%% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 2 - Primitives et intégrales\|← Cours 2 - Primitives et intégrales]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %% # Exercices ### Exercice 1 Déterminer une primitive $F(x)$ pour chacune des fonctions $f(x)$ suivantes : 1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 2. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 3. $f(x) = e^x - \sin(x)$ ### Exercice 2 Calculer les intégrales définies suivantes : 1. $\int_1^2 (2x+1) dx$ 2. $\int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$ ### Exercice 3 Déterminer une primitive $F(x)$ pour chacune des fonctions $f(x)$ suivantes, en utilisant des règles de primitivation composées : 1. $f(x) = (2x+3)^4$ 2. $f(x) = x e^{x^2}$ 3. $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ ### Exercice 4 Utiliser la méthode d'intégration par parties (IPP) pour calculer les intégrales suivantes : 1. $\int_0^1 xe^x dx$ 2. $\int_1^2x^2 \ln(3x) dx$ 3. $\int_0^\pi x\cos(x)dx$ 4. $\int_1^2 e^x \cos(x) dx$ 5. $\int_0^1x^2e^{3x} dx$ ### Exercice 5 Utiliser la méthode de changement de variable pour résoudre les primitives et intégrales suivantes : 1. $\int_e^{e^2} \frac{1}{x\ln(x)} dx$ 2. $\int_0^{\pi/3}\tan(x)dx$ 3. $\int_0^1\frac{3e^x}{3e^x+1}dx$ 4. $\int\frac{6x-9}{x^2-3x+1} dx$ 5. $\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)}dx$ 6. $\int_0^1 x \sqrt{1-x^2} dx$ ### Exercice 6 Calculer l'aire $A$ de la région délimitée par la courbe $y = x^3 - x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=-1$ et $x=1$. ### Exercice 7 Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. 1. Déterminer une primitive $F(x)$ de $f(x)$. 2. Calculer la valeur moyenne de $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$. ### Exercice 8 Soit $F(x)$ la fonction définie par $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4) dt$. 1. Déterminer l'expression de $F(x)$. 2. Calculer $F'(x)$ et vérifier le Théorème Fondamental du Calcul. 3. Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x) = 0$. 4. Étudier les variations de $F(x)$. # Corrigés Détaillés ### Exercice 1 Déterminer une primitive $F(x)$ pour chacune des fonctions $f(x)$ suivantes : 1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ **Solution** On utilise la linéarité et les règles de primitivation de base : - Une primitive de $3x^2$ est $3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \frac{x^3}{3} = x^3$. - Une primitive de $-2x$ est $-2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \frac{x^2}{2} = -x^2$. - Une primitive de $5$ est $5x$. Donc, une primitive $F(x)$ est $x^3 - x^2 + 5x + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. > [!note] Remarque > Pour une primitive, on ajoute toujours une constante d'intégration $C$. 2. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ **Solution :** On réécrit la fonction sous forme de puissance : $f(x) = x^{-1/2}$. En utilisant la règle $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \neq -1$ : $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$. 3. $f(x) = e^x - \sin(x)$ **Solution :** - Une primitive de $e^x$ est $e^x$. - Une primitive de $-\sin(x)$ est $\cos(x)$, car la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. Donc, une primitive $F(x)$ est $e^x + \cos(x) + C$. ### Exercice 2 Calculer les intégrales définies suivantes : > [!theorem] Théorème Fondamental du Calcul > Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. 