention > L'intégrale d'une fonction positive n'est pas toujours strictement positive. Par exemple, $\int_0^1 0 dx = 0$. > Si $f(x) > 0$ sur $[a, b]$ et $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx > 0$. ### 5. Intégrales de fonctions paires et impaires sur un intervalle symétrique Ces propriétés sont des raccourcis précieux pour le calcul d'intégrales sur des intervalles de la forme $[-a, a]$. > [!definition] Fonctions paires et impaires > - Une fonction $f$ est **paire** si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de son domaine (ex: $x^2, \cos(x)$). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. > - Une fonction $f$ est **impaire** si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de son domaine (ex: $x^3, \sin(x)$). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. > [!theorem] Intégrales de fonctions paires/impaires > Soit $f$ une fonction continue sur $[-a, a]$ : > 1. Si $f$ est **paire** : $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ > 2. Si $f$ est **impaire** : $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ > [!example] Application de la parité > - $\int_{-1}^1 x^3 dx = 0$ car $f(x) = x^3$ est impaire. > - $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$. --- ## IV. Valeur Moyenne d'une Fonction L'intégrale permet également de définir la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. > [!definition] Valeur Moyenne d'une Fonction > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ avec $a < b$. La **valeur moyenne** de $f$ sur $[a, b]$, notée $\bar{f}$ ou $\mu$, est donnée par : > $ \bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $ > [!note] Interprétation Géométrique > La valeur moyenne $\bar{f}$ est la hauteur d'un rectangle de base $(b-a)$ qui aurait la même aire que la région sous la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$. > Aire sous $f$ = $\int_a^b f(x) dx$ > Aire du rectangle = $\bar{f} \times (b-a)$ > Donc, $\int_a^b f(x) dx = \bar{f} (b-a)$. > [!theorem] Théorème de la Valeur Moyenne pour les Intégrales > Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$, alors il existe au moins un point $c \in [a, b]$ tel que : > $ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $ > Autrement dit, la fonction atteint sa valeur moyenne à un certain point de l'intervalle. > [!example] Calcul de la valeur moyenne > Calculons la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[1, 2]$. > On a déjà calculé $\int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3}$. > L'intervalle est $[1, 2]$, donc $b-a = 2-1 = 1$. > $ \bar{f} = \frac{1}{1} \int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3} $ > Il existe donc un $c \in [1, 2]$ tel que $c^2 = \frac{7}{3}$, soit $c = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1.527$. Ce $c$ est bien dans l'intervalle $[1, 2]$. # ➡️ C'est la fin --- - Cours précèdent: [[Cours 1 - Primitives et intégrales]] - Prochain cours: [[Cours 3 - Primitives et intégrales]] - Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]