# ▷ Méthodes de primitivation > Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] >[!tip] Tags >[!note] Fil directeur >[!example] Contenu du cours ## 1. Rappels sur les Primitives et l'Intégrale Définie Avant de plonger dans les méthodes, faisons un bref rappel des concepts clés. > [!definition] Primitive > Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$. > Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle. On note l'ensemble des primitives $\int f(x) dx$. > [!definition] Intégrale Définie > Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $F$ une de ses primitives. L'**intégrale définie** de $f$ de $a$ à $b$ est donnée par : > $ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $ > Cette valeur représente l'aire algébrique entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. --- ## 2. Intégration par Parties (IPP) L'intégration par parties est une technique qui dérive directement de la formule de dérivation d'un produit de fonctions. Elle est particulièrement utile lorsque l'intégrande est un produit de deux fonctions de types différents (par exemple, un polynôme et une exponentielle, ou un logarithme et un polynôme). ### 2.1. Principe et Formule Rappelons la règle de dérivation d'un produit de deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ : $ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ Intégrons cette égalité sur un intervalle $[a,b]$ : $ \int_a^b (u(x)v(x))' dx = \int_a^b u'(x)v(x) dx + \int_a^b u(x)v'(x) dx $ Le terme de gauche est simplement $[u(x)v(x)]_a^b$. En réarrangeant les termes, on obtient la formule d'intégration par parties pour les intégrales définies : > [!theorem] Formule d'Intégration par Parties (IPP) > Soient $u$ et $v$ deux fonctions continûment dérivables sur un intervalle $[a,b]$. Alors : > $ \int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx $ > Pour les intégrales indéfinies (recherche de primitives), la formule s'écrit : > $ \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $ > (La constante d'intégration est implicitement incluse dans la dernière intégrale.) L'idée est de transformer une intégrale difficile $\int u v' dx$ en une autre intégrale (potentiellement plus simple) $\int u' v dx$. ### 2.2. Choix des Fonctions $u$ et $v'$ Le succès de l'IPP dépend crucialement du bon choix des fonctions $u(x)$ et $v'(x)$. L'objectif est que $\int u'v dx$ soit plus facile à calculer que $\int uv' dx$. > [!tip] Règle mnémotechnique pour le choix de $u$ (et donc $v'$) > Une règle empirique, souvent appelée **LIATE** (ou ILATE), aide à choisir $u$ dans l'ordre de priorité suivant : > 1. **L**ogarithmiques ($\ln x$, $\log x$) > 2. **I**nverses trigonométriques ($\arcsin x$, $\arctan x$) > 3. **A**lgébriques (polynômes : $x^n$) > 4. **T**rigonométriques ($\sin x$, $\cos x$) > 5. **E**xponentielles ($e^x$, $a^x$) > > La fonction qui apparaît le plus tôt dans cette liste devrait être choisie comme $u$. La fonction restante sera $v'$. > > **Pourquoi cet ordre ?** > * Les fonctions logarithmiques et inverses trigonométriques deviennent souvent plus simples après dérivation. > * Les fonctions algébriques (polynômes) se simplifient à chaque dérivation (leur degré diminue). > * Les fonctions trigonométriques et exponentielles ne se simplifient pas vraiment par dérivation, mais leurs primitives sont simples à trouver. ### 2.3. Exemples d'Application > [!example] Exemple 1 : Intégrale d'un produit polynôme-exponentielle > Calculer $\int x e^x dx$. > > 1. **Choix de $u$ et $v'$ :** > * Selon LIATE, $x$ est algébrique (A) et $e^x$ est exponentielle (E). A vient avant E. > * On choisit donc $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$. > 2. **Calcul de $u'$ et $v$ :** > * $u'(x) = 1$ > * $v(x) = \int e^x dx = e^x$ (on ne met pas la constante d'intégration ici, elle sera gérée à la fin) > 3. **Application de la formule :** > $ \int x e^x dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $ > $ = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx $ > $ = x e^x - e^x + C $ > $ = (x-1)e^x + C $ > [!example] Exemple 2 : Intégrale d'un logarithme > Calculer $\int \ln(x) dx$. > > 4. **Choix de $u$ et $v'$ :** > * On peut écrire $\ln(x)$ comme $1 \cdot \ln(x)$. > * Selon LIATE, $\ln(x)$ est logarithmique (L) et $1$ est algébrique (A). L vient avant A. > * On choisit donc $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$. > 5. **Calcul de $u'$ et $v$ :** > * $u'(x) = \frac{1}{x}$ > * $v(x) = \int 1 dx = x$ > 6. **Application de la formule :** > $ \int \ln(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx $ > $ = \ln(x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx $ > $ = x \ln(x) - \int 1 dx $ > $ = x \ln(x) - x + C $ > [!example] Exemple 3 : IPP Récursive (pour les plus téméraires) > Calculer $\int e^x \cos(x) dx$. > > 7. **Première IPP :** > * Choix : $u(x) = \cos(x)$ (T) et $v'(x) = e^x$ (E). T vient avant E. > * $u'(x) = -\sin(x)$, $v(x) = e^x$. > $ I = \int e^x \cos(x) dx = e^x \cos(x) - \int (-\sin(x)) e^x dx $ > $ I = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) dx $ > 8. **Deuxième IPP sur la nouvelle intégrale :** > * Calculons $J = \int e^x \sin(x) dx$. > * Choix : $u(x) = \sin(x)$ (T) et $v'(x) = e^x$ (E). > * $u'(x) = \cos(x)$, $v(x) = e^x$. > $ J = e^x \sin(x) - \int \cos(x) e^x dx $ > $ J = e^x \sin(x) - I $ > 9. **Substitution et résolution pour $I$ :** > $ I = e^x \cos(x) + (e^x \sin(x) - I) $ > $ 2I = e^x (\cos(x) + \sin(x)) $ > $ I = \frac{1}{2} e^x (\cos(x) + \sin(x)) + C $ > > Ce type d'IPP est dit récursif car l'intégrale originale réapparaît dans le calcul. > [!note] Points importants pour l'IPP > * L'IPP est particulièrement utile pour les produits de fonctions de natures différentes. > * Le choix de $u$ et $v'$ est crucial. Une mauvaise sélection peut rendre l'intégrale plus complexe. > * N'oubliez pas les crochets $[u(x)v(x)]_a^b$ pour les intégrales définies. > * Pour les intégrales indéfinies, la constante $C$ est ajoutée à la fin. --- ## 3. Changement de Variable (Substitution) Le changement de variable est une technique puissante qui découle de la règle de dérivation en chaîne. Elle est utilisée pour simplifier une intégrale en la transformant en une nouvelle intégrale avec une nouvelle variable, souvent plus facile à calculer. ### 3.1. Principe et Formule Rappelons la règle de dérivation en chaîne : si $F(u)$ est une fonction dérivable de $u$, et $u=g(x)$ est une fonction dérivable de $x$, alors la dérivée de $F(g(x))$ par rapport à $x$ est : $ \frac{d}{dx} [F(g(x))] = F'(g(x))g'(x) $ En d'autres termes, si $F'(u) = f(u)$, alors $(F(g(x)))' = f(g(x))g'(x)$. Intégrons cette égalité : $ \int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C $ Si on pose $u = g(x)$, alors $du = g'(x)dx$. La formule devient : $ \int f(u) du = F(u) + C $ Ceci nous donne la formule du changement de variable. > [!theorem] Formule de Changement de Variable > Soit $f$ une fonction continue et $g$ une fonction continûment dérivable. Pour calculer $\int f(g(x))g'(x) dx$, on peut poser $u = g(x)$, d'où $du = g'(x)dx$. L'intégrale devient : > $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $ > Après avoir calculé l'intégrale en $u$, on remplace $u$ par $g(x)$ pour revenir à la variable originale $x$. ### 3.2. Étapes du Changement de Variable 1. **Identifier la substitution :** Choisir une expression $u = g(x)$ dont la dérivée $g'(x)$ (ou un multiple de celle-ci) est présente dans l'intégrande. 2. **Calculer $du$ :** Dériver $u$ par rapport à $x$ pour trouver $du = g'(x)dx$. 3. **Substituer :** Remplacer $g(x)$ par $u$ et $g'(x)dx$ par $du$ dans l'intégrale. 4. **Intégrer :** Calculer la nouvelle intégrale en fonction de $u$. 5. **Re-substituer :** Remplacer $u$ par $g(x)$ pour exprimer le résultat en fonction de $x$. > [!warning] Changement des bornes pour les intégrales définies > Si vous effectuez un changement de variable pour une intégrale **définie** $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx$, vous **devez** changer les bornes d'intégration. > * Si $x=a$, alors $u = g(a)$. > * Si $x=b$, alors $u = g(b)$. > L'intégrale devient alors $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$. Cela évite l'étape de re-substitution. ### 3.3. Exemples d'Application > [!example] Exemple 1 : Forme $f'(x)f(x)^n$ > Calculer $\int (2x+1)(x^2+x+5)^3 dx$. > > 1. **Identification :** On voit que $2x+1$ est la dérivée de $x^2+x+5$. > 2. **Substitution :** Posons $u = x^2+x+5$. > 3. **Calcul de $du$ :** $du = (2x+1)dx$. > 4. **Transformation de l'intégrale :** > $ \int (x^2+x+5)^3 (2x+1) dx = \int u^3 du $ > 5. **Intégration :** > $ \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C $ > 6. **Re-substitution :** > $ \frac{(x^2+x+5)^4}{4} + C $ > [!example] Exemple 2 : Intégrale trigonométrique > Calculer $\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} dx$. > > 1. **Identification :** On a $\cos(x)$ qui est la dérivée de $\sin(x)$. > 2. **Substitution :** Posons $u = \sin(x)$. > 3. **Calcul de $du$ :** $du = \cos(x)dx$. > 4. **Transformation de l'intégrale :** > $ \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} dx = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du $ > 5. **Intégration :** > $ \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C $ > 6. **Re-substitution :** > $ -\frac{1}{\sin(x)} + C $ > [!tip] Quand utiliser le changement de variable ? > Le changement de variable est souvent efficace lorsque l'intégrande contient une fonction composée $f(g(x))$ et que la dérivée de la fonction "intérieure" $g'(x)$ est également présente (ou un multiple constant de celle-ci). Cherchez des expressions de la forme $f(g(x))g'(x)$ ou $\frac{g'(x)}{g(x)}$. # ➡️ C'est la fin --- - Cours précèdent: [[Cours 2 - Primitives et intégrales]] - Prochain cours: [[Exercices - Primitives et intégrales]] - Page d'accueil de la compétence: [[Primitives et intégrales]] - Page d'accueil du domaine: [[Mathématiques]] # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `05-Septembre-2025` - Rédigé par: [[Hamilton DE ARAUJO]]