1. $\int_1^2 (2x+1) dx$ **Solution** D'abord, trouvons une primitive de $f(x) = 2x+1$. Une primitive est $F(x) = x^2 + x$. Ensuite, on applique le Théorème Fondamental du Calcul : $ \int_1^2 (2x+1) dx = [x^2+x]_1^2 = (2^2+2) - (1^2+1) = (4+2) - (1+1) = 6 - 2 = 4 $ 2. $\int_0^{\pi/2} \cos(x) dx$ **Solution :** Une primitive de $f(x) = \cos(x)$ est $F(x) = \sin(x)$. $ \int_0^{\pi/2} \cos(x) dx = [\sin(x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $ ### Exercice 3 Déterminer une primitive $F(x)$ pour chacune des fonctions $f(x)$ suivantes : 1. $f(x) = (2x+3)^4$ > [!tip] Astuce > Cherchez la forme $u'(x) [u(x)]^n$. Ici, $u(x) = 2x+3$, donc $u'(x) = 2$. * **Solution :** On a $u(x) = 2x+3$, donc $u'(x) = 2$. La fonction $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x+3)^4 = \frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^4$. La primitive de $u'(x) [u(x)]^n$ est $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}$. Donc, $F(x) = \frac{1}{2} \frac{(2x+3)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{2} \frac{(2x+3)^5}{5} + C = \frac{1}{10} (2x+3)^5 + C$. 2. $f(x) = x e^{x^2}$ > [!tip] Astuce > Cherchez la forme $u'(x) e^{u(x)}$. Ici, $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. * **Solution :** On a $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. La fonction $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x) e^{x^2} = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$. La primitive de $u'(x) e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$. Donc, $F(x) = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$. 3. $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ > [!tip] Astuce > Cherchez la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$. Ici, $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. * **Solution :** On a $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. La fonction $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}$. La primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln(|u(x)|)$. Comme $x^2+1$ est toujours positif, on peut écrire $\ln(x^2+1)$. Donc, $F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C$. ### Exercice 4 > [!definition] Intégration par Parties (IPP) > La formule d'intégration par parties est $\int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx$. > Pour une intégrale définie : $\int_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) dx$. > On choisit $u(x)$ et $v'(x)$ de manière à simplifier l'intégrale $\int u'(x) v(x) dx$. 1. En suivant la règle LIATE : $x$ est Algébrique (A), $e^x$ est Exponentielle (E). A vient avant E. Choisissons : $ u(x) = x \implies u'(x) = 1$ $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$ En appliquant la formule d'IPP : $ \int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx $ $ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C $ $ \int x e^x dx = e^x(x-1) + C $ 2. $\int_{1}^{2} x^2 \ln(3x) \, dx$Choisissons $u(x) = \ln(3x) \implies u'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$$v'(x) = x^2 \implies v(x) = \frac{x^3}{3}$ En appliquant l'IPP : $\int_{1}^{2} x^2 \ln(3x) \, dx=\left[ \ln(3x) \cdot \frac{x^3}{3} \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{3} \, dx$ $\int_{1}^{2} x^2 \ln(3x) \, dx= \left( \frac{8}{3} \ln(6) - \frac{1}{3} \ln(3) \right) - \int_1^2 \frac{x^2}{3} \, dx$ $\int_{1}^{2} x^2 \ln(3x) \, dx= \frac{8\ln(6) - \ln(3)}{3} - \left[ \frac{x^3}{9} \right]_1^2$ $\int_{1}^{2} x^2 \ln(3x) \, dx = \frac{8\ln(6) - \ln(3)}{3} - \left( \frac{8}{9} - \frac{1}{9} \right) = \frac{8\ln(6) - \ln(3)}{3} - \frac{7}{9}$ 3. $\int_0^\pi x\cos(x)dx $ * **Solution :** Ici, si on dérive $x$, il devient $1$. Si on dérive $\cos(x)$, il devient $-\sin(x)$. Choisissons : - $u(x) = x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 1$ - $v'(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v(x) = \sin(x)$ (on choisit $C=0$ pour $v(x)$) Appliquons la formule d'intégration par parties : $ \int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int 1 \cdot \sin(x) dx $ $ = x \sin(x) - (-\cos(x)) + C $ $ = x \sin(x) + \cos(x) + C $ 4. $ I = \int_1^2 e^x \cos(x) dx $ * **Solution :** C'est un cas classique d'intégration par parties "cyclique". Nous allons l'appliquer deux fois. **Première IPP :** Choisissons : - $u_1(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad u_1'(x) = -\sin(x)$ - $v_1'(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad v_1(x) = e^x$ $ I = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) dx $ Appelons la nouvelle intégrale $J = \int e^x \sin(x) dx$. Donc $I = e^x \cos(x) + J$. **Deuxième IPP (sur $J$) :** Choisissons de la même manière : - $u_2(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad u_2'(x) = \cos(x)$ - $v_2'(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad v_2(x) = e^x$ $ J = e^x \sin(x) - \int e^x (\cos(x)) dx $ On remarque que la dernière intégrale est notre intégrale de départ $I$. Donc, $J = e^x \sin(x) - I$. **Substitution et résolution :** Maintenant, substituons $J$ dans l'expression de $I$ : $ I = e^x \cos(x) + (e^x \sin(x) - I) $$ I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I $Regroupons les termes $I$ : $ 2I = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) $$ 2I = e^x (\sin(x) + \cos(x)) $$ I = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) + \cos(x)) $$ \int e^x \cos(x) dx = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C $$\int_1^2 e^x \cos(x) dx= \frac{e^2(\cos(2) + \sin(2)) - e^1(\cos(1) + \sin(1))}{2}$ > [!warning] Attention > Il est crucial de faire les choix pour $u$ et $v'$ de manière cohérente lors des IPP successives. Si vous aviez choisi $u_1 = e^x$ et $v_1' = \sin x$ pour la première IPP, vous devez choisir $u_2 = e^x$ et $v_2' = \cos x$ pour la deuxième. Inverser les rôles mènerait à une identité $I=I$ sans résoudre l'intégrale. 5. $\int_{0}^{1} x^2 e^{3x} \, dx$ **Première IPP :** - $u = x^2 \implies u' = 2x$ - $v' = e^{3x} \implies v = \frac{1}{3}e^{3x}$ $I_5 = \left[ \frac{x^2}{3} e^{3x} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x}{3} e^{3x} \, dx = \frac{e^3}{3} - \frac{2}{3} \int_0^1 x e^{3x} \, dx$ **Deuxième IPP (sur $\int x e^{3x}$) :** - $u = x \implies u' = 1$ - $v' = e^{3x} \implies v = \frac{1}{3}e^{3x}$ $\int_0^1 x e^{3x} \, dx = \left[ \frac{x}{3} e^{3x} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{3} e^{3x} \, dx$ $= \frac{e^3}{3} - \left[ \frac{1}{9} e^{3x} \right]_0^1 = \frac{e^3}{3} - \left( \frac{e^3}{9} - \frac{1}{9} \right) = \frac{2e^3 + 1}{9}$ **Calcul final :** $I_5 = \frac{e^3}{3} - \frac{2}{3} \left( \frac{2e^3 + 1}{9} \right) = \frac{9e^3}{27} - \frac{4e^3 + 2}{27}$ $I_5 = \frac{5e^3 - 2}{27}$ ### Exercice 5 1. $ \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln(x)} dx $ * **Solution :** L'expression $\frac{1}{x \ln(x)}$ peut être réécrite comme $\frac{1/x}{\ln(x)}$. Ceci suggère un changement de variable où $u = \ln(x)$, car sa dérivée est $du = \frac{1}{x} dx$. **Changement de variable :** Posons $u = \ln(x)$. Alors $du = \frac{1}{x} dx$. **Changement des bornes d'intégration :** - Si $x=e$, alors $u = \ln(e) = 1$. - Si $x=e^2$, alors $u = \ln(e^2) = 2 \ln(e) = 2$. L'intégrale devient : $ \int_1^2 \frac{1}{u} du $ Maintenant, on calcule cette intégrale simple : $ \int_1^2 \frac{1}{u} du = [\ln(|u|)]_1^2 $ $ = \ln(2) - \ln(1) $ $ = \ln(2) - 0 $ $ = \ln(2) $ 2. $ \int_0^{\pi/3}\tan(x)dx$On sait que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. On va poser un changement de variable pour simplifier cette fraction. **Étape 1 : Choisir la nouvelle variable** Posons $u = \cos(x)$. En dérivant, on obtient : $du = -\sin(x) \, dx$, ce qui donne $\sin(x) \, dx = -du$. **Étape 2 : Changer les bornes** - Si $x = 0$, alors $u = \cos(0) = 1$. - Si $x = \pi/3$, alors $u = \cos(\pi/3) = 1/2$. **Étape 3 : Calcul** $I_2 = \int_{1}^{1/2} \frac{-du}{u} = \int_{1/2}^{1} \frac{du}{u}$ $I_2 = [\ln|u|]_{1/2}^{1} = \ln(1) - \ln(1/2)$ $I_2 = 0 - (-\ln(2)) = \ln(2)$ 3. $ \int_0^1\frac{3e^x}{3e^x+1}dx$ **Étape 1 : Choisir la variable** Posons $u = 3e^x + 1$. La dérivée est : $du = 3e^x \, dx$. **Étape 2 : Changer les bornes** - Si $x = 0$, alors $u = 3e^0 + 1 = 3(1) + 1 = 4$. - Si $x = 1$, alors $u = 3e^1 + 1 = 3e + 1$. **Étape 3 : Calcul** $I_3 = \int_{4}^{3e+1} \frac{du}{u}$ $I_3 = [\ln|u|]_{4}^{3e+1}$ $I_3 = \ln(3e+1) - \ln(4)$ 4. $\int\frac{6x-9}{x^2-3x+1} dx$ **Étape 1 : Choisir la variable** Posons $u = x^2 - 3x + 1$. La dérivée est : $du = (2x - 3) \, dx$. **Étape 2 : Transformer le numérateur** On remarque que $6x - 9 = 3(2x - 3)$. L'intégrale devient donc : $\int \frac{3(2x - 3)}{x^2 - 3x + 1} \, dx = \int \frac{3 \, du}{u}$. **Étape 3 : Calcul** $I_4 = 3 \int \frac{du}{u} = 3 \ln|u| + C$ On revient à la variable $x$ : $I_4 = 3 \ln|x^2 - 3x + 1| + C$ 5. $\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)}dx $ **Étape 1 : Choisir la variable** Posons $u = \cos(x)$. Alors $du = -\sin(x) \, dx$, soit $\sin(x) \, dx = -du$. **Étape 2 : Changer les bornes** - Si $x = 0$, alors $u = \cos(0) = 1$. - Si $x = \pi$, alors $u = \cos(\pi) = -1$. **Étape 3 : Calcul** $I_5 = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1 + u^2}$ On reconnaît la dérivée de la fonction $\arctan(u)$ : $I_5 = [\arctan(u)]_{-1}^{1}$ $I_5 = \arctan(1) - \arctan(-1)$ $I_5 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ 6. $ \int_0^1 x \sqrt{1-x^2} dx $ * **Solution :** On utilise la méthode de changement de variable. Posons $u = 1-x^2$. Alors $du = -2x dx$. Ce qui implique $x dx = -\frac{1}{2} du$. Changeons les bornes d'intégration : - Si $x=0$, alors $u = 1-0^2 = 1$. - Si $x=1$, alors $u = 1-1^2 = 0$. L'intégrale devient : $ \int_1^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du $ $ = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{1/2} du $ On peut inverser les bornes et changer le signe : $ = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} du $ Maintenant, on calcule la primitive de $u^{1/2}$ : $\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$. $ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^1 $ $ = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right) $ $ = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 0 \right) = \frac{1}{3} $ ### Exercice 6 Calculer l'aire $A$ de la région délimitée par la courbe $y = x^3 - x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=-1$ et $x=1$. * **Solution :** > [!definition] Aire sous une courbe > L'aire entre la courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses sur un intervalle $[a,b]$ est donnée par $\int_a^b |f(x)| dx$. D'abord, trouvons les racines de la fonction $f(x) = x^3 - x$ pour savoir où la fonction change de signe. $x^3 - x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)$. Les racines sont $x=-1, x=0, x=1$. Sur l'intervalle $[-1, 1]$, la fonction change de signe en $x=0$. - Pour $x \in [-1, 0]$, $x \le 0$, $x-1 \le 0$, $x+1 \ge 0$. Donc $f(x) = (\le 0)(\le 0)(\ge 0) \ge 0$. La fonction est positive. - Pour $x \in [0, 1]$, $x \ge 0$, $x-1 \le 0$, $x+1 \ge 0$. Donc $f(x) = (\ge 0)(\le 0)(\ge 0) \le 0$. La fonction est négative. L'aire $A$ est donc : $ A = \int_{-1}^1 |x^3-x| dx = \int_{-1}^0 (x^3-x) dx + \int_0^1 -(x^3-x) dx $ Calculons une primitive de $x^3-x$ : $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$. $ \int_{-1}^0 (x^3-x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0 = \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) $ $ = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{4} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} $ $ \int_0^1 -(x^3-x) dx = - \int_0^1 (x^3-x) dx = - \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 $ $ = - \left[ \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \right) \right] $ $ = - \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) - 0 \right] = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} $ L'aire totale est $A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. ### Exercice 7 Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. 1. Déterminer une primitive $F(x)$ de $f(x)$. * **Solution :** C'est une primitive de base à connaître. > [!definition] Primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ > Une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan(x)$. Donc, $F(x) = \arctan(x) + C$. 2. Calculer la valeur moyenne de $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$. * **Solution :** > [!definition] Valeur moyenne d'une fonction > La valeur moyenne $\bar{f}$ d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a,b]$ est donnée par $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$. Ici, $a=0$ et $b=1$. $ \bar{f} = \frac{1}{1-0} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx $ $ \bar{f} = 1 \cdot [\arctan(x)]_0^1 $ $ \bar{f} = \arctan(1) - \arctan(0) $ $ \bar{f} = \frac{\pi}{4} - 0 $ $ \bar{f} = \frac{\pi}{4} $ ### Exercice 8 Soit $F(x)$ la fonction définie par $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4) dt$. * **Solution :** 1. Déterminer l'expression de $F(x)$. * **Solution :** On calcule la primitive de la fonction $g(t) = t^2-4$. Une primitive est $G(t) = \frac{t^3}{3} - 4t$. $ F(x) = \left[ \frac{t^3}{3} - 4t \right]_0^x $ $ F(x) = \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 4(0) \right) $ $ F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x $ 2. Calculer $F'(x)$ et vérifier le Théorème Fondamental du Calcul. * **Solution :** > [!theorem] Théorème Fondamental du Calcul (partie 1) > Si $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, alors $F'(x) = f(x)$. En utilisant l'expression de $F(x)$ que nous venons de trouver : $ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) $ $ F'(x) = \frac{3x^2}{3} - 4 = x^2 - 4 $ Selon le Théorème Fondamental du Calcul, $F'(x)$ devrait être égal à la fonction sous l'intégrale, $f(x) = t^2-4$, mais évaluée en $x$, soit $x^2-4$. Nous avons bien $F'(x) = x^2 - 4$. Le théorème est vérifié. 3. Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x) = 0$. * **Solution :** On doit résoudre l'équation $F(x) = 0$ : $ \frac{x^3}{3} - 4x = 0 $ Factorisons $x$ : $ x \left( \frac{x^2}{3} - 4 \right) = 0 $ Cela nous donne deux possibilités : - $x = 0$ - $\frac{x^2}{3} - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$ Les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)=0$ sont $x=0$, $x=2\sqrt{3}$ et $x=-2\sqrt{3}$. 4. Étudier les variations de $F(x)$. * **Solution :** Pour étudier les variations de $F(x)$, nous devons étudier le signe de sa dérivée $F'(x)$. Nous avons trouvé $F'(x) = x^2 - 4$. Les racines de $F'(x)$ sont $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. On construit un tableau de signes pour $F'(x)$ : | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $2$ | $+\infty$ | | :------------- | :-------- | :---------------: | :---------------: | :-------- | | $x^2 - 4$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $F'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Variations $F(x)$ | Croissante | Maximum local | Décroissante | Minimum local | Croissante | - $F(x)$ est croissante sur $]-\infty, -2]$ et sur $[2, +\infty[$. - $F(x)$ est décroissante sur $[-2, 2]$. - $F(x)$ admet un maximum local en $x=-2$ : $F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - 4(-2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$. - $F(x)$ admet un minimum local en $x=2$ : $F(2) = \frac{2^3}{3} - 4(2) = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$. # 🗓️ Historique - Dernière MAJ: `21-juillet-2026` - Rédigé par: [[Antonia JABBOUR]] %% nav-debut : généré par gen_navigation.py, ne pas modifier à la main %% > [!nav] > ↩ [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Primitives et intégrales|Accueil · Primitives et intégrales]] > > | [[Analyse et Données/Mathématiques/Primitives et intégrales/Cours 2 - Primitives et intégrales\|← Cours 2 - Primitives et intégrales]] | | > |:---|---:| %% nav-fin %